Naloge za množenje ulomkov. Ulomki. Množenje in deljenje ulomkov
Če želite pravilno pomnožiti ulomek z ulomkom ali ulomek s številom, morate poznati preprosta pravila. Zdaj bomo ta pravila podrobno analizirali.
Množenje navadnega ulomka z ulomkom.
Če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate izračunati zmnožek števcev in zmnožek imenovalcev teh ulomkov.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Poglejmo primer:
Števec prvega ulomka pomnožimo s števcem drugega ulomka, pomnožimo pa tudi imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ krat 3)(7 \krat 3) = \frac(4)(7)\\\)
Ulomek \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) je bil zmanjšan za 3.
Množenje ulomka s številom.
Najprej si zapomnimo pravilo, poljubno število je mogoče predstaviti kot ulomek \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Pri množenju uporabimo to pravilo.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Nepravi ulomek \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) pretvorjen v mešani ulomek.
Z drugimi besedami, Pri množenju števila z ulomkom število pomnožimo s števcem, imenovalec pa pustimo nespremenjen. primer:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Množenje mešanih ulomkov.
Če želite pomnožiti mešane ulomke, morate vsak mešani ulomek najprej predstaviti kot nepravilni ulomek in nato uporabiti pravilo množenja. Števec pomnožimo s števcem, zmnoževalec pa z imenovalcem.
primer:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(rdeča) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(rdeča) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Množenje recipročnih ulomkov in števil.
Ulomek \(\bf \frac(a)(b)\) je inverzna ulomku \(\bf \frac(b)(a)\), če je a≠0,b≠0.
Ulomka \(\bf \frac(a)(b)\) in \(\bf \frac(b)(a)\) imenujemo recipročni ulomki. Produkt recipročnih ulomkov je enak 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
primer:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Vprašanja na temo:
Kako pomnožiti ulomek z ulomkom?
Odgovor: Zmnožek navadnih ulomkov je množenje števca s števcem, imenovalca z imenovalcem. Če želite dobiti produkt mešanih ulomkov, jih morate pretvoriti v nepravilen ulomek in pomnožiti v skladu s pravili.
Kako pomnožiti ulomke z različnimi imenovalci?
Odgovor: ni pomembno, ali imajo ulomki enake ali različne imenovalce, množenje poteka po pravilu iskanja produkta števca s števcem, imenovalca z imenovalcem.
Kako pomnožiti mešane ulomke?
Odgovor: najprej morate mešani ulomek pretvoriti v nepravilni ulomek in nato zmnožek poiskati po pravilih množenja.
Kako pomnožiti število z ulomkom?
Odgovor: število pomnožimo s števcem, imenovalec pa pustimo enak.
Primer #1:
Izračunajte zmnožek: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
rešitev:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( rdeča) (5))(3 \krat \barva(rdeča) (5) \krat 13) = \frac(4)(39)\)
Primer #2:
Izračunajte zmnožke števila in ulomka: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
rešitev:
a) \(3 \krat \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \krat \frac(17)(23) = \frac(3 \krat 17)(1 \krat 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Primer #3:
Zapišite recipročno vrednost ulomka \(\frac(1)(3)\)?
Odgovor: \(\frac(3)(1) = 3\)
Primer #4:
Izračunajte zmnožek dveh med seboj inverznih ulomkov: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
rešitev:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Primer #5:
Ali so recipročni ulomki lahko:
a) hkrati s pravimi ulomki;
b) hkrati nepravi ulomki;
c) hkrati naravna števila?
rešitev:
a) za odgovor na prvo vprašanje navedimo primer. Ulomek \(\frac(2)(3)\) je pravi, njegov obratni ulomek bo enak \(\frac(3)(2)\) - nepravi ulomek. Odgovor: ne.
b) pri skoraj vseh naštevanjih ulomkov ta pogoj ni izpolnjen, obstajajo pa nekatera števila, ki izpolnjujejo pogoj, da so hkrati nepravi ulomek. Na primer, nepravi ulomek je \(\frac(3)(3)\), njegov obratni ulomek pa je enak \(\frac(3)(3)\). Dobimo dva nepravilna ulomka. Odgovor: ne vedno pod določenimi pogoji, ko sta števec in imenovalec enaka.
c) naravna števila so števila, ki jih uporabljamo pri štetju, na primer 1, 2, 3, …. Če vzamemo število \(3 = \frac(3)(1)\), bo njegov inverzni ulomek \(\frac(1)(3)\). Ulomek \(\frac(1)(3)\) ni naravno število. Če gremo skozi vsa števila, je recipročna vrednost števila vedno ulomek, razen 1. Če vzamemo število 1, bo njen recipročni ulomek \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Število 1 je naravno število. Odgovor: hkrati so lahko naravna števila le v enem primeru, če je to število 1.
