மாடுலஸ் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகள். மாடுலோ சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது: அடிப்படை விதிகள்

இந்த ஆன்லைன் கணித கால்குலேட்டர் உங்களுக்கு உதவும் ஒரு சமன்பாடு அல்லது சமத்துவமின்மையை மாடுலி மூலம் தீர்க்கவும். இதற்கான திட்டம்சமன்பாடுகள் மற்றும் சமத்துவமின்மைகளை மாடுலி மூலம் தீர்க்கிறது பிரச்சனைக்கான பதிலை மட்டும் கொடுக்கவில்லை, அது வழிநடத்துகிறதுவிளக்கங்களுடன் விரிவான தீர்வு

, அதாவது முடிவைப் பெறுவதற்கான செயல்முறையைக் காட்டுகிறது.

பொதுக் கல்விப் பள்ளிகளில் உள்ள உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கு, சோதனைகள் மற்றும் தேர்வுகளுக்குத் தயாராகும் போது, ​​ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கு முன் அறிவைப் பரிசோதிக்கும் போது, ​​கணிதம் மற்றும் இயற்கணிதத்தில் உள்ள பல சிக்கல்களின் தீர்வைக் கட்டுப்படுத்த பெற்றோருக்கு இந்தத் திட்டம் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

இந்த வழியில், நீங்கள் உங்கள் சொந்த பயிற்சி மற்றும்/அல்லது உங்கள் இளைய சகோதரர்கள் அல்லது சகோதரிகளின் பயிற்சியை நடத்தலாம், அதே நேரத்தில் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் துறையில் கல்வியின் நிலை அதிகரிக்கிறது.

மாடுலியுடன் ஒரு சமன்பாடு அல்லது சமத்துவமின்மையை உள்ளிடவும்
x^2 + 2|x-1| -6 = 0
ஒரு சமன்பாடு அல்லது சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்

உங்கள் உலாவியில் JavaScript முடக்கப்பட்டுள்ளது.
தீர்வு தோன்றுவதற்கு, நீங்கள் JavaScript ஐ இயக்க வேண்டும்.
உங்கள் உலாவியில் ஜாவாஸ்கிரிப்டை எவ்வாறு இயக்குவது என்பதற்கான வழிமுறைகள் இங்கே உள்ளன. ஏனெனில் பிரச்சனையை தீர்க்க நிறைய பேர் தயாராக உள்ளனர், உங்கள் கோரிக்கை வரிசையாக உள்ளது.

சில நொடிகளில் தீர்வு கீழே தோன்றும். தயவுசெய்து காத்திருக்கவும்நொடி...
நீங்கள் என்றால் தீர்வில் பிழை இருப்பதை கவனித்தேன், பிறகு இதைப் பற்றி பின்னூட்டப் படிவத்தில் எழுதலாம். மறக்காதே.

எந்த பணியைக் குறிக்கவும்

நீங்கள் என்ன முடிவு செய்யுங்கள்

துறைகளில் நுழையுங்கள்

எங்கள் விளையாட்டுகள், புதிர்கள், முன்மாதிரிகள்:

சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது \(|2x+7|

ஆனால் சமன்பாடுகள் மற்றும் சமத்துவமின்மைகளை மாடுலியுடன் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய வழி "வரையறையின் மூலம் மாடுலஸின் வெளிப்பாடு" என்று அழைக்கப்படுவதோடு தொடர்புடையது:
\(a \geq 0 \) என்றால் \(|a|=a \);
\(ஒரு விதியாக, மாடுலியுடன் கூடிய ஒரு சமன்பாடு (சமத்துவமின்மை) மாடுலஸ் அடையாளத்தைக் கொண்டிருக்காத சமன்பாடுகளின் (சமத்துவமின்மை) தொகுப்பாகக் குறைக்கப்பட்டால்.

