9 Kreuzprodukt von Vektoren. Vektorprodukt. Das Konzept des Kreuzprodukts von Vektoren und die Formel zum Finden

Winkel zwischen Vektoren

Damit wir das Konzept eines Kreuzprodukts zweier Vektoren einführen können, müssen wir uns zunächst mit einem solchen Konzept wie dem Winkel zwischen diesen Vektoren befassen.

Gegeben seien zwei Vektoren $\overline(α)$ und $\overline(β)$. Nehmen wir einen Punkt $O$ im Raum und legen daraus die Vektoren $\overline(α)=\overline(OA)$ und $\overline(β)=\overline(OB)$ beiseite, dann den Winkel $AOB $ wird Winkel zwischen diesen Vektoren genannt (Abb. 1).

Notation: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Das Konzept des Kreuzprodukts von Vektoren und die Formel zum Finden

Definition 1

Das Vektorprodukt zweier Vektoren ist ein Vektor senkrecht zu beiden gegebenen Vektoren, und seine Länge ist gleich dem Produkt der Längen dieser Vektoren mit dem Sinus des Winkels zwischen diesen Vektoren, und dieser Vektor hat mit zwei Anfangsvektoren dasselbe Orientierung als kartesisches Koordinatensystem.

Notation: $\overline(α)х\overline(β)$.

Mathematisch sieht es so aus:

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ und $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ sind gleich ausgerichtet (Abb. 2)

Offensichtlich ist das äußere Produkt der Vektoren in zwei Fällen gleich dem Nullvektor:

1. Wenn die Länge eines oder beider Vektoren Null ist.
2. Wenn der Winkel zwischen diesen Vektoren gleich $180^\circ$ oder $0^\circ$ ist (weil in diesem Fall der Sinus gleich Null ist).

Um deutlich zu sehen, wie das Kreuzprodukt von Vektoren ermittelt wird, betrachten Sie die folgenden Lösungsbeispiele.

Beispiel 1

Finden Sie die Länge des Vektors $\overline(δ)$, der das Ergebnis des Kreuzprodukts der Vektoren ist, mit den Koordinaten $\overline(α)=(0,4,0)$ und $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Lösung.

Stellen wir diese Vektoren im kartesischen Koordinatenraum dar (Abb. 3):

Abbildung 3. Vektoren im kartesischen Koordinatenraum. Author24 – Online-Austausch studentischer Arbeiten

Wir sehen, dass diese Vektoren auf den Achsen $Ox$ bzw. $Oy$ liegen. Daher beträgt der Winkel zwischen ihnen $90^\circ$. Lassen Sie uns die Längen dieser Vektoren ermitteln:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Dann erhalten wir nach Definition 1 den Modul $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Antwort: 12$.

Berechnung des Kreuzprodukts aus den Koordinaten der Vektoren

Definition 1 impliziert sofort eine Möglichkeit, das Kreuzprodukt für zwei Vektoren zu finden. Da ein Vektor neben einem Wert auch eine Richtung hat, ist es unmöglich, ihn nur mithilfe eines Skalarwerts zu finden. Darüber hinaus gibt es aber noch eine andere Möglichkeit, die uns gegebenen Vektoren anhand der Koordinaten zu finden.

Gegeben seien die Vektoren $\overline(α)$ und $\overline(β)$ mit den Koordinaten $(α_1,α_2,α_3)$ bzw. $(β_1,β_2,β_3)$. Dann kann der Vektor des Kreuzprodukts (nämlich seine Koordinaten) mit der folgenden Formel ermittelt werden:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Andernfalls erhalten wir durch Erweiterung der Determinante die folgenden Koordinaten

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Beispiel 2

Finden Sie den Vektor des Kreuzprodukts der kollinearen Vektoren $\overline(α)$ und $\overline(β)$ mit den Koordinaten $(0,3,3)$ und $(-1,2,6)$.

Lösung.

Verwenden wir die obige Formel. Erhalten

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k )=(12,-3,3)$

Antwort: $(12,-3,3)$.

Eigenschaften des Kreuzprodukts von Vektoren

Für beliebige gemischte drei Vektoren $\overline(α)$, $\overline(β)$ und $\overline(γ)$ sowie $r∈R$ gelten die folgenden Eigenschaften:

Beispiel 3

Finden Sie die Fläche eines Parallelogramms, dessen Eckpunkte die Koordinaten $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ und $(3,8,0) haben. $.

Lösung.

