திசையன்கள் ஆன்லைன் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன என்பதை நிரூபிக்கவும். திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. திசையன்கள் நான்கு பரிமாண இடைவெளியின் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன என்பதை நிரூபிக்கவும், மேலும் இந்த அடிப்படையில் திசையன்களின் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும்

நேரியல் சார்புமற்றும் திசையன்களின் நேரியல் சுதந்திரம்.
திசையன்களின் அடிப்படை. அஃபின் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு

ஆடிட்டோரியத்தில் சாக்லேட்டுகளுடன் ஒரு வண்டி உள்ளது, இன்று ஒவ்வொரு பார்வையாளருக்கும் கிடைக்கும் இனிமையான ஜோடிநேரியல் இயற்கணிதத்துடன் கூடிய பகுப்பாய்வு வடிவியல். இந்த கட்டுரை ஒரே நேரத்தில் உயர் கணிதத்தின் இரண்டு பிரிவுகளைத் தொடும், மேலும் அவை ஒரு ரேப்பரில் எவ்வாறு இணைந்து செயல்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம். ஓய்வெடுங்கள், ட்விக்ஸ் சாப்பிடுங்கள்! ... அடடா, என்ன ஒரு முட்டாள்தனம். இருப்பினும், சரி, நான் மதிப்பெண் பெற மாட்டேன், இறுதியில், நீங்கள் படிப்பதில் நேர்மறையான அணுகுமுறையைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.

திசையன்களின் நேரியல் சார்பு, நேரியல் திசையன் சுதந்திரம், திசையன்களின் அடிப்படைமற்றும் பிற சொற்கள் ஒரு வடிவியல் விளக்கம் மட்டுமல்ல, எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒரு இயற்கணித அர்த்தத்தையும் கொண்டுள்ளது. நேரியல் இயற்கணிதத்தின் பார்வையில் இருந்து "திசையன்" என்ற கருத்து எப்போதும் ஒரு விமானத்தில் அல்லது விண்வெளியில் நாம் சித்தரிக்கக்கூடிய "சாதாரண" திசையன் அல்ல. நீங்கள் ஆதாரத்திற்காக வெகுதூரம் பார்க்க வேண்டியதில்லை, ஐந்து பரிமாண இடத்தின் திசையன் வரைய முயற்சிக்கவும் . அல்லது வானிலை திசையன், நான் Gismeteo க்கு சென்றேன்: முறையே வெப்பநிலை மற்றும் வளிமண்டல அழுத்தம். உதாரணம், நிச்சயமாக, பண்புகளின் பார்வையில் இருந்து தவறானது திசையன் இடம், இருப்பினும், இந்த அளவுருக்களை ஒரு திசையனாக முறைப்படுத்துவதை யாரும் தடை செய்யவில்லை. இலையுதிர்காலத்தின் சுவாசம்...

இல்லை, நான் உங்களுக்கு தியரி, லீனியர் வெக்டார் ஸ்பேஸ்கள் மூலம் சலிப்படையப் போவதில்லை, அதுதான் பணி புரியும்வரையறைகள் மற்றும் கோட்பாடுகள். புதிய விதிமுறைகள் (நேரியல் சார்பு, சுதந்திரம், நேரியல் சேர்க்கை, அடிப்படை போன்றவை) இயற்கணிதக் கண்ணோட்டத்தில் அனைத்து திசையன்களுக்கும் பொருந்தும், ஆனால் வடிவியல் எடுத்துக்காட்டுகள் வழங்கப்படும். எனவே, எல்லாம் எளிமையானது, அணுகக்கூடியது மற்றும் தெளிவானது. பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் சிக்கல்களுக்கு கூடுதலாக, சில பொதுவான இயற்கணித சிக்கல்களையும் நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம். பொருள் தேர்ச்சி பெற, பாடங்களுடன் உங்களைப் பழக்கப்படுத்துவது நல்லது டம்மிகளுக்கான திசையன்கள்மற்றும் தீர்மானிப்பதை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?

விமான திசையன்களின் நேரியல் சார்பு மற்றும் சுதந்திரம்.
விமான அடிப்படை மற்றும் இணைப்பு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு

உங்கள் கணினி மேசையின் விமானத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம் (வெறும் ஒரு மேசை, படுக்கை மேசை, தரை, கூரை, நீங்கள் விரும்பியது). பணி பின்வரும் செயல்களைக் கொண்டிருக்கும்:

1) விமானத்தின் அடிப்படையில் தேர்ந்தெடுக்கவும். தோராயமாகச் சொன்னால், டேப்லெப் ஒரு நீளம் மற்றும் அகலத்தைக் கொண்டுள்ளது, எனவே அடிப்படையை உருவாக்க இரண்டு திசையன்கள் தேவைப்படும் என்பது உள்ளுணர்வு. ஒரு திசையன் தெளிவாக போதாது, மூன்று திசையன்கள் மிக அதிகம்.

2) தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அடிப்படையில் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு(ஒருங்கிணைந்த கட்டம்) மேசையில் உள்ள அனைத்து பொருட்களுக்கும் ஆயங்களை ஒதுக்க.

ஆச்சரியப்பட வேண்டாம், முதலில் விளக்கங்கள் விரல்களில் இருக்கும். மேலும், உங்கள் மீது. தயவு செய்து வைக்கவும் ஆள்காட்டி விரல்இடது கைடேப்லெப்பின் விளிம்பில் அவர் மானிட்டரைப் பார்க்கிறார். இது ஒரு வெக்டராக இருக்கும். இப்போது இடம் சிறிய விரல் வலது கை அதே வழியில் மேசையின் விளிம்பில் - அது மானிட்டர் திரையில் இயக்கப்படும். இது ஒரு வெக்டராக இருக்கும். புன்னகை, நீங்கள் அழகாக இருக்கிறீர்கள்! திசையன்களைப் பற்றி நாம் என்ன சொல்ல முடியும்? தரவு திசையன்கள் கோலினியர், அதாவது நேரியல்ஒருவருக்கொருவர் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:
, சரி, அல்லது நேர்மாறாக: , பூஜ்ஜியத்திலிருந்து சில எண் வேறுபட்டது.

இந்த செயலின் படத்தை வகுப்பில் பார்க்கலாம். டம்மிகளுக்கான திசையன்கள், ஒரு வெக்டரை எண்ணால் பெருக்குவதற்கான விதியை விளக்கினேன்.

உங்கள் விரல்கள் கணினி மேசையின் விமானத்தில் அடிப்படையை அமைக்குமா? வெளிப்படையாக இல்லை. கோலினியர் திசையன்கள் முன்னும் பின்னுமாக பயணிக்கின்றன தனியாகதிசை, மற்றும் ஒரு விமானம் நீளம் மற்றும் அகலம் கொண்டது.

இத்தகைய திசையன்கள் அழைக்கப்படுகின்றன நேரியல் சார்ந்தது.

