Logarithmus. Dezimaler Logarithmus. Was ist ein dezimaler Logarithmus? So entfernen Sie den Dezimallogarithmus

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Lassen Sie es uns einfacher erklären. Beispielsweise ist \(\log_(2)(8)\) gleich der Potenz, auf die \(2\) erhöht werden muss, um \(8\) zu erhalten. Daraus ist klar, dass \(\log_(2)(8)=3\).

Argument und Basis des Logarithmus

Jeder Logarithmus hat die folgende „Anatomie“:

Das Argument des Logarithmus wird normalerweise auf seiner Ebene geschrieben, und die Basis wird tiefgestellt näher am Vorzeichen des Logarithmus geschrieben. Und dieser Eintrag liest sich so: „Der Logarithmus von fünfundzwanzig zur Basis fünf.“

Wie berechnet man den Logarithmus?

Um den Logarithmus zu berechnen, müssen Sie die Frage beantworten: Um wie viel muss die Basis erhöht werden, um das Argument zu erhalten?

Zum Beispiel, berechne den Logarithmus: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Auf welche Potenz muss \(4\) erhöht werden, um \(16\) zu erhalten? Offensichtlich das zweite. Deshalb:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Auf welche Potenz muss \(\sqrt(5)\) erhöht werden, um \(1\) zu erhalten? Und welcher Grad macht jede Zahl zu einer Einheit? Null, natürlich!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Auf welche Potenz muss \(\sqrt(7)\) erhöht werden, um \(\sqrt(7)\) zu erhalten? Im ersten Fall ist jede Zahl ersten Grades sich selbst gleich.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Auf welche Potenz muss \(3\) erhöht werden, um \(\sqrt(3)\) zu erhalten? Wir wissen, dass es sich um eine gebrochene Potenz handelt, und daher ist die Quadratwurzel die Potenz von \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Beispiel : Berechnen Sie den Logarithmus \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Lösung :

Antworten : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Warum wurde der Logarithmus erfunden?

Um dies zu verstehen, lösen wir die Gleichung: \(3^(x)=9\). Passen Sie einfach \(x\) an, damit die Gleichheit funktioniert. Natürlich ist \(x=2\).

Lösen Sie nun die Gleichung: \(3^(x)=8\). Was ist x gleich? Das ist der Punkt.

Der Einfallsreichste wird sagen: „X ist etwas kleiner als zwei.“ Wie genau ist diese Zahl zu schreiben? Um diese Frage zu beantworten, haben sie den Logarithmus erfunden. Dank ihm kann die Antwort hier als \(x=\log_(3)(8)\) geschrieben werden.

Ich möchte betonen, dass \(\log_(3)(8)\) sowie Jeder Logarithmus ist nur eine Zahl. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber es ist kurz. Denn wenn wir es als Dezimalzahl schreiben wollten, würde es so aussehen: \(1.892789260714.....\)

Beispiel : Lösen Sie die Gleichung \(4^(5x-4)=10\)

Lösung :

Antworten : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Dezimale und natürliche Logarithmen

Wie in der Definition des Logarithmus angegeben, kann seine Basis jede positive Zahl außer eins \((a>0, a\neq1)\) sein. Und unter all den möglichen Basen gibt es zwei, die so häufig vorkommen, dass mit ihnen eine spezielle Kurzschreibweise für Logarithmen erfunden wurde:

Natürlicher Logarithmus: ein Logarithmus, dessen Basis die Euler-Zahl \(e\) ist (ungefähr gleich \(2,7182818…\)), und der Logarithmus wird als \(\ln(a)\) geschrieben.

Also, \(\ln(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(e)(a)\)

Dezimaler Logarithmus: Ein Logarithmus mit der Basis 10 wird als \(\lg(a)\) geschrieben.

Also, \(\lg(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(10)(a)\), wobei \(a\) eine Zahl ist.

Grundlegende logarithmische Identität

Logarithmen haben viele Eigenschaften. Eine davon heißt „Grundlegende logarithmische Identität“ und sieht folgendermaßen aus:

Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition. Mal sehen, wie diese Formel zustande kam.