Primer #6:
Naredite zmnožek mešanih ulomkov: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
rešitev:
a) \(4 \krat 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \krat \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Primer #7:
Ali sta lahko dve recipročni števili hkrati mešani števili?
Poglejmo si primer. Vzemimo mešani ulomek \(1\frac(1)(2)\), poiščimo njegov inverzni ulomek, za to ga pretvorimo v nepravi ulomek \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2) \) . Njegov inverzni ulomek bo enak \(\frac(2)(3)\) . Ulomek \(\frac(2)(3)\) je pravi ulomek. Odgovor: Dva medsebojno inverzna ulomka ne moreta biti hkrati mešana števila.
Množenje navadnih ulomkov
Poglejmo si primer.
Naj bo na krožniku $\frac(1)(3)$ del jabolka. Najti moramo $\frac(1)(2)$ del tega. Zahtevani del je rezultat množenja ulomkov $\frac(1)(3)$ in $\frac(1)(2)$. Rezultat množenja dveh navadnih ulomkov je navadni ulomek.
Množenje dveh navadnih ulomkov
Pravilo za množenje navadnih ulomkov:
Rezultat množenja ulomka z ulomkom je ulomek, katerega števec je enak zmnožku števcev ulomkov, ki jih množimo, imenovalec pa zmnožku imenovalcev:
Primer 1
Izvedite množenje navadnih ulomkov $\frac(3)(7)$ in $\frac(5)(11)$.
rešitev.
Uporabimo pravilo za množenje navadnih ulomkov:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
odgovor:$\frac(15)(77)$
Če množenje ulomkov povzroči pomanjšljiv ali nepravilen ulomek, ga morate poenostaviti.
Primer 2
Pomnožite ulomka $\frac(3)(8)$ in $\frac(1)(9)$.
rešitev.
Za množenje navadnih ulomkov uporabljamo pravilo:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Kot rezultat smo dobili pomanjšani ulomek (na osnovi deljenja s $3$. Če delimo števec in imenovalec ulomka s $3$, dobimo:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Kratka rešitev:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
odgovor:$\frac(1)(24).$
Pri množenju ulomkov lahko zmanjšujete števce in imenovalce, dokler ne najdete njihovega produkta. V tem primeru se števec in imenovalec ulomka razčlenita na preproste faktorje, po katerih se ponavljajoči faktorji prekličejo in najdemo rezultat.
Primer 3
Izračunajte zmnožek ulomkov $\frac(6)(75)$ in $\frac(15)(24)$.
rešitev.
Uporabimo formulo za množenje navadnih ulomkov:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Očitno je, da števec in imenovalec vsebujeta števila, ki jih je mogoče v parih zmanjšati na števila $2$, $3$ in $5$. Razložimo števec in imenovalec na preproste faktorje in zmanjšajmo:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
odgovor:$\frac(1)(20).$
Pri množenju ulomkov lahko uporabite komutativni zakon:
Množenje navadnega ulomka z naravnim številom
Pravilo množenja navadnega ulomka z naravnim številom:
Rezultat množenja ulomka z naravnim številom je ulomek, pri katerem je števec enak zmnožku števca pomnoženega ulomka z naravnim številom, imenovalec pa je enak imenovalcu pomnoženega ulomka:
kjer je $\frac(a)(b)$ navaden ulomek, $n$ naravno število.
Primer 4
Pomnožite ulomek $\frac(3)(17)$ s $4$.
rešitev.
Uporabimo pravilo množenja navadnega ulomka z naravnim številom:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
odgovor:$\frac(12)(17).$
Ne pozabite preveriti rezultata množenja z zmanjševanjem ulomka ali z nepravilnim ulomkom.
Primer 5
Pomnožite ulomek $\frac(7)(15)$ s številom $3$.
rešitev.