குறிப்பு: "நேரியல்", "நேரியல்" என்ற சொற்கள் கணித சமன்பாடுகள் மற்றும் வெளிப்பாடுகளில் சதுரங்கள், கனசதுரங்கள், பிற சக்திகள், மடக்கைகள், சைன்கள் போன்றவை இல்லை என்பதைக் குறிக்கிறது. நேரியல் (1st டிகிரி) வெளிப்பாடுகள் மற்றும் சார்புகள் மட்டுமே உள்ளன.

இரண்டு விமான திசையன்கள் நேரியல் சார்ந்ததுஅவை கோலினியர் என்றால் மட்டுமே.

0 அல்லது 180 டிகிரியைத் தவிர வேறு எந்த கோணமும் இருக்குமாறு மேசையில் உங்கள் விரல்களைக் கடக்கவும். இரண்டு விமான திசையன்கள்நேரியல் இல்லைஅவை கோலினியர் இல்லை என்றால் மட்டுமே சார்ந்தது. எனவே, அடிப்படை பெறப்படுகிறது. வெவ்வேறு நீளங்களின் செங்குத்து அல்லாத திசையன்களுடன் அடிப்படை "வளைந்ததாக" மாறியது என்று வெட்கப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை. அதன் கட்டுமானத்திற்கு 90 டிகிரி கோணம் மட்டுமல்ல, சம நீளமுள்ள யூனிட் வெக்டர்கள் மட்டுமல்ல என்பதை மிக விரைவில் பார்ப்போம்.

ஏதேனும்விமான திசையன் ஒரே வழி அடிப்படையில் விரிவாக்கப்பட்டது:
, உண்மையான எண்கள் எங்கே. எண்கள் அழைக்கப்படுகின்றன திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்இந்த அடிப்படையில்.

என்றும் கூறப்படுகிறது திசையன்என வழங்கப்பட்டது நேரியல் கலவைஅடிப்படை திசையன்கள். அதாவது, வெளிப்பாடு அழைக்கப்படுகிறது திசையன் சிதைவுஅடிப்படையில்அல்லது நேரியல் கலவைஅடிப்படை திசையன்கள்.

எடுத்துக்காட்டாக, திசையன் விமானத்தின் ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் சிதைந்துள்ளது என்று நாம் கூறலாம் அல்லது திசையன்களின் நேரியல் கலவையாக இது குறிப்பிடப்படுகிறது என்று கூறலாம்.

உருவாக்குவோம் அடிப்படையின் வரையறைமுறைப்படி: விமானத்தின் அடிப்படைஒரு ஜோடி நேரியல் சார்பற்ற (கோலினியர் அல்லாத) திசையன்கள் என்று அழைக்கப்படுகிறது, , போது ஏதேனும்ஒரு விமான திசையன் என்பது அடிப்படை திசையன்களின் நேரியல் கலவையாகும்.

திசையன்கள் எடுக்கப்பட்ட உண்மை என்பது வரையறையின் இன்றியமையாத புள்ளியாகும் ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில். அடிப்படைகள் - இவை இரண்டு முற்றிலும் வேறுபட்ட அடிப்படைகள்! அவர்கள் சொல்வது போல், உங்கள் வலது கையின் சிறிய விரலுக்கு பதிலாக உங்கள் இடது கையின் சிறிய விரலை மாற்ற முடியாது.

நாங்கள் அடிப்படையைக் கண்டுபிடித்துள்ளோம், ஆனால் உங்கள் கணினி மேசையில் உள்ள ஒவ்வொரு உருப்படிக்கும் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு கட்டத்தை அமைத்து, ஆயங்களை ஒதுக்குவது போதாது. ஏன் போதாதா? திசையன்கள் இலவசம் மற்றும் முழு விமானம் முழுவதும் அலைந்து திரிகின்றன. காட்டு வார இறுதியில் எஞ்சியிருக்கும் மேஜையில் உள்ள அந்த சிறிய அழுக்கு புள்ளிகளுக்கு ஆயங்களை எவ்வாறு ஒதுக்குவது? ஒரு தொடக்க புள்ளி தேவை. அத்தகைய மைல்கல் அனைவருக்கும் தெரிந்த ஒரு புள்ளி - ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம். ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைப் புரிந்துகொள்வோம்:

நான் "பள்ளி" அமைப்பில் தொடங்குவேன். ஏற்கனவே அறிமுக பாடத்தில் டம்மிகளுக்கான திசையன்கள்செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புக்கும் ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படைக்கும் உள்ள சில வேறுபாடுகளை நான் எடுத்துரைத்தேன். நிலையான படம் இங்கே:

அவர்கள் பேசும்போது செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு, பின்னர் பெரும்பாலும் அவை தோற்றம், ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள் மற்றும் அச்சுகளுடன் அளவைக் குறிக்கின்றன. ஒரு தேடுபொறியில் "செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு" என்று தட்டச்சு செய்ய முயற்சிக்கவும், மேலும் பல ஆதாரங்கள் 5-6 ஆம் வகுப்பிலிருந்து நன்கு அறியப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள் மற்றும் ஒரு விமானத்தில் புள்ளிகளை எவ்வாறு திட்டமிடுவது என்பதைப் பற்றி உங்களுக்குச் சொல்வதை நீங்கள் காண்பீர்கள்.

மறுபுறம், ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் வரையறுக்கலாம் என்று தெரிகிறது. அதுவும் கிட்டத்தட்ட உண்மைதான். வார்த்தைகள் பின்வருமாறு:

தோற்றம், மற்றும் ஆர்த்தோநார்மல்அடிப்படை அமைக்கப்பட்டுள்ளது கார்ட்டீசியன் செவ்வக விமான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு . அதாவது, செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு நிச்சயமாகதீர்மானிக்கப்பட்டது ஒரே புள்ளிமற்றும் இரண்டு அலகு ஆர்த்தோகனல் திசையன்கள். அதனால்தான் நான் மேலே கொடுத்த வரைபடத்தை நீங்கள் காண்கிறீர்கள் - வடிவியல் சிக்கல்களில், திசையன்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள் இரண்டும் பெரும்பாலும் (ஆனால் எப்போதும் இல்லை) வரையப்படுகின்றன.

ஒரு புள்ளி (தோற்றம்) மற்றும் ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையைப் பயன்படுத்துவதை அனைவரும் புரிந்துகொள்கிறார்கள் என்று நினைக்கிறேன் விமானத்தில் எந்த புள்ளியும் மற்றும் விமானத்தில் எந்த திசையனும்ஒருங்கிணைப்புகளை ஒதுக்கலாம். அடையாளப்பூர்வமாகச் சொன்னால், "ஒரு விமானத்தில் உள்ள அனைத்தையும் எண்ணலாம்."