Zeichnen Sie zunächst dieses Parallelogramm im Koordinatenraum (Abb. 5):

Abbildung 5. Parallelogramm im Koordinatenraum. Author24 – Online-Austausch studentischer Arbeiten

Wir sehen, dass die beiden Seiten dieses Parallelogramms unter Verwendung kollinearer Vektoren mit den Koordinaten $\overline(α)=(3,0,0)$ und $\overline(β)=(0,8,0)$ konstruiert werden. Mit der vierten Eigenschaft erhalten wir:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

Finden Sie den Vektor $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Somit

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

In dieser Lektion werden wir uns zwei weitere Operationen mit Vektoren ansehen: Kreuzprodukt von Vektoren Und gemischtes Produkt von Vektoren (sofortiger Link für diejenigen, die ihn brauchen). Es ist in Ordnung, es kommt manchmal vor, dass das vollkommene Glück zusätzlich dazu führt Skalarprodukt von Vektoren, es wird immer mehr benötigt. Das ist Vektorsucht. Man könnte den Eindruck gewinnen, dass wir uns in den Dschungel der analytischen Geometrie begeben. Das ist nicht so. In diesem Abschnitt der höheren Mathematik gibt es im Allgemeinen wenig Brennholz, außer vielleicht genug für Pinocchio. Tatsächlich ist das Material sehr gewöhnlich und einfach – kaum schwieriger als dasselbe Skalarprodukt, auch wenn es weniger typische Aufgaben geben wird. Das Wichtigste in der analytischen Geometrie ist, wie viele sehen werden oder bereits gesehen haben, BERECHNUNGEN NICHT ZU VERFEHLEN. Wiederholen Sie es wie einen Zauberspruch, und Sie werden glücklich sein =)

Wenn die Vektoren irgendwo in der Ferne funkeln, wie ein Blitz am Horizont, ist das egal, beginnen Sie mit der Lektion Vektoren für Dummies Grundkenntnisse über Vektoren wiederherzustellen oder wiederzuerlangen. Besser vorbereitete Leser können sich selektiv mit den Informationen vertraut machen. Ich habe versucht, eine möglichst vollständige Sammlung von Beispielen zusammenzustellen, die häufig in der praktischen Arbeit zu finden sind

Was wird dich glücklich machen? Als ich klein war, konnte ich zwei und sogar drei Bälle jonglieren. Es hat gut geklappt. Jetzt besteht überhaupt kein Grund mehr zu jonglieren, da wir darüber nachdenken nur Raumvektoren, und flache Vektoren mit zwei Koordinaten werden weggelassen. Warum? So entstanden diese Aktionen – der Vektor und das gemischte Produkt von Vektoren werden definiert und funktionieren im dreidimensionalen Raum. Schon einfacher!

Bei dieser Operation gilt auf die gleiche Weise wie beim Skalarprodukt: zwei Vektoren. Lass es unvergängliche Buchstaben sein.

Die Aktion selbst bezeichnet auf die folgende Weise: . Es gibt auch andere Möglichkeiten, aber ich bin es gewohnt, das Kreuzprodukt von Vektoren auf diese Weise zu bezeichnen, in eckigen Klammern mit einem Kreuz.

Und zwar sofort Frage: wenn in Skalarprodukt von Vektoren Es handelt sich um zwei Vektoren, und hier werden dann auch zwei Vektoren multipliziert Was ist der Unterschied? Ein klarer Unterschied zunächst einmal im ERGEBNIS:

Das Ergebnis des Skalarprodukts von Vektoren ist eine ZAHL:

Das Ergebnis des Kreuzprodukts von Vektoren ist ein VEKTOR: , das heißt, wir multiplizieren die Vektoren und erhalten wieder einen Vektor. Geschlossener Club. Daher auch der Name der Operation. In der verschiedenen pädagogischen Literatur können die Bezeichnungen auch variieren, ich verwende den Buchstaben .

Definition von Kreuzprodukt

Zuerst erfolgt eine Definition mit Bild, dann Kommentare.

Definition: Kreuzprodukt nichtkollinear Vektoren, in dieser Reihenfolge aufgenommen, heißt VECTOR, Länge was numerisch ist gleich der Fläche des Parallelogramms, auf diesen Vektoren aufgebaut; Vektor orthogonal zu Vektoren und ist so gerichtet, dass die Basis eine richtige Ausrichtung hat:

Wir analysieren die Definition anhand von Knochen, es gibt viele interessante Dinge!

Daher können wir die folgenden wichtigen Punkte hervorheben:

1) Quellvektoren, per Definition durch rote Pfeile gekennzeichnet nicht kollinear. Es ist angebracht, den Fall kollinearer Vektoren etwas später zu betrachten.

2) Vektoren aufgenommen in einer strengen Reihenfolge: – „a“ wird mit „be“ multipliziert, nicht „sein“ zu „a“. Das Ergebnis der Vektormultiplikation ist VECTOR , was blau markiert ist. Wenn die Vektoren in umgekehrter Reihenfolge multipliziert werden, erhalten wir einen Vektor gleicher Länge und entgegengesetzter Richtung (purpurrote Farbe). Das heißt, die Gleichheit .

3) Machen wir uns nun mit der geometrischen Bedeutung des Vektorprodukts vertraut. Das ist ein sehr wichtiger Punkt! Die LÄNGE des blauen Vektors (und damit des purpurroten Vektors) ist numerisch gleich der FLÄCHE des aus den Vektoren aufgebauten Parallelogramms. In der Abbildung ist dieses Parallelogramm schwarz schattiert.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch und natürlich ist die Nennlänge des Kreuzprodukts nicht gleich der Fläche des Parallelogramms.