Uporabimo formulo za množenje ulomka z naravnim številom:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Z deljenjem s številom $3$) lahko ugotovimo, da lahko dobljeni ulomek zmanjšamo:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Rezultat je bil napačen ulomek. Izberimo cel del:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Kratka rešitev:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Ulomke bi lahko tudi zmanjšali tako, da bi števila v števcu in imenovalcu zamenjali z njihovimi faktorizacijami v prafaktorje. V tem primeru bi lahko rešitev zapisali takole:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
odgovor:$1\frac(2)(5).$
Pri množenju ulomka z naravnim številom lahko uporabite komutativni zakon:
Deljenje ulomkov
Operacija deljenja je inverzna množenju in njen rezultat je ulomek, s katerim je treba pomnožiti znani ulomek, da dobimo znani produkt dveh ulomkov.
Deljenje dveh navadnih ulomkov
Pravilo za deljenje navadnih ulomkov: Očitno je mogoče števec in imenovalec dobljenega ulomka faktorizirati in zmanjšati:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
Kot rezultat dobimo nepravilen ulomek, iz katerega izberemo cel del:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
odgovor:$1\frac(5)(9).$
Množenje celega števila z ulomkom ni težka naloga. Obstajajo pa podrobnosti, ki ste jih verjetno razumeli v šoli, a ste jih od takrat pozabili.
Kako pomnožiti celo število z ulomkom - nekaj izrazov
Če se spomnite, kaj sta števec in imenovalec ter kako se pravi ulomek razlikuje od nepravilnega, preskočite ta odstavek. Je za tiste, ki so popolnoma pozabili na teorijo.
Števec je zgornji del ulomka – tisto, kar delimo. Imenovalec je nižji. To je tisto, po čemer se delimo.
Pravi ulomek je tisti, katerega števec je manjši od imenovalca. Nepravi ulomek je tisti, katerega števec je večji ali enak imenovalcu.
Kako pomnožiti celo število z ulomkom
Pravilo množenja celega števila z ulomkom je zelo preprosto – števec pomnožimo s celim številom, imenovalca pa se ne dotikamo. Na primer: dva pomnožena z eno petino - dobimo dve petini. Štiri pomnoženo s tremi šestnajstinami je enako dvanajst šestnajstin.
Zmanjšanje
V drugem primeru lahko dobljeno frakcijo zmanjšamo.
Kaj to pomeni? Upoštevajte, da sta števec in imenovalec tega ulomka deljiva s štiri. Če obe števili delimo s skupnim deliteljem, imenujemo zmanjševanje ulomka. Dobimo tri četrtine.
Nepravilni ulomki
Toda predpostavimo, da pomnožimo štiri z dvema petinama. Izkazalo se je osem petin. To je nepravilen ulomek.
Vsekakor ga je treba spraviti v pravo obliko. Če želite to narediti, morate iz njega izbrati celoten del.
Tukaj morate uporabiti deljenje z ostankom. Kot ostanek dobimo ena in tri.
Eno celo in tri petine so naš pravi ulomek.
Pripraviti petintrideset osmink v pravilno obliko je nekoliko težje. Število, ki je najbližje sedemintridesetim in je deljivo z osem, je dvaintrideset. Pri deljenju dobimo štiri. Od petintrideset odštejemo dvaintrideset in dobimo tri. Rezultat: štiri cele in tri osmine.
Enakost števca in imenovalca. In tukaj je vse zelo preprosto in lepo. Če sta števec in imenovalec enaka, je rezultat preprosto ena.
Upoštevali bomo množenje navadnih ulomkov v več možnih možnostih.
Množenje navadnega ulomka z ulomkom
To je najpreprostejši primer, v katerem morate uporabiti naslednje pravila za množenje ulomkov.
Za pomnoži ulomek z ulomkom, potrebno:
- števec prvega ulomka pomnožijo s števcem drugega ulomka in njun produkt zapišejo v števec novega ulomka;
- pomnožijo imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka in zapišejo njun produkt v imenovalec novega ulomka;
- Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
- Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci
Pred množenjem števcev in imenovalcev preverite, ali je mogoče ulomke skrajšati. Zmanjšanje ulomkov v izračunih bo vaše izračune veliko lažje.
Množenje ulomka z naravnim številom
Da naredim ulomek pomnožimo z naravnim številomŠtevec ulomka morate pomnožiti s tem številom, imenovalec ulomka pa pustiti nespremenjen.
Če je rezultat množenja nepravilen ulomek, ga ne pozabite spremeniti v mešano število, torej označite celega dela.
Množenje mešanih števil
Če želite pomnožiti mešana števila, jih morate najprej spremeniti v neprave ulomke in nato množiti po pravilu za množenje navadnih ulomkov.