ஆய வெக்டர்கள் யூனிட்டாக இருக்க வேண்டுமா? இல்லை, அவை தன்னிச்சையான பூஜ்ஜியமற்ற நீளத்தைக் கொண்டிருக்கலாம். தன்னிச்சையான பூஜ்ஜியமற்ற நீளத்தின் ஒரு புள்ளி மற்றும் இரண்டு ஆர்த்தோகனல் திசையன்களைக் கவனியுங்கள்:

அத்தகைய அடிப்படை அழைக்கப்படுகிறது ஆர்த்தோகனல். திசையன்களுடனான ஒருங்கிணைப்புகளின் தோற்றம் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு கட்டத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் விமானத்தின் எந்த புள்ளியும், எந்த திசையனும் கொடுக்கப்பட்ட அடிப்படையில் அதன் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கொண்டுள்ளது. உதாரணமாக, அல்லது. வெளிப்படையான சிரமம் என்னவென்றால், ஒருங்கிணைப்பு திசையன்கள் பொது வழக்கில்ஒற்றுமையைத் தவிர வெவ்வேறு நீளங்களைக் கொண்டிருக்கின்றன. நீளம் ஒற்றுமைக்கு சமமாக இருந்தால், வழக்கமான ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படை பெறப்படுகிறது.

! குறிப்பு : ஆர்த்தோகனல் அடிப்படையில், அதே போல் கீழே விமானம் மற்றும் இடத்தின் இணைப்புத் தளங்களில், அச்சுகளுடன் கூடிய அலகுகள் கருதப்படுகின்றன. நிபந்தனைக்குட்பட்டது. எடுத்துக்காட்டாக, x- அச்சில் உள்ள ஒரு அலகு 4 செ.மீ., ஆர்டினேட் அச்சில் ஒரு அலகு 2 செ.மீ., தேவைப்பட்டால், "தரமற்ற" ஆயங்களை "எங்கள் வழக்கமான சென்டிமீட்டர்களாக" மாற்ற போதுமானது.

இரண்டாவது கேள்வி, உண்மையில் ஏற்கனவே பதிலளிக்கப்பட்டுள்ளது, அடிப்படை திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் 90 டிகிரிக்கு சமமாக இருக்க வேண்டுமா? இல்லை! வரையறை கூறுவது போல், அடிப்படை திசையன்கள் இருக்க வேண்டும் கோலினியர் அல்லாதது மட்டுமே. அதன்படி, கோணம் 0 மற்றும் 180 டிகிரி தவிர வேறு எதுவும் இருக்கலாம்.

விமானத்தில் ஒரு புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது தோற்றம், மற்றும் கோலினியர் அல்லாததிசையன்கள், , அமைக்கப்பட்டது அஃபைன் விமான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு :

சில நேரங்களில் அத்தகைய ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது சாய்ந்தஅமைப்பு. எடுத்துக்காட்டுகளாக, வரைபடம் புள்ளிகள் மற்றும் திசையன்களைக் காட்டுகிறது:

நீங்கள் புரிந்துகொண்டபடி, பாடத்தின் இரண்டாம் பகுதியில் நாங்கள் விவாதித்த திசையன்கள் மற்றும் பிரிவுகளின் நீளத்திற்கான சூத்திரங்கள் அஃபைன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு இன்னும் குறைவாகவே உள்ளது; டம்மிகளுக்கான திசையன்கள், தொடர்பான பல சுவையான சூத்திரங்கள் திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு. ஆனால் திசையன்களைச் சேர்ப்பதற்கும் ஒரு திசையனை எண்ணால் பெருக்குவதற்கும் விதிகள், இந்த உறவில் ஒரு பகுதியைப் பிரிப்பதற்கான சூத்திரங்கள் மற்றும் சில வகையான சிக்கல்கள் விரைவில் நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

மேலும் முடிவு என்னவென்றால், அஃபைன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் மிகவும் வசதியான சிறப்பு வழக்கு கார்ட்டீசியன் செவ்வக அமைப்பு ஆகும். அதனால்தான் நீங்கள் அவளை அடிக்கடி பார்க்க வேண்டும், என் அன்பே. ...இருப்பினும், இந்த வாழ்க்கையில் உள்ள அனைத்தும் உறவினர் - பல சூழ்நிலைகளில் ஒரு சாய்ந்த கோணம் (அல்லது வேறு ஏதாவது, எடுத்துக்காட்டாக, துருவ) ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு. மனித உருவங்கள் அத்தகைய அமைப்புகளை விரும்பலாம் =)

நடைமுறை பகுதிக்கு செல்லலாம். இந்தப் பாடத்தில் உள்ள அனைத்து சிக்கல்களும் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புக்கும் பொதுவான அஃபைன் வழக்குக்கும் செல்லுபடியாகும். இங்கே சிக்கலான எதுவும் இல்லை;

விமான திசையன்களின் கோலினரிட்டியை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது?

வழக்கமான விஷயம். இரண்டு விமான திசையன்கள் பொருட்டு கோலினியர் ஆனது, அவற்றின் தொடர்புடைய ஆயங்கள் விகிதாசாரமாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானதுஅடிப்படையில், இது வெளிப்படையான உறவின் ஒருங்கிணைப்பு மூலம் ஒருங்கிணைப்பு விவரம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

அ) திசையன்கள் கோலினியர் என்பதை சரிபார்க்கவும் .
b) திசையன்கள் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றனவா? ?

தீர்வு:
a) திசையன்கள் உள்ளதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் விகிதாச்சார குணகம், அதாவது சமத்துவங்கள் திருப்தி அடையும்:

இந்த விதியைப் பயன்படுத்துவதற்கான "ஃபோப்பிஷ்" பதிப்பைப் பற்றி நான் நிச்சயமாக உங்களுக்குச் சொல்வேன், இது நடைமுறையில் நன்றாக வேலை செய்கிறது. விகிதாச்சாரத்தை உடனடியாக உருவாக்கி, அது சரியானதா என்பதைப் பார்க்க வேண்டும் என்பது யோசனை:

திசையன்களின் தொடர்புடைய ஆயங்களின் விகிதங்களிலிருந்து ஒரு விகிதத்தை உருவாக்குவோம்:

சுருக்கிக் கொள்வோம்:
, இதனால் தொடர்புடைய ஆயங்கள் விகிதாசாரமாகும், எனவே,

உறவை வேறு வழியில் செய்யலாம், இது ஒரு சமமான விருப்பமாகும்:

சுய-சோதனைக்கு, கோலினியர் திசையன்கள் ஒருவருக்கொருவர் நேரியல் முறையில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன என்ற உண்மையை நீங்கள் பயன்படுத்தலாம். IN இந்த வழக்கில்சமத்துவங்கள் உள்ளன . வெக்டார்களுடன் கூடிய அடிப்படை செயல்பாடுகள் மூலம் அவற்றின் செல்லுபடியை எளிதாக சரிபார்க்கலாம்:

b) இரண்டு விமான திசையன்கள் கோலினியர் (நேரியல் சார்பற்ற) இல்லை என்றால் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன. கோலினரிட்டிக்காக வெக்டார்களை ஆராய்வோம் . ஒரு அமைப்பை உருவாக்குவோம்:

முதல் சமன்பாட்டில் இருந்து அது பின்வருமாறு, இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இருந்து அது பின்வருமாறு, அதாவது அமைப்பு சீரற்றது(தீர்வுகள் இல்லை). எனவே, திசையன்களின் தொடர்புடைய ஆயங்கள் விகிதாசாரமாக இல்லை.