Wir erinnern uns an eine der geometrischen Formeln: Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt benachbarter Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen. Daher ist auf der Grundlage des Vorstehenden die Formel zur Berechnung der LÄNGE eines Vektorprodukts gültig:

Ich betone, dass es in der Formel um die LÄNGE des Vektors geht und nicht um den Vektor selbst. Was ist die praktische Bedeutung? Und die Bedeutung ist so, dass bei Problemen der analytischen Geometrie die Fläche eines Parallelogramms oft durch das Konzept eines Vektorprodukts ermittelt wird:

Wir erhalten die zweite wichtige Formel. Die Diagonale des Parallelogramms (rote gestrichelte Linie) teilt es in zwei gleiche Dreiecke. Daher kann die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks (rote Schattierung) durch die Formel ermittelt werden:

4) Eine ebenso wichtige Tatsache ist, dass der Vektor orthogonal zu den Vektoren ist . Natürlich ist auch der entgegengesetzt gerichtete Vektor (roter Pfeil) orthogonal zu den ursprünglichen Vektoren.

5) Der Vektor ist so gerichtet, dass Basis Es hat Rechts Orientierung. In einer Lektion über Übergang auf eine neue Basis Ich habe ausführlich darüber gesprochen Ebenenausrichtung, und jetzt werden wir herausfinden, wie die Ausrichtung des Raums ist. Ich werde es dir an den Fingern erklären rechte Hand. Geistig kombinieren Zeigefinger mit Vektor und Mittelfinger mit Vektor. Ringfinger und kleiner Finger in die Handfläche drücken. Ergebend Daumen- Das Vektorprodukt wird nachgeschlagen. Dies ist die rechtsorientierte Basis (in der Abbildung). Vertauschen Sie nun die Vektoren ( Zeige- und Mittelfinger) an manchen Stellen dreht sich der Daumen um und das Vektorprodukt schaut bereits nach unten. Auch das ist eine rechtsorientierte Grundlage. Vielleicht haben Sie eine Frage: Welche Grundlage hat eine Linksorientierung? „Zuweisen“ Sie die gleichen Finger linke Hand Vektoren und erhalten Sie die linke Basis und die linke Raumorientierung (in diesem Fall befindet sich der Daumen in Richtung des unteren Vektors). Im übertragenen Sinne „verdrehen“ oder orientieren diese Sockel den Raum in verschiedene Richtungen. Und dieses Konzept sollte nicht als weit hergeholt oder abstrakt betrachtet werden – zum Beispiel ändert der gewöhnlichste Spiegel die Ausrichtung des Raums, und wenn man „das reflektierte Objekt aus dem Spiegel herauszieht“, ist dies im Allgemeinen nicht möglich kombiniere es mit dem „Original“. Bringen Sie übrigens drei Finger zum Spiegel und analysieren Sie das Spiegelbild ;-)

... wie gut es ist, dass Sie es jetzt wissen rechts und links ausgerichtet Grundlagen, denn die Aussagen mancher Dozenten zum Orientierungswechsel sind furchtbar =)

Vektorprodukt kollinearer Vektoren

Die Definition wurde im Detail ausgearbeitet, es bleibt noch herauszufinden, was passiert, wenn die Vektoren kollinear sind. Wenn die Vektoren kollinear sind, können sie auf einer Geraden platziert werden und unser Parallelogramm „faltet“ sich auch zu einer Geraden. Der Bereich davon, wie Mathematiker sagen, degenerieren Parallelogramm ist Null. Das Gleiche folgt aus der Formel: Der Sinus von Null oder 180 Grad ist gleich Null, was bedeutet, dass die Fläche Null ist

Also, wenn, dann Und . Bitte beachten Sie, dass das Kreuzprodukt selbst gleich dem Nullvektor ist, in der Praxis wird dies jedoch oft vernachlässigt und geschrieben, dass es auch gleich Null ist.

Ein Sonderfall ist das Vektorprodukt eines Vektors und sich selbst:

Mit dem Kreuzprodukt können Sie die Kollinearität dreidimensionaler Vektoren überprüfen, wir werden unter anderem auch dieses Problem analysieren.

Zur Lösung praktischer Beispiele kann es erforderlich sein trigonometrische Tabelle um daraus die Werte der Sinuswerte zu ermitteln.

Nun, lasst uns ein Feuer machen:

Beispiel 1

a) Bestimmen Sie die Länge des Vektorprodukts von Vektoren, wenn

b) Finden Sie die Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Parallelogramms, wenn

Lösung: Nein, das ist kein Tippfehler, ich habe die Anfangsdaten in den Konditionspositionen absichtlich gleich gemacht. Denn das Design der Lösungen wird anders sein!

a) Je nach Bedingung ist es erforderlich, etwas zu finden Länge Vektor (Vektorprodukt). Nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Da nach der Länge gefragt wurde, geben wir in der Antwort die Maßeinheiten an.

b) Je nach Bedingung ist es erforderlich, etwas zu finden Quadrat auf Vektoren aufgebautes Parallelogramm. Die Fläche dieses Parallelogramms ist numerisch gleich der Länge des Kreuzprodukts:

Antworten:

Bitte beachten Sie, dass in der Antwort über das Vektorprodukt überhaupt nicht die Rede ist, worüber wir gefragt wurden Figurenbereich bzw. die Dimension ist quadratische Einheiten.