Drug način za množenje ulomka z naravnim številom
Včasih je pri izračunih bolj priročno uporabiti drugo metodo množenja navadnega ulomka s številom.
Če želite ulomek pomnožiti z naravnim številom, morate imenovalec ulomka deliti s tem številom, števec pa pustiti enak.
Kot je razvidno iz primera, je ta različica pravila bolj priročna za uporabo, če je imenovalec ulomka deljiv z naravnim številom brez ostanka.
Operacije z ulomki
Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
Obstajata dve vrsti seštevanja ulomkov:
Najprej se naučimo seštevati ulomke z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen. Na primer, seštejmo ulomke in . Seštejte števce in pustite imenovalec nespremenjen:
Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na štiri dele. Če dodate pico k pici, dobite pico:
Primer 2. Seštejte ulomke in.
Spet seštejemo števce in pustimo imenovalec nespremenjen:
Izkazalo se je, da je odgovor nepravilen ulomek. Ko pride naloga do konca, je običajno, da se znebimo nepravilnih ulomkov. Če se želite znebiti nepravilnega ulomka, morate izbrati njegov cel del. V našem primeru je celoten del enostavno izoliran - dva deljeno z dva je enako ena:
Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na dva dela. Če pici dodaš še pico, dobiš eno celo pico:
Primer 3. Seštejte ulomke in.
Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na tri dele. Če pici dodate več pice, dobite pico:
Primer 4. Poiščite vrednost izraza 
Ta primer je rešen na popolnoma enak način kot prejšnji. Števce je treba sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen:
Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če dodate pico k pici in dodate še več pic, dobite 1 celo pico in več pic.
Kot lahko vidite, pri seštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič zapletenega. Dovolj je razumeti naslednja pravila:
- Če želite dodati ulomke z enakim imenovalcem, morate njihove števce sešteti in imenovalec pustiti enak;
- Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, morate poudariti njegov cel del.
- Poiščite LCM imenovalcev ulomkov;
- LCM razdelite na imenovalec vsakega ulomka in dobite dodatni faktor za vsak ulomek;
- Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji;
- Seštejte ulomke, ki imajo enake imenovalce;
- Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, izberite njegov cel del;
- Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
- Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci
Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci
Zdaj pa se naučimo seštevati ulomke z različnimi imenovalci. Pri seštevanju ulomkov morata biti imenovalca ulomkov enaka. Niso pa vedno enaki.
Na primer, ulomke je mogoče sešteti, ker imajo enake imenovalce.
Toda ulomkov ni mogoče takoj sešteti, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zreducirati na isti (skupni) imenovalec.
Obstaja več načinov za zmanjšanje ulomkov na isti imenovalec. Danes si bomo ogledali samo enega od njih, saj se lahko druge metode začetniku zdijo zapletene.
Bistvo te metode je v tem, da najprej poiščemo najmanjši skupni večkratnik (LCM) imenovalcev obeh ulomkov. LCM se nato deli z imenovalcem prvega ulomka, da dobimo prvi dodatni faktor. Enako storijo z drugim ulomkom - LCM se deli z imenovalcem drugega ulomka in dobi se drugi dodatni faktor.
Števci in imenovalci ulomkov se nato pomnožijo z njihovimi dodatnimi faktorji. Zaradi teh dejanj se ulomki z različnimi imenovalci pretvorijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo seštevati.
Primer 1. Seštejmo ulomke in
Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate zreducirati na isti (skupni) imenovalec.
Najprej poiščemo najmanjši skupni večkratnik imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je število 3, imenovalec drugega ulomka pa število 2. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 6
LCM (2 in 3) = 6
Zdaj pa se vrnimo k ulomkom in . Najprej razdelite LCM z imenovalcem prvega ulomka in dobite prvi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 6 delimo s 3, dobimo 2.
Dobljeno število 2 je prvi dodatni množitelj. Zapišemo ga do prvega ulomka. Če želite to narediti, naredite majhno poševno črto čez ulomek in zapišite dodatni faktor, ki ga najdete nad njim:
Enako naredimo z drugim ulomkom. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec drugega ulomka pa je število 2. 6 delimo z 2, dobimo 3.
Dobljeno število 3 je drugi dodatni množitelj. Zapišemo ga na drugi ulomek. Spet naredimo majhno poševno črto čez drugi ulomek in zapišemo dodatni faktor, ki ga najdemo nad njim:
Zdaj imamo vse pripravljeno za dodajanje. Ostaja še pomnožiti števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji:
Poglejte dobro, do česa smo prišli. Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo seštevati. Vzemimo ta primer do konca:
S tem je primer zaključen. Izkazalo se je dodati.
Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če pici dodaš pico, dobiš eno celo pico in še eno šestino pice:
Zmanjševanje ulomkov na isti (skupni) imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Z zmanjšanjem ulomkov in na skupni imenovalec smo dobili ulomke in . Ti dve frakciji bosta predstavljali enaki kosi pice. Razlika bo le v tem, da bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zreducirani na isti imenovalec).
Prva risba predstavlja ulomek (štirje kosi od šestih), druga risba pa ulomek (trije kosi od šestih). Če seštejemo te kose, dobimo (sedem kosov od šestih). Ta ulomek je nepravilen, zato smo izpostavili njegov cel del. Kot rezultat smo dobili (eno celo pico in še šesto pico).
Upoštevajte, da smo ta primer opisali preveč podrobno. V izobraževalnih ustanovah ni običajno pisati tako podrobno. Morate biti sposobni hitro najti LCM obeh imenovalcev in dodatnih faktorjev k njim, pa tudi hitro pomnožiti najdene dodatne faktorje s števci in imenovalci. Če bi bili v šoli, bi morali ta primer napisati takole:
Obstaja pa tudi druga plat medalje. Če si na prvih stopnjah študija matematike ne delate podrobnih zapiskov, se začnejo pojavljati tovrstna vprašanja. »Od kod ta številka?«, »Zakaj se ulomki nenadoma spremenijo v povsem druge ulomke? «.
Za lažje seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci lahko uporabite naslednja navodila po korakih:
Primer 2. Poiščite vrednost izraza 
.
Uporabimo diagram, ki smo ga dali zgoraj.
Korak 1. Poiščite LCM za imenovalce ulomkov
Poiščite LCM za imenovalca obeh ulomkov. Imenovalec ulomkov so števila 2, 3 in 4. Za ta števila morate najti LCM:
2. korak. Delite LCM z imenovalcem vsakega ulomka in dobite dodatni faktor za vsak ulomek
LCM delite z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 2. 12 delimo z 2, dobimo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapišemo ga nad prvi ulomek:
Zdaj LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Dobimo drugi dodatni faktor 4. Zapišemo ga nad drugim ulomkom:
Zdaj LCM delimo z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 12, imenovalec tretjega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Dobimo tretji dodatni faktor 3. Zapišemo ga nad tretjim ulomkom:
Korak 3. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji
Števce in imenovalce pomnožimo z njihovimi dodatnimi faktorji:
Korak 4. Dodajte ulomke z enakimi imenovalci
Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. Vse kar ostane je, da te ulomke seštejemo. Dodajte:
Dodatek ni sodil v eno vrstico, zato smo preostali izraz premaknili v naslednjo vrstico. To je v matematiki dovoljeno. Ko izraz ne sodi v eno vrstico, se premakne v naslednjo vrstico, pri čemer je treba na koncu prve vrstice in na začetku nove vrstice postaviti enačaj (=). Znak enačaja v drugi vrstici pomeni, da je to nadaljevanje izraza, ki je bil v prvi vrstici.
Korak 5. Če se izkaže, da je odgovor napačen ulomek, označite njegov cel del
V odgovoru smo dobili nepravilen ulomek. Izpostaviti moramo cel del tega. Izpostavljamo:
Dobili smo odgovor
Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
Obstajata dve vrsti odštevanja ulomkov:
Najprej se naučimo odštevati ulomke z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka, imenovalec pa pustiti enak.
Na primer, poiščimo vrednost izraza. Če želite rešiti ta primer, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec enak. Naredimo to:
Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na štiri dele. Če iz pice izrežete pice, dobite pice:
Primer 2. Poiščite vrednost izraza.
Spet od števca prvega ulomka odštejemo števec drugega ulomka in pustimo imenovalec enak:
Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na tri dele. Če iz pice izrežete pice, dobite pice:
Primer 3. Poiščite vrednost izraza 
Ta primer je rešen na popolnoma enak način kot prejšnji. Od števca prvega ulomka morate odšteti števce preostalih ulomkov:
Odgovor je bil nepravilen ulomek. Če je primer dokončan, je običajno, da se znebite nepravilnega ulomka. Znebimo se nepravilnega ulomka v odgovoru. Če želite to narediti, izberimo njegov celoten del:
Kot lahko vidite, pri odštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič zapletenega. Dovolj je razumeti naslednja pravila:
Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci
Na primer, od ulomka lahko odštejete ulomek, ker imata ulomka enake imenovalce. Toda ulomka ne morete odšteti od ulomka, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zreducirati na isti (skupni) imenovalec.