முடிவுரை: திசையன்கள் நேரியல் சார்பற்றவை மற்றும் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன.

தீர்வின் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட பதிப்பு இதுபோல் தெரிகிறது:

திசையன்களின் தொடர்புடைய ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து ஒரு விகிதத்தை உருவாக்குவோம் :
, அதாவது இந்த திசையன்கள் நேரியல் சார்பற்றவை மற்றும் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன.

பொதுவாக, இந்த விருப்பம் மதிப்பாய்வாளர்களால் நிராகரிக்கப்படுவதில்லை, ஆனால் சில ஆயத்தொலைவுகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் ஒரு சிக்கல் எழுகிறது. இது போல்: . அல்லது இப்படி: . அல்லது இப்படி: . இங்கே விகிதாச்சாரத்தில் எவ்வாறு வேலை செய்வது? (உண்மையில், நீங்கள் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியாது). இந்த காரணத்திற்காகவே நான் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட தீர்வை "ஃபோப்பிஷ்" என்று அழைத்தேன்.

பதில்: a) , b) படிவம்.

உங்கள் சொந்த தீர்வுக்கான ஒரு சிறிய ஆக்கபூர்வமான எடுத்துக்காட்டு:

எடுத்துக்காட்டு 2

அளவுருவின் எந்த மதிப்பில் திசையன்கள் உள்ளன அவை இணையாக இருக்குமா?

மாதிரி தீர்வில், அளவுரு விகிதத்தின் மூலம் காணப்படுகிறது.

கோலினரிட்டிக்கான வெக்டார்களை சரிபார்க்க ஒரு நேர்த்தியான இயற்கணித வழி உள்ளது, அதை ஐந்தாவது புள்ளியாக சேர்ப்போம்.

இரண்டு விமான திசையன்களுக்கு பின்வரும் அறிக்கைகள் சமமானவை:

2) திசையன்கள் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன;
3) திசையன்கள் கோலினியர் அல்ல;

+ 5) இந்த திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளால் ஆன தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியமற்றது.

முறையே, பின்வரும் எதிர் அறிக்கைகள் சமமானவை:
1) திசையன்கள் நேரியல் சார்ந்தது;
2) திசையன்கள் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்கவில்லை;
3) திசையன்கள் கோலினியர்;
4) திசையன்கள் ஒருவருக்கொருவர் நேர்கோட்டில் வெளிப்படுத்தப்படலாம்;
+ 5) இந்த திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளால் ஆன தீர்மானம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

நான் உண்மையில் நம்புகிறேன் இந்த நேரத்தில்நீங்கள் சந்திக்கும் அனைத்து விதிமுறைகளையும் அறிக்கைகளையும் நீங்கள் ஏற்கனவே புரிந்துள்ளீர்கள்.

புதிய, ஐந்தாவது புள்ளியை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்: இரண்டு விமான திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளால் ஆன நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே கோலினியர் ஆகும்:. இந்த அம்சத்தைப் பயன்படுத்த, நிச்சயமாக, உங்களால் முடியும் தீர்மானிப்பவர்களைக் கண்டறியவும்.

முடிவு செய்வோம்எடுத்துக்காட்டு 1 இரண்டாவது வழியில்:

a) திசையன்களின் ஆயத்தொகுதிகளால் உருவாக்கப்பட்ட தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவோம் :
, அதாவது இந்த திசையன்கள் கோலினியர்.

b) இரண்டு விமான திசையன்கள் கோலினியர் (நேரியல் சார்பற்ற) இல்லை என்றால் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன. வெக்டார் ஆயத்தொலைவுகளால் ஆன தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவோம் :
, அதாவது திசையன்கள் நேரியல் சார்பற்றவை மற்றும் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன.

பதில்: a) , b) படிவம்.

விகிதாச்சாரத்துடன் கூடிய தீர்வை விட இது மிகவும் கச்சிதமாகவும் அழகாகவும் தெரிகிறது.

கருதப்படும் பொருளின் உதவியுடன், திசையன்களின் கோலினரிட்டியை நிறுவுவது மட்டுமல்லாமல், பிரிவுகள் மற்றும் நேர் கோடுகளின் இணையான தன்மையை நிரூபிக்கவும் முடியும். குறிப்பிட்ட வடிவியல் வடிவங்களில் உள்ள சில சிக்கல்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3

ஒரு நாற்கரத்தின் முனைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு நாற்கரமானது ஒரு இணையான வரைபடம் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

ஆதாரம்: சிக்கலில் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனெனில் தீர்வு முற்றிலும் பகுப்பாய்வு சார்ந்ததாக இருக்கும். இணையான வரைபடத்தின் வரையறையை நினைவு கூர்வோம்:
இணை வரைபடம் எதிரெதிர் பக்கங்கள் ஜோடியாக இணையாக இருக்கும் ஒரு நாற்கரம் அழைக்கப்படுகிறது.

எனவே, நிரூபிக்க வேண்டியது அவசியம்:
1) எதிர் பக்கங்களின் இணையாக மற்றும்;
2) எதிர் பக்கங்களின் இணையாக மற்றும்.

நாங்கள் நிரூபிக்கிறோம்:

1) திசையன்களைக் கண்டறியவும்:

2) திசையன்களைக் கண்டறியவும்:

இதன் விளைவாக அதே திசையன் ("பள்ளியின் படி" - சம திசையன்கள்). கூட்டுத்தன்மை மிகவும் வெளிப்படையானது, ஆனால் ஏற்பாட்டுடன் முடிவை தெளிவாக முறைப்படுத்துவது நல்லது. திசையன் ஆயத்தொகுப்புகளால் ஆன தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவோம்:
, அதாவது இந்த திசையன்கள் கோலினியர் மற்றும் .

முடிவுரை: ஒரு நாற்கரத்தின் எதிர் பக்கங்கள் ஜோடிகளாக இணையாக உள்ளன, அதாவது இது வரையறையின்படி ஒரு இணையான வரைபடம். கே.இ.டி.

மேலும் நல்ல மற்றும் வேறுபட்ட புள்ளிவிவரங்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 4

ஒரு நாற்கரத்தின் முனைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு நாற்கரமானது ஒரு ட்ரேப்சாய்டு என்பதை நிரூபிக்கவும்.

ஆதாரத்தின் மிகவும் கடுமையான உருவாக்கத்திற்கு, ட்ரெப்சாய்டின் வரையறையைப் பெறுவது நல்லது, ஆனால் அது எப்படி இருக்கும் என்பதை நினைவில் வைத்துக் கொள்வது போதுமானது.

இது நீங்களே தீர்க்க வேண்டிய பணி. பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு.

இப்போது விமானத்திலிருந்து விண்வெளிக்கு மெதுவாக நகர வேண்டிய நேரம் இது:

விண்வெளி திசையன்களின் கோலினரிட்டியை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது?