Wir schauen uns immer an, WAS durch die Bedingung gefunden werden muss, und formulieren darauf basierend klar antworten. Es mag wie Literalismus erscheinen, aber es gibt genügend Literalisten unter den Lehrern, und die Aufgabe mit guten Chancen wird zur Überarbeitung zurückgegeben. Obwohl dies kein besonders angespannter Trottel ist – wenn die Antwort falsch ist, hat man den Eindruck, dass die Person einfache Dinge nicht versteht und/oder den Kern der Aufgabe nicht verstanden hat. Dieser Moment sollte immer unter Kontrolle gehalten werden, um jedes Problem in der höheren Mathematik und auch in anderen Fächern zu lösen.

Wo ist der große Buchstabe „en“ geblieben? Prinzipiell könnte es zusätzlich zur Lösung geklebt werden, aber um den Datensatz zu verkürzen, habe ich darauf verzichtet. Ich hoffe, das versteht jeder und ist die Bezeichnung für dasselbe.

Ein beliebtes Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 2

Finden Sie die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks, wenn

Die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks durch das Vektorprodukt finden Sie in den Kommentaren zur Definition. Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

In der Praxis ist die Aufgabe wirklich sehr häufig, Dreiecke können im Allgemeinen gefoltert werden.

Um andere Probleme zu lösen, benötigen wir:

Eigenschaften des Kreuzprodukts von Vektoren

Einige Eigenschaften des Vektorprodukts haben wir bereits betrachtet, ich werde sie jedoch in diese Liste aufnehmen.

Für beliebige Vektoren und eine beliebige Zahl gelten die folgenden Eigenschaften:

1) In anderen Informationsquellen wird dieser Punkt in den Eigenschaften meist nicht unterschieden, ist aber in der Praxis sehr wichtig. So lass es sein.

2) - Die Eigenschaft wird oben ebenfalls besprochen, manchmal wird sie auch genannt Antikommutativität. Mit anderen Worten: Die Reihenfolge der Vektoren ist wichtig.

3) - Kombination oder assoziativ Vektorproduktgesetze. Die Konstanten lassen sich leicht aus den Grenzen des Vektorprodukts herausnehmen. Wirklich, was machen sie dort?

4) - Verteilung oder Verteilung Vektorproduktgesetze. Auch das Öffnen von Klammern bereitet keine Probleme.

Betrachten Sie zur Veranschaulichung ein kurzes Beispiel:

Beispiel 3

Finden Sie, ob

Lösung: Gemäß der Bedingung ist es erneut erforderlich, die Länge des Vektorprodukts zu ermitteln. Lass uns unsere Miniatur bemalen:

(1) Gemäß den Assoziativgesetzen nehmen wir die Konstanten außerhalb der Grenzen des Vektorprodukts heraus.

(2) Wir nehmen die Konstante aus dem Modul, während das Modul das Minuszeichen „frisst“. Die Länge darf nicht negativ sein.

(3) Was folgt, ist klar.

Antworten:

Es ist Zeit, Holz ins Feuer zu werfen:

Beispiel 4

Berechnen Sie die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks, wenn

Lösung: Ermitteln Sie die Fläche eines Dreiecks mithilfe der Formel . Der Haken ist, dass die Vektoren „ce“ und „te“ selbst als Summen von Vektoren dargestellt werden. Der Algorithmus hier ist Standard und erinnert ein wenig an die Beispiele Nr. 3 und 4 der Lektion. Skalarprodukt von Vektoren. Teilen wir es der Übersichtlichkeit halber in drei Schritte auf:

1) Im ersten Schritt drücken wir das Vektorprodukt tatsächlich durch das Vektorprodukt aus Drücken Sie den Vektor durch den Vektor aus. Noch kein Wort zur Länge!

(1) Wir ersetzen Ausdrücke von Vektoren.

(2) Mithilfe der Verteilungsgesetze öffnen wir die Klammern gemäß der Regel der Multiplikation von Polynomen.

(3) Mithilfe der Assoziativgesetze ermitteln wir alle Konstanten jenseits der Vektorprodukte. Mit wenig Erfahrung können die Aktionen 2 und 3 gleichzeitig durchgeführt werden.

(4) Aufgrund der angenehmen Eigenschaft sind der erste und der letzte Term gleich Null (Nullvektor). Im zweiten Term nutzen wir die Antikommutativitätseigenschaft des Vektorprodukts:

(5) Wir präsentieren ähnliche Begriffe.

Als Ergebnis stellte sich heraus, dass der Vektor durch einen Vektor ausgedrückt wurde, was erreicht werden musste:

2) Im zweiten Schritt ermitteln wir die Länge des benötigten Vektorprodukts. Diese Aktion ähnelt Beispiel 3:

3) Finden Sie die Fläche des erforderlichen Dreiecks:

Die Schritte 2-3 der Lösung könnten in einer Zeile angeordnet werden.