மேலே உள்ள வரையறைக்கு கூடுதலாக, பின்வரும் அறிக்கைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:
1) \(c > 0\) எனில், \(|f(x)|=c \) சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்குச் சமம்: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.
2) \(c > 0 \), சமத்துவமின்மை \(|f(x)| 3) \(c \geq 0 \) எனில், சமத்துவமின்மை \(|f(x)| > c \) ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தொகுப்பிற்கு சமமானது: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) சமத்துவமின்மையின் இருபுறமும் \(f(x) எடுத்துக்காட்டு 1. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

\(x-1 \geq 0\) எனில், \(|x-1| = x-1\) மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
என்றால் \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு சுட்டிக்காட்டப்பட்ட இரண்டு நிகழ்வுகளில் ஒவ்வொன்றிலும் தனித்தனியாகக் கருதப்பட வேண்டும்.
1) விடு \(x-1 \geq 0 \), அதாவது. \(x\geq 1\). சமன்பாட்டிலிருந்து \(x^2 +2x -8 = 0\) \(x_1=2, \; x_2=-4\) ஐக் காணலாம்.
\(x \geq 1 \) நிபந்தனை \(x_1=2\) மதிப்பால் மட்டுமே திருப்தி அடையும்.

2) \(x-1 விடை: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

எடுத்துக்காட்டு 2. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).முதல் வழி
(வரையறையின்படி தொகுதி விரிவாக்கம்).

உதாரணம் 1 இல் உள்ளதைப் போல, இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு தனித்தனியாகக் கருதப்பட வேண்டும் என்ற முடிவுக்கு வருகிறோம்: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) அல்லது \(x^2-6x+7
1) \(x^2-6x+7 \geq 0 \), பின்னர் \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(x வடிவத்தை எடுக்கும் ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்த்த பிறகு, நாம் பெறுவது: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
\(x_1=6\) மதிப்பு \(x^2-6x+7 \geq 0\) நிபந்தனையை பூர்த்திசெய்கிறதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, சுட்டிக்காட்டப்பட்ட மதிப்பை இருபடி சமத்துவமின்மையில் மாற்றவும். நாம் பெறுவது: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), அதாவது. \(7 \geq 0 \) ஒரு உண்மையான சமத்துவமின்மை.

2) \(x^2-6x+7 மதிப்பு \(x_3=3\) நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்தால் \(x^2-6x+7 மதிப்பு \(x_4=\frac(4)(3) \) பூர்த்தி செய்யவில்லை நிபந்தனை \ (x^2-6x+7 எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது: \(x=6, \; x=3 \).

இரண்டாவது வழி.சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டால் \(|f(x)| = h(x) \), பின்னர் \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\வலது \)
இந்த இரண்டு சமன்பாடுகளும் மேலே தீர்க்கப்பட்டன (கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் முதல் முறையைப் பயன்படுத்தி), அவற்றின் வேர்கள் பின்வருமாறு: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). இந்த நான்கு மதிப்புகளின் நிபந்தனை \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) இரண்டால் மட்டுமே பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது: 6 மற்றும் 3. கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது: \(x=6 , \; x=3 \ ).

மூன்றாவது வழி(கிராஃபிக்).
1) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் \(y = |x^2-6x+7| \). முதலில், ஒரு பரவளையத்தை உருவாக்குவோம் \(y = x^2-6x+7\).
எங்களிடம் \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). செயல்பாட்டின் வரைபடம் \(y = (x-3)^2-2\) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திலிருந்து \(y = x^2 \) 3 அளவு அலகுகளால் வலதுபுறமாக (உடன்) மாற்றுவதன் மூலம் பெறலாம் x-அச்சு) மற்றும் 2 அளவு அலகுகள் கீழே (y- அச்சில்).
நேர்கோடு x=3 என்பது நாம் விரும்பும் பரவளையத்தின் அச்சாகும். மிகவும் துல்லியமான சதித்திட்டத்திற்கான கட்டுப்பாட்டுப் புள்ளிகளாக, பரவளையத்தின் உச்சி (0; 7) மற்றும் புள்ளி (6; 7) மற்றும் பரவளையத்தின் அச்சுக்கு சமச்சீர் புள்ளி (3; -2) ஆகியவற்றை எடுத்துக்கொள்வது வசதியானது. .

இப்போது செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்க \(y = |x^2-6x+7| \), x-அச்சுக்கு கீழே இல்லாத கட்டப்பட்ட பரவளையத்தின் பகுதிகளை மாற்றாமல் விட்டு, அந்த பகுதியை பிரதிபலிக்க வேண்டும். x அச்சுடன் தொடர்புடைய x அச்சுக்குக் கீழே இருக்கும் பரவளையம்.