விதி மிகவும் ஒத்திருக்கிறது. இரண்டு விண்வெளி திசையன்கள் கோலினியர் ஆக இருக்க, அவற்றின் தொடர்புடைய ஆயங்கள் விகிதாசாரமாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது..

எடுத்துக்காட்டு 5

பின்வரும் விண்வெளி திசையன்கள் கோலினியர் உள்ளதா என்பதைக் கண்டறியவும்:

A) ;
b)
V)

தீர்வு:
a) திசையன்களின் தொடர்புடைய ஆயங்களுக்கு விகிதாச்சாரத்தின் குணகம் உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்:

கணினிக்கு தீர்வு இல்லை, அதாவது திசையன்கள் கோலினியர் அல்ல.

விகிதத்தை சரிபார்ப்பதன் மூலம் "எளிமைப்படுத்தப்பட்டது" முறைப்படுத்தப்படுகிறது. இந்த வழக்கில்:
- தொடர்புடைய ஆயங்கள் விகிதாசாரமாக இல்லை, அதாவது திசையன்கள் கோலினியர் அல்ல.

பதில்:திசையன்கள் கோலினியர் அல்ல.

b-c) இவை சுயாதீனமான முடிவிற்கான புள்ளிகள். இரண்டு வழிகளில் முயற்சிக்கவும்.

மூன்றாம் வரிசை தீர்மானிப்பான் மூலம் இடஞ்சார்ந்த திசையன்களை சரிபார்க்க ஒரு முறை உள்ளது; திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு.

ப்ளேன் கேஸைப் போலவே, இடஞ்சார்ந்த பிரிவுகள் மற்றும் நேர் கோடுகளின் இணையான தன்மையைப் படிக்க கருதப்படும் கருவிகளைப் பயன்படுத்தலாம்.

இரண்டாவது பகுதிக்கு வரவேற்கிறோம்:

முப்பரிமாண இடத்தில் திசையன்களின் நேரியல் சார்பு மற்றும் சுதந்திரம்.
இடஞ்சார்ந்த அடிப்படை மற்றும் இணைப்பு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு

விமானத்தில் நாங்கள் ஆய்வு செய்த பல வடிவங்கள் விண்வெளிக்கு செல்லுபடியாகும். தகவல்களில் சிங்கத்தின் பங்கு ஏற்கனவே மெல்லப்பட்டுவிட்டதால், கோட்பாடு குறிப்புகளை குறைக்க முயற்சித்தேன். இருப்பினும், புதிய விதிமுறைகள் மற்றும் கருத்துகள் தோன்றும் என்பதால், அறிமுகப் பகுதியை கவனமாகப் படிக்குமாறு பரிந்துரைக்கிறேன்.

இப்போது, ​​கணினி மேசையின் விமானத்திற்குப் பதிலாக, முப்பரிமாண இடத்தை ஆராய்வோம். முதலில், அதன் அடிப்படையை உருவாக்குவோம். யாரோ இப்போது வீட்டிற்குள் இருக்கிறார்கள், யாரோ வெளியில் இருக்கிறார்கள், ஆனால் எப்படியிருந்தாலும், அகலம், நீளம் மற்றும் உயரம் என்ற முப்பரிமாணத்திலிருந்து நாம் தப்பிக்க முடியாது. எனவே, ஒரு அடிப்படையை உருவாக்க, மூன்று இடஞ்சார்ந்த திசையன்கள் தேவைப்படும். ஒன்று அல்லது இரண்டு திசையன்கள் போதாது, நான்காவது மிதமிஞ்சியது.

மீண்டும் நாம் விரல்களில் சூடுபடுத்துகிறோம். தயவு செய்து உங்கள் கையை உயர்த்தி விரிக்கவும் வெவ்வேறு பக்கங்கள் கட்டைவிரல், ஆள்காட்டி மற்றும் நடுத்தர விரல். இவை திசையன்களாக இருக்கும், அவை வெவ்வேறு திசைகளில் பார்க்கின்றன, வெவ்வேறு நீளங்கள் மற்றும் தங்களுக்கு இடையே வெவ்வேறு கோணங்களைக் கொண்டிருக்கும். வாழ்த்துக்கள், முப்பரிமாண இடத்தின் அடிப்படை தயாராக உள்ளது! மூலம், ஆசிரியர்களுக்கு இதை நிரூபிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, நீங்கள் எவ்வளவு கடினமாக உங்கள் விரல்களைத் திருப்பினாலும், வரையறைகளிலிருந்து தப்பிக்க முடியாது =)

அடுத்து, கேட்போம் முக்கியமான பிரச்சினை, ஏதேனும் மூன்று திசையன்கள் முப்பரிமாண இடத்தின் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றனவா? கம்ப்யூட்டர் மேசையின் மேல் மூன்று விரல்களை உறுதியாக அழுத்தவும். என்ன நடந்தது? மூன்று திசையன்கள் ஒரே விமானத்தில் அமைந்துள்ளன, தோராயமாக பேசினால், பரிமாணங்களில் ஒன்றை இழந்துவிட்டோம் - உயரம். அத்தகைய திசையன்கள் கோப்ளனார்மேலும், முப்பரிமாண இடத்தின் அடிப்படை உருவாக்கப்படவில்லை என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது.

கோப்லானர் திசையன்கள் ஒரே விமானத்தில் இருக்க வேண்டியதில்லை, அவை இணையான விமானங்களில் இருக்கலாம் (இதை உங்கள் விரல்களால் செய்ய வேண்டாம், சால்வடார் டாலி மட்டுமே இதைச் செய்தார் =)).

வரையறை: திசையன்கள் அழைக்கப்படுகின்றன கோப்ளனார், அவர்கள் இணையாக இருக்கும் விமானம் இருந்தால். அத்தகைய விமானம் இல்லை என்றால், திசையன்கள் கோப்லனர் ஆகாது என்பதை இங்கே சேர்ப்பது தர்க்கரீதியானது.

மூன்று கோப்லனர் திசையன்கள் எப்போதும் நேரியல் சார்ந்து இருக்கும், அதாவது, அவை ஒன்றோடொன்று நேர்கோட்டில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. எளிமைக்காக, அவர்கள் ஒரே விமானத்தில் கிடப்பதை மீண்டும் கற்பனை செய்வோம். முதலாவதாக, திசையன்கள் கோப்லனர் மட்டுமல்ல, அவை கோலினியராகவும் இருக்கலாம், பின்னர் எந்த திசையனையும் எந்த திசையன் மூலமாகவும் வெளிப்படுத்தலாம். இரண்டாவது வழக்கில், எடுத்துக்காட்டாக, திசையன்கள் கோலினியர் இல்லை என்றால், மூன்றாவது திசையன் அவற்றின் மூலம் தனித்துவமான முறையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது: (மற்றும் முந்தைய பிரிவில் உள்ள பொருட்களிலிருந்து ஏன் யூகிக்க எளிதானது).

