Vektorji tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora. Linearna odvisnost in linearna neodvisnost vektorjev. Osnova vektorjev. Afini koordinatni sistem

Linearna odvisnost in linearna neodvisnost vektorjev.
Osnova vektorjev. Afini koordinatni sistem

V dvorani je voziček s čokolado, ki ga bo dobil vsak današnji obiskovalec sladki par– analitična geometrija z linearno algebro. Ta članek se bo dotaknil dveh delov višje matematike hkrati in videli bomo, kako sobivata v enem ovoju. Oddahnite si, pojejte Twix! ...prekleto, kakšen kup neumnosti. Čeprav, v redu, ne bom točkoval, na koncu bi morali imeti pozitiven odnos do študija.

Linearna odvisnost vektorjev, linearna vektorska neodvisnost, osnova vektorjev in drugi izrazi nimajo samo geometrijske razlage, ampak predvsem algebrski pomen. Sam koncept "vektorja" z vidika linearne algebre ni vedno "navaden" vektor, ki ga lahko upodabljamo na ravnini ali v prostoru. Za dokaz vam ni treba iskati daleč, poskusite narisati vektor petdimenzionalnega prostora . Ali vremenski vektor, po katerega sem pravkar šel na Gismeteo: temperatura oziroma atmosferski tlak. Primer seveda ni pravilen z vidika lastnosti vektorskega prostora, vendar kljub temu nihče ne prepoveduje formalizacije teh parametrov kot vektorja. Dih jeseni...

Ne, ne bom vas dolgočasil s teorijo, linearni vektorski prostori, naloga je razumeti definicije in izreki. Novi izrazi (linearna odvisnost, neodvisnost, linearna kombinacija, baza itd.) veljajo za vse vektorje z algebraičnega vidika, vendar bodo navedeni geometrijski primeri. Tako je vse preprosto, dostopno in jasno. Poleg problemov analitične geometrije bomo obravnavali tudi nekatere tipične algebrske probleme. Za obvladovanje gradiva je priporočljivo, da se seznanite z lekcijami Vektorji za lutke in Kako izračunati determinanto?

Linearna odvisnost in neodvisnost ravninskih vektorjev.
Ravninska baza in afini koordinatni sistem

Razmislimo o ravnini vaše računalniške mize (samo miza, nočna omarica, tla, strop, karkoli želite). Naloga bo sestavljena iz naslednjih dejanj:

1) Izberite ravninsko osnovo. Grobo rečeno, mizna plošča ima dolžino in širino, zato je intuitivno, da bosta za izdelavo osnove potrebna dva vektorja. En vektor očitno ni dovolj, trije vektorji so preveč.

2) Na podlagi izbrane podlage nastavite koordinatni sistem(koordinatna mreža), da dodelite koordinate vsem predmetom na mizi.

Ne bodite presenečeni, sprva bodo pojasnila na prstih. Še več, na tvojem. Prosimo postavite kazalec leva roka na robu mizne plošče, tako da gleda v monitor. To bo vektor. Zdaj mesto Mezinec desna roka na rob mize na enak način - tako, da je usmerjen v zaslon monitorja. To bo vektor. Nasmej se, izgledaš super! Kaj lahko rečemo o vektorjih? Podatkovni vektorji kolinearni, kar pomeni linearni izraženi drug skozi drugega:
, no, ali obratno: , kjer je neko število različno od nič.

Sliko tega dejanja si lahko ogledate v razredu. Vektorji za lutke, kjer sem razložil pravilo množenja vektorja s številom.

Ali bodo vaši prsti postavili podlago na ravnino računalniške mize? Očitno ne. Kolinearni vektorji potujejo naprej in nazaj čez sam smer, ravnina pa ima dolžino in širino.

Takšni vektorji se imenujejo linearno odvisen.

Referenca: Besede "linearno", "linearno" označujejo dejstvo, da v matematičnih enačbah in izrazih ni kvadratov, kock, drugih potenc, logaritmov, sinusov itd. Obstajajo samo linearni (1. stopnje) izrazi in odvisnosti.

Dva ravninska vektorja linearno odvisenče in samo če so kolinearni.

Prekrižajte prste na mizi, tako da je med njimi kakršen koli kot, ki ni 0 ali 180 stopinj. Dva ravninska vektorjalinearni ne odvisni, če in samo če niso kolinearni. Torej, osnova je pridobljena. Ni vam treba biti nerodno, da se je osnova izkazala za "poševno" z nepravokotnimi vektorji različnih dolžin. Kmalu bomo videli, da za njegovo konstrukcijo ni primeren samo kot 90 stopinj in ne le enotski vektorji enake dolžine

Kaj ravninski vektor edina pot se razširi glede na osnovo:
, kjer so realna števila. Številke se imenujejo vektorske koordinate v tej osnovi.

Rečeno je tudi, da vektorpredstavljen kot linearna kombinacija bazni vektorji. To pomeni, da se izraz imenuje vektorska dekompozicijapo osnovi oz linearna kombinacija bazni vektorji.

Na primer, lahko rečemo, da je vektor razčlenjen vzdolž ortonormirane baze ravnine, ali pa lahko rečemo, da je predstavljen kot linearna kombinacija vektorjev.

Oblikujmo opredelitev osnove formalno: Osnova letala imenujemo par linearno neodvisnih (nekolinearnih) vektorjev, , pri čemer kaj ravninski vektor je linearna kombinacija baznih vektorjev.

Bistvena točka definicije je dejstvo, da so vektorji vzeti v določenem vrstnem redu. Baze – to sta dve popolnoma različni bazi! Kot pravijo, ne morete zamenjati mezinca leve roke namesto mezinca desne roke.

Osnovo smo ugotovili, vendar ni dovolj, da nastavite koordinatno mrežo in vsakemu predmetu na računalniški mizi dodelite koordinate. Zakaj ni dovolj? Vektorji so prosti in se sprehajajo po celotni ravnini. Kako torej dodeliti koordinate tistim malim umazanim madežem na mizi, ki so ostali od divjega vikenda? Potrebno je izhodišče. In tak mejnik je točka, ki jo poznajo vsi - izvor koordinat. Razumejmo koordinatni sistem:

Začel bom s "šolskim" sistemom. Že v uvodni uri Vektorji za lutke Poudaril sem nekaj razlik med pravokotnim koordinatnim sistemom in ortonormirano bazo. Tukaj je standardna slika:

Ko govorijo o pravokotni koordinatni sistem, potem največkrat pomenijo izhodišče, koordinatne osi in merilo po oseh. Poskusite v iskalnik vnesti "pravokotni koordinatni sistem" in videli boste, da vam bodo številni viri povedali o koordinatnih oseh, poznanih iz 5.-6. razreda, in o tem, kako narisati točke na ravnini.

Po drugi strani pa se zdi, da lahko pravokotni koordinatni sistem v celoti definiramo z ortonormirano bazo. In to je skoraj res. Besedilo je naslednje:

izvor, In ortonormalno osnova je postavljena Kartezični pravokotni ravninski koordinatni sistem . To je pravokotni koordinatni sistem zagotovo odločen edina točka in dva enotska pravokotna vektorja. Zato vidite risbo, ki sem jo dal zgoraj - v geometrijskih problemih so pogosto (vendar ne vedno) narisani tako vektorji kot koordinatne osi.

Mislim, da vsi razumejo to uporabo točke (izvora) in ortonormirane osnove KATERAKOLI TOČKA na ravnini in KATERIKOLI VEKTOR na ravnini lahko dodelite koordinate. Figurativno povedano, »vse na letalu je mogoče prešteti«.

Ali morajo biti koordinatni vektorji enotni? Ne, lahko imajo poljubno različno dolžino. Razmislite o točki in dveh pravokotnih vektorjih poljubne dolžine, ki ni enaka nič:

Takšna osnova se imenuje pravokoten. Izhodišče koordinat z vektorji je določeno s koordinatno mrežo in vsaka točka na ravnini, vsak vektor ima svoje koordinate v dani bazi. Na primer oz. Očitna neprijetnost je, da koordinatni vektorji na splošno imajo različne dolžine razen enote. Če so dolžine enake enoti, dobimo običajno ortonormirano osnovo.

! Opomba : v ortogonalni bazi, kot tudi spodaj v afinih bazah ravnine in prostora, upoštevamo enote vzdolž osi POGOJNO. Na primer, ena enota vzdolž osi x vsebuje 4 cm, ena enota vzdolž ordinatne osi pa je dovolj, da po potrebi pretvorimo "nestandardne" koordinate v "naše običajne centimetre".

In drugo vprašanje, na katerega smo pravzaprav že odgovorili, je, ali mora biti kot med baznima vektorjema enak 90 stopinj? ne! Kot navaja definicija, morajo biti bazni vektorji samo nekolinearni. Skladno s tem je lahko kot karkoli razen 0 in 180 stopinj.

Poklicana točka na ravnini izvor, In nekolinearni vektorji, , set afini ravninski koordinatni sistem :

Včasih se tak koordinatni sistem imenuje poševno sistem. Kot primere so na risbi prikazane točke in vektorji:

Kot razumete, je afini koordinatni sistem še manj priročen, formule za dolžine vektorjev in segmentov, o katerih smo razpravljali v drugem delu lekcije, v njem ne delujejo. Vektorji za lutke, številne okusne formule, povezane z skalarni produkt vektorjev. Toda pravila za dodajanje vektorjev in množenje vektorja s številom, formule za delitev segmenta v tej relaciji, pa tudi nekatere druge vrste problemov, ki jih bomo kmalu obravnavali, veljajo.

In sklep je, da je najprimernejši poseben primer afinega koordinatnega sistema kartezični pravokotni sistem. Zato jo moraš največkrat videti, draga moja. ...Vendar je vse v tem življenju relativno - veliko je situacij, v katerih poševni kot (ali kakšen drug, npr. polarni) koordinatni sistem. In humanoidom bi bili takšni sistemi morda všeč =)

Preidimo na praktični del. Vse težave v tej lekciji veljajo tako za pravokotni koordinatni sistem kot za splošni afini primer. Tu ni nič zapletenega, vse gradivo je dostopno tudi šolarju.

Kako ugotoviti kolinearnost ravninskih vektorjev?

Tipična stvar. Za dva ravninska vektorja bile kolinearne, je nujno in zadostno, da so njihove ustrezne koordinate sorazmerne V bistvu je to podrobnost očitnega razmerja po koordinatah.

Primer 1

a) Preverite, če sta vektorja kolinearna .
b) Ali vektorji tvorijo osnovo? ?

rešitev:
a) Ugotovimo, ali obstaja za vektorje sorazmernostni koeficient, tako da so izpolnjene enakosti:

Vsekakor vam bom povedal o "foppish" različici uporabe tega pravila, ki v praksi deluje precej dobro. Ideja je, da takoj sestavite delež in preverite, ali je pravilen:

Naredimo sorazmerje iz razmerij ustreznih koordinat vektorjev:

Skrajšajmo:
, zato so ustrezne koordinate sorazmerne, torej

Razmerje bi lahko bilo obratno; to je enakovredna možnost:

Za samotestiranje lahko uporabite dejstvo, da so kolinearni vektorji linearno izraženi drug skozi drugega. IN v tem primeru obstajajo enakosti . Njihovo veljavnost lahko enostavno preverimo z osnovnimi operacijami z vektorji:

b) Dva ravninska vektorja tvorita bazo, če nista kolinearna (linearno neodvisna). Vektorje preverjamo glede kolinearnosti . Ustvarimo sistem:

Iz prve enačbe sledi , iz druge enačbe pa , kar pomeni sistem je nedosleden(brez rešitev). Tako ustrezne koordinate vektorjev niso sorazmerne.

Zaključek: vektorja sta linearno neodvisna in tvorita bazo.

Poenostavljena različica rešitve je videti takole:

Iz pripadajočih koordinat vektorjev naredimo razmerje :
, kar pomeni, da so ti vektorji linearno neodvisni in tvorijo bazo.

Običajno te možnosti recenzenti ne zavrnejo, problem pa nastane v primerih, ko so nekatere koordinate enake nič. Všečkaj to: . ali takole: . ali takole: . Kako delati s sorazmerjem tukaj? (dejansko ne morete deliti z ničlo). Iz tega razloga sem poenostavljeno rešitev poimenoval "foppish".

odgovor: a), b) oblika.

Majhen ustvarjalni primer za lastno rešitev:

Primer 2

Pri kateri vrednosti parametra so vektorji bodo kolinearni?

V vzorčni raztopini parameter najdemo z deležem.

Obstaja eleganten algebrski način za preverjanje kolinearnosti vektorjev. Sistematizirajmo naše znanje in ga dodamo kot peto točko:

Za dva ravninska vektorja sta naslednji trditvi enakovredni:

2) vektorji tvorijo osnovo;
3) vektorja nista kolinearna;

+ 5) determinanta, sestavljena iz koordinat teh vektorjev, je različna od nič.

Oziroma naslednje nasprotne trditve so enakovredne:
1) vektorji so linearno odvisni;
2) vektorji ne tvorijo osnove;
3) vektorja sta kolinearna;
4) vektorje lahko linearno izrazimo drug skozi drugega;
+ 5) determinanta, sestavljena iz koordinat teh vektorjev, je enaka nič.

Resnično upam, da ta trenutekže razumete vse izraze in izjave, na katere naletite.

Oglejmo si podrobneje novo, peto točko: dva ravninska vektorja so kolinearne, če in samo če je determinanta, sestavljena iz koordinat danih vektorjev, enaka nič:. Če želite uporabiti to funkcijo, morate seveda biti sposobni poiščite determinante.

Odločimo se Primer 1 na drugi način:

a) Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz koordinat vektorjev :
, kar pomeni, da so ti vektorji kolinearni.

b) Dva ravninska vektorja tvorita bazo, če nista kolinearna (linearno neodvisna). Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz vektorskih koordinat :
, kar pomeni, da so vektorji linearno neodvisni in tvorijo osnovo.

odgovor: a), b) oblika.

Izgleda veliko bolj kompaktno in lepše kot rešitev s proporci.

S pomočjo obravnavanega materiala je mogoče ugotoviti ne le kolinearnost vektorjev, temveč tudi dokazati vzporednost segmentov in ravnih črt. Razmislimo o nekaj težavah s posebnimi geometrijskimi oblikami.

Primer 3

Podana so oglišča štirikotnika. Dokaži, da je štirikotnik paralelogram.

Dokaz: V problemu ni potrebe po ustvarjanju risbe, saj bo rešitev zgolj analitična. Spomnimo se definicije paralelograma:
Paralelogram Štirikotnik, katerega nasprotne stranice so v parih vzporedne, se imenuje.

Tako je potrebno dokazati:
1) vzporednost nasprotnih strani in;
2) vzporednost nasprotnih strani in.

Dokazujemo:

1) Poiščite vektorje:

2) Poiščite vektorje:

Rezultat je enak vektor (»po šoli« – enaki vektorji). Kolinearnost je precej očitna, vendar je bolje formalizirati odločitev jasno, z dogovorom. Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz vektorskih koordinat:
, kar pomeni, da so ti vektorji kolinearni in .

Zaključek: Nasprotni strani štirikotnika sta v parih vzporedni, kar pomeni, da je po definiciji paralelogram. Q.E.D.

Več dobrih in drugačnih figur:

Primer 4

Podana so oglišča štirikotnika. Dokaži, da je štirikotnik trapez.

Za strožjo formulacijo dokaza je seveda bolje dobiti definicijo trapeza, vendar je dovolj, da se preprosto spomnite, kako izgleda.

To je naloga, ki jo morate rešiti sami. Celotna rešitev na koncu lekcije.

In zdaj je čas, da se počasi premaknemo iz letala v vesolje:

Kako ugotoviti kolinearnost vesoljskih vektorjev?

Pravilo je zelo podobno. Da sta dva prostorska vektorja kolinearna, je nujno in zadostno, da sta njuni pripadajoči koordinati sorazmerni.

Primer 5

Ugotovite, ali so naslednji prostorski vektorji kolinearni:

A) ;
b)
V)

rešitev:
a) Preverimo, ali obstaja sorazmernostni koeficient za ustrezne koordinate vektorjev:

Sistem nima rešitve, kar pomeni, da vektorji niso kolinearni.

"Poenostavljeno" je formalizirano s preverjanjem deleža. V tem primeru:
– ustrezne koordinate niso proporcionalne, kar pomeni, da vektorji niso kolinearni.

odgovor: vektorji niso kolinearni.

b-c) To so točke za samostojno odločanje. Preizkusite na dva načina.

Obstaja metoda za preverjanje kolinearnosti prostorskih vektorjev prek determinante tretjega reda; ta metoda je obravnavana v članku Vektorski produkt vektorjev.

Podobno kot v ravninskem primeru lahko z obravnavanimi orodji preučujemo vzporednost prostorskih odsekov in ravnih črt.

Dobrodošli v drugi rubriki:

Linearna odvisnost in neodvisnost vektorjev v tridimenzionalnem prostoru.
Prostorska osnova in afini koordinatni sistem

Številni vzorci, ki smo jih pregledali na letalu, bodo veljavni za vesolje. Poskušal sem zmanjšati teoretične opombe, saj je bil levji delež informacij že prežvečen. Priporočam pa, da pozorno preberete uvodni del, saj se bodo pojavili novi izrazi in pojmi.

Zdaj namesto ravnine računalniške mize raziskujemo tridimenzionalni prostor. Najprej ustvarimo njegovo osnovo. Nekdo je zdaj v zaprtih prostorih, nekdo zunaj, v vsakem primeru pa ne moremo ubežati trem dimenzijam: širini, dolžini in višini. Zato bodo za izdelavo osnove potrebni trije prostorski vektorji. En ali dva vektorja nista dovolj, četrti je odveč.

In spet segrejemo na prste. Prosim, dvignite roko in jo razširite različne strani palec, kazalec in sredinec. To bodo vektorji, gledajo v različne smeri, imajo različne dolžine in imajo različne kote med seboj. Čestitamo, osnova tridimenzionalnega prostora je pripravljena! Mimogrede, tega učiteljem ni treba dokazovati, ne glede na to, kako močno vrtite prste, vendar definicijam ni mogoče ubežati =)

Naprej, vprašajmo pomembno vprašanje, ali kateri koli trije vektorji tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora? Trdno pritisnite s tremi prsti na vrh računalniške mize. Kaj se je zgodilo? Trije vektorji se nahajajo v isti ravnini in, grobo rečeno, smo izgubili eno od dimenzij - višino. Takšni vektorji so komplanaren in povsem očitno je, da osnova tridimenzionalnega prostora ni ustvarjena.

Upoštevati je treba, da koplanarnim vektorjem ni treba ležati v isti ravnini, lahko so v vzporednih ravninah (samo tega ne počnite s prsti, to je naredil samo Salvador Dali =)).

Opredelitev: imenujemo vektorje komplanaren, če obstaja ravnina, s katero sta vzporedni. Tu je logično dodati, da če taka ravnina ne obstaja, potem vektorji ne bodo koplanarni.

Trije komplanarni vektorji so vedno linearno odvisni, to pomeni, da so linearno izraženi drug skozi drugega. Za poenostavitev si znova predstavljajmo, da ležijo v isti ravnini. Prvič, vektorji niso samo koplanarni, lahko so tudi kolinearni, potem je kateri koli vektor lahko izražen s katerim koli vektorjem. V drugem primeru, če na primer vektorji niso kolinearni, je tretji vektor izražen skozi njih na edinstven način: (in zakaj je enostavno uganiti iz materialov v prejšnjem razdelku).

Velja tudi obratno: trije nekoplanarni vektorji so vedno linearno neodvisni, to pomeni, da se nikakor ne izražata drug skozi drugega. In seveda le taki vektorji lahko tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora.

Opredelitev: Osnova tridimenzionalnega prostora imenujemo trojka linearno neodvisnih (nekomplanarnih) vektorjev, vzeti v določenem vrstnem redu, in poljuben vektor prostora edina pot je razčlenjen po dani bazi, kjer so koordinate vektorja v tej bazi

Naj vas spomnim, da lahko tudi rečemo, da je vektor predstavljen v obliki linearna kombinacija bazni vektorji.

Pojem koordinatnega sistema uvedemo na popolnoma enak način kot za ravninski primer in zadostujejo kateri koli trije linearno neodvisni vektorji;

izvor, In nekoplanarni vektorji, vzeti v določenem vrstnem redu, set afini koordinatni sistem tridimenzionalnega prostora :

Seveda je koordinatna mreža "poševna" in neprijetna, vendar nam kljub temu izdelani koordinatni sistem omogoča zagotovo določiti koordinate poljubnega vektorja in koordinate poljubne točke v prostoru. Podobno kot na ravnini nekatere formule, ki sem jih že omenil, ne bodo delovale v afinem koordinatnem sistemu prostora.

Najbolj znan in priročen poseben primer afinega koordinatnega sistema, kot vsi ugibajo, je koordinatni sistem pravokotnega prostora:

Točka v prostoru, imenovana izvor, In ortonormalno osnova je postavljena Kartezični pravokotni prostorski koordinatni sistem . Znana slika:

Preden preidemo na praktične naloge, znova sistematizirajmo informacije:

Za tri prostorske vektorje so naslednje izjave enakovredne:
1) vektorja sta linearno neodvisna;
2) vektorji tvorijo osnovo;
3) vektorja nista koplanarna;
4) vektorjev ni mogoče linearno izraziti drug skozi drugega;
5) determinanta, sestavljena iz koordinat teh vektorjev, je različna od nič.

Mislim, da so nasprotne trditve razumljive.

Linearno odvisnost/neodvisnost prostorskih vektorjev tradicionalno preverjamo z determinanto (točka 5). Preostalo praktične naloge bo imela izrazit algebrski značaj. Čas je, da obesimo geometrijsko palico in vihtimo bejzbolski kij linearne algebre:

Trije vektorji prostora so komplanarne, če in samo če je determinanta, sestavljena iz koordinat danih vektorjev, enaka nič: .

Rad bi vas opozoril na majhno tehnično nianso: koordinate vektorjev lahko zapišete ne samo v stolpce, ampak tudi v vrstice (vrednost determinante se zaradi tega ne bo spremenila - glejte lastnosti determinant). Vendar je veliko bolje v stolpcih, saj je bolj uporabno za reševanje nekaterih praktičnih problemov.

Za tiste bralce, ki so že malce pozabili metode izračunavanja determinant ali pa jih morda sploh ne razumejo, priporočam eno svojih najstarejših lekcij: Kako izračunati determinanto?

Primer 6

Preverite, ali so naslednji vektorji osnova tridimenzionalnega prostora:

rešitev: Pravzaprav se celotna rešitev zmanjša na izračun determinante.

a) Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz vektorskih koordinat (determinanta je razkrita v prvi vrstici):

, kar pomeni, da so vektorji linearno neodvisni (ne koplanarni) in tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora.

Odgovori: ti vektorji tvorijo osnovo

b) To je točka za neodvisno odločitev. Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Obstajajo tudi ustvarjalne naloge:

Primer 7

Pri kateri vrednosti parametra bodo vektorji komplanarni?

rešitev: Vektorji so komplanarni, če in samo če je determinanta, sestavljena iz koordinat teh vektorjev, enaka nič:

V bistvu morate rešiti enačbo z determinanto. Na ničle se spuščamo kot zmaji na jerboe - najbolje je odpreti determinanto v drugi vrstici in se takoj znebiti minusov:

Izvedemo nadaljnje poenostavitve in zadevo reduciramo na najpreprostejšo linearno enačbo:

Odgovori: pri

Tukaj je enostavno preveriti; dobljeno vrednost morate nadomestiti z izvirno determinanto in se prepričati , ponovno odpiranje.

Na koncu bomo preučili še en tipičen problem, ki je bolj algebrske narave in je tradicionalno vključen v tečaj linearne algebre. Tako pogosta je, da si zasluži svojo temo:

Dokaži, da trije vektorji tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora
in v tej bazi poišči koordinate 4. vektorja

Primer 8

Vektorji so podani. Pokažite, da vektorji tvorijo bazo v tridimenzionalnem prostoru in poiščite koordinate vektorja v tej bazi.

rešitev: Najprej se posvetimo stanju. Po pogoju so podani štirje vektorji, ki imajo, kot vidite, že koordinate v neki bazi. Kaj je ta osnova, nas ne zanima. In zanimivo je naslednje: trije vektorji lahko tvorijo novo osnovo. In prva stopnja popolnoma sovpada z rešitvijo primera 6, potrebno je preveriti, ali so vektorji resnično linearno neodvisni:

Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz vektorskih koordinat:

, kar pomeni, da so vektorji linearno neodvisni in tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora.

! Pomembno : vektorske koordinate Nujno zapisati v stolpce determinanta, ne v nizih. V nasprotnem primeru bo prišlo do zmede v nadaljnjem algoritmu rešitve.

Testne naloge

Naloga 1 - 10. Podani so vektorji. Pokažite, da vektorji tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora in poiščite koordinate vektorja v tej bazi:

Dani vektorji ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Pokažite, da vektorji tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora in poiščite koordinate vektorja X v tej bazi.

Ta naloga je sestavljena iz dveh delov. Najprej morate preveriti, ali vektorji tvorijo osnovo. Vektorji tvorijo bazo, če je determinanta, sestavljena iz koordinat teh vektorjev, različna od nič, sicer vektorji niso bazični in vektorja X ni mogoče razširiti čez to bazo.

Izračunajmo determinanto matrike:

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

Determinant matrike je ∆ =37

Ker je determinanta različna od nič, vektorji tvorijo osnovo, zato lahko vektor X razširimo na to osnovo. Tisti. obstajajo števila α 1, α 2, α 3, za katera velja enakost:

X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3

Zapišimo to enakost v koordinatni obliki:

(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)

Z uporabo lastnosti vektorjev dobimo naslednjo enakost:

(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)

(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)

Po lastnosti enakosti vektorjev imamo:

3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3

1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0

6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1

Rešimo nastali sistem enačb Gaussova metoda oz Cramerjeva metoda.

X = ε 1 + 2ε 2 -ε 3

Rešitev je bila prejeta in obdelana s storitvijo:

Vektorske koordinate v bazi

Poleg tega problema rešujejo tudi:

Reševanje matričnih enačb

Cramerjeva metoda

Gaussova metoda

Inverzna matrika z uporabo Jordano-Gaussove metode

Inverzna matrika preko algebraičnih komplementov

Spletno množenje matrik

Osnova prostora imenujejo tak sistem vektorjev, v katerem lahko vse druge vektorje v prostoru predstavimo kot linearno kombinacijo vektorjev, vključenih v osnovo.
V praksi se vse to izvaja precej preprosto. Osnova se praviloma preverja na ravnini ali v prostoru, za to pa morate najti determinanto matrike drugega, tretjega reda, sestavljene iz vektorskih koordinat. Spodaj so shematično napisani pogoji, pod katerimi vektorji tvorijo osnovo

Za razširi vektor b v bazične vektorje
e,e...,e[n] je treba najti koeficiente x, ..., x[n], za katere je linearna kombinacija vektorjev e,e...,e[n] enaka vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Da bi to naredili, je treba vektorsko enačbo pretvoriti v sistem linearne enačbe in najti rešitve. To je tudi precej preprosto za izvedbo.
Najdeni koeficienti x, ..., x[n] se imenujejo koordinate vektorja b v osnovi e,e...,e[n].
Pojdimo naprej praktična stran Teme.

Razgradnja vektorja na bazične vektorje

Naloga 1. Preverite, ali vektorja a1, a2 tvorita bazo na ravnini

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Rešitev: Iz koordinat vektorjev sestavimo determinanto in jo izračunamo

Determinant ni nič, torej vektorja sta linearno neodvisna, kar pomeni, da tvorita osnovo.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Rešitev: Izračunamo determinanto, sestavljeno iz vektorjev

Determinanta je enaka 13 (ni enaka nič) - iz tega sledi, da sta vektorja a1, a2 osnova na ravnini.

---=================---

Oglejmo si tipične primere iz programa MAUP pri disciplini "Višja matematika".

Naloga 2. Pokažite, da vektorji a1, a2, a3 tvorijo osnovo tridimenzionalnega vektorskega prostora, in v skladu s to osnovo razširite vektor b (pri reševanju sistema linearnih algebrskih enačb uporabite Cramerjevo metodo).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Rešitev: Najprej razmislimo o sistemu vektorjev a1, a2, a3 in preverimo determinanto matrike A

zgrajen na neničelnih vektorjih. Matrika vsebuje en ničelni element, zato je primerneje izračunati determinanto kot urnik v prvem stolpcu ali tretji vrstici.

Kot rezultat izračunov smo ugotovili, da je determinanta drugačna od nič, torej vektorji a1, a2, a3 so linearno neodvisni.
Po definiciji tvorijo vektorji osnovo v R3. Zapišimo razpored vektorja b na podlagi

Vektorja sta enaka, ko sta njuni ustrezni koordinati enaki.
Zato iz vektorske enačbe dobimo sistem linearnih enačb

Rešimo SLAE Cramerjeva metoda. Za to zapišemo sistem enačb v obliki

Glavna determinanta SLAE je vedno enaka determinanti, sestavljeni iz baznih vektorjev

Zato se v praksi ne šteje dvakrat. Za iskanje pomožnih determinant namesto vsakega stolpca glavne determinante postavimo stolpec prostih členov. Determinante se izračunajo po pravilu trikotnika



Najdene determinante nadomestimo v Cramerjevo formulo



Torej ima razširitev vektorja b glede na bazo obliko b=-4a1+3a2-a3. Koordinate vektorja b v bazi a1, a2, a3 bodo (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Rešitev: Vektorje preverimo za bazo - iz koordinat vektorjev sestavimo determinanto in jo izračunamo.

Determinant torej ni enak nič vektorji tvorijo osnovo v prostoru. Skozi to osnovo je treba najti razpored vektorja b. Da bi to naredili, napišemo vektorsko enačbo

in pretvori v sistem linearnih enačb

Zapišemo matrično enačbo

Nato za Cramerjeve formule najdemo pomožne determinante



Uporabljamo Cramerjeve formule



Torej ima dani vektor b razpored skozi dva bazna vektorja b=-2a1+5a3, njegove koordinate v bazi pa so enake b(-2,0, 5).

Primer 8

Vektorji so podani. Pokažite, da vektorji tvorijo bazo v tridimenzionalnem prostoru in poiščite koordinate vektorja v tej bazi.

rešitev: Najprej se posvetimo stanju. Po pogoju so podani štirje vektorji, ki imajo, kot vidite, že koordinate v neki bazi. Kaj je ta osnova, nas ne zanima. In zanimivo je naslednje: trije vektorji lahko tvorijo novo osnovo. In prva stopnja popolnoma sovpada z rešitvijo primera 6, potrebno je preveriti, ali so vektorji resnično linearno neodvisni:

Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz vektorskih koordinat:

, kar pomeni, da so vektorji linearno neodvisni in tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora.

! Pomembno: vektorske koordinate Nujno zapisati v stolpce determinanta, ne v nizih. V nasprotnem primeru bo prišlo do zmede v nadaljnjem algoritmu rešitve.

Zdaj pa se spomnimo teoretičnega dela: če vektorji tvorijo osnovo, potem lahko vsak vektor razširimo v dano osnovo na edinstven način: , kjer so koordinate vektorja v bazi.

Ker naši vektorji tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora (to je bilo že dokazano), lahko vektor na to osnovo razširimo na edinstven način:
, kjer so koordinate vektorja v bazi.

Glede na stanje in je potrebno najti koordinate.

Za lažjo razlago bom zamenjal dele: . Da bi ga našli, bi morali zapisati to enakost koordinato za koordinato:

Na podlagi česa so določeni koeficienti? Vsi koeficienti na levi strani so natančno preneseni iz determinante , so na desni strani zapisane koordinate vektorja.

Rezultat je sistem treh linearnih enačb s tremi neznankami. Običajno se reši z Cramerjeve formule, pogosto celo v izjavi o problemu obstaja taka zahteva.

Glavna determinanta sistema je že najdena:
, kar pomeni, da ima sistem edinstveno rešitev.

Kar sledi je stvar tehnike:

Torej:
– dekompozicija vektorja po bazi.

odgovor:

Kot sem že omenil, je problem algebraične narave. Obravnavani vektorji niso nujno tisti vektorji, ki jih lahko narišemo v prostoru, ampak predvsem abstraktni vektorji tečaja linearne algebre. Za dvodimenzionalne vektorje je mogoče formulirati in rešiti podoben problem; Vendar se v praksi s takšno nalogo še nisem srečal, zato sem jo v prejšnjem razdelku preskočil.

Isti problem s tridimenzionalnimi vektorji za neodvisno rešitev:

Primer 9

Vektorji so podani. Dokaži, da vektorja tvorita osnovo in poišči koordinate vektorja v tej bazi. Rešite sistem linearnih enačb z uporabo Cramerjeve metode.

Popolna rešitev in približen vzorec zaključek ob koncu lekcije.

Podobno lahko obravnavamo štiridimenzionalne, petdimenzionalne itd. vektorski prostori, kjer imajo vektorji 4, 5 ali več koordinat. Za te vektorske prostore obstaja tudi koncept linearne odvisnosti, linearne neodvisnosti vektorjev, obstaja osnova, vključno z ortonormirano bazo, razširitev vektorja glede na bazo. Da, takih prostorov ni mogoče risati geometrijsko, vendar v njih delujejo vsa pravila, lastnosti in izreki dvo- in tridimenzionalnih primerov - čista algebra. Pravzaprav me je že mikalo, da bi v članku spregovoril o filozofskih vprašanjih Parcialni odvodi funkcije treh spremenljivk, ki se je pojavila pred to lekcijo.

Ljubite vektorje in vektorji bodo vzljubili vas!

Rešitve in odgovori:

Primer 2: rešitev: naredimo razmerje iz ustreznih koordinat vektorjev:

odgovor: pri

Primer 4: Dokaz: TrapezŠtirikotnik imenujemo štirikotnik, pri katerem sta stranici vzporedni, drugi strani pa nista vzporedni.
1) Preverimo vzporednost nasprotnih stranic in .
Poiščimo vektorje:


, kar pomeni, da ti vektorji niso kolinearni in stranice niso vzporedne.
2) Preverimo vzporednost nasprotnih stranic in .
Poiščimo vektorje:

Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz vektorskih koordinat:
, kar pomeni, da so ti vektorji kolinearni in .
Zaključek: Dve stranici štirikotnika sta vzporedni, drugi dve stranici pa nista vzporedni, kar pomeni, da je po definiciji trapez. Q.E.D.

Primer 5: rešitev:
b) Preverimo, ali obstaja sorazmernostni koeficient za ustrezne koordinate vektorjev:

Sistem nima rešitve, kar pomeni, da vektorji niso kolinearni.
Preprostejši dizajn:
– druga in tretja koordinata nista proporcionalni, kar pomeni, da vektorja nista kolinearna.
odgovor: vektorji niso kolinearni.
c) Vektorje pregledamo na kolinearnost . Ustvarimo sistem:

Ustrezne koordinate vektorjev so sorazmerne, kar pomeni
To je tisto, kjer metoda oblikovanja "foppish" odpove.
odgovor:

Primer 6: rešitev: b) Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz vektorskih koordinat (determinanta je razkrita v prvi vrstici):

, kar pomeni, da so vektorji linearno odvisni in ne tvorijo osnove tridimenzionalnega prostora.
Odgovori : ti vektorji ne tvorijo osnove

Primer 9: rešitev: Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz vektorskih koordinat:


Tako so vektorji linearno neodvisni in tvorijo osnovo.
Predstavimo vektor kot linearno kombinacijo baznih vektorjev:

Koordinatno:

Rešimo sistem s Cramerjevimi formulami:
, kar pomeni, da ima sistem edinstveno rešitev.

odgovor:Vektorji tvorijo osnovo,

Višja matematika za dopisne študente in več >>>

(Pojdi na glavno stran)

Navzkrižni produkt vektorjev.
Mešani produkt vektorjev

V tej lekciji si bomo ogledali še dve operaciji z vektorji: vektorski izdelek vektorji in mešano delo vektorji. Ni kaj, včasih se zgodi, da za popolno srečo, poleg skalarni produkt vektorjev, potrebnih je vedno več. To je vektorska odvisnost. Morda se zdi, da smo zašli v džunglo analitične geometrije. To je narobe. V tem delu višje matematike je na splošno malo lesa, razen morda dovolj za Ostržka. Pravzaprav je material zelo običajen in preprost - komajda bolj zapleten kot enak skalarni produkt , tipičnih nalog bo še manj. Glavna stvar v analitični geometriji, kot bodo mnogi prepričani ali so se že prepričali, je, da se NE ZMOTI PRI IZRAČUNIH. Ponavljajte kot urok in srečni boste =)

Če se vektorji iskrijo nekje daleč, kot strela na obzorju, ni pomembno, začnite z lekcijo Vektorji za lutke obnoviti ali ponovno pridobiti osnovno znanje o vektorjih. Bolj pripravljeni bralci se lahko selektivno seznanijo s podatki, poskušal sem zbrati čim več popolna zbirka primeri, ki jih pogosto najdemo v praktično delo

Kaj vas bo takoj osrečilo? Ko sem bil majhen, sem znal žonglirati z dvema ali celo tremi žogami. Dobro se je izšlo. Zdaj vam sploh ne bo treba žonglirati, saj bomo razmislili le prostorski vektorji, ploski vektorji z dvema koordinatama pa bodo izpuščeni. Zakaj? Tako so se rodile te akcije - vektor in mešani produkt vektorjev sta definirana in delujeta v tridimenzionalnem prostoru. Je že lažje!

1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) , (1, 0, 1, 5).

rešitev. Pokažimo, da so vektorji 1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) oblike osnova. Poiščimo determinanto, sestavljeno iz koordinat teh vektorjev.

Izvajamo osnovne transformacije:

Od vrstice 3 odštej vrstico 1, pomnoženo z (-1)

Odštejte vrstico 2 od vrstice 3, odštejte vrstico 2 od vrstice 4

Zamenjajmo vrstici 3 in 4.

V tem primeru bo determinanta spremenila predznak v nasprotno:

Ker determinanta ni enaka nič, zato so vektorji linearno neodvisni in tvorijo bazo.

Razčlenimo vektor na vektorje dana osnova: , Tukaj, ? želene koordinate vektorja v bazi, . V koordinatni obliki je ta enačba (1, 2, 0, 1) + (0, 1, 2, 3) + (1, 3, 2, 2) + (0, 1, 3, 1) = (1, 0, 1, 5) ima obliko:

Sistem rešimo po Gaussovi metodi:

Zapišimo sistem v obliki razširjene matrike

Za lažji izračun zamenjajmo vrstici:

Pomnožite 3. vrstico z (-1). Dodamo 3. vrstico drugi. Pomnožite 3. vrstico z 2. Dodajte 4. vrstico tretji:

Pomnožite 1. vrstico s 3. Pomnožite 2. vrstico z (-2). Dodajmo 2. vrstico 1.:

2. vrstico pomnožite s 5. 3. vrstico pomnožite s 3. 3. vrstico dodajte 2. vrstici:

Pomnožite 2. vrstico z (-2). Dodajmo 2. vrstico 1.:

Iz 1. vrstice izrazimo?4

Iz 2. vrstice izražamo? 3

Iz 3. vrstice izražamo? 2