2) நேரியல் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் \(y = \frac(5x-9)(3)\). புள்ளிகள் (0; –3) மற்றும் (3; 2) கட்டுப்பாட்டு புள்ளிகளாக எடுத்துக்கொள்வது வசதியானது. abscissa அச்சுடன் நேர்கோட்டின் குறுக்குவெட்டின் புள்ளி x = 1.8 என்பது abscissa அச்சுடன் பரவளையத்தின் இடது வெட்டுப் புள்ளியின் வலதுபுறத்தில் அமைந்துள்ளது - இது புள்ளி \(x=3-\ sqrt(2) \) (\(3-\sqrt(2 ) 3) வரைதல் மூலம் ஆராயும்போது, ​​வரைபடங்கள் இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன - A(3; 2) மற்றும் B(6; 7) கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் x = 3 மற்றும் x = 6 புள்ளிகள், இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் சரியான எண் சமத்துவம் பெறப்படுகிறது என்று நாங்கள் நம்புகிறோம் - இதன் பொருள் எங்கள் கருதுகோள் உறுதிப்படுத்தப்பட்டது - சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது x = 6. பதில்: 3;

கருத்து

எடுத்துக்காட்டு 2. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
. வரைகலை முறை, அதன் அனைத்து நேர்த்தியுடன், மிகவும் நம்பகமானதாக இல்லை. கருதப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், சமன்பாட்டின் வேர்கள் முழு எண்களாக இருப்பதால் மட்டுமே அது வேலை செய்தது.

முதல் இடைவெளியைக் கவனியுங்கள்: \((-\infty; \; -3) \).
x என்றால் இரண்டாவது இடைவெளியைக் கவனியுங்கள்: \([-3; \; 2) \).
\(-3 \leq x மூன்றாவது இடைவெளியைக் கவனியுங்கள்: \(. இப்போது x>2.5க்கான உள் தொகுதியை விரிவுபடுத்துகிறோம். ஒரு தொகுதியுடன் ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
தொகுதியை விரிவுபடுத்தும்போது, ​​​​பின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்
-2x+6=x+3 அல்லது 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 அல்லது 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 அல்லது x=9 .
முதல் மதிப்பு x=1 நிபந்தனை x>2.5 ஐ பூர்த்தி செய்யவில்லை.
எனவே இந்த இடைவெளியில் சமன்பாட்டின் ஒரு ரூட் மாடுலஸ் x=9, மற்றும் மொத்தம் இரண்டு உள்ளன (x=1/3 மாற்றீடு மூலம் நீங்கள் கணக்கீடுகளின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்கலாம்).

பதில்: x=1/3; x=9. எடுத்துக்காட்டு 4.
இரட்டை தொகுதிக்கான தீர்வுகளைக் கண்டறியவும் ||3x-1|-5|=2x-3.
தீர்வு: சமன்பாட்டின் உள் தொகுதியை விரிவாக்குவோம் <=>|3x-1|=0
x=1/3.
புள்ளி x=2.5 எண் கோட்டை இரண்டு இடைவெளிகளாகவும் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை இரண்டு நிகழ்வுகளாகவும் பிரிக்கிறது. வலது பக்கத்தில் உள்ள சமன்பாட்டின் வடிவத்தின் அடிப்படையில் தீர்வுக்கான நிபந்தனையை நாங்கள் எழுதுகிறோம் 2x-3>=0
-> x>=3/2=1.5. மதிப்புகள் >=1.5 இல் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம். இவ்வாறுமட்டு சமன்பாடு
,
இரண்டு இடைவெளிகளில் கருதுங்கள்
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
இதன் விளைவாக வரும் தொகுதி, விரிவாக்கப்படும் போது, ​​2 சமன்பாடுகளாக பிரிக்கப்படுகிறது
-3x-4=2x-3 அல்லது 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 அல்லது 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 அல்லது x=-7 .
இரண்டு மதிப்புகளும் இடைவெளியில் வராது, அதாவது, அவை மாடுலி சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் அல்ல. அடுத்து, x>2.5க்கான தொகுதியை விரிவாக்குவோம். பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்
|3x-1-5|=2x-3;.
|3x-6|=2x-3
தொகுதி விரிவாக்கம், நாம் 2 நேரியல் சமன்பாடுகள் கிடைக்கும் 3x-6=2x-3 அல்லது
–(3x-6)=2x-3; 3x-2x=-3+6
அல்லது 2x+3x=6+3;
x=3 அல்லது 5x=9; x=9/5=1.8.
கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இரண்டாவது மதிப்பு நிபந்தனை x>2.5 உடன் பொருந்தவில்லை, நாங்கள் அதை நிராகரிக்கிறோம்.
இறுதியாக சமன்பாட்டின் ஒரு ரூட் மாடுலி x=3 உடன் உள்ளது.
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3 .
ஒரு காசோலை நடத்துதல்
எனவே இந்த இடைவெளியில் சமன்பாட்டின் ஒரு ரூட் மாடுலஸ் x=9, மற்றும் மொத்தம் இரண்டு உள்ளன (x=1/3 மாற்றீடு மூலம் நீங்கள் கணக்கீடுகளின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்கலாம்).