உரையாடலும் உண்மைதான்: மூன்று கோப்லானர் அல்லாத திசையன்கள் எப்போதும் நேரியல் சார்புடையவை, அதாவது, அவை எந்த வகையிலும் ஒருவருக்கொருவர் வெளிப்படுத்தப்படவில்லை. மேலும், வெளிப்படையாக, அத்தகைய திசையன்கள் மட்டுமே முப்பரிமாண இடத்தின் அடிப்படையை உருவாக்க முடியும்.

வரையறை: முப்பரிமாண இடத்தின் அடிப்படைநேரியல் சார்பற்ற (கோப்லானர் அல்லாத) திசையன்களின் மூன்று மடங்கு என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில் எடுக்கப்பட்டது, மற்றும் இடத்தின் எந்த திசையன் ஒரே வழிகொடுக்கப்பட்ட அடிப்படையில் சிதைக்கப்படுகிறது, இந்த அடிப்படையில் திசையன் ஆயத்தொலைவுகள் எங்கே உள்ளன

திசையன் வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படுகிறது என்றும் சொல்லலாம் என்பதை நினைவூட்டுகிறேன் நேரியல் கலவைஅடிப்படை திசையன்கள்.

ஒரு ஆய அமைப்பின் கருத்தாக்கமானது, ஒரு புள்ளியைப் போலவே, எந்த மூன்று நேரியல் சார்பற்ற திசையன்களும் போதுமானது:

தோற்றம், மற்றும் அல்லாத கோப்ளனார்திசையன்கள், ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில் எடுக்கப்பட்டது, அமைக்கப்பட்டது முப்பரிமாண இடத்தின் affine coordinate அமைப்பு :

நிச்சயமாக, ஒருங்கிணைப்பு கட்டம் "சாய்ந்த" மற்றும் சிரமமாக உள்ளது, இருப்பினும், கட்டமைக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு நம்மை அனுமதிக்கிறது நிச்சயமாகஎந்த திசையன் மற்றும் விண்வெளியில் எந்த புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளையும் தீர்மானிக்கவும். ஒரு விமானத்தைப் போலவே, நான் ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ள சில சூத்திரங்கள் விண்வெளியின் அஃபைன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் வேலை செய்யாது.

ஒரு அஃபைன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் மிகவும் பரிச்சயமான மற்றும் வசதியான சிறப்பு வழக்கு, எல்லோரும் யூகிப்பது போல, செவ்வக விண்வெளி ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு:

விண்வெளியில் ஒரு புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது தோற்றம், மற்றும் ஆர்த்தோநார்மல்அடிப்படை அமைக்கப்பட்டுள்ளது கார்ட்டீசியன் செவ்வக விண்வெளி ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு . தெரிந்த படம்:

நடைமுறைப் பணிகளுக்குச் செல்வதற்கு முன், தகவலை மீண்டும் முறைப்படுத்துவோம்:

மூன்று விண்வெளி திசையன்களுக்கு பின்வரும் அறிக்கைகள் சமமானவை:
1) திசையன்கள் நேரியல் சார்பற்றவை;
2) திசையன்கள் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன;
3) திசையன்கள் கோப்லனர் அல்ல;
4) திசையன்களை ஒருவருக்கொருவர் நேர்கோட்டில் வெளிப்படுத்த முடியாது;
5) இந்த திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளால் ஆன தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது.

எதிர் அறிக்கைகள் புரியும் என்று நினைக்கிறேன்.

விண்வெளி திசையன்களின் நேரியல் சார்பு/சுதந்திரம் பாரம்பரியமாக ஒரு தீர்மானியைப் பயன்படுத்தி சரிபார்க்கப்படுகிறது (புள்ளி 5). மீதமுள்ளவை நடைமுறை பணிகள்ஒரு உச்சரிக்கப்படும் இயற்கணிதத் தன்மையைக் கொண்டிருக்கும். வடிவியல் குச்சியைத் தொங்கவிட்டு, நேரியல் இயற்கணிதத்தின் பேஸ்பால் மட்டையைப் பயன்படுத்த வேண்டிய நேரம் இது:

விண்வெளியின் மூன்று திசையன்கள்கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளால் ஆன நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே கோப்லனர் ஆகும்: .

ஒரு சிறிய தொழில்நுட்ப நுணுக்கத்திற்கு உங்கள் கவனத்தை ஈர்க்க விரும்புகிறேன்: திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளை நெடுவரிசைகளில் மட்டுமல்ல, வரிசைகளிலும் எழுதலாம் (இதன் காரணமாக தீர்மானிப்பவரின் மதிப்பு மாறாது - தீர்மானிப்பவர்களின் பண்புகளைப் பார்க்கவும்). ஆனால் நெடுவரிசைகளில் இது மிகவும் சிறந்தது, ஏனெனில் சில நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு இது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

தீர்மானிப்பவர்களைக் கணக்கிடும் முறைகளைக் கொஞ்சம் மறந்துவிட்ட அல்லது அவற்றைப் பற்றிய புரிதல் இல்லாத வாசகர்களுக்கு, எனது பழமையான பாடங்களில் ஒன்றைப் பரிந்துரைக்கிறேன்: தீர்மானிப்பதை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?

எடுத்துக்காட்டு 6

பின்வரும் திசையன்கள் முப்பரிமாண இடத்தின் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றனவா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்:

தீர்வு: உண்மையில், முழு தீர்வும் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுகிறது.

a) திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளால் உருவாக்கப்பட்ட தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவோம் (தீர்மானி முதல் வரியில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது):

, அதாவது திசையன்கள் நேரியல் சார்பற்றவை (கோப்லனர் அல்ல) மற்றும் முப்பரிமாண இடத்தின் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன.

பதில்: இந்த திசையன்கள் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன

b) இது சுயாதீனமான முடிவிற்கான ஒரு புள்ளியாகும். பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்.

ஆக்கபூர்வமான பணிகளும் உள்ளன:

எடுத்துக்காட்டு 7

அளவுருவின் எந்த மதிப்பில் திசையன்கள் கோப்லனராக இருக்கும்?

தீர்வு: இந்த திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளால் ஆன நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே திசையன்கள் கோப்லனர் ஆகும்:

அடிப்படையில், நீங்கள் ஒரு தீர்மானிப்பாளருடன் ஒரு சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும். ஜெர்போவாஸில் காத்தாடிகள் போன்ற பூஜ்ஜியங்களை நாங்கள் கீழே தள்ளுகிறோம் - இரண்டாவது வரியில் தீர்மானிப்பதைத் திறந்து, குறைபாடுகளை உடனடியாக அகற்றுவது சிறந்தது:

நாங்கள் மேலும் எளிமைப்படுத்துகிறோம் மற்றும் விஷயத்தை எளிமையான நேரியல் சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கிறோம்:

பதில்: மணிக்கு

இதைச் செய்ய, இங்கே சரிபார்ப்பது எளிது, இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பை அசல் தீர்மானிப்பதில் மாற்ற வேண்டும் , மீண்டும் திறக்கிறது.