Skupni imenovalec najdemo po istem principu, kot smo ga uporabili pri seštevanju ulomkov z različnimi imenovalci. Najprej poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Nato LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor, ki je zapisan nad prvim ulomkom. Podobno LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor, ki je zapisan nad drugim ulomkom.
Ulomki se nato pomnožijo z dodatnimi faktorji. Kot rezultat teh operacij se ulomki z različnimi imenovalci pretvorijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti.
Primer 1. Poiščite pomen izraza:
Najprej poiščemo LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je število 3, imenovalec drugega ulomka pa število 4. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 12
LCM (3 in 4) = 12
Zdaj pa se vrnimo k ulomkom in
Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. To naredite tako, da LCM delite z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Nad prvim ulomkom napiši štirico:
Enako naredimo z drugim ulomkom. LCM delite z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Čez drugi ulomek zapišemo trojko:
Zdaj smo pripravljeni na odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:
Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti. Vzemimo ta primer do konca:
Dobili smo odgovor
Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če iz pice odrežete pico, dobite pico
To je podrobna različica rešitve. Če bi bili v šoli, bi morali ta primer reševati krajše. Takšna rešitev bi izgledala takole:
Zmanjševanje ulomkov na skupni imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Z zmanjšanjem teh ulomkov na skupni imenovalec smo dobili ulomke in . Ti ulomki bodo predstavljeni z enakimi rezinami pice, vendar bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zmanjšane na isti imenovalec):
Na prvi sliki je ulomek (osem kosov od dvanajstih), na drugi sliki pa ulomek (trije koščki od dvanajstih). Če iz osmih kosov izrežemo tri, dobimo od dvanajstih pet kosov. Ulomek opisuje teh pet kosov.
Primer 2. Poiščite vrednost izraza 
Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate najprej reducirati na isti (skupni) imenovalec.
Poiščimo LCM imenovalcev teh ulomkov.
Imenovalec ulomkov so števila 10, 3 in 5. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Zdaj najdemo dodatne faktorje za vsak ulomek. To naredite tako, da LCM razdelite na imenovalec vsakega ulomka.
Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. LCM je število 30, imenovalec prvega ulomka pa je število 10. Če 30 delimo z 10, dobimo prvi dodatni faktor 3. Zapišemo ga nad prvi ulomek:
Zdaj najdemo dodatni faktor za drugi ulomek. LCM delite z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 30, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. Če 30 delimo s 3, dobimo drugi dodatni faktor 10. Zapišemo ga nad drugim ulomkom:
Zdaj najdemo dodatni faktor za tretji ulomek. LCM delite z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 30, imenovalec tretjega ulomka pa je število 5. 30 delimo s 5, dobimo tretji dodatni faktor 6. Zapišemo ga nad tretjim ulomkom:
Zdaj je vse pripravljeno za odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:
Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti. Končajmo ta primer.
Nadaljevanje primera ne bo šlo v eno vrstico, zato nadaljevanje premaknemo v naslednjo vrstico. Ne pozabite na enačaj (=) v novi vrstici:
Izkazalo se je, da je odgovor navaden ulomek in zdi se, da nam vse ustreza, vendar je preveč okoren in grd. Treba bi bilo narediti enostavnejše in bolj estetsko. Kaj se lahko naredi? Ta ulomek lahko skrajšate. Spomnimo se, da je zmanjševanje ulomka deljenje števca in imenovalca z največjim skupnim deliteljem števca in imenovalca.
Če želite pravilno zmanjšati ulomek, morate njegov števec in imenovalec deliti z največjim skupnim deliteljem (GCD) števil 20 in 30.
GCD ne smemo zamenjevati z NOC. Najpogostejša napaka mnogih začetnikov. GCD je največji skupni delitelj. Ugotovimo, da zmanjšamo ulomek.
In LCM je najmanjši skupni večkratnik. Najdemo ga zato, da ulomke spravimo na isti (skupni) imenovalec.
Sedaj bomo poiskali največji skupni delitelj (NOD) števil 20 in 30.