மாடுலஸுடன் சமன்பாட்டின் வேர் சரியாக கணக்கிடப்பட்டது.

டோசில்கினா யூலியா

ஒரு மாடுலஸுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பல்வேறு முறைகளை வேலை வழங்குகிறது.

பதிவிறக்கம்:

முன்னோட்டம்:

நகராட்சி பட்ஜெட் கல்வி நிறுவனம்

"இரண்டாம் நிலை பள்ளி எண். 59"

மாடுலஸ் கொண்ட சமன்பாடுகள்

சுருக்க வேலை முடிக்கப்பட்டது

9ஏ வகுப்பு மாணவர்

MBOU "இரண்டாம் நிலை பள்ளி எண். 59" பர்னால்

டோசில்கினா யூலியா

மேற்பார்வையாளர்

ஜகரோவா லியுட்மிலா விளாடிமிரோவ்னா,

9ஏ வகுப்பு மாணவர்

கணித ஆசிரியர்

பர்னால் 2015

நான் ஒன்பதாம் வகுப்பு படிக்கிறேன். இந்த கல்வியாண்டில் அடிப்படைப் பள்ளிப் படிப்பிற்கான இறுதிச் சான்றிதழ் எடுக்க வேண்டும். தேர்வுக்குத் தயாராவதற்கு, டி.ஏ. மால்ட்சேவ் கணிதத்தின் தொகுப்பை வாங்கினோம். 9 ஆம் வகுப்பு. சேகரிப்பைப் பார்க்கும்போது, ​​​​ஒன்று மட்டுமல்ல, பல தொகுதிக்கூறுகளையும் கொண்ட சமன்பாடுகளைக் கண்டுபிடித்தேன். அத்தகைய சமன்பாடுகள் "உள்ளமை தொகுதி" சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்று ஆசிரியர் எனக்கும் எனது வகுப்பு தோழர்களுக்கும் விளக்கினார். இந்த பெயர் எங்களுக்கு அசாதாரணமாகத் தோன்றியது, முதல் பார்வையில் தீர்வு மிகவும் சிக்கலானது. எனது பணிக்கான தலைப்பு “மாடுலஸுடன் சமன்பாடுகள்” இப்படித்தான் தோன்றியது. இந்த தலைப்பை இன்னும் ஆழமாகப் படிக்க முடிவு செய்தேன், குறிப்பாக பள்ளி ஆண்டின் இறுதியில் தேர்வுகள் எடுக்கும்போது இது எனக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்பதால், இது 10 மற்றும் 11 ஆம் வகுப்புகளில் தேவைப்படும் என்று நினைக்கிறேன். மேலே உள்ள அனைத்தும் நான் தேர்ந்தெடுத்த தலைப்பின் பொருத்தத்தை தீர்மானிக்கிறது.

வேலையின் நோக்கம்:

1. மாடுலஸுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பல்வேறு முறைகளைக் கவனியுங்கள்.
2. பல்வேறு முறைகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு முழுமையான மதிப்பு அடையாளத்தைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள்

தலைப்பில் பணிபுரிய, பின்வரும் பணிகள் உருவாக்கப்பட்டன:

பணிகள்:

1. "உண்மையான எண்ணின் மாடுலஸ்" என்ற தலைப்பில் கோட்பாட்டுப் பொருளைப் படிக்கவும்.
2. சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைக் கருத்தில் கொண்டு, சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் மூலம் பெற்ற அறிவை ஒருங்கிணைக்கவும்.
3. உயர்நிலைப் பள்ளியில் மாடுலஸ் அடையாளத்தைக் கொண்ட பல்வேறு சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது பெற்ற அறிவைப் பயன்படுத்தவும்

ஆய்வு பொருள்:மாடுலஸ் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

ஆய்வுப் பொருள்:மாடுலஸ் கொண்ட சமன்பாடுகள்

ஆராய்ச்சி முறைகள்:

தத்துவார்த்தமானது : ஆராய்ச்சி தலைப்பில் இலக்கிய ஆய்வு;

இணையம் - தகவல்.