முடிவில், மற்றொரு பொதுவான சிக்கலைப் பார்ப்போம், இது இயற்கையில் மிகவும் இயற்கணிதமானது மற்றும் பாரம்பரியமாக நேரியல் இயற்கணித பாடத்திட்டத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. இது மிகவும் பொதுவானது, இது அதன் சொந்த தலைப்புக்கு தகுதியானது:

3 திசையன்கள் முப்பரிமாண இடத்தின் அடிப்படை என்பதை நிரூபிக்கவும்
இந்த அடிப்படையில் 4 வது திசையன் ஆயங்களை கண்டறியவும்

எடுத்துக்காட்டு 8

திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. திசையன்கள் முப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன என்பதைக் காட்டுங்கள் மற்றும் இந்த அடிப்படையில் திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: முதலில், நிலைமையைச் சமாளிப்போம். நிபந்தனையின்படி, நான்கு திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அவை ஏற்கனவே சில அடிப்படையில் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளன. இந்த அடிப்படை என்ன என்பது எங்களுக்கு ஆர்வமாக இல்லை. பின்வரும் விஷயம் ஆர்வமாக உள்ளது: மூன்று திசையன்கள் ஒரு புதிய அடிப்படையை உருவாக்கலாம். முதல் நிலை எடுத்துக்காட்டு 6 இன் தீர்வுடன் முற்றிலும் ஒத்துப்போகிறது, திசையன்கள் உண்மையிலேயே நேரியல் சார்புடையதா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம்:

திசையன் ஆயத்தொகுப்புகளால் ஆன தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவோம்:

, அதாவது திசையன்கள் நேரியல் சார்பற்றவை மற்றும் முப்பரிமாண இடத்தின் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன.

! முக்கியமானது : திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள் அவசியம்எழுது நெடுவரிசைகளாகநிர்ணயம், சரங்களில் இல்லை. இல்லையெனில், மேலும் தீர்வு வழிமுறையில் குழப்பம் ஏற்படும்.

சோதனை பணிகள்

பணி 1 - 10. திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

திசையன்கள் முப்பரிமாண இடத்தின் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன என்பதைக் காட்டுங்கள் மற்றும் இந்த அடிப்படையில் வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும்:

கொடுக்கப்பட்ட திசையன்கள் ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). திசையன்கள் முப்பரிமாண இடத்தின் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன என்பதைக் காட்டுங்கள் மற்றும் இந்த அடிப்படையில் திசையன் X இன் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும்.

இந்த பணி இரண்டு பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது. முதலில், திசையன்கள் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றனவா என்பதை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும். இந்த திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளை நிர்ணயிப்பவர் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், திசையன்கள் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன, இல்லையெனில் திசையன்கள் அடிப்படை இல்லை மற்றும் இந்த அடிப்படையில் திசையன் X ஐ விரிவாக்க முடியாது.

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவோம்:

மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் ∆ =37

தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியமற்றதாக இருப்பதால், திசையன்கள் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன, எனவே, திசையன் X இந்த அடிப்படையில் விரிவாக்கப்படலாம். அந்த. சமத்துவம் கொண்டிருக்கும் எண்கள் α 1, α 2, α 3:

X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3

இந்த சமத்துவத்தை ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் எழுதுவோம்:

(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)

திசையன்களின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்:

(3;0;1) = (3α 1;1α 1;6α 1;) + (-2α 2;2α 2;-3α 2;) + (-4α 3;5α 3;-1α 3;)

(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)

திசையன்களின் சமத்துவத்தின் சொத்தின் மூலம் நம்மிடம் உள்ளது:

3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3

1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0

6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1 பெறப்பட்டதை நாங்கள் தீர்க்கிறோம் சமன்பாடுகளின் அமைப்புஅல்லது காசியன் முறை.

க்ரேமர் முறை

X = ε 1 + 2ε 2 -ε 3

சேவையைப் பயன்படுத்தி தீர்வு பெறப்பட்டு செயலாக்கப்பட்டது:

திசையன் அடிப்படையில் ஒருங்கிணைக்கிறது

இந்த சிக்கலுடன், அவர்கள் தீர்க்கிறார்கள்:

மேட்ரிக்ஸ் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

க்ரேமர் முறை

காஸ் முறை

இயற்கணித நிரப்பிகள் வழியாக தலைகீழ் அணி

ஆன்லைன் மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கல்

1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) , (1, 0, 1, 5).

தீர்வு. திசையன்கள் 1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) வடிவங்கள் என்பதைக் காட்டுவோம். ஒரு அடிப்படை. இந்த திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளால் உருவாக்கப்பட்ட தீர்மானிப்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

நாங்கள் அடிப்படை மாற்றங்களைச் செய்கிறோம்:

வரி 3 வரி 1 இலிருந்து கழிக்கவும் (-1)

வரி 3 இலிருந்து வரி 2 ஐக் கழிக்கவும், வரி 4 இலிருந்து வரி 2 ஐக் கழிக்கவும்

3 மற்றும் 4 வரிகளை மாற்றுவோம்.

இந்த வழக்கில், தீர்மானிப்பான் அதன் அடையாளத்தை எதிர்மாறாக மாற்றும்:

ஏனெனில் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை, எனவே, திசையன்கள் நேரியல் சுயாதீனமானவை மற்றும் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன.

கொடுக்கப்பட்ட அடிப்படையின் திசையன்களாக திசையனை விரிவாக்குவோம்: , இங்கே, ? அடிப்படையில் திசையன் விரும்பிய ஆயத்தொகுப்புகள், . ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில், இந்த சமன்பாடு (1, 2, 0, 1) + (0, 1, 2, 3) + (1, 3, 2, 2) + (0, 1, 3, 1) = (1, 0, 1, 5) வடிவம் எடுக்கிறது:

காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்க்கிறோம்:

கணினியை நீட்டிக்கப்பட்ட அணி வடிவில் எழுதுவோம்

கணக்கீட்டின் எளிமைக்காக, வரிகளை மாற்றுவோம்:

3வது வரியை (-1) ஆல் பெருக்கவும். 3 வது வரியை 2 வது வரியுடன் சேர்ப்போம். 3 வது வரியை 2 ஆல் பெருக்கவும். 4 வது வரியை 3 வது வரியில் சேர்க்கவும்:

1 வது வரியை 3 ஆல் பெருக்கவும். 2 வது வரியை (-2) ஆல் பெருக்கவும். 2 வது வரியை 1 வது வரியுடன் சேர்ப்போம்:

2 வது வரியை 5 ஆல் பெருக்கவும். 3 வது வரியை 3 ஆல் பெருக்கவும். 3 வது வரியை 2 வது வரியில் சேர்க்கவும்:

2வது வரியை (-2) ஆல் பெருக்கவும். 2 வது வரியை 1 வது வரியுடன் சேர்ப்போம்:

1 வது வரியிலிருந்து நாம் வெளிப்படுத்துகிறோம்?4

நாம் வெளிப்படுத்தும் 2வது வரியிலிருந்து? 3

3 வது வரியிலிருந்து நாம் வெளிப்படுத்துகிறோம்? 2

இடத்தின் அடிப்படைவிண்வெளியில் உள்ள மற்ற அனைத்து திசையன்களும் அடிப்படையில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள திசையன்களின் நேரியல் கலவையாக குறிப்பிடப்படும் அத்தகைய திசையன்களின் அமைப்பை அவர்கள் அழைக்கிறார்கள்.
நடைமுறையில், இவை அனைத்தும் மிகவும் எளிமையாக செயல்படுத்தப்படுகின்றன. அடிப்படை, ஒரு விதியாக, ஒரு விமானத்தில் அல்லது விண்வெளியில் சரிபார்க்கப்படுகிறது, இதற்காக நீங்கள் திசையன் ஆயத்தொகுப்புகளால் ஆன இரண்டாவது, மூன்றாவது வரிசை மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். கீழே திட்டவட்டமாக எழுதப்பட்டுள்ளது திசையன்கள் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்கும் நிலைமைகள்

செய்ய திசையன் b ஐ அடிப்படை திசையன்களாக விரிவாக்குங்கள்
e,e...,e[n] x, ..., x[n] ஆகிய குணகங்களைக் கண்டறிவது அவசியம், இதற்காக e,e...,e[n] ஆகிய திசையன்களின் நேரியல் கலவையானது திசையன் b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
இதைச் செய்ய, திசையன் சமன்பாடு கணினிக்கு மாற்றப்பட வேண்டும் நேரியல் சமன்பாடுகள்மற்றும் தீர்வுகளைக் கண்டறியவும். இதுவும் செயல்படுத்த மிகவும் எளிமையானது.
கண்டுபிடிக்கப்பட்ட குணகங்கள் x, ..., x[n] என்று அழைக்கப்படுகின்றன அடிப்படையில் திசையன் b இன் ஒருங்கிணைப்புகள் e,e...,e[n].
நாம் செல்லலாம் நடைமுறை பக்கம்தலைப்புகள்.

ஒரு திசையன் அடிப்படை திசையன்களாக சிதைவு

பணி 1. திசையன்கள் a1, a2 விமானத்தில் அடிப்படையாக உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
தீர்வு: திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து ஒரு தீர்மானிப்பதை உருவாக்கி அதைக் கணக்கிடுகிறோம்

தீர்மானிப்பான் பூஜ்யம் அல்ல, எனவே திசையன்கள் நேரியல் சார்பற்றவை, அதாவது அவை ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன.

2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
தீர்வு: திசையன்களால் உருவாக்கப்பட்ட தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுகிறோம்

தீர்மானிப்பான் 13 க்கு சமம் (பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் அல்ல) - இதிலிருந்து திசையன்கள் a1, a2 விமானத்தில் ஒரு அடிப்படை என்று பின்வருமாறு.

---=================---

"உயர் கணிதம்" என்ற பிரிவில் உள்ள MAUP திட்டத்திலிருந்து பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

பணி 2. திசையன்கள் a1, a2, a3 ஒரு முப்பரிமாண திசையன் இடத்தின் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன என்பதைக் காட்டுங்கள், மேலும் இந்த அடிப்படையில் திசையன் b ஐ விரிவுபடுத்தவும் (நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கும் போது க்ராமரின் முறையைப் பயன்படுத்தவும்).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
தீர்வு: முதலில், திசையன்கள் a1, a2, a3 அமைப்பைக் கருத்தில் கொண்டு, அணி A இன் தீர்மானிப்பதைச் சரிபார்க்கவும்

பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்களில் கட்டப்பட்டது. மேட்ரிக்ஸில் ஒரு பூஜ்ஜிய உறுப்பு உள்ளது, எனவே முதல் நெடுவரிசை அல்லது மூன்றாவது வரிசையில் ஒரு அட்டவணையாக தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவது மிகவும் பொருத்தமானது.

கணக்கீடுகளின் விளைவாக, தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது என்பதைக் கண்டறிந்தோம் திசையன்கள் a1, a2, a3 நேரியல் சார்பற்றவை.
வரையறையின்படி, திசையன்கள் R3 இல் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன. வெக்டார் b இன் அட்டவணையை அதன் அடிப்படையில் எழுதுவோம்

அவற்றின் தொடர்புடைய ஆயங்கள் சமமாக இருக்கும்போது திசையன்கள் சமமாக இருக்கும்.
எனவே, திசையன் சமன்பாட்டிலிருந்து நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்

SLAE ஐ தீர்ப்போம் க்ரேமர் முறை. இதைச் செய்ய, சமன்பாடுகளின் அமைப்பை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்

ஒரு SLAE இன் முக்கிய நிர்ணயம் எப்போதும் அடிப்படை வெக்டார்களால் ஆன தீர்மானிப்பிற்கு சமமாக இருக்கும்

எனவே, நடைமுறையில் இது இரண்டு முறை கணக்கிடப்படவில்லை. துணை தீர்மானிப்பான்களைக் கண்டறிய, பிரதான தீர்மானிப்பாளரின் ஒவ்வொரு நெடுவரிசைக்கும் பதிலாக இலவச சொற்களின் நெடுவரிசையை வைக்கிறோம். தீர்மானிப்பான்கள் முக்கோண விதியைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன



க்ரேமர் ஃபார்முலாவில் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்மானங்களை மாற்றுவோம்



எனவே, அடிப்படையின் அடிப்படையில் திசையன் b இன் விரிவாக்கம் b=-4a1+3a2-a3 வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. a1, a2, a3 அடிப்படையில் திசையன் b இன் ஒருங்கிணைப்புகள் (-4,3, 1) இருக்கும்.

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
தீர்வு: நாங்கள் ஒரு அடிப்படையில் திசையன்களை சரிபார்க்கிறோம் - திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளிலிருந்து ஒரு தீர்மானிப்பதை உருவாக்கி அதை கணக்கிடுகிறோம்

எனவே, தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை திசையன்கள் விண்வெளியில் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன. திசையன் b இன் அட்டவணையைக் கண்டறிய இது உள்ளது இந்த அடிப்படையில். இதைச் செய்ய, திசையன் சமன்பாட்டை எழுதுகிறோம்

மற்றும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பாக மாற்றவும்

நாங்கள் மேட்ரிக்ஸ் சமன்பாட்டை எழுதுகிறோம்

அடுத்து, க்ரேமரின் சூத்திரங்களுக்கு துணை நிர்ணயிப்பாளர்களைக் காண்கிறோம்



நாங்கள் க்ராமரின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்



எனவே கொடுக்கப்பட்ட வெக்டார் b ஆனது இரண்டு அடிப்படை வெக்டார்களின் மூலம் ஒரு அட்டவணையைக் கொண்டுள்ளது b=-2a1+5a3, மேலும் அதன் ஆயத்தொலைவுகள் b(-2,0, 5)க்கு சமமாக இருக்கும்.