Torej, najdemo GCD za številki 20 in 30:
GCD (20 in 30) = 10
Zdaj se vrnemo k našemu primeru in delimo števec in imenovalec ulomka z 10:
Dobili smo lep odgovor
Množenje ulomka s številom
Če želite pomnožiti ulomek s številom, morate števec danega ulomka pomnožiti s tem številom in pustiti imenovalec enak.
Primer 1. Pomnoži ulomek s številom 1.
Števec ulomka pomnožite s številom 1
Posnetek je mogoče razumeti, kot da traja polovico 1 časa. Na primer, če enkrat vzameš pico, jo dobiš
Iz zakonov množenja vemo, da se zmnožek ne spremeni, če zamenjata množitelj in faktor. Če je izraz zapisan kot , bo produkt še vedno enak . Spet velja pravilo za množenje celega števila in ulomka:
Ta zapis lahko razumemo kot polovico enega. Na primer, če je 1 cela pica in jo vzamemo polovico, potem bomo imeli pico:
Primer 2. Poiščite vrednost izraza
Pomnožite števec ulomka s 4
Izraz lahko razumemo tako, da vzamemo dve četrtini 4-krat. Na primer, če vzamete 4 pice, boste dobili dve celi pici
In če zamenjamo množitelj in množitelj, dobimo izraz . Prav tako bo enako 2. Ta izraz lahko razumemo kot vzeti dve pici iz štirih celih pic:
Množenje ulomkov
Če želite pomnožiti ulomke, morate pomnožiti njihove števce in imenovalce. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, morate poudariti njegov cel del.
Primer 1. Poiščite vrednost izraza.
Dobili smo odgovor. Ta delež je priporočljivo zmanjšati. Ulomek lahko zmanjšamo za 2. Potem bo končna rešitev imela naslednjo obliko:
Izraz lahko razumemo kot vzeti pico iz polovice pice. Recimo, da imamo pol pice:
Kako od te polovice vzeti dve tretjini? Najprej morate to polovico razdeliti na tri enake dele:
In vzemite dva od teh treh kosov:
Naredili bomo pico. Spomnite se, kako izgleda pica, razdeljena na tri dele:
En kos te pice in dva kosa, ki sva jih vzela, bodo imeli enake dimenzije:
Z drugimi besedami, govorimo o enako veliki pici. Zato je vrednost izraza
Primer 2. Poiščite vrednost izraza
Pomnožite števec prvega ulomka s števcem drugega ulomka in imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka:
Odgovor je bil nepravilen ulomek. Naj izpostavimo celoten del:
Primer 3. Poiščite vrednost izraza
Izkazalo se je, da je odgovor navadni ulomek, vendar bi bilo dobro, če bi ga skrajšali. Da zmanjšamo ta ulomek, ga moramo deliti z gcd števca in imenovalca. Torej, poiščimo gcd števil 105 in 450:
GCD za (105 in 150) je 15
Zdaj delimo števec in imenovalec našega odgovora z gcd:
Predstavljanje celega števila kot ulomka
Vsako celo število je mogoče predstaviti kot ulomek. Na primer, številko 5 lahko predstavimo kot. To ne bo spremenilo pomena pet, saj izraz pomeni "število pet deljeno z ena", to pa je, kot vemo, enako pet:
Vzajemna števila
Sedaj se bomo seznanili z zelo zanimivo temo matematike. Imenuje se "obratne številke".
Opredelitev. Obrnite na številko a je število, ki je pomnoženo s a daje eno.
V tej definiciji zamenjajmo namesto spremenljivke aštevilko 5 in poskusite prebrati definicijo:
Obrnite na številko 5 je število, ki je pomnoženo s 5 daje eno.
Ali je mogoče najti število, ki, če ga pomnožimo s 5, da ena? Izkazalo se je, da je to mogoče. Predstavljajmo si pet kot ulomek:
Nato pomnožite ta ulomek sam s seboj, samo zamenjajte števec in imenovalec. Z drugimi besedami, pomnožite ulomek sam s seboj, le na glavo:
Kaj se bo zgodilo zaradi tega? Če nadaljujemo z reševanjem tega primera, dobimo enega:
To pomeni, da je inverzna številka 5 številka , saj ko 5 pomnožite z, dobite ena.
Recipročno vrednost števila je mogoče najti tudi za katero koli drugo celo število.
- recipročna vrednost 3 je ulomek
- recipročna vrednost 4 je ulomek
Poiščete lahko tudi recipročno vrednost katerega koli drugega ulomka. Če želite to narediti, ga obrnite.
Množenje in deljenje ulomkov.
Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")
Ta operacija je veliko lepša od seštevanja-odštevanja! Ker je lažje. Opomba: če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate pomnožiti števce (to bo števec rezultata) in imenovalce (to bo imenovalec). To je:
Na primer:
Vse je izjemno preprosto. In prosim, ne iščite skupnega imenovalca! Tukaj ga ni treba ...
Če želite deliti ulomek z ulomkom, morate obrniti drugo(to je pomembno!) ulomek in jih pomnožite, tj.
Na primer:
Če naletite na množenje ali deljenje s celimi števili in ulomki, je v redu. Tako kot pri seštevanju naredimo ulomek iz celega števila z enico v imenovalcu - in nadaljujte! Na primer:
V srednji šoli se moraš pogosto ukvarjati s trinadstropnimi (ali celo štirinadstropnimi!) frakcijami. Na primer:
Kako naj ta ulomek izgleda spodobno? Da, zelo preprosto! Uporabite delitev na dve točki:
A ne pozabite na vrstni red delitve! Za razliko od množenja je to tukaj zelo pomembno! Seveda ne bomo zamenjali 4:2 ali 2:4. Toda v trinadstropni frakciji je enostavno narediti napako. Upoštevajte na primer:
V prvem primeru (izraz na levi):
V drugem (izraz na desni):
Ali čutite razliko? 4 in 1/9!
Kaj določa vrstni red delitve? Ali z oklepaji ali (kot tukaj) z dolžino vodoravnih črt. Razvijte svoje oko. In če ni oklepajev ali pomišljajev, na primer:
nato deli in pomnoži po vrsti, od leve proti desni!
In še ena zelo preprosta in pomembna tehnika. Pri dejanjih z diplomami vam bo zelo koristilo! Eno delimo s poljubnim ulomkom, na primer s 13/15:
Strel se je obrnil! In to se vedno zgodi. Pri delitvi 1 s poljubnim ulomkom je rezultat enak ulomek, le da je obrnjen na glavo.
To je to za operacije z ulomki. Zadeva je dokaj preprosta, vendar daje več kot dovolj napak. Upoštevajte praktične nasvete, pa jih bo (napak) manj!
Praktični nasveti:
1. Najpomembnejša stvar pri delu z ulomki je natančnost in pozornost! To niso splošne besede, ne dobre želje! To je nujno! Vse izračune na Enotnem državnem izpitu naredite kot popolno nalogo, osredotočeno in jasno. Bolje je, da v svoj osnutek napišete dve dodatni vrstici, kot da se zamočite pri miselnih izračunih.
2. Pri primerih z različnimi vrstami ulomkov preidemo na navadne ulomke.
3. Zmanjšamo vse frakcije, dokler se ne ustavijo.
4. Večnivojske ulomke reduciramo na navadne z deljenjem skozi dve točki (upoštevamo vrstni red deljenja!).
5. Enoto v glavi razdelite na ulomek, tako da ulomek preprosto obrnete.
Tukaj so naloge, ki jih morate zagotovo opraviti. Odgovori so podani po vseh nalogah. Uporabite materiale o tej temi in praktične nasvete. Oceni, koliko primerov si uspel pravilno rešiti. Prvič! Brez kalkulatorja! In naredite prave zaključke ...
Ne pozabite - pravilen odgovor je prejeto od drugič (zlasti tretjič) čas ne šteje! Tako je surovo življenje.
Torej, rešiti v izpitnem načinu ! Mimogrede, to je že priprava na enotni državni izpit. Primer rešimo, preverimo, rešimo naslednjega. Odločili smo se za vse - ponovno preverili od prvega do zadnjega. Ampak le Potem poglej odgovore.
Izračunaj:
Ste se odločili?
Iščemo odgovore, ki ustrezajo vašim. Namenoma sem jih zapisal neurejeno, tako rekoč stran od skušnjave ... Tukaj so, odgovori, zapisani s podpičjem.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Zdaj delamo zaključke. Če je vse uspelo, sem vesel zate! Osnovni izračuni z ulomki niso vaš problem! Lahko počnete bolj resne stvari. Če ne...
Torej imate eno od dveh težav. Ali oboje hkrati.) Pomanjkanje znanja in (ali) nepazljivost. Ampak to rešljiv Težave.
Če vam je všeč ta stran ...
Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)
Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.