பகுப்பாய்வு இலக்கியங்களைப் படிப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட தகவல்கள்; பல்வேறு வழிகளில் மாடுலஸுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட முடிவுகள்.

ஒப்பீடு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் பல்வேறு சமன்பாடுகளை ஒரு மாடுலஸுடன் தீர்க்கும் போது அவற்றின் பயன்பாட்டின் பகுத்தறிவின் பொருளாகும்.

"நாம் எதையாவது அடிக்கும்போது சிந்திக்க ஆரம்பிக்கிறோம்." பால் வலேரி.

1. கருத்துக்கள் மற்றும் வரையறைகள்.

"தொகுதி" என்ற கருத்து பள்ளிக் கணிதப் பாடத்தின் பல பிரிவுகளில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, தோராயமான எண்ணின் முழுமையான மற்றும் தொடர்புடைய பிழைகளைப் படிப்பதில்; வடிவியல் மற்றும் இயற்பியலில் ஒரு திசையன் மற்றும் அதன் நீளம் (வெக்டர் மாடுலஸ்) பற்றிய கருத்துக்கள் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன. உயர் கல்வி நிறுவனங்களில் படித்த உயர் கணிதம், இயற்பியல் மற்றும் தொழில்நுட்ப அறிவியல் படிப்புகளில் தொகுதியின் கருத்துக்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

"தொகுதி" என்ற சொல் லத்தீன் வார்த்தையான "மாடுலஸ்" என்பதிலிருந்து வந்தது, அதாவது "அளவீடு". இந்த வார்த்தைக்கு பல அர்த்தங்கள் உள்ளன, மேலும் இது கணிதம், இயற்பியல் மற்றும் தொழில்நுட்பத்தில் மட்டுமல்ல, கட்டிடக்கலை, நிரலாக்க மற்றும் பிற துல்லியமான அறிவியல்களிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

நியூட்டனின் மாணவரான கோட்ஸால் இந்த வார்த்தை முன்மொழியப்பட்டது என்று நம்பப்படுகிறது. மாடுலஸ் அடையாளம் 19 ஆம் நூற்றாண்டில் வீர்ஸ்ட்ராஸால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.

கட்டிடக்கலையில், ஒரு தொகுதி என்பது கொடுக்கப்பட்ட கட்டடக்கலை கட்டமைப்பிற்காக நிறுவப்பட்ட அளவீட்டின் ஆரம்ப அலகு ஆகும்.

தொழில்நுட்பத்தில், இது தொழில்நுட்பத்தின் பல்வேறு துறைகளில் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு சொல், பல்வேறு குணகங்கள் மற்றும் அளவுகளைக் குறிக்கப் பயன்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, மீள் மாடுலஸ், நிச்சயதார்த்த மாடுலஸ்...

கணிதத்தில், மாடுலஸ் பல அர்த்தங்களைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் நான் அதை ஒரு எண்ணின் முழுமையான மதிப்பாகக் கருதுகிறேன்.

வரையறை1: ஒரு உண்மையான எண்ணின் மாடுலஸ் (முழுமையான மதிப்பு).ஏ இந்த எண்ணே என்றால் அழைக்கப்படுகிறதுஏ ≥0, அல்லது எதிர் எண் -மற்றும் என்றால் ஏ பூஜ்ஜியத்தின் மாடுலஸ் பூஜ்ஜியமாகும்.

ஒரு மாடுலஸுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது, ​​மாடுலஸின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது.

5,6,7 ஆகிய பண்புகளின் சான்றுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

அறிக்கை 5. சமத்துவம் │ a+b │=│ a │+│ b │ என்றால் உண்மை av ≥ 0.

ஆதாரம். உண்மையில், இந்த சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் பிரித்த பிறகு, நாம் │ பெறுகிறோம் a+b │²=│ a │²+2│ ab │+│ c │²,

a²+ 2 ab+b²=a²+ 2│ ab │+ b², எங்கிருந்து │ ab │= ab

கடைசி சமத்துவம் எப்போது உண்மையாக இருக்கும் av ≥0.