Antworten:

Das betrachtete Problem kommt in Tests recht häufig vor, hier ein Beispiel für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 5

Finden Sie, ob

Kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Mal sehen, wie aufmerksam Sie beim Studium der vorherigen Beispiele waren ;-)

Kreuzprodukt von Vektoren in Koordinaten

Die Formel ist wirklich einfach: Wir schreiben die Koordinatenvektoren in die oberste Zeile der Determinante, „packen“ die Koordinaten der Vektoren in die zweite und dritte Zeile und setzen in strenger Reihenfolge- zuerst die Koordinaten des Vektors „ve“, dann die Koordinaten des Vektors „double-ve“. Wenn die Vektoren in einer anderen Reihenfolge multipliziert werden müssen, sollten auch die Zeilen vertauscht werden:

Beispiel 10

Überprüfen Sie, ob die folgenden Raumvektoren kollinear sind:
A)
B)

Lösung: Der Test basiert auf einer der Aussagen dieser Lektion: Wenn die Vektoren kollinear sind, dann ist ihr Kreuzprodukt Null (Nullvektor): .

a) Finden Sie das Vektorprodukt:

Die Vektoren sind also nicht kollinear.

b) Finden Sie das Vektorprodukt:

Antworten: a) nicht kollinear, b)

Hier finden Sie vielleicht alle grundlegenden Informationen zum Vektorprodukt von Vektoren.

Dieser Abschnitt wird nicht sehr groß sein, da es nur wenige Probleme gibt, wenn das gemischte Produkt von Vektoren verwendet wird. Tatsächlich hängt alles von der Definition, der geometrischen Bedeutung und einigen Arbeitsformeln ab.

Das gemischte Produkt von Vektoren ist das Produkt von drei Vektoren:

So stellen sie sich wie ein Zug auf und warten, sie können es kaum erwarten, bis sie berechnet werden.

Zunächst noch einmal die Definition und das Bild:

Definition: Gemischtes Produkt nicht koplanar Vektoren, in dieser Reihenfolge aufgenommen, wird genannt Volumen des Parallelepipeds, aufgebaut auf diesen Vektoren, ausgestattet mit einem „+“-Zeichen, wenn die Basis rechts ist, und einem „-“-Zeichen, wenn die Basis links ist.

Machen wir die Zeichnung. Für uns unsichtbare Linien sind durch eine gepunktete Linie gezeichnet:

Lassen Sie uns in die Definition eintauchen:

2) Vektoren aufgenommen in einer bestimmten Reihenfolge, das heißt, die Permutation von Vektoren im Produkt bleibt, wie Sie sich vorstellen können, nicht ohne Konsequenzen.

3) Bevor ich auf die geometrische Bedeutung eingehe, möchte ich auf die offensichtliche Tatsache hinweisen: Das gemischte Produkt von Vektoren ist eine ZAHL: . In der Lehrliteratur kann das Design etwas anders sein, ich habe früher ein gemischtes Produkt durch und das Ergebnis von Berechnungen mit dem Buchstaben „pe“ bezeichnet.

A-Priorat Das Mischprodukt ist das Volumen des Parallelepipeds, aufgebaut auf Vektoren (die Abbildung ist mit roten Vektoren und schwarzen Linien gezeichnet). Das heißt, die Zahl entspricht dem Volumen des gegebenen Parallelepipeds.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch.

4) Beschäftigen wir uns nicht noch einmal mit dem Konzept der Orientierung von Basis und Raum. Der letzte Teil bedeutet, dass dem Volumen ein Minuszeichen hinzugefügt werden kann. Vereinfacht ausgedrückt kann das Mischprodukt negativ sein: .

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines auf Vektoren aufgebauten Parallelepipeds ergibt sich direkt aus der Definition.

Offensichtlich ist im Fall eines Kreuzprodukts die Reihenfolge, in der die Vektoren genommen werden, von Bedeutung, außerdem

Außerdem folgt direkt aus der Definition, dass für jeden Skalarfaktor k (Zahl) Folgendes gilt:

Das Kreuzprodukt kollinearer Vektoren ist gleich dem Nullvektor. Darüber hinaus ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren genau dann Null, wenn sie kollinear sind. (Falls einer von ihnen ein Nullvektor ist, muss man bedenken, dass der Nullvektor per Definition kollinear zu jedem Vektor ist.)

Vektorprodukt hat Verteilungseigenschaft, also

Der Ausdruck des Kreuzprodukts in Form der Koordinaten der Vektoren.

Gegeben seien zwei Vektoren

(Wie man die Koordinaten eines Vektors anhand der Koordinaten seines Anfangs und Endes ermittelt – siehe Artikel Skalarprodukt von Vektoren, Absatz Alternative Definition des Skalarprodukts oder Berechnung des Skalarprodukts zweier Vektoren, die durch ihre Koordinaten gegeben sind.)

Warum brauchen Sie ein Vektorprodukt?

Es gibt viele Möglichkeiten, das Kreuzprodukt zu verwenden. Wie oben bereits beschrieben, können Sie beispielsweise durch Berechnen des Kreuzprodukts zweier Vektoren herausfinden, ob diese kollinear sind.

Oder es kann verwendet werden, um die Fläche eines aus diesen Vektoren erstellten Parallelogramms zu berechnen. Basierend auf der Definition ist die Länge des resultierenden Vektors die Fläche dieses Parallelogramms.

Online-Rechner für Vektorprodukte.

Um mit diesem Rechner das Skalarprodukt zweier Vektoren zu ermitteln, müssen Sie der Reihe nach die Koordinaten des ersten Vektors in die erste Zeile und die des zweiten Vektors in die zweite Zeile eingeben. Die Koordinaten von Vektoren können aus ihren Start- und Endkoordinaten berechnet werden (siehe Artikel Skalarprodukt von Vektoren, Element Eine alternative Definition des Skalarprodukts oder die Berechnung des Skalarprodukts zweier Vektoren anhand ihrer Koordinaten.)

Bevor wir das Konzept eines Vektorprodukts angeben, wenden wir uns der Frage nach der Orientierung des geordneten Vektortripels a → , b → , c → im dreidimensionalen Raum zu.

Lassen Sie uns zunächst die Vektoren a → , b → , c → von einem Punkt beiseite legen. Die Orientierung des Tripels a → , b → , c → ist rechts oder links, abhängig von der Richtung des Vektors c → . Aus der Richtung, in der die kürzeste Drehung vom Vektor a → nach b → vom Ende des Vektors c → erfolgt, wird die Form des Tripels a → , b → , c → bestimmt.

Wenn die kürzeste Drehung gegen den Uhrzeigersinn erfolgt, dann heißt das Vektortripel a → , b → , c → Rechts wenn im Uhrzeigersinn - links.

Nehmen Sie als nächstes zwei nichtkollineare Vektoren a → und b → . Verschieben wir dann die Vektoren A B → = a → und A C → = b → vom Punkt A. Konstruieren wir einen Vektor A D → = c → , der gleichzeitig senkrecht zu A B → und A C → steht. Wenn wir also den Vektor A D → = c → konstruieren, können wir zwei Dinge tun und ihm entweder eine Richtung oder die entgegengesetzte Richtung geben (siehe Abbildung).

Das geordnete Trio der Vektoren a → , b → , c → kann, wie wir herausgefunden haben, je nach Richtung des Vektors rechts oder links sein.

Aus dem Obigen können wir die Definition eines Vektorprodukts einführen. Diese Definition gilt für zwei Vektoren, die in einem rechteckigen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums definiert sind.

Definition 1

Das Vektorprodukt zweier Vektoren a → und b → Wir nennen einen solchen Vektor, der in einem rechteckigen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums gegeben ist, so dass:

• wenn die Vektoren a → und b → kollinear sind, ist es Null;
• es wird sowohl zum Vektor a →​​ als auch zum Vektor b → senkrecht sein, d. h. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• seine Länge wird durch die Formel bestimmt: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• das Triplett der Vektoren a → , b → , c → hat die gleiche Orientierung wie das gegebene Koordinatensystem.

Das Kreuzprodukt der Vektoren a → und b → hat die folgende Notation: a → × b → .

Kreuzproduktkoordinaten

Da jeder Vektor bestimmte Koordinaten im Koordinatensystem hat, ist es möglich, eine zweite Definition des Vektorprodukts einzuführen, die es Ihnen ermöglicht, seine Koordinaten aus den gegebenen Koordinaten der Vektoren zu ermitteln.

Definition 2

In einem rechteckigen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums Vektorprodukt zweier Vektoren a → = (a x ; a y ; a z) und b → = (b x ; b y ; b z) Nennen Sie den Vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , wobei i → , j → , k → Koordinatenvektoren sind.

Das Vektorprodukt kann als Determinante einer quadratischen Matrix dritter Ordnung dargestellt werden, wobei die erste Zeile die Orta-Vektoren i → , j → , k → enthält, die zweite Zeile die Koordinaten des Vektors a → enthält und die dritte sind die Koordinaten des Vektors b → in einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem, diese Matrixdeterminante sieht folgendermaßen aus: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Wenn wir diese Determinante über die Elemente der ersten Zeile erweitern, erhalten wir die Gleichheit: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Produktübergreifende Eigenschaften

Es ist bekannt, dass das Vektorprodukt in Koordinaten als Determinante der Matrix c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , dann auf der Basis dargestellt wird Matrixdeterminanteneigenschaften die folgende Vektorprodukteigenschaften:

1. Antikommutativität a → × b → = - b → × a → ;
2. Distributivität a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → oder a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. Assoziativität λ a → × b → = λ a → × b → oder a → × (λ b →) = λ a → × b → , wobei λ eine beliebige reelle Zahl ist.

Für diese Eigenschaften gibt es keine komplizierten Beweise.

Beispielsweise können wir die Antikommutativitätseigenschaft eines Vektorprodukts beweisen.

Beweis der Antikommutativität

Per Definition ist a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z und b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Und wenn zwei Zeilen der Matrix vertauscht werden, sollte sich der Wert der Determinante der Matrix ins Gegenteil ändern, also a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , was die Antikommutativität des Vektorprodukts beweist.

Vektorprodukt – Beispiele und Lösungen

In den meisten Fällen gibt es drei Arten von Aufgaben.