Erinnern Sie sich an die kurze Definition des Logarithmus:

wenn \(a^(b)=c\), dann \(\log_(a)(c)=b\)

Das heißt, \(b\) ist dasselbe wie \(\log_(a)(c)\). Dann können wir in der Formel \(a^(b)=c\) \(\log_(a)(c)\) anstelle von \(b\) schreiben. Es stellte sich heraus, dass \(a^(\log_(a)(c))=c\) die wichtigste logarithmische Identität ist.

Die restlichen Eigenschaften von Logarithmen finden Sie hier. Mit ihrer Hilfe können Sie die Werte von Ausdrücken mit Logarithmen, die schwer direkt zu berechnen sind, vereinfachen und berechnen.

Beispiel : Finden Sie den Wert des Ausdrucks \(36^(\log_(6)(5))\)

Lösung :

Antworten : \(25\)

Wie schreibe ich eine Zahl als Logarithmus?

Wie oben erwähnt, ist jeder Logarithmus nur eine Zahl. Das Umgekehrte gilt auch: Jede Zahl kann als Logarithmus geschrieben werden. Wir wissen zum Beispiel, dass \(\log_(2)(4)\) gleich zwei ist. Dann können Sie \(\log_(2)(4)\) anstelle von zwei schreiben.

Aber \(\log_(3)(9)\) ist auch gleich \(2\), also kann man auch \(2=\log_(3)(9)\) schreiben. Ebenso mit \(\log_(5)(25)\) und mit \(\log_(9)(81)\) usw. Das heißt, es stellt sich heraus

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Bei Bedarf können wir die beiden also als Logarithmus mit beliebiger Basis an beliebiger Stelle schreiben (sogar in einer Gleichung, sogar in einem Ausdruck, sogar in einer Ungleichung) – wir schreiben einfach die quadrierte Basis als Argument.

Dasselbe gilt auch für ein Tripel – es kann als \(\log_(2)(8)\), oder als \(\log_(3)(27)\) oder als \(\log_(4)( 64) \) ... Hier schreiben wir die Basis im Würfel als Argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Und mit vier:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Und mit minus eins:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Und mit einem Drittel:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Jede Zahl \(a\) kann als Logarithmus mit der Basis \(b\) dargestellt werden: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Beispiel : Finden Sie den Wert eines Ausdrucks \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Lösung :

Antworten : \(1\)

Die Haupteigenschaften des Logarithmus, der Graph des Logarithmus, der Definitionsbereich, die Wertemenge, die Grundformeln, die Zunahme und Abnahme werden angegeben. Es wird in Betracht gezogen, die Ableitung des Logarithmus zu finden. Sowie Integral-, Potenzreihenentwicklung und Darstellung mittels komplexer Zahlen.

Domäne, Wertemenge, aufsteigend, absteigend

Der Logarithmus ist eine monotone Funktion und hat daher keine Extrema. Die Haupteigenschaften des Logarithmus sind in der Tabelle dargestellt.

Private Werte

Der Logarithmus zur Basis 10 wird aufgerufen dezimaler Logarithmus und ist wie folgt gekennzeichnet:

Basislogarithmus e genannt natürlicher Logarithmus:

Grundlegende Logarithmusformeln

Eigenschaften des Logarithmus, die sich aus der Definition der Umkehrfunktion ergeben:

Die Haupteigenschaft von Logarithmen und ihre Konsequenzen

Basenersatzformel

Logarithmus ist die mathematische Operation zur Logarithmusbildung. Beim Logarithmus werden die Produkte der Faktoren in Summen der Terme umgewandelt.
Potenzierung ist eine zum Logarithmus umgekehrte mathematische Operation. Bei der Potenzierung wird die gegebene Basis mit dem Ausdruck potenziert, auf dem die Potenzierung durchgeführt wird. In diesem Fall werden die Summen der Terme in Produkte von Faktoren umgewandelt.

Beweis der Grundformeln für Logarithmen

Formeln im Zusammenhang mit Logarithmen ergeben sich aus Formeln für Exponentialfunktionen und aus der Definition einer Umkehrfunktion.

Betrachten Sie die Eigenschaft der Exponentialfunktion
.
Dann
.
Wenden Sie die Eigenschaft der Exponentialfunktion an
:
.

Lassen Sie uns die Basisänderungsformel beweisen.
;
.
Wenn wir c = b setzen, haben wir:

Umkehrfunktion

Der Kehrwert des Logarithmus zur Basis a ist die Exponentialfunktion mit dem Exponenten a.

Wenn, dann

Wenn, dann

Ableitung des Logarithmus

Ableitung des Logarithmus modulo x:
.
Ableitung n-ter Ordnung:
.
Ableitung von Formeln > > >

Um die Ableitung eines Logarithmus zu finden, muss dieser auf die Basis reduziert werden e.
;
.

Integral

Das Integral des Logarithmus wird durch partielle Integration berechnet: .
So,

Ausdrücke in Bezug auf komplexe Zahlen

Betrachten Sie die komplexe Zahlenfunktion z:
.
Lassen Sie uns eine komplexe Zahl ausdrücken züber Modul R und Argumentation φ :
.
Unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus erhalten wir dann:
.
Oder

Allerdings ist das Argument φ nicht klar definiert. Wenn wir sagen
, wobei n eine ganze Zahl ist,
dann wird es für verschiedene die gleiche Nummer sein N.

Daher ist der Logarithmus als Funktion einer komplexen Variablen keine einwertige Funktion.

Erweiterung der Potenzreihen

Für erfolgt die Erweiterung:

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studierende höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.

Nehmen Sie oft die Zahl zehn. Logarithmen von Zahlen zur Basis Zehn werden genannt Dezimal. Bei Berechnungen mit dem dezimalen Logarithmus wird üblicherweise mit dem Vorzeichen operiert lg, und nicht Protokoll; während die Zahl Zehn, die die Basis bestimmt, nicht angegeben ist. Ja, wir ersetzen Protokoll 10 105 zu vereinfachen lg105; A log102 An lg2.

Für dezimale Logarithmen Typisch sind die gleichen Merkmale wie bei Logarithmen mit einer Basis größer als eins. Dezimale Logarithmen zeichnen sich nämlich ausschließlich durch positive Zahlen aus. Dezimale Logarithmen von Zahlen größer als eins sind positiv und Zahlen kleiner als eins sind negativ; Bei zwei nichtnegativen Zahlen entspricht der größere dezimale Logarithmus auch dem größeren usw. Darüber hinaus weisen dezimale Logarithmen Besonderheiten und Besonderheiten auf, die erklären, warum es sinnvoll ist, die Zahl Zehn als Basis für Logarithmen zu bevorzugen.

Bevor wir diese Eigenschaften analysieren, werfen wir einen Blick auf die folgenden Formulierungen.

Ganzzahliger Teil des Dezimallogarithmus einer Zahl A genannt charakteristisch und der Bruch Mantisse dieser Logarithmus.

Charakteristisch für den dezimalen Logarithmus einer Zahl A angegeben als , und die Mantisse als (lg A}.

Nehmen wir beispielsweise lg 2 ≈ 0,3010. Dementsprechend ist = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

Das Gleiche gilt für lg 543,1 ≈2,7349. Dementsprechend = 2, (lg 543,1)≈ 0,7349.

Die Berechnung des dezimalen Logarithmus positiver Zahlen aus Tabellen ist weit verbreitet.

Charakteristische Vorzeichen dezimaler Logarithmen.

Das erste Vorzeichen des Dezimallogarithmus. Eine nicht negative ganze Zahl, dargestellt durch 1 gefolgt von Nullen, ist eine positive ganze Zahl, die der Anzahl der Nullen in der gewählten Zahl entspricht .

Nehmen wir lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

Im Allgemeinen, wenn

Das A= 10N , woraus wir bekommen

lg a = lg 10 n = n lg 10 =P.

Zweites Zeichen. Der dezimale Logarithmus einer positiven Dezimalzahl, dargestellt durch eine Eins mit führenden Nullen, ist − P, Wo P- die Anzahl der Nullen in der Darstellung dieser Zahl unter Berücksichtigung der Nullstelle ganzer Zahlen.

In Betracht ziehen , lg 0,001 = -3, lg 0,000001 = -6.

Im Allgemeinen, wenn

,

Das A= 10-N und es stellt sich heraus

lga = lg 10N =-n lg 10 =-n

Drittes Zeichen. Die Charakteristik des dezimalen Logarithmus einer nicht negativen Zahl größer als eins ist gleich der Anzahl der Ziffern im ganzzahligen Teil dieser Zahl, mit Ausnahme von eins.

Lassen Sie uns dieses Merkmal analysieren: 1) Die Charakteristik des Logarithmus lg 75,631 wird mit 1 gleichgesetzt.

Tatsächlich 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

LG 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Dies impliziert,

lg 75,631 = 1 + b,

Das Verschieben eines Kommas in einem Dezimalbruch nach rechts oder links entspricht der Operation, diesen Bruch mit einer Zehnerpotenz mit einem ganzzahligen Exponenten zu multiplizieren P(positiv oder negativ). Wenn also der Dezimalpunkt in einem positiven Dezimalbruch nach links oder rechts verschoben wird, ändert sich die Mantisse des Dezimallogarithmus dieses Bruchs nicht.

Also (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).

Akzeptabler Bereich (ODZ) des Logarithmus

Lassen Sie uns nun über Einschränkungen sprechen (ODZ – der Bereich der zulässigen Werte von Variablen).

Wir erinnern uns, dass beispielsweise die Quadratwurzel nicht aus negativen Zahlen gezogen werden kann; oder wenn wir einen Bruch haben, dann kann der Nenner nicht gleich Null sein. Für Logarithmen gelten ähnliche Einschränkungen:

Das heißt, sowohl das Argument als auch die Basis müssen größer als Null sein und die Basis darf nicht gleich sein.

Warum so?

Fangen wir einfach an: Sagen wir das. Dann existiert die Zahl zum Beispiel nicht, denn egal welchen Grad wir erhöhen, es stellt sich immer heraus. Darüber hinaus existiert es für niemanden. Aber gleichzeitig kann es allem gleich sein (aus dem gleichen Grund – es ist in jedem Grad gleich). Daher ist das Objekt uninteressant und wurde einfach aus der Mathematik verworfen.

Wir haben ein ähnliches Problem im Fall: In jedem positiven Grad - dies, aber es kann überhaupt nicht negativ potenziert werden, da dies zu einer Division durch Null führt (ich erinnere Sie daran).

Wenn wir vor dem Problem stehen, eine gebrochene Potenz zu erhöhen (die als Wurzel dargestellt wird: Zum Beispiel (das heißt), aber nicht existiert.

Daher ist es einfacher, negative Gründe wegzuwerfen, als sich mit ihnen herumzuschlagen.

Nun, da die Basis a für uns nur positiv ist, erhalten wir, egal um welchen Grad wir sie erhöhen, immer eine streng positive Zahl. Das Argument muss also positiv sein. Sie existiert beispielsweise nicht, da sie in keinem Maße eine negative Zahl sein wird (und sogar Null, daher existiert sie auch nicht).

Bei Problemen mit Logarithmen besteht der erste Schritt darin, die ODZ aufzuschreiben. Ich gebe ein Beispiel:

Lassen Sie uns die Gleichung lösen.

Erinnern Sie sich an die Definition: Der Logarithmus ist die Potenz, mit der die Basis erhöht werden muss, um ein Argument zu erhalten. Und gemäß der Bedingung ist dieser Grad gleich: .

Wir erhalten die übliche quadratische Gleichung: . Wir lösen es mit dem Vieta-Theorem: Die Summe der Wurzeln ist gleich und das Produkt. Leicht zu erlernen, das sind Zahlen und.

Wenn Sie jedoch sofort beide Zahlen in die Antwort aufnehmen und aufschreiben, können Sie für die Aufgabe 0 Punkte erhalten. Warum? Denken wir darüber nach, was passiert, wenn wir diese Wurzeln in die Ausgangsgleichung einsetzen?

Dies ist eindeutig falsch, da die Basis nicht negativ sein kann, das heißt, die Wurzel ist „von Drittanbietern“.

Um solche unangenehmen Tricks zu vermeiden, müssen Sie die ODZ aufschreiben, noch bevor Sie mit der Lösung der Gleichung beginnen:

Nachdem wir die Wurzeln erhalten haben, verwerfen wir die Wurzel sofort und schreiben die richtige Antwort.

Beispiel 1(versuchen Sie es selbst zu lösen) :

Finden Sie die Wurzel der Gleichung. Wenn es mehrere Wurzeln gibt, geben Sie in Ihrer Antwort die kleinere an.

Lösung:

Schreiben wir zunächst die ODZ:

Jetzt erinnern wir uns daran, was ein Logarithmus ist: Auf welche Potenz muss man die Basis erhöhen, um ein Argument zu erhalten? In dieser Sekunde. Also:

Es scheint, dass die kleinere Wurzel gleich ist. Dies ist jedoch nicht der Fall: Laut ODZ ist die Wurzel eine dritte, das heißt, sie ist überhaupt nicht die Wurzel dieser Gleichung. Somit hat die Gleichung nur eine Wurzel: .

Antworten: .

Grundlegende logarithmische Identität

Erinnern Sie sich allgemein an die Definition eines Logarithmus:

Ersetzen Sie in der zweiten Gleichheit anstelle des Logarithmus:

Diese Gleichheit heißt grundlegende logarithmische Identität. Obwohl diese Gleichheit im Wesentlichen nur anders geschrieben wird Definition des Logarithmus:

Dies ist die Kraft, die Sie erhöhen müssen, um zu gelangen.

Zum Beispiel:

Lösen Sie die folgenden Beispiele:

Beispiel 2

Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Lösung:

Erinnern Sie sich an die Regel aus dem Abschnitt: Das heißt, bei der Potenzierung eines Grades werden die Indikatoren multipliziert. Wenden wir es an:

Beispiel 3

Beweise das.

Lösung:

Eigenschaften von Logarithmen

Leider sind die Aufgaben nicht immer so einfach – oft muss man den Ausdruck zunächst vereinfachen, in die gewohnte Form bringen und erst dann kann der Wert berechnet werden. Es ist am einfachsten, dies zu wissen Eigenschaften von Logarithmen. Lernen wir also die grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen kennen. Ich werde jede davon beweisen, denn jede Regel kann man sich leichter merken, wenn man weiß, woher sie kommt.

Alle diese Eigenschaften müssen beachtet werden; ohne sie können die meisten Probleme mit Logarithmen nicht gelöst werden.

Und nun zu allen Eigenschaften von Logarithmen im Detail.

Eigenschaft 1:

Nachweisen:

Dann lasst es.

Wir haben: , h.t.d.

Eigenschaft 2: Summe der Logarithmen

Die Summe der Logarithmen gleicher Basis ist gleich dem Logarithmus des Produkts: .

Nachweisen:

Dann lasst es. Dann lasst es.

Beispiel: Finden Sie den Wert des Ausdrucks: .

Lösung: .

Die Formel, die Sie gerade gelernt haben, hilft dabei, die Summe der Logarithmen und nicht die Differenz zu vereinfachen, sodass diese Logarithmen nicht sofort kombiniert werden können. Sie können aber auch das Gegenteil tun – den ersten Logarithmus in zwei Teile „brechen“: Und hier ist die versprochene Vereinfachung:
.
Warum ist das nötig? Nun, zum Beispiel: Was macht das aus?

Jetzt ist es offensichtlich.

Jetzt Machen Sie es sich einfach:

Aufgaben:

Antworten:

Eigenschaft 3: Differenz der Logarithmen:

Nachweisen:

Alles ist genau das gleiche wie in Absatz 2:

Dann lasst es.

Dann lasst es. Wir haben:

Das Beispiel aus dem letzten Punkt ist jetzt noch einfacher:

Komplizierteres Beispiel: . Raten Sie selbst, wie Sie entscheiden sollen?

Hier ist zu beachten, dass wir keine einzige Formel für Logarithmen im Quadrat haben. Das ist so etwas wie ein Ausdruck – das kann man nicht gleich vereinfachen.

Lassen Sie uns daher von den Formeln über Logarithmen abschweifen und darüber nachdenken, welche Formeln wir in der Mathematik im Allgemeinen am häufigsten verwenden. Seit der 7. Klasse!

Das - . Man muss sich daran gewöhnen, dass sie überall sind! Und bei exponentiellen, trigonometrischen und irrationalen Problemen findet man sie. Daher müssen sie in Erinnerung bleiben.

Schaut man sich die ersten beiden Begriffe genau an, wird deutlich, dass dies der Fall ist Differenz der Quadrate:

Antwort zur Überprüfung:

Vereinfachen Sie sich.

Beispiele

Antworten.

Eigenschaft 4: Ableitung des Exponenten aus dem Argument des Logarithmus:

Nachweisen: Und hier verwenden wir auch die Definition des Logarithmus: let, then. Wir haben: , h.t.d.

Sie können diese Regel folgendermaßen verstehen:

Das heißt, der Grad des Arguments wird als Koeffizient vor den Logarithmus gesetzt.

Beispiel: Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Lösung: .

Entscheide dich selbst:

Beispiele:

Antworten:

Eigenschaft 5: Ableitung des Exponenten aus der Basis des Logarithmus:

Nachweisen: Dann lasst es.

Wir haben: , h.t.d.
Denken Sie daran: von Gründe Abschluss wird wiedergegeben als umkehren Nummer, im Gegensatz zum vorherigen Fall!

Eigenschaft 6: Ableitung des Exponenten aus der Basis und dem Argument des Logarithmus:

Oder wenn die Abschlüsse gleich sind: .

Eigenschaft 7: Übergang zur neuen Basis:

Nachweisen: Dann lasst es.

Wir haben: , h.t.d.

Eigenschaft 8: Basis und Argument des Logarithmus vertauschen:

Nachweisen: Dies ist ein Sonderfall der Formel 7: Wenn wir ersetzen, erhalten wir: , p.t.d.

Schauen wir uns noch ein paar Beispiele an.

Beispiel 4

Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Wir nutzen die Eigenschaft der Logarithmen Nr. 2 – die Summe der Logarithmen mit gleicher Basis ist gleich dem Logarithmus des Produkts:

Beispiel 5

Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Lösung:

Wir nutzen die Eigenschaft der Logarithmen Nr. 3 und Nr. 4:

Beispiel 6

Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Lösung:

Verwenden Sie die Objektnummer 7 – gehen Sie zu Basis 2:

Beispiel 7

Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Lösung:

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Beim Einheitlichen Staatsexamen und der OGE und allgemein im Leben

Wir haben also Zweierpotenzen. Wenn Sie die Zahl aus der unteren Zeile nehmen, können Sie leicht die Potenz ermitteln, mit der Sie eine Zwei erhöhen müssen, um diese Zahl zu erhalten. Um beispielsweise 16 zu erhalten, müssen Sie zwei auf die vierte Potenz erhöhen. Und um 64 zu erhalten, müssen Sie zwei auf die sechste Potenz erhöhen. Dies ist aus der Tabelle ersichtlich.

Und nun tatsächlich die Definition des Logarithmus:

Der Basislogarithmus des Arguments x ist die Potenz, mit der die Zahl a erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten.

Notation: log a x \u003d b, wobei a die Basis, x das Argument und b tatsächlich der Logarithmus ist.

Zum Beispiel: 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (der Logarithmus zur Basis 2 von 8 ist drei, weil 2 3 = 8). Könnte genauso gut 2 64 = 6 loggen, da 2 6 = 64.

Die Operation, den Logarithmus einer Zahl zu einer gegebenen Basis zu ermitteln, wird Logarithmus genannt. Fügen wir also unserer Tabelle eine neue Zeile hinzu:

Leider lassen sich nicht alle Logarithmen so einfach berücksichtigen. Versuchen Sie beispielsweise, log 2 5 zu finden. Die Zahl 5 ist nicht in der Tabelle, aber die Logik schreibt vor, dass der Logarithmus irgendwo auf dem Segment liegen wird. Weil 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Solche Zahlen nennt man irrational: Die Zahlen nach dem Komma können unendlich oft geschrieben werden und wiederholen sich nie. Wenn sich herausstellt, dass der Logarithmus irrational ist, ist es besser, ihn so zu belassen: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Es ist wichtig zu verstehen, dass der Logarithmus ein Ausdruck mit zwei Variablen (Basis und Argument) ist. Zunächst verwechseln viele Menschen die Grundlage und das Argument. Um ärgerliche Missverständnisse zu vermeiden, werfen Sie einfach einen Blick auf das Bild:

Vor uns liegt nichts weiter als die Definition des Logarithmus. Erinnern: Der Logarithmus ist die Potenz, auf die Sie die Basis erhöhen müssen, um das Argument zu erhalten. Es ist der Sockel, der zur Potenz erhoben wird – im Bild ist er rot hervorgehoben. Es stellt sich heraus, dass die Basis immer unten ist! Diese wunderbare Regel erzähle ich meinen Schülern gleich in der ersten Unterrichtsstunde – und es kommt zu keiner Verwirrung.

Wir haben die Definition herausgefunden – es bleibt zu lernen, wie man Logarithmen zählt, d.h. Entfernen Sie das „Log“-Schild. Zunächst stellen wir fest, dass sich aus der Definition zwei wichtige Tatsachen ergeben:

1. Das Argument und die Basis müssen immer größer als Null sein. Dies folgt aus der Definition des Grades durch einen rationalen Exponenten, auf den die Definition des Logarithmus reduziert wird.
2. Die Basis muss sich von der Einheit unterscheiden, da eine Einheit zu jeder Macht immer noch eine Einheit ist. Aus diesem Grund ist die Frage „zu welcher Macht muss man erhoben werden, um zwei zu bekommen“ bedeutungslos. Einen solchen Abschluss gibt es nicht!

Solche Einschränkungen nennt man gültiger Bereich(ODZ). Es stellt sich heraus, dass die ODZ des Logarithmus so aussieht: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Beachten Sie, dass es keine Einschränkungen für die Zahl b (den Wert des Logarithmus) gibt. Beispielsweise kann der Logarithmus durchaus negativ sein: log 2 0,5 = −1, weil 0,5 = 2 −1 .

Allerdings betrachten wir jetzt nur numerische Ausdrücke, bei denen es nicht erforderlich ist, die ODZ des Logarithmus zu kennen. Alle Einschränkungen wurden von den Compilern der Probleme bereits berücksichtigt. Wenn jedoch logarithmische Gleichungen und Ungleichungen ins Spiel kommen, werden die DHS-Anforderungen verbindlich. Tatsächlich kann es in der Grundlage und im Argument zu sehr starken Konstruktionen kommen, die nicht unbedingt den oben genannten Einschränkungen entsprechen.

Betrachten Sie nun das allgemeine Schema zur Berechnung von Logarithmen. Es besteht aus drei Schritten:

1. Drücken Sie die Basis a und das Argument x als Potenz aus, deren kleinstmögliche Basis größer als eins ist. Unterwegs ist es besser, Dezimalbrüche loszuwerden;
2. Lösen Sie die Gleichung nach der Variablen b: x = a b ;
3. Die resultierende Zahl b wird die Antwort sein.

Das ist alles! Sollte sich herausstellen, dass der Logarithmus irrational ist, wird dies bereits im ersten Schritt sichtbar. Die Anforderung, dass die Basis größer als eins sein muss, ist sehr relevant: Dies verringert die Fehlerwahrscheinlichkeit und vereinfacht die Berechnungen erheblich. Ähnlich verhält es sich mit Dezimalbrüchen: Wenn Sie sie sofort in gewöhnliche Brüche umwandeln, treten um ein Vielfaches weniger Fehler auf.

Sehen wir uns anhand konkreter Beispiele an, wie dieses Schema funktioniert:

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 5 25

1. Stellen wir die Basis und das Argument als Fünferpotenz dar: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
2. Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Antwort erhalten: 2.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus:

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 4 64

1. Stellen wir die Basis und das Argument als Zweierpotenz dar: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Antwort erhalten: 3.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 16 1

1. Stellen wir die Basis und das Argument als Zweierpotenz dar: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Antwort erhalten: 0.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 7 14

1. Stellen wir die Basis und das Argument als Siebenerpotenz dar: 7 = 7 1 ; 14 wird nicht als Siebenerpotenz dargestellt, denn 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Aus dem vorherigen Absatz folgt, dass der Logarithmus nicht berücksichtigt wird;
3. Die Antwort ist keine Änderung: Protokoll 7 14.

Eine kleine Anmerkung zum letzten Beispiel. Wie stellt man sicher, dass eine Zahl keine exakte Potenz einer anderen Zahl ist? Ganz einfach: Zerlegen Sie es einfach in Primfaktoren. Und wenn solche Faktoren nicht in einem Grad mit den gleichen Indikatoren erfasst werden können, dann ist die ursprüngliche Zahl kein exakter Grad.

Aufgabe. Finden Sie heraus, ob die genauen Potenzen der Zahl sind: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 ist der genaue Grad, weil es gibt nur einen Multiplikator;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ist keine exakte Potenz, da es zwei Faktoren gibt: 3 und 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - genauer Grad;
35 \u003d 7 5 - wiederum kein exakter Grad;
14 \u003d 7 2 – wiederum kein exakter Grad;

Beachten Sie auch, dass die Primzahlen selbst immer exakte Potenzen ihrer selbst sind.

Dezimaler Logarithmus

Einige Logarithmen sind so häufig, dass sie einen besonderen Namen und eine besondere Bezeichnung haben.

Der dezimale Logarithmus des x-Arguments ist der Logarithmus zur Basis 10, d. h. die Potenz, mit der Sie die Zahl 10 erhöhen müssen, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: lg x .

Beispiel: log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - usw.

Wenn von nun an ein Satz wie „Find lg 0.01“ im Lehrbuch auftaucht, wissen Sie, dass es sich nicht um einen Tippfehler handelt. Dies ist der dezimale Logarithmus. Wenn Sie eine solche Bezeichnung jedoch nicht gewohnt sind, können Sie sie jederzeit umschreiben:
log x = log 10 x

Alles, was für gewöhnliche Logarithmen gilt, gilt auch für Dezimalzahlen.

natürlicher Logarithmus

Es gibt einen weiteren Logarithmus, der seine eigene Notation hat. In gewissem Sinne ist es sogar noch wichtiger als die Dezimalzahl. Dies ist der natürliche Logarithmus.

Der natürliche Logarithmus des Arguments x ist der Logarithmus zur Basis e, d.h. die Potenz, mit der die Zahl e erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: ln x .

Viele werden fragen: Was ist sonst noch die Zahl e? Dies ist eine irrationale Zahl, ihr genauer Wert kann nicht gefunden und aufgeschrieben werden. Hier nur die ersten Zahlen:
e = 2,718281828459...

Wir werden nicht näher darauf eingehen, was diese Nummer ist und warum sie benötigt wird. Denken Sie daran, dass e die Basis des natürlichen Logarithmus ist:
ln x = log e x

Somit ist ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - usw. Andererseits ist ln 2 eine irrationale Zahl. Im Allgemeinen ist der natürliche Logarithmus jeder rationalen Zahl irrational. Außer natürlich Einheit: ln 1 = 0.

Für natürliche Logarithmen gelten alle Regeln, die auch für gewöhnliche Logarithmen gelten.