அறிக்கை 6. சமத்துவம் │ a-c │=│ a │+│ c │ எப்போது என்பது உண்மை av ≤0.

ஆதாரம். அதை நிரூபிக்க, சமத்துவத்தில் இது போதுமானது

│ а+в │=│ а │+│ в │ в ஐ - வில் மாற்றவும், பின்னர் а· (- в ) ≥0, எங்கிருந்து ав ≤0.

அறிக்கை 7. சமத்துவம் │ a │+│ b │= a+b இல் நிகழ்த்தப்பட்டது a ≥0 மற்றும் b ≥0.

ஆதாரம் . நான்கு வழக்குகளை பரிசீலித்தேன் a ≥0 மற்றும் b ≥0; a ≥0 மற்றும் c ஏ ≥0 இல்; ஏ வி a ≥0 மற்றும் b ≥0.

(a-c) ≥0 இல்.

வடிவியல் விளக்கம்

|அ| ஆயத்துடனான புள்ளியிலிருந்து ஆயக் கோட்டில் உள்ள தூரம்ஏ , தோற்றத்திற்கு.

|-a| |அ|

A 0 a x

|a| என்பதன் பொருளின் வடிவியல் விளக்கம் தெளிவாக உறுதிப்படுத்துகிறது |-a|=|a|

ஒரு என்றால் 0, பின்னர் ஆயக் கோட்டில் இரண்டு புள்ளிகள் உள்ளன a மற்றும் –a, பூஜ்ஜியத்திலிருந்து சம தொலைவில், அதன் தொகுதிகள் சமமாக இருக்கும்.

a=0 எனில், ஆயக் கோட்டில் |a| புள்ளி 0 ஆல் குறிப்பிடப்படுகிறது.

வரையறை 2: ஒரு மாடுலஸ் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு என்பது முழுமையான மதிப்பு குறியின் கீழ் (மாடுலஸ் குறியின் கீழ்) மாறியைக் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும். உதாரணமாக: |x +3|=1

வரையறை 3: சமன்பாட்டை தீர்ப்பது என்பது அதன் அனைத்து வேர்களையும் கண்டுபிடிப்பது அல்லது வேர்கள் இல்லை என்பதை நிரூபிப்பது.

2. தீர்வு முறைகள்

ஒரு தொகுதியின் வரையறை மற்றும் பண்புகளிலிருந்து, ஒரு தொகுதியுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய முறைகள் பின்வருமாறு:

1. ஒரு தொகுதியை "விரிவாக்குதல்" (அதாவது ஒரு வரையறையைப் பயன்படுத்துதல்);
2. தொகுதியின் வடிவியல் பொருளைப் பயன்படுத்துதல் (சொத்து 2);
3. கிராஃபிக் தீர்வு முறை;
4. சமமான மாற்றங்களைப் பயன்படுத்துதல் (பண்புகள் 4.6);
5. ஒரு மாறியின் மாற்றீடு (இது சொத்து 5 ஐப் பயன்படுத்துகிறது).
6. இடைவெளி முறை.

நான் ஏராளமான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்த்தேன், ஆனால் இந்த வேலையில் உங்கள் கவனத்திற்கு சிலவற்றை மட்டுமே முன்வைக்கிறேன், என் கருத்துப்படி, வழக்கமான எடுத்துக்காட்டுகள், வெவ்வேறு வழிகளில் தீர்க்கப்பட்டன, ஏனென்றால் மீதமுள்ளவை ஒருவருக்கொருவர் நகலெடுக்கின்றன மற்றும் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைப் புரிந்துகொள்வதற்காக. ஒரு மாடுலஸ் அனைத்து தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளையும் கருத்தில் கொள்ள வேண்டிய அவசியமில்லை.

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் | f(x)| =அ

சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள் | f(x)| =ஏ, ஆர்

இந்த வகை சமன்பாட்டை மாடுலஸின் வரையறை மூலம் தீர்க்க முடியும்:

என்றால் ஏ பின்னர் சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

ஒரு = என்றால் 0, பின்னர் சமன்பாடு f(x)=0 க்கு சமம்.

a>0 எனில், பின்னர் சமன்பாடு தொகுப்பிற்கு சமமாக இருக்கும்

உதாரணம். சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் |3x+2|=4.