Bei Problemen des ersten Typs werden normalerweise die Längen zweier Vektoren und der Winkel zwischen ihnen angegeben, Sie müssen jedoch die Länge des Kreuzprodukts ermitteln. Verwenden Sie in diesem Fall die folgende Formel c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Beispiel 1

Bestimmen Sie die Länge des Kreuzprodukts der Vektoren a → und b →, wenn a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 bekannt ist.

Lösung

Mit der Definition der Länge des Vektorprodukts der Vektoren a → und b → lösen wir dieses Problem: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Antworten: 15 2 2 .

Aufgaben der zweiten Art haben einen Zusammenhang mit den Koordinaten von Vektoren, sie enthalten ein Vektorprodukt, seine Länge usw. werden anhand der bekannten Koordinaten der angegebenen Vektoren gesucht a → = (a x ; a y ; a z) Und b → = (b x ; b y ; b z) .

Für diese Art von Aufgabe können Sie viele Aufgabenvarianten lösen. Zum Beispiel nicht die Koordinaten der Vektoren a → und b → , sondern ihre Entwicklungen in Koordinatenvektoren der Form b → = b x i → + b y j → + b z k → und c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , oder die Vektoren a → und b → können durch die Koordinaten ihrer gegeben werden Start- und Endpunkte.

Betrachten Sie die folgenden Beispiele.

Beispiel 2

Zwei Vektoren werden in einem rechtwinkligen Koordinatensystem a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) festgelegt. Finden Sie ihr Vektorprodukt.

Lösung

Gemäß der zweiten Definition finden wir das Vektorprodukt zweier Vektoren in gegebenen Koordinaten: a → × b → = (a y b z – a z by y) i → + (a z b x – a x b z) j → + (a x b y – a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Wenn wir das Vektorprodukt durch die Matrixdeterminante schreiben, lautet die Lösung dieses Beispiels wie folgt: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Antworten: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Beispiel 3

Ermitteln Sie die Länge des Kreuzprodukts der Vektoren i → - j → und i → + j → + k → , wobei i → , j → , k → - orte eines rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems sind.

Lösung

Suchen wir zunächst die Koordinaten des gegebenen Vektorprodukts i → - j → × i → + j → + k → im gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem.

Es ist bekannt, dass die Vektoren i → - j → und i → + j → + k → die Koordinaten (1 ; - 1 ; 0) bzw. (1 ; 1 ; 1) haben. Finden Sie die Länge des Vektorprodukts mithilfe der Matrixdeterminante, dann gilt i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Daher hat das Vektorprodukt i → - j → × i → + j → + k → Koordinaten (- 1 ; - 1 ; 2) im gegebenen Koordinatensystem.

Wir ermitteln die Länge des Vektorprodukts nach der Formel (siehe Abschnitt zum Ermitteln der Länge des Vektors): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Antworten: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Beispiel 4

Die Koordinaten von drei Punkten A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) werden in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem angegeben. Finden Sie gleichzeitig einen Vektor senkrecht zu A B → und A C →.

Lösung

Die Vektoren A B → und A C → haben die folgenden Koordinaten (- 1 ; 2 ; 2) bzw. (0 ; 4 ; 1). Nachdem wir das Vektorprodukt der Vektoren A B → und A C → gefunden haben, ist es offensichtlich, dass es per Definition ein senkrechter Vektor sowohl zu A B → als auch zu A C → ist, das heißt, es ist die Lösung unseres Problems. Finden Sie es A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Antworten: - 6 i → + j → - 4 k → . ist einer der senkrechten Vektoren.

Probleme des dritten Typs konzentrieren sich auf die Verwendung der Eigenschaften des Vektorprodukts von Vektoren. Nach deren Anwendung erhalten wir eine Lösung für das gegebene Problem.

Beispiel 5

Die Vektoren a → und b → stehen senkrecht zueinander und ihre Längen betragen 3 bzw. 4. Finden Sie die Länge des Kreuzprodukts 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Lösung

Durch die Distributivitätseigenschaft des Vektorprodukts können wir schreiben: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Durch die Eigenschaft der Assoziativität ermitteln wir die numerischen Koeffizienten jenseits des Vorzeichens der Vektorprodukte im letzten Ausdruck: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Die Vektorprodukte a → × a → und b → × b → sind gleich 0, da a → × a → = a → a → sin 0 = 0 und b → × b → = b → b → sin 0 = 0. dann 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Aus der Antikommutativität des Vektorprodukts folgt - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Unter Verwendung der Eigenschaften des Vektorprodukts erhalten wir die Gleichung 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Gemäß der Bedingung sind die Vektoren a → und b → senkrecht, d. h. der Winkel zwischen ihnen ist gleich π 2 . Jetzt müssen nur noch die gefundenen Werte in die entsprechenden Formeln eingesetzt werden: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Antworten: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Die Länge des Kreuzprodukts von Vektoren ist per Definition a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Denn es ist bereits (aus dem Schulkurs) bekannt, dass die Fläche eines Dreiecks gleich der Hälfte des Produkts der Längen seiner beiden Seiten multipliziert mit dem Sinus des Winkels zwischen diesen Seiten ist. Daher ist die Länge des Vektorprodukts gleich der Fläche eines Parallelogramms – eines doppelten Dreiecks, nämlich dem Produkt der Seiten in Form von Vektoren a → und b → , von einem Punkt abgezogen, durch den Sinus des Winkels zwischen ihnen sin ∠ a → , b → .

Dies ist die geometrische Bedeutung des Vektorprodukts.

Die physikalische Bedeutung des Vektorprodukts

In der Mechanik, einem Zweig der Physik, kann man dank des Vektorprodukts das Kraftmoment relativ zu einem Punkt im Raum bestimmen.

Definition 3

Unter dem Kraftmoment F → , das auf Punkt B relativ zu Punkt A ausgeübt wird, verstehen wir das folgende Vektorprodukt A B → × F → .

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Punktprodukteigenschaften

Skalarprodukt von Vektoren, Definition, Eigenschaften

Lineare Operationen an Vektoren.

Vektoren, Grundkonzepte, Definitionen, lineare Operationen darauf

Ein Vektor auf einer Ebene ist ein geordnetes Paar seiner Punkte, wobei der erste Punkt als Anfang und der zweite als Ende des Vektors bezeichnet wird

Zwei Vektoren heißen gleich, wenn sie gleich und gleichgerichtet sind.

Vektoren, die auf derselben Linie liegen, werden als kodirektional bezeichnet, wenn sie mit einem Teil desselben Vektors, der nicht auf dieser Linie liegt, kodirektional sind.

Vektoren, die auf derselben Geraden oder auf parallelen Geraden liegen, heißen kollinear, und kollineare, aber nicht gleichgerichtete Vektoren heißen entgegengesetzt gerichtet.

Vektoren, die auf senkrechten Linien liegen, heißen orthogonal.

Definition 5.4. Summe a+b Vektoren A Und B heißt der Vektor, der vom Anfang des Vektors kommt A bis zum Ende des Vektors B , wenn der Anfang des Vektors B fällt mit dem Ende des Vektors zusammen A .

Definition 5.5. Unterschied a - b Vektoren A Und B ein solcher Vektor heißt Mit , die zusammen mit dem Vektor B gibt einen Vektor A .

Definition 5.6. arbeitenk A Vektor A pro Zahl k Vektor genannt B , kollinearer Vektor A , dessen Modul gleich | ist k||A | und eine Richtung, die mit der Richtung übereinstimmt A bei k>0 und umgekehrt A bei k<0.

Eigenschaften der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl:

Eigentum 1. k(a+b ) = k A+ k B.

Eigentum 2. (k+m)A = k A+ m A.

Eigentum 3. k(m A) = (km)A .

Folge. Wenn Vektoren ungleich Null A Und B kollinear sind, dann gibt es eine Zahl k, Was b= k A.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ungleich Null A Und B eine Zahl (Skalar) genannt, die dem Produkt der Längen dieser Vektoren und dem Kosinus des Winkels φ zwischen ihnen entspricht. Das Skalarprodukt kann auf verschiedene Arten ausgedrückt werden, beispielsweise als ab, A · B, (A , B), (A · B). Das Skalarprodukt ist also:

A · B = |A| · | B| cos φ

Wenn mindestens einer der Vektoren gleich Null ist, ist das Skalarprodukt gleich Null.

Permutationseigenschaft: A · B = B · A(das Skalarprodukt ändert sich nicht durch Permutation von Faktoren);

Verteilungseigentum: A · ( B · C) = (A · B) · C(das Ergebnis hängt nicht von der Reihenfolge der Multiplikation ab);

Kombinationseigenschaft (in Bezug auf den Skalarfaktor): (λ A) · B = λ ( A · B).

Eigenschaft der Orthogonalität (Rechtwinkligkeit): wenn der Vektor A Und B ungleich Null, dann ist ihr Skalarprodukt nur dann Null, wenn diese Vektoren orthogonal (senkrecht zueinander) sind. A ┴ B;

Quadratisches Grundstück: A · A = A 2 = |A| 2 (das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist gleich dem Quadrat seines Moduls);

Wenn die Koordinaten der Vektoren A=(x 1 , y 1 , z 1 ) und B=(x 2 , y 2 , z 2 ), dann ist das Skalarprodukt A · B= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

Vektor, der Vektoren hält. Definition: Das Vektorprodukt zweier Vektoren und wird als Vektor verstanden, für den:

Der Modul ist gleich der Fläche des auf diesen Vektoren aufgebauten Parallelogramms, d.h. , wobei der Winkel zwischen den Vektoren und ist

Dieser Vektor steht senkrecht zu den multiplizierten Vektoren, d.h.

Wenn die Vektoren nicht kollinear sind, bilden sie ein rechtes Vektortripel.

Produktübergreifende Eigenschaften:

1. Wenn die Reihenfolge der Faktoren geändert wird, ändert das Vektorprodukt sein Vorzeichen in das Gegenteil, wobei der Modul erhalten bleibt, d. h.

2 .Vektorquadrat ist gleich Nullvektor, d.h.

3 .Der Skalarfaktor kann aus dem Vorzeichen des Vektorprodukts entnommen werden, d.h.

4 .Für drei beliebige Vektoren gilt die Gleichheit

5 .Notwendige und ausreichende Bedingung für die Kollinearität zweier Vektoren und :