தீர்வு.

|3x+2|=4, பிறகு 3x+2=4,

3x+2= -4;

X=-2,

X=2/3

பதில்: -2;2/3.

தொகுதியின் வடிவியல் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

எடுத்துக்காட்டு 1. /x-1/+/x-3/=6 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது என்பது எண் அச்சு ஆக்ஸில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளையும் கண்டுபிடிப்பதாகும், ஒவ்வொன்றிற்கும் அதிலிருந்து புள்ளிகள் 1 மற்றும் 3 ஆயத்தொலைவுகளுடன் உள்ள தூரங்களின் கூட்டுத்தொகை 6 க்கு சமம்.

பிரிவில் இருந்து ஒரு புள்ளி கூட இல்லைஇந்த நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யவில்லை, ஏனெனில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட தூரங்களின் கூட்டுத்தொகை 2. இந்தப் பிரிவுக்கு வெளியே இரண்டு புள்ளிகள் உள்ளன: 5 மற்றும் -1.

1 1 3 5

பதில்: -1;5

எடுத்துக்காட்டு 2. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் |x 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10.

தீர்வு.

x 2 +x-5= a, பின்னர் / a /+/ a-4 ஐக் குறிப்போம் //10. ஆக்ஸ் அச்சில் புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம், அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் 0 மற்றும் 4 ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்ட புள்ளிகளுக்கான தூரத்தின் கூட்டுத்தொகை 10 க்கு சமமாக இருக்கும். இந்த நிபந்தனை -4 மற்றும் 7 ஆல் திருப்திப்படுத்தப்படுகிறது.

3 0 4 7

எனவே x 2 +x-5= 4 x 2 +x-5=7

X 2 +x-2=0 x 2 +x-12=0

X 1= 1, x 2= -2 x 1= -4, x 2= 3 பதில்: -4;-2; 1; 3.

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் | f(x)| = | g(x)|.

1. முதல் | a |=|in |, என்றால் a= in, பின்னர் வடிவத்தின் சமன்பாடு | f(x)| = | g(x )| மொத்தத்திற்கு சமம்

எடுத்துக்காட்டு 1.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் | x –2| = |3 – x |.

தீர்வு.

இந்த சமன்பாடு இரண்டு சமன்பாடுகளுக்கு சமம்:

x – 2 = 3 – x (1) மற்றும் x – 2 = –3 + x (2)

2 x = 5 –2 = –3 – தவறானது

எக்ஸ் = 2.5 சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை.

பதில்: 2.5.

எடுத்துக்காட்டு 2.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் |x 2 +3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.

தீர்வு.

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் எதிர்மறையானவை அல்ல என்பதால்சதுரம் என்பது ஒரு சமமான மாற்றம்:

(x 2 +3x-20) 2 = (x 2 -3x+2) 2

(x 2 +3x-20) 2 - (x 2 -3x+2) 2 =0,

(x 2 +3x-20-x 2 +3x-2) (x 2 +3x-20+x 2 -3x+2)=0,

(6x-22)(2x 2 -18)=0,

6x-22=0 அல்லது 2x 2 -18=0;

X=22/6, x=3, x=-3.

X=11/3

பதில்: -3; 3; 11/3.

பார்வையின் சமன்பாடுகளின் தீர்வு | f(x)| = g(x).

இந்த சமன்பாடுகளுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு மற்றும்| f(x)| = அ வலது பக்கமும் ஒரு மாறி என்பது உண்மை. மேலும் இது நேர்மறையாகவும் எதிர்மறையாகவும் இருக்கலாம். எனவே, இது எதிர்மறையானது அல்ல என்பதை நீங்கள் குறிப்பாக உறுதி செய்ய வேண்டும், ஏனெனில் மாடுலஸ் எதிர்மறை எண்ணுக்கு சமமாக இருக்க முடியாது (சொத்து№1 )

1 வழி

சமன்பாட்டின் தீர்வு | f(x)| = g(x ) சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பாக குறைக்கிறதுமற்றும் சமத்துவமின்மையின் நியாயத்தை சரிபார்க்கிறது g(x )> தெரியாதவற்றின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு 0.

முறை 2 (தொகுதி வரையறை மூலம்)

முதல் | f(x)| = g(x) என்றால் f(x) = 0; | f(x)| = - f(x) என்றால் f(x)

உதாரணம்.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் |3 x –10| = x – 2.

தீர்வு.

இந்த சமன்பாடு இரண்டு அமைப்புகளின் கலவைக்கு சமம்:

பதில்: 3; 4.

படிவத்தின் சமன்பாடுகளின் தீர்வு |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)

இந்த வகை சமன்பாடுகளின் தீர்வு மாடுலஸின் வரையறையின் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது. ஒவ்வொரு செயல்பாட்டிற்கும் f 1 (x), f 2 (x), ..., f n (x) வரையறையின் டொமைன், அதன் பூஜ்ஜியங்கள் மற்றும் இடைநிறுத்தப் புள்ளிகளைக் கண்டறிவது அவசியம், வரையறையின் பொதுவான டொமைனை இடைவெளிகளாகப் பிரித்து, ஒவ்வொன்றிலும் f செயல்பாடுகள் 1 (x), f 2 (x), ..., f n (x) அவர்களின் அடையாளத்தைத் தக்க வைத்துக் கொள்ளுங்கள். அடுத்து, தொகுதியின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு பகுதிக்கும் இந்த இடைவெளியில் தீர்க்கப்பட வேண்டிய சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். இந்த முறை அழைக்கப்படுகிறது "இடைவெளி முறை»

உதாரணம்.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் |x-2|-3|x+4|=1.

தீர்வு.

சப்மாடுலர் வெளிப்பாடுகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்

x-2=0, x+4=0,

x=2; x=-4.

எண் கோட்டை x இடைவெளிகளாகப் பிரிப்போம்

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது மூன்று அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கு கீழே வருகிறது:

பதில்: -15, -1.8.

சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வரைகலை முறைதொகுதி அடையாளம்.

சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வரைகலை முறை தோராயமானது, ஏனெனில் துல்லியமானது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அலகுப் பிரிவு, பென்சிலின் தடிமன், கோடுகள் வெட்டும் கோணங்கள் போன்றவற்றைப் பொறுத்தது. ஆனால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் எத்தனை தீர்வுகள் உள்ளன என்பதை மதிப்பிடுவதற்கு இந்த முறை உங்களை அனுமதிக்கிறது.

உதாரணம். |x - 2| சமன்பாட்டை வரைபடமாகத் தீர்க்கவும் + |x - 3| + |2x - 8| = 9

தீர்வு. ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம்

y=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| மற்றும் y=9.

ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்க, ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் இந்த செயல்பாட்டை கருத்தில் கொள்ள வேண்டும் (-∞; 2);

[ 3/2 ; ∞)

பதில்: (- ∞ ; 4/3] [ 3/2 ; ∞ ) f(x)| = | g(x)|.

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது சமமான உருமாற்ற முறையையும் பயன்படுத்தினோம்

ஒரு சிக்கலான தொகுதி கொண்ட சமன்பாடுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1.

மற்றொரு வகை சமன்பாடுகள் ஒரு "சிக்கலான" மாடுலஸ் கொண்ட சமன்பாடுகள் ஆகும். இத்தகைய சமன்பாடுகளில் "ஒரு தொகுதிக்குள் தொகுதிகள்" இருக்கும் சமன்பாடுகள் அடங்கும். இந்த வகை சமன்பாடுகள் பல்வேறு முறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படலாம்.

தீர்வு.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.

ஒரு தொகுதியின் வரையறையின்படி, எங்களிடம் உள்ளது:

1. முதல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

||| x |–2| –1| = 4

| x | – 2 = 5;

| x | = 7;

x = 7.

1. இரண்டாவது சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

||| x | –2| –1| = 0,

|| x | –2| = 1,

| x | –2 = 1,

| x | = 3 மற்றும் | x | = 1,

x = 3; x = 1.

எடுத்துக்காட்டு 2.

பதில்: 1; 3; 7.

தீர்வு.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் |2 – |x + 1|| = 3.

ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்தி சமன்பாட்டை தீர்க்கலாம்.

விடு | x + 1| = y, பிறகு |2 – y | = 3, இங்கிருந்து

(1) | x + 1| = –1 – தீர்வுகள் இல்லை.

(2) | x + 1| = 5

பதில்: –6; 4.

உதாரணம்3.

சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன | 2 | x | -6 | = 5 - x?

தீர்வு. சமன்பாடு திட்டங்களைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

சமன்பாடு | 2 | x | -6 | = 5 அமைப்புக்கு சமம்: