கணினியின் தீர்வு என்ன. சமன்பாடுகளின் அமைப்பு எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகிறது? சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

அமைப்பில் உள்ள அனைத்து சமன்பாடுகளும் நேரியல் என்றால் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு நேரியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சுருள் பிரேஸ்களைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எழுதுவது வழக்கம், எடுத்துக்காட்டாக:

வரையறை:ஒரு ஜோடி மாறி மதிப்புகள் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் அமைப்பில் உள்ள இரண்டு மாறிகள் கொண்ட ஒரு உண்மையான சமத்துவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது.

அமைப்பைத் தீர்க்கவும்- அதன் அனைத்து தீர்வுகளையும் கண்டுபிடிப்பது அல்லது தீர்வுகள் இல்லை என்பதை நிரூபிப்பது.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​பின்வரும் மூன்று நிகழ்வுகள் சாத்தியமாகும்:

அமைப்புக்கு தீர்வுகள் இல்லை;

கணினியில் சரியாக ஒரு தீர்வு உள்ளது;

கணினி எண்ணற்ற பல தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.
ஐ . மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது.

இந்த முறை"மாற்று முறை" அல்லது தெரியாதவற்றை நீக்கும் முறை என்றும் அழைக்கலாம்.

இங்கே நமக்கு இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இலவச சொற்கள் (எண்கள் -5 மற்றும் -7) சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் அமைந்துள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க. கணினியை அதன் வழக்கமான வடிவத்தில் எழுதுவோம்.

ஒரு பகுதியை பகுதியிலிருந்து பகுதிக்கு நகர்த்தும்போது, ​​அதன் அடையாளத்தை மாற்ற வேண்டும் என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் அர்த்தம் என்ன? சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது என்பது, அமைப்பின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் சரியான சமத்துவமாக மாற்றும் மாறிகளின் மதிப்புகளைக் கண்டறிவதாகும். அறியப்படாத எத்தனையோ சமன்பாடுகளின் எந்த அமைப்பிற்கும் இந்த அறிக்கை உண்மையாகும்.

முடிவு செய்வோம்.

இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டை மாறிக்கு பதிலாக கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்

முடிவு செய்வோம் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுஒரு மாறியுடன் தொடர்புடையது.
அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, ஒத்த சொற்களைச் சேர்த்து மதிப்பைக் கண்டறியவும் :

4) அடுத்து நாம் மாற்றீட்டிற்கு திரும்புவோம் மதிப்பைக் கணக்கிட .எங்களுக்கு ஏற்கனவே மதிப்பு தெரியும், எஞ்சியிருப்பது கண்டுபிடிப்பதுதான்:

5) ஜோடி
கொடுக்கப்பட்ட அமைப்புக்கு ஒரே தீர்வு.

பதில்: (2.4; 2.2).

சமன்பாடுகளின் எந்த அமைப்பையும் எந்த வகையிலும் தீர்த்த பிறகு, அதை ஒரு வரைவில் சரிபார்க்க நான் கடுமையாக பரிந்துரைக்கிறேன். இது எளிதாகவும் விரைவாகவும் செய்யப்படுகிறது.

1) கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பதிலை முதல் சமன்பாட்டிற்கு மாற்றவும்:

- சரியான சமத்துவம் பெறப்படுகிறது.

2) கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பதிலை இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றவும்:

- சரியான சமத்துவம் பெறப்படுகிறது.

கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட தீர்வு முறை ஒன்றல்ல, முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து வெளிப்படுத்துவது சாத்தியம், மற்றும் இல்லை.

அல்லது

இருப்பினும், சில சந்தர்ப்பங்களில் நீங்கள் இன்னும் பின்னங்கள் இல்லாமல் செய்ய முடியாது. எந்தவொரு பணியையும் மிகவும் பகுத்தறிவு வழியில் முடிக்க நீங்கள் பாடுபட வேண்டும். இது நேரத்தை மிச்சப்படுத்துகிறது மற்றும் தவறு செய்யும் வாய்ப்பையும் குறைக்கிறது.
எடுத்துக்காட்டு 2

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

II. முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்ப்பது இயற்கணிதக் கூட்டல்(கழித்தல்) அமைப்பின் சமன்பாடுகள்

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​நீங்கள் மாற்று முறையைப் பயன்படுத்த முடியாது, ஆனால் அமைப்பின் சமன்பாடுகளின் இயற்கணிதக் கூட்டல் (கழித்தல்) முறையைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த முறை நேரத்தை மிச்சப்படுத்துகிறது மற்றும் கணக்கீடுகளை எளிதாக்குகிறது, இருப்பினும், இப்போது எல்லாம் தெளிவாகிவிடும்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

முதல் உதாரணத்தில் உள்ள அதே அமைப்பை எடுத்துக் கொள்வோம்.

2) ஒரு மாறிக்கான இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, கால-படி-கால கூட்டலின் விளைவாக, நாங்கள் மாறியை இழந்தோம். இது, உண்மையில், முறையின் சாராம்சம் - மாறிகளில் ஒன்றை அகற்றுவது.

3) இப்போது எல்லாம் எளிது:
- கணினியின் முதல் சமன்பாட்டில் மாற்றவும் (நீங்கள் இரண்டாவதாகவும் செய்யலாம்):

இறுதி தீர்வு இப்படி இருக்க வேண்டும்:

பதில்: (2.4; 2.2).

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

இந்த எடுத்துக்காட்டில், நாம் மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தலாம், ஆனால் பெரிய தீமை என்னவென்றால், எந்தவொரு சமன்பாட்டிலிருந்தும் ஏதேனும் மாறியை வெளிப்படுத்தும்போது, ​​​​ஒரு தீர்வைப் பெறுவோம் சாதாரண பின்னங்கள். சிலரே பின்னங்களுடன் பணிபுரிவதை விரும்புகிறார்கள், அதாவது இது நேரத்தை வீணடிப்பதோடு தவறு செய்வதற்கான அதிக வாய்ப்பு உள்ளது.

எனவே, சமன்பாடுகளின் கால-படி-கால கூட்டல் (கழித்தல்) பயன்படுத்துவது நல்லது. தொடர்புடைய மாறிகளுக்கான குணகங்களை பகுப்பாய்வு செய்வோம்:

நாம் பார்ப்பது போல், ஜோடிகளில் உள்ள எண்கள் (14 மற்றும் 7), (-9 மற்றும் -2) வேறுபட்டவை, எனவே, இப்போது சமன்பாடுகளைச் சேர்த்தால் (கழித்தால்), மாறியிலிருந்து விடுபட மாட்டோம். எனவே, முழுமையான மதிப்பில் ஒரே மாதிரியான ஜோடி எண்களில் ஒன்றைப் பார்க்க விரும்புகிறேன், எடுத்துக்காட்டாக, 14 மற்றும் -14 அல்லது 18 மற்றும் –18.

மாறியின் குணகங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

14x - 9y = 24;

7x – 2y = 17.
14 மற்றும் 7 ஆகிய இரண்டாலும் வகுபடும் எண்ணைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம், அது முடிந்தவரை சிறியதாக இருக்க வேண்டும். கணிதத்தில், இந்த எண் மிகக் குறைவான பொதுவான மடங்கு என்று அழைக்கப்படுகிறது. தேர்ந்தெடுக்க கடினமாக இருந்தால், நீங்கள் குணகங்களை வெறுமனே பெருக்கலாம்.

இதன் விளைவாக:

இப்போது முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து இரண்டாவது கால அளவைக் கழிப்போம்.

ஒருவர் இதற்கு நேர்மாறாகச் செய்ய முடியும் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் - இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து முதலில் கழிக்கவும், இது எதையும் மாற்றாது.

இப்போது நாம் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை கணினி சமன்பாடுகளில் ஒன்றில் மாற்றுகிறோம், எடுத்துக்காட்டாக, முதல் ஒன்றில்:

பதில்: (3:2)

14x - 9y = 24;

7x – 2y = 17.

வெளிப்படையாக, ஒரு ஜோடி குணகங்களுக்கு பதிலாக (-9 மற்றும் -3), நாம் 18 மற்றும் -18 ஐப் பெற வேண்டும்.

சமன்பாடுகளின் கால அளவைச் சேர்த்து, மாறிகளின் மதிப்புகளைக் கண்டறிகிறோம்:

இப்போது நாம் x இன் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை கணினியின் சமன்பாடுகளில் ஒன்றில் மாற்றுகிறோம், எடுத்துக்காட்டாக, முதல் ஒன்றில்:

பதில்: (3:2)

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு (விரிவுரையின் முடிவில் பதில்).
எடுத்துக்காட்டு 6.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு. கணினியின் இரண்டு சமன்பாடுகளை ஒரே நேரத்தில் (முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து) திருப்திப்படுத்த முடியாது என்பதால், கணினிக்கு தீர்வுகள் இல்லை.
மற்றும் இரண்டாவது இருந்து

பதில்: தீர்வுகள் இல்லை.
எடுத்துக்காட்டு 7.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பை தீர்க்கவும்

தீர்வு. இரண்டாவது சமன்பாடு 2 ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் முதல் சமன்பாடு பெறப்படுவதால், கணினி எண்ணற்ற பல தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது (அதாவது, இரண்டு அறியப்படாத சமன்பாடுகளுடன் ஒரே ஒரு சமன்பாடு மட்டுமே உள்ளது).

பதில்: எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.
III. மெட்ரிக்குகளைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்ப்பது.

இந்த அமைப்பின் நிர்ணயம் என்பது தெரியாதவர்களுக்கான குணகங்களால் ஆனது. இந்த தீர்மானிப்பான்

1. மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்ப்பது.
2. கணினி சமன்பாடுகளின் கால-படி-கால கூட்டல் (கழித்தல்) மூலம் கணினியைத் தீர்ப்பது.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்காக மாற்று முறை மூலம்நீங்கள் ஒரு எளிய வழிமுறையைப் பின்பற்ற வேண்டும்:
1. எக்ஸ்பிரஸ். எந்த சமன்பாட்டிலிருந்தும் நாம் ஒரு மாறியை வெளிப்படுத்துகிறோம்.
2. மாற்று. வெளிப்படுத்தப்பட்ட மாறிக்கு பதிலாக மற்றொரு சமன்பாட்டில் விளைந்த மதிப்பை மாற்றுகிறோம்.
3. இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை ஒரு மாறி மூலம் தீர்க்கவும். அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வைக் காண்கிறோம்.

முடிவு செய்ய கால-படி-கால கூட்டல் (கழித்தல்) முறை மூலம் அமைப்புவேண்டும்:
1. ஒரே மாதிரியான குணகங்களை உருவாக்கும் ஒரு மாறியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.
2. சமன்பாடுகளைச் சேர்க்கிறோம் அல்லது கழிக்கிறோம், இதன் விளைவாக ஒரு மாறியுடன் ஒரு சமன்பாடு உருவாகிறது.
3. இதன் விளைவாக வரும் நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வைக் காண்கிறோம்.

அமைப்புக்கான தீர்வு செயல்பாட்டு வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி அமைப்புகளின் தீர்வை விரிவாகக் கருதுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு #1:

மாற்று முறையில் தீர்வு காண்போம்

2x+5y=1 (1 சமன்பாடு)
x-10y=3 (2வது சமன்பாடு)

1. எக்ஸ்பிரஸ்
இரண்டாவது சமன்பாட்டில் 1 இன் குணகம் கொண்ட மாறி x இருப்பதைக் காணலாம், அதாவது இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இருந்து மாறி x ஐ வெளிப்படுத்துவது எளிதானது.
x=3+10y

2. அதை வெளிப்படுத்திய பிறகு, x மாறிக்கு பதிலாக முதல் சமன்பாட்டில் 3+10y ஐ மாற்றுவோம்.
2(3+10y)+5y=1

3. இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை ஒரு மாறி மூலம் தீர்க்கவும்.
2(3+10y)+5y=1 (அடைப்புக்குறிகளைத் திற)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

சமன்பாடு அமைப்புக்கான தீர்வு வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள், எனவே நாம் x மற்றும் y ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், ஏனெனில் வெட்டுப்புள்ளி x மற்றும் y ஐக் கொண்டுள்ளது, அதை வெளிப்படுத்திய முதல் புள்ளியில் y ஐக் கண்டுபிடிப்போம் .
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

முதலில் x என்ற மாறியை எழுதும்போது புள்ளிகளையும், இரண்டாவது இடத்தில் y என்ற மாறியையும் எழுதுவது வழக்கம்.
பதில்: (1; -0.2)

எடுத்துக்காட்டு #2:

கால-படி-கால கூட்டல் (கழித்தல்) முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கலாம்.

3x-2y=1 (1 சமன்பாடு)
2x-3y=-10 (2வது சமன்பாடு)

1. நாம் ஒரு மாறியை தேர்வு செய்கிறோம், x ஐ தேர்வு செய்கிறோம் என்று வைத்துக் கொள்வோம். முதல் சமன்பாட்டில், மாறி x 3 இன் குணகத்தைக் கொண்டுள்ளது, இரண்டாவது - 2. குணகங்களை ஒரே மாதிரியாக மாற்ற வேண்டும், இதற்காக சமன்பாடுகளைப் பெருக்க அல்லது எந்த எண்ணாலும் வகுக்க உரிமை உண்டு. முதல் சமன்பாட்டை 2 ஆல் பெருக்கி, இரண்டாவது 3 ஆல் பெருக்குவோம் ஒட்டுமொத்த குணகம் 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து இரண்டாவதாகக் கழிக்கவும்.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. x ஐக் கண்டுபிடி. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட y ஐ ஏதேனும் சமன்பாடுகளில் மாற்றுகிறோம், முதல் சமன்பாட்டில் கூறுவோம்.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

வெட்டுப்புள்ளி x=4.6 ஆக இருக்கும்; y=6.4
பதில்: (4.6; 6.4)

தேர்வுகளுக்கு இலவசமாகத் தயாராக விரும்புகிறீர்களா? ஆன்லைன் ஆசிரியர் இலவசமாக. நகைச்சுவை இல்லை.

சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் பொருளாதாரத் துறையில் கணித மாதிரியாக்கத்தில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன பல்வேறு செயல்முறைகள். எடுத்துக்காட்டாக, உற்பத்தி மேலாண்மை மற்றும் திட்டமிடல், தளவாட வழிகள் (போக்குவரத்து சிக்கல்) அல்லது உபகரணங்களை வைப்பது போன்ற சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது.

சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் கணிதத்தில் மட்டுமல்ல, இயற்பியல், வேதியியல் மற்றும் உயிரியலிலும், மக்கள்தொகை அளவைக் கண்டறிவதில் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு என்பது பல மாறிகள் கொண்ட இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சமன்பாடுகள் ஆகும், இதற்கு ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம். அனைத்து சமன்பாடுகளும் உண்மையான சமத்துவமாக மாறும் அல்லது வரிசை இல்லை என்பதை நிரூபிக்கும் எண்களின் அத்தகைய வரிசை.

நேரியல் சமன்பாடு

ax+by=c வடிவத்தின் சமன்பாடுகள் நேரியல் எனப்படும். பெயர்கள் x, y என்பது அறியப்படாதவை, அதன் மதிப்பு கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும், b, a என்பது மாறிகளின் குணகங்கள், c என்பது சமன்பாட்டின் இலவச சொல்.
ஒரு சமன்பாட்டை சதி செய்வதன் மூலம் அதைத் தீர்ப்பது ஒரு நேர் கோடு போல தோற்றமளிக்கும், அதன் அனைத்து புள்ளிகளும் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கான தீர்வுகள்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் வகைகள்

எளிமையான எடுத்துக்காட்டுகள் X மற்றும் Y ஆகிய இரண்டு மாறிகள் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளாகக் கருதப்படுகின்றன.

F1(x, y) = 0 மற்றும் F2(x, y) = 0, இதில் F1,2 செயல்பாடுகள் மற்றும் (x, y) செயல்பாடு மாறிகள்.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும் - இதன் பொருள் அமைப்பு உண்மையான சமத்துவமாக மாறும் மதிப்புகளை (x, y) கண்டறிதல் அல்லது அதை நிறுவுதல் பொருத்தமான மதிப்புகள் x மற்றும் y இல்லை.

ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளாக எழுதப்பட்ட ஒரு ஜோடி மதிப்புகள் (x, y), நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

அமைப்புகளுக்கு ஒரு பொதுவான தீர்வு இருந்தால் அல்லது தீர்வு இல்லை என்றால், அவை சமமானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்புகள் என்பது வலது புறம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் அமைப்புகள். சம அடையாளத்திற்குப் பிறகு வலது பகுதி ஒரு மதிப்பைக் கொண்டிருந்தால் அல்லது ஒரு செயல்பாட்டால் வெளிப்படுத்தப்பட்டால், அத்தகைய அமைப்பு பன்முகத்தன்மை கொண்டது.

மாறிகளின் எண்ணிக்கை இரண்டுக்கும் அதிகமாக இருக்கலாம், மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகள் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் உதாரணத்தைப் பற்றி நாம் பேச வேண்டும்.

அமைப்புகளை எதிர்கொள்ளும் போது, ​​சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையானது அறியப்படாதவர்களின் எண்ணிக்கையுடன் அவசியம் ஒத்துப்போக வேண்டும் என்று பள்ளி மாணவர்கள் கருதுகின்றனர், ஆனால் இது அவ்வாறு இல்லை. கணினியில் உள்ள சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை மாறிகள் சார்ந்தது அல்ல, அவற்றில் விரும்பிய அளவு இருக்கலாம்.

சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான எளிய மற்றும் சிக்கலான முறைகள்

அத்தகைய அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான பகுப்பாய்வு முறை எதுவும் இல்லை. பள்ளி கணித பாடமானது வரிசைமாற்றம், இயற்கணிதக் கூட்டல், மாற்றீடு, அத்துடன் வரைகலை மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் முறைகள், காசியன் முறையின் தீர்வு போன்ற முறைகளை விரிவாக விவரிக்கிறது.

தீர்வு முறைகளை கற்பிக்கும் போது முக்கிய பணி, கணினியை எவ்வாறு சரியாக பகுப்பாய்வு செய்வது மற்றும் ஒவ்வொரு உதாரணத்திற்கும் உகந்த தீர்வு வழிமுறையை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் கற்பிப்பதாகும். முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், ஒவ்வொரு முறைக்கும் விதிகள் மற்றும் செயல்களின் அமைப்பை மனப்பாடம் செய்வது அல்ல, ஆனால் ஒரு குறிப்பிட்ட முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான கொள்கைகளைப் புரிந்துகொள்வது.

7 ஆம் வகுப்பு பொதுக் கல்வி பாடத்திட்டத்தில் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது மிகவும் எளிமையானது மற்றும் மிக விரிவாக விளக்கப்பட்டுள்ளது. எந்த கணித பாடப்புத்தகத்திலும், இந்த பகுதிக்கு போதுமான கவனம் செலுத்தப்படுகிறது. காஸ் மற்றும் க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது உயர்கல்வியின் முதல் ஆண்டுகளில் இன்னும் விரிவாக ஆய்வு செய்யப்படுகிறது.

மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்வு முறைகள்

மாற்று முறையின் செயல்கள் ஒரு மாறியின் மதிப்பை இரண்டாவது அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளன. வெளிப்பாடு மீதமுள்ள சமன்பாட்டில் மாற்றப்படுகிறது, பின்னர் அது ஒரு மாறியுடன் ஒரு வடிவத்தில் குறைக்கப்படுகிறது. கணினியில் தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து செயல் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது

மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி வகுப்பு 7 இன் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் உதாரணத்திற்கு ஒரு தீர்வைக் கொடுப்போம்:

எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்கக்கூடியது போல, x மாறி F(X) = 7 + Y மூலம் வெளிப்படுத்தப்பட்டது. இதன் விளைவாக X க்கு பதிலாக கணினியின் 2 வது சமன்பாட்டில் மாற்றப்பட்டது, 2 வது சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி Y ஐப் பெற உதவியது. . தீர்வு இந்த உதாரணம்சிரமங்களை ஏற்படுத்தாது மற்றும் Y மதிப்பைப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது, பெறப்பட்ட மதிப்புகளை சரிபார்க்க வேண்டும்.

மாற்றீடு மூலம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் உதாரணத்தைத் தீர்ப்பது எப்போதும் சாத்தியமில்லை. சமன்பாடுகள் சிக்கலானதாக இருக்கலாம் மற்றும் இரண்டாவது தெரியாதவற்றின் அடிப்படையில் மாறியை வெளிப்படுத்துவது மேலும் கணக்கீடுகளுக்கு மிகவும் சிக்கலானதாக இருக்கும். கணினியில் 3 க்கும் மேற்பட்ட தெரியாதவர்கள் இருக்கும்போது, ​​மாற்றீடு மூலம் தீர்ப்பதும் பொருத்தமற்றது.

நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் உதாரணத்தின் தீர்வு:

இயற்கணிதக் கூட்டலைப் பயன்படுத்தி தீர்வு

கூட்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினிகளுக்கான தீர்வுகளைத் தேடும் போது, ​​சமன்பாடுகள் காலத்தின் அடிப்படையில் சேர்க்கப்படுகின்றன மற்றும் பல்வேறு எண்களால் பெருக்கப்படுகின்றன. கணித செயல்பாடுகளின் இறுதி இலக்கு ஒரு மாறியில் உள்ள சமன்பாடு ஆகும்.

இந்த முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கு பயிற்சி மற்றும் கவனிப்பு தேவை. 3 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகள் இருக்கும்போது கூட்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது எளிதானது அல்ல. சமன்பாடுகள் பின்னங்கள் மற்றும் தசமங்களைக் கொண்டிருக்கும் போது இயற்கணிதக் கூட்டல் பயன்படுத்த வசதியானது.

தீர்வு அல்காரிதம்:

1. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் பெருக்கவும். எண்கணித செயல்பாட்டின் விளைவாக, மாறியின் குணகங்களில் ஒன்று 1 க்கு சமமாக மாற வேண்டும்.
2. இதன் விளைவாக வரும் சொற்றொடரை காலத்தின் அடிப்படையில் சேர்த்து, தெரியாதவற்றில் ஒன்றைக் கண்டறியவும்.
3. மீதமுள்ள மாறியைக் கண்டறிய, பெறப்பட்ட மதிப்பை கணினியின் 2 வது சமன்பாட்டில் மாற்றவும்.

ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் தீர்வுக்கான முறை

இரண்டு சமன்பாடுகளுக்கு மேல் ஒரு தீர்வைக் கண்டறிய கணினி தேவைப்பட்டால், ஒரு புதிய மாறி அறிமுகப்படுத்தப்படலாம்.

ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் சமன்பாடுகளில் ஒன்றை எளிமைப்படுத்த இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட அறியப்படாதவற்றுக்கு புதிய சமன்பாடு தீர்க்கப்படுகிறது, இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு அசல் மாறியைத் தீர்மானிக்கப் பயன்படுகிறது.

ஒரு புதிய மாறி t ஐ அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம், கணினியின் 1 வது சமன்பாட்டை நிலையான ஒன்றுக்கு குறைக்க முடியும் என்பதை எடுத்துக்காட்டு காட்டுகிறது. இருபடி முக்கோணம். பாகுபாட்டைக் கண்டறிவதன் மூலம் நீங்கள் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையைத் தீர்க்கலாம்.

நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பாகுபாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறிவது அவசியம்: D = b2 - 4*a*c, D என்பது விரும்பிய பாகுபாடு, b, a, c ஆகியவை பல்லுறுப்புக்கோவையின் காரணிகள். கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், a=1, b=16, c=39, எனவே D=100. பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால், இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன: t = -b±√D / 2*a, பாரபட்சமாக இருந்தால் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக, பின்னர் ஒரே ஒரு தீர்வு உள்ளது: x= -b / 2*a.

விளைந்த அமைப்புகளுக்கான தீர்வு கூட்டல் முறையால் கண்டறியப்படுகிறது.

அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான காட்சி முறை

3 சமன்பாடு அமைப்புகளுக்கு ஏற்றது. கணினியில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள ஒவ்வொரு சமன்பாட்டின் வரைபடங்களையும் ஒருங்கிணைப்பு அச்சில் அமைப்பதில் முறை உள்ளது. வளைவுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் இருக்கும் பொதுவான முடிவுஅமைப்புகள்.

வரைகலை முறை பல நுணுக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு காட்சி வழியில் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான பல எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், ஒவ்வொரு வரிக்கும் இரண்டு புள்ளிகள் கட்டப்பட்டுள்ளன, மாறி x இன் மதிப்புகள் தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டன: 0 மற்றும் 3. x இன் மதிப்புகளின் அடிப்படையில், y க்கான மதிப்புகள் கண்டறியப்பட்டன: 3 மற்றும் 0. ஆய (0, 3) மற்றும் (3, 0) புள்ளிகள் வரைபடத்தில் குறிக்கப்பட்டு ஒரு வரியால் இணைக்கப்பட்டன.

இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கான படிகள் மீண்டும் செய்யப்பட வேண்டும். கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளி அமைப்பின் தீர்வு.

0.5x-y+2=0 மற்றும் 0.5x-y-1=0: பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுக்கு நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு வரைகலை தீர்வைக் கண்டறிய வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், கணினிக்கு தீர்வு இல்லை, ஏனெனில் வரைபடங்கள் இணையானவை மற்றும் அவற்றின் முழு நீளத்துடன் குறுக்கிடவில்லை.

எடுத்துக்காட்டுகள் 2 மற்றும் 3 இல் உள்ள அமைப்புகள் ஒத்தவை, ஆனால் கட்டமைக்கப்படும் போது அவற்றின் தீர்வுகள் வேறுபட்டவை என்பது தெளிவாகிறது. ஒரு அமைப்புக்கு தீர்வு இருக்கிறதா இல்லையா என்பதை எப்போதும் கூற முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்;

அணி மற்றும் அதன் வகைகள்

மெட்ரிக்குகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன சிறு குறிப்புநேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள். மேட்ரிக்ஸ் என்பது ஒரு அட்டவணை சிறப்பு வகைஎண்களால் நிரப்பப்பட்டது. n*m இல் n - வரிசைகள் மற்றும் m - நெடுவரிசைகள் உள்ளன.

நெடுவரிசைகள் மற்றும் வரிசைகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்கும்போது ஒரு அணி சதுரமாகும். மேட்ரிக்ஸ்-வெக்டார் என்பது எல்லையற்ற ஒரு நெடுவரிசையின் அணி சாத்தியமான எண்வரிகள். மூலைவிட்டங்களில் ஒன்று மற்றும் பிற பூஜ்ஜிய உறுப்புகளுடன் கூடிய அணி அடையாளம் எனப்படும்.

தலைகீழ் அணி என்பது ஒரு அணி, இதன் மூலம் அசல் ஒரு அலகு அணியாக மாறும் போது, ​​அத்தகைய அணி அசல் சதுரத்திற்கு மட்டுமே உள்ளது.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பை மேட்ரிக்ஸாக மாற்றுவதற்கான விதிகள்

சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைப் பொறுத்தவரை, சமன்பாடுகளின் குணகங்கள் மற்றும் இலவச விதிமுறைகள் மேட்ரிக்ஸ் எண்களாக எழுதப்படுகின்றன;

வரிசையின் குறைந்தபட்சம் ஒரு உறுப்பு பூஜ்ஜியமாக இல்லாவிட்டால், அணி வரிசை பூஜ்ஜியமற்றது என்று கூறப்படுகிறது. எனவே, ஏதேனும் சமன்பாடுகளில் மாறிகளின் எண்ணிக்கை வேறுபட்டால், காணாமல் போன தெரியாத இடத்திற்கு பதிலாக பூஜ்ஜியத்தை உள்ளிடுவது அவசியம்.

மேட்ரிக்ஸ் நெடுவரிசைகள் கண்டிப்பாக மாறிகளுடன் ஒத்திருக்க வேண்டும். இதன் பொருள் x மாறியின் குணகங்களை ஒரு நெடுவரிசையில் மட்டுமே எழுத முடியும், எடுத்துக்காட்டாக முதல், தெரியாத y இன் குணகம் - இரண்டாவது.

மேட்ரிக்ஸைப் பெருக்கும் போது, ​​மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளும் ஒரு எண்ணால் வரிசையாக பெருக்கப்படுகின்றன.

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறிவதற்கான விருப்பங்கள்

தலைகீழ் அணியைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம் மிகவும் எளிமையானது: K -1 = 1 / |K|, K -1 என்பது தலைகீழ் அணி, மற்றும் |K| மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் ஆகும். |கே| பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது, பின்னர் கணினிக்கு ஒரு தீர்வு உள்ளது.

நிர்ணயிப்பானது இரண்டு-இரண்டு அணிக்கு எளிதில் கணக்கிடப்படுகிறது; நீங்கள் மூலைவிட்ட கூறுகளை ஒன்றோடொன்று பெருக்க வேண்டும் "மூன்று மூன்று" விருப்பத்திற்கு ஒரு சூத்திரம் உள்ளது |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம் அல்லது ஒவ்வொரு வரிசையிலிருந்தும் ஒவ்வொரு நெடுவரிசையிலிருந்தும் ஒரு உறுப்பை எடுக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ளலாம், இதனால் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் உறுப்புகளின் வரிசைகள் வேலையில் மீண்டும் மீண்டும் வராது.

மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது

ஒரு தீர்வைக் கண்டறிவதற்கான மேட்ரிக்ஸ் முறையானது, அதிக எண்ணிக்கையிலான மாறிகள் மற்றும் சமன்பாடுகளைக் கொண்ட அமைப்புகளைத் தீர்க்கும்போது சிக்கலான உள்ளீடுகளைக் குறைக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டில், ஒரு nm என்பது சமன்பாடுகளின் குணகங்கள், அணி என்பது ஒரு திசையன் x n என்பது மாறிகள், மற்றும் b n என்பது இலவச சொற்கள்.

காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்வு அமைப்புகள்

உயர் கணிதத்தில், காஸியன் முறையானது க்ரேமர் முறையுடன் சேர்ந்து ஆய்வு செய்யப்படுகிறது, மேலும் அமைப்புகளுக்கான தீர்வுகளைக் கண்டறியும் செயல்முறை காஸ்-க்ரேமர் தீர்வு முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. கண்டுபிடிக்க இந்த முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன மாறி அமைப்புகள்அதிக எண்ணிக்கையிலான நேரியல் சமன்பாடுகளுடன்.

காஸ் முறையானது மாற்று மற்றும் இயற்கணிதக் கூட்டல் மூலம் தீர்வுகளை மிகவும் ஒத்திருக்கிறது, ஆனால் மிகவும் முறையானது. பள்ளி பாடத்திட்டத்தில், காஸியன் முறையின் தீர்வு 3 மற்றும் 4 சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. முறையின் நோக்கம் கணினியை தலைகீழ் ட்ரெப்சாய்டு வடிவத்திற்குக் குறைப்பதாகும். இயற்கணித மாற்றங்கள் மற்றும் மாற்றீடுகள் மூலம், ஒரு மாறியின் மதிப்பு அமைப்பின் சமன்பாடுகளில் ஒன்றில் காணப்படுகிறது. இரண்டாவது சமன்பாடு 2 அறியப்படாதவைகளைக் கொண்ட ஒரு வெளிப்பாடு ஆகும், அதே சமயம் 3 மற்றும் 4 முறையே 3 மற்றும் 4 மாறிகள் உள்ளன.

கணினியை விவரிக்கப்பட்ட படிவத்திற்கு கொண்டு வந்த பிறகு, மேலும் தீர்வு கணினியின் சமன்பாடுகளில் அறியப்பட்ட மாறிகளின் வரிசை மாற்றத்திற்கு குறைக்கப்படுகிறது.

வகுப்பு 7 க்கான பள்ளி பாடப்புத்தகங்களில், காஸ் முறையின் தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு பின்வருமாறு விவரிக்கப்பட்டுள்ளது:

எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்க முடியும், படி (3) இல் இரண்டு சமன்பாடுகள் பெறப்பட்டன: 3x 3 -2x 4 =11 மற்றும் 3x 3 +2x 4 =7. சமன்பாடுகளில் ஏதேனும் ஒன்றைத் தீர்ப்பது, x n என்ற மாறிகளில் ஒன்றைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கும்.

உரையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள தேற்றம் 5, அமைப்பின் சமன்பாடுகளில் ஒன்று சமமான ஒன்றால் மாற்றப்பட்டால், அதன் விளைவாக வரும் அமைப்பும் அசல் ஒன்றிற்கு சமமாக இருக்கும் என்று கூறுகிறது.

காஸ் முறையை மாணவர்கள் புரிந்துகொள்வது கடினம் உயர்நிலைப் பள்ளி, ஆனால் மிகவும் ஒன்றாகும் சுவாரஸ்யமான வழிகள்கணிதம் மற்றும் இயற்பியல் வகுப்புகளில் மேம்பட்ட படிப்புத் திட்டங்களில் சேரும் குழந்தைகளின் புத்தி கூர்மையை வளர்ப்பது.

பதிவு செய்வதற்கான எளிமைக்காக, கணக்கீடுகள் பொதுவாக பின்வருமாறு செய்யப்படுகின்றன:

சமன்பாடுகள் மற்றும் இலவச சொற்களின் குணகங்கள் மேட்ரிக்ஸின் வடிவத்தில் எழுதப்படுகின்றன, அங்கு மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு வரிசையும் அமைப்பின் சமன்பாடுகளில் ஒன்றுக்கு ஒத்திருக்கிறது. சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை வலமிருந்து பிரிக்கிறது. ரோமானிய எண்கள் அமைப்பில் உள்ள சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கின்றன.

முதலில், வேலை செய்ய வேண்டிய மேட்ரிக்ஸை எழுதுங்கள், பின்னர் அனைத்து செயல்களும் ஒரு வரிசையுடன் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன. இதன் விளைவாக வரும் அணி "அம்பு" அடையாளத்திற்குப் பிறகு எழுதப்படுகிறது மற்றும் முடிவை அடையும் வரை தேவையான இயற்கணித செயல்பாடுகள் தொடரும்.

இதன் விளைவாக ஒரு மேட்ரிக்ஸாக இருக்க வேண்டும், அதில் மூலைவிட்டங்களில் ஒன்று 1 க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், மற்ற அனைத்து குணகங்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது, அணி அலகு வடிவத்திற்கு குறைக்கப்படுகிறது. சமன்பாட்டின் இருபுறமும் எண்களைக் கொண்டு கணக்கீடுகளைச் செய்ய நாம் மறந்துவிடக் கூடாது.

இந்த ரெக்கார்டிங் முறை குறைவான சிக்கலானது மற்றும் பல தெரியாதவற்றை பட்டியலிடுவதன் மூலம் உங்களை திசைதிருப்பாமல் இருக்க அனுமதிக்கிறது.

எந்தவொரு தீர்வு முறையின் இலவச பயன்பாட்டிற்கும் கவனிப்பு மற்றும் சில அனுபவம் தேவைப்படும். எல்லா முறைகளும் பயன்படுத்தப்படும் இயல்புடையவை அல்ல. தீர்வுகளை கண்டுபிடிப்பதற்கான சில முறைகள் மனித செயல்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியில் மிகவும் விரும்பத்தக்கவை, மற்றவை கல்வி நோக்கங்களுக்காக உள்ளன.

இந்த பாடத்தில் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைப் பார்ப்போம். உயர் கணிதத்தின் போக்கில், நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் தனித்தனி பணிகளின் வடிவத்தில் தீர்க்கப்பட வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக, "கிராமரின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்க்கவும்" மற்றும் பிற சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது. உயர் கணிதத்தின் அனைத்து பிரிவுகளிலும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் கையாளப்பட வேண்டும்.

முதலில், ஒரு சிறிய கோட்பாடு. என்ன இருக்கிறது இந்த வழக்கில்"நேரியல்" என்ற கணிதச் சொல்லைக் குறிக்கிறது? இதன் பொருள் அமைப்பின் சமன்பாடுகள் அனைத்துமாறிகள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது முதல் பட்டத்தில்: போன்ற ஆடம்பரமான விஷயங்கள் எதுவும் இல்லாமல் முதலியன, கணித ஒலிம்பியாட்களில் பங்கேற்பாளர்கள் மட்டுமே மகிழ்ச்சியடைகிறார்கள்.

உயர் கணிதத்தில், சிறுவயதிலிருந்தே தெரிந்த எழுத்துக்கள் மட்டும் மாறிகளைக் குறிக்கப் பயன்படுகின்றன.
மிகவும் பிரபலமான விருப்பமானது குறியீடுகள் கொண்ட மாறிகள்: .
அல்லது ஆரம்ப எழுத்துக்கள் லத்தீன் எழுத்துக்கள், சிறிய மற்றும் பெரிய:
கிரேக்க எழுத்துக்களைக் கண்டுபிடிப்பது மிகவும் அரிதானது அல்ல: - பலரால் "ஆல்ஃபா, பீட்டா, காமா" என்று அறியப்படுகிறது. மேலும் குறியீடுகளைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பு, "mu" என்ற எழுத்துடன் சொல்லுங்கள்:

ஒன்று அல்லது மற்றொரு எழுத்துக்களின் பயன்பாடு உயர் கணிதத்தின் பிரிவைப் பொறுத்தது, அதில் நாம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எதிர்கொள்கிறோம். எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது எதிர்கொள்ளும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளில், குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவது பாரம்பரியமானது.

ஆனால் மாறிகள் எவ்வாறு நியமிக்கப்பட்டாலும், நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான கொள்கைகள், முறைகள் மற்றும் முறைகள் மாறாது. எனவே, நீங்கள் பயமுறுத்தும் ஒன்றைக் கண்டால், பயத்தில் சிக்கல் புத்தகத்தை மூட அவசரப்பட வேண்டாம், எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, நீங்கள் அதற்கு பதிலாக சூரியனையும், அதற்கு பதிலாக ஒரு பறவையையும், அதற்கு பதிலாக ஒரு முகத்தையும் (ஆசிரியர்) வரையலாம். மேலும், வேடிக்கையாகத் தோன்றினாலும், இந்தக் குறியீடுகளுடன் கூடிய நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பையும் தீர்க்க முடியும்.

கட்டுரை மிகவும் நீளமாக மாறும் என்று நான் உணர்கிறேன், எனவே ஒரு சிறிய உள்ளடக்க அட்டவணை. எனவே, தொடர்ச்சியான "விளக்கம்" இப்படி இருக்கும்:

- மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது ("பள்ளி முறை");
- கணினி சமன்பாடுகளின் கால-படி-கால கூட்டல் (கழித்தல்) மூலம் கணினியைத் தீர்ப்பது;
- Cramer இன் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணினியின் தீர்வு;
- தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்ப்பது;
- காசியன் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்ப்பது.

பள்ளி கணித பாடங்களில் இருந்து நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளை அனைவரும் அறிந்திருக்கிறார்கள். அடிப்படையில், நாம் மீண்டும் மீண்டும் தொடங்குகிறோம்.

மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது

இந்த முறையை "பள்ளி முறை" அல்லது தெரியாதவற்றை நீக்கும் முறை என்றும் அழைக்கலாம். உருவகமாகப் பார்த்தால், இதை "ஒரு முடிக்கப்படாத காசியன் முறை" என்றும் அழைக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

இங்கே நமக்கு இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இலவச சொற்கள் (எண்கள் 5 மற்றும் 7) சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் அமைந்துள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க. பொதுவாக, அவர்கள் எங்கு இருக்கிறார்கள் என்பது முக்கியமல்ல, இடது அல்லது வலதுபுறம், உயர் கணிதத்தில் உள்ள சிக்கல்களில் அவை பெரும்பாலும் அந்த வழியில் அமைந்துள்ளன. அத்தகைய பதிவு குழப்பத்திற்கு வழிவகுக்கக்கூடாது, தேவைப்பட்டால், கணினியை எப்போதும் "வழக்கம் போல்" எழுதலாம்: . ஒரு பகுதியை பகுதியிலிருந்து பகுதிக்கு நகர்த்தும்போது, ​​அதன் அடையாளத்தை மாற்ற வேண்டும் என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் அர்த்தம் என்ன? சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது என்பது அதன் பல தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். ஒரு அமைப்பின் தீர்வு என்பது அதில் உள்ள அனைத்து மாறிகளின் மதிப்புகளின் தொகுப்பாகும், இது அமைப்பின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் உண்மையான சமத்துவமாக மாற்றுகிறது. கூடுதலாக, அமைப்பு இருக்க முடியும் கூட்டு அல்லாத (தீர்வுகள் இல்லை).கவலைப்படாதே, அது பொதுவான வரையறை=) எங்களிடம் ஒரே ஒரு மதிப்பு “x” மற்றும் ஒரு மதிப்பு “y” மட்டுமே இருக்கும், இது ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் c-we பூர்த்தி செய்கிறது.

கணினியைத் தீர்ப்பதற்கு ஒரு வரைகலை முறை உள்ளது, இது வகுப்பில் உங்களைப் பழக்கப்படுத்திக்கொள்ளலாம். ஒரு வரியில் எளிமையான சிக்கல்கள். அங்கு நான் பேசினேன் வடிவியல் உணர்வு இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள். ஆனால் இப்போது இது இயற்கணிதம் மற்றும் எண்கள்-எண்கள், செயல்கள்-செயல்களின் சகாப்தம்.

முடிவு செய்வோம்: முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் வெளிப்படுத்துகிறோம்:
இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டை இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:

அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, ஒத்த சொற்களைச் சேர்த்து மதிப்பைக் கண்டறியவும்:

அடுத்து, நாங்கள் நடனமாடியதை நினைவில் கொள்கிறோம்:
மதிப்பை நாங்கள் ஏற்கனவே அறிவோம், எஞ்சியிருப்பது கண்டுபிடிப்பதுதான்:

பதில்:

எந்தவொரு சமன்பாடு முறையும் எந்த வகையிலும் தீர்க்கப்பட்ட பிறகு, சரிபார்க்க நான் கடுமையாக பரிந்துரைக்கிறேன் (வாய்வழியாக, வரைவில் அல்லது கால்குலேட்டரில்). அதிர்ஷ்டவசமாக, இது எளிதாகவும் விரைவாகவும் செய்யப்படுகிறது.

1) கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பதிலை முதல் சமன்பாட்டில் மாற்றவும்:

- சரியான சமத்துவம் பெறப்படுகிறது.

2) கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பதிலை இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றவும்:

- சரியான சமத்துவம் பெறப்படுகிறது.

அல்லது, இன்னும் எளிமையாகச் சொல்வதென்றால், "எல்லாம் ஒன்று சேர்ந்தது"

கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட தீர்வு முறை ஒன்றல்ல, முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து வெளிப்படுத்துவது சாத்தியம், மற்றும் இல்லை.
நீங்கள் இதற்கு நேர்மாறாக செய்யலாம் - இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து எதையாவது வெளிப்படுத்தவும் மற்றும் அதை முதல் சமன்பாட்டில் மாற்றவும். மூலம், நான்கு முறைகளில் மிகவும் பாதகமானது இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து வெளிப்படுத்துவதாகும்.

இதன் விளைவாக பின்னங்கள், ஆனால் ஏன்? இன்னும் பகுத்தறிவு தீர்வு உள்ளது.

இருப்பினும், சில சந்தர்ப்பங்களில் நீங்கள் இன்னும் பின்னங்கள் இல்லாமல் செய்ய முடியாது. இது சம்பந்தமாக, நான் வெளிப்பாட்டை எவ்வாறு எழுதினேன் என்பதை உங்கள் கவனத்திற்கு ஈர்க்க விரும்புகிறேன். இது போல் இல்லை: மற்றும் இது போன்ற எந்த விஷயத்திலும்: .

உயர் கணிதத்தில் நீங்கள் கையாளுகிறீர்கள் என்றால் பின்ன எண்கள், பின்னர் அனைத்து கணக்கீடுகளையும் சாதாரண முறையற்ற பின்னங்களில் மேற்கொள்ள முயற்சிக்கவும்.

சரியாக, மற்றும் இல்லை அல்லது!

ஒரு கமாவை சில நேரங்களில் மட்டுமே பயன்படுத்த முடியும், குறிப்பாக சில பிரச்சனைகளுக்கு இது இறுதி விடையாக இருந்தால், மேலும் இந்த எண்ணைக் கொண்டு மேலும் செயல்களைச் செய்ய வேண்டியதில்லை.

பல வாசகர்கள் ஒருவேளை "ஏன் ஒரு திருத்தம் வகுப்பிற்கு இவ்வளவு விரிவான விளக்கம், எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது" என்று நினைத்திருக்கலாம். அப்படி எதுவும் இல்லை, இது ஒரு எளிய பள்ளி உதாரணம் போல் தெரிகிறது, ஆனால் பல மிக முக்கியமான முடிவுகள் உள்ளன! இதோ மற்றொன்று:

எந்தவொரு பணியையும் மிகவும் பகுத்தறிவு வழியில் முடிக்க நீங்கள் பாடுபட வேண்டும். ஏனெனில் அது நேரத்தையும் நரம்புகளையும் மிச்சப்படுத்துகிறது, மேலும் தவறு செய்வதற்கான வாய்ப்பையும் குறைக்கிறது.

உயர் கணிதப் பிரச்சனையில் இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை நீங்கள் கண்டால், நீங்கள் எப்பொழுதும் மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தலாம் (கணினியை வேறொரு முறையால் தீர்க்க வேண்டும் என்று குறிப்பிடப்படாவிட்டால்). நீங்கள் ஒரு உறிஞ்சி மற்றும் "பள்ளி முறையை" பயன்படுத்தி உங்கள் தரத்தை குறைப்பீர்கள்
மேலும், சில சந்தர்ப்பங்களில் மாற்று முறையைப் பயன்படுத்துவது நல்லது மேலும்மாறிகள்.

எடுத்துக்காட்டு 2

மூன்று தெரியாதவற்றுடன் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியும் போது, ​​காலவரையற்ற குணகங்களின் முறை என அழைக்கப்படும் முறையைப் பயன்படுத்தும் போது இதேபோன்ற சமன்பாடுகளின் அமைப்பு அடிக்கடி எழுகிறது. குறித்த அமைப்பு என்னால் அங்கிருந்து எடுக்கப்பட்டது.

ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியும் போது, ​​இலக்கு வேகமாகக்ரேமரின் சூத்திரங்கள், தலைகீழ் அணி முறை போன்றவற்றைப் பயன்படுத்துவதை விட குணகங்களின் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும். எனவே, இந்த வழக்கில், மாற்று முறை பொருத்தமானது.

சமன்பாடுகளின் எந்த அமைப்பும் கொடுக்கப்பட்டால், முதலில் அதை எப்படியாவது உடனடியாக எளிதாக்க முடியுமா என்பதைக் கண்டுபிடிப்பது விரும்பத்தக்கது? அமைப்பின் சமன்பாடுகளை பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம், கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டை 2 ஆல் வகுக்க முடியும் என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம், இதைத்தான் நாங்கள் செய்கிறோம்:

குறிப்பு:கணித அடையாளம் என்பது "இதிலிருந்து பின்வருபவை" என்று பொருள்படும் மற்றும் பெரும்பாலும் சிக்கலைத் தீர்ப்பதில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இப்போது சமன்பாடுகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம், மற்றவற்றின் அடிப்படையில் சில மாறிகளை வெளிப்படுத்த வேண்டும். எந்த சமன்பாட்டை நான் தேர்வு செய்ய வேண்டும்? கணினியின் முதல் சமன்பாட்டை எடுப்பதே இந்த நோக்கத்திற்கான எளிதான வழி என்று நீங்கள் ஏற்கனவே யூகித்திருக்கலாம்:

இங்கே, எந்த மாறியை வெளிப்படுத்தினாலும், ஒருவர் எளிதாக வெளிப்படுத்தலாம் அல்லது .

அடுத்து, கணினியின் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சமன்பாடுகளுக்கு வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறோம்:

நாங்கள் அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து இதே போன்ற சொற்களை வழங்குகிறோம்:

மூன்றாவது சமன்பாட்டை 2 ஆல் வகுக்கவும்:

இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து மூன்றாவது சமன்பாட்டை வெளிப்படுத்துகிறோம் மற்றும் மாற்றுகிறோம்:

கிட்டத்தட்ட எல்லாம் தயாராக உள்ளது, மூன்றாவது சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் காண்கிறோம்:
இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இருந்து:
முதல் சமன்பாட்டில் இருந்து:

சரிபார்க்கவும்: கணினியின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் மாறிகளின் காணப்படும் மதிப்புகளை மாற்றவும்:

1)
2)
3)

சமன்பாடுகளின் தொடர்புடைய வலது பக்கங்கள் பெறப்படுகின்றன, இதனால் தீர்வு சரியாகக் காணப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 3

4 தெரியாதவற்றுடன் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு (பாடத்தின் முடிவில் பதில்).

கணினி சமன்பாடுகளின் கால-படி-கால கூட்டல் (கழித்தல்) மூலம் கணினியைத் தீர்ப்பது

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​நீங்கள் "பள்ளி முறை" அல்ல, ஆனால் அமைப்பின் சமன்பாடுகளின் கால-படி-கால கூட்டல் (கழித்தல்) முறையைப் பயன்படுத்த முயற்சிக்க வேண்டும். ஏன்? இது நேரத்தை மிச்சப்படுத்துகிறது மற்றும் கணக்கீடுகளை எளிதாக்குகிறது, இருப்பினும், இப்போது எல்லாம் தெளிவாகிவிடும்.

எடுத்துக்காட்டு 4

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

முதல் உதாரணத்தில் உள்ள அதே அமைப்பை நான் எடுத்தேன்.
சமன்பாடுகளின் அமைப்பை பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம், மாறியின் குணகங்கள் அளவில் ஒரே மாதிரியாகவும், குறியில் எதிரெதிர் (–1 மற்றும் 1) இருப்பதையும் நாம் கவனிக்கிறோம். அத்தகைய சூழ்நிலையில், சமன்பாடுகளை காலத்தின் அடிப்படையில் சேர்க்கலாம்:

சிவப்பு நிறத்தில் வட்டமிட்ட செயல்கள் மனதளவில் செய்யப்படுகின்றன.
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, கால-படி-கால கூட்டலின் விளைவாக, நாங்கள் மாறியை இழந்தோம். உண்மையில், இதுதான் முறையின் சாராம்சம் மாறிகளில் ஒன்றை அகற்றுவதாகும்.

1. மாற்று முறை: கணினியின் எந்த சமன்பாட்டிலிருந்தும் நாம் தெரியாத ஒன்றை மற்றொன்றின் மூலம் வெளிப்படுத்துகிறோம் மற்றும் அதை கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்.

பணி.சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

தீர்வு.அமைப்பின் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் வெளிப்படுத்துகிறோம் மணிக்குமூலம் எக்ஸ்மற்றும் கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் அதை மாற்றவும். அமைப்பைப் பெறுவோம் அசல் ஒன்றுக்கு சமமானது.

ஒத்த விதிமுறைகளைக் கொண்டு வந்த பிறகு, கணினி வடிவம் எடுக்கும்:

இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் காண்கிறோம்: . இந்த மதிப்பை சமன்பாட்டில் மாற்றுதல் மணிக்கு = 2 - 2எக்ஸ், நாம் பெறுகிறோம் மணிக்கு= 3. எனவே, இந்த அமைப்பின் தீர்வு ஒரு ஜோடி எண்கள்.

2. இயற்கணிதக் கூட்டல் முறை: இரண்டு சமன்பாடுகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம், ஒரு மாறியுடன் ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள்.

பணி.கணினி சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

தீர்வு.இரண்டாவது சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2 ஆல் பெருக்கினால், நாம் கணினியைப் பெறுகிறோம் அசல் ஒன்றுக்கு சமமானது. இந்த அமைப்பின் இரண்டு சமன்பாடுகளையும் சேர்த்தால், நாம் கணினிக்கு வருகிறோம்

ஒத்த விதிமுறைகளைக் கொண்டு வந்த பிறகு, இந்த அமைப்பு படிவத்தை எடுக்கும்: இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் காண்கிறோம். இந்த மதிப்பை சமன்பாடு 3 இல் மாற்றவும் எக்ஸ் + 4மணிக்கு= 5, நாம் பெறுகிறோம் , எங்கே. எனவே, இந்த அமைப்புக்கான தீர்வு ஒரு ஜோடி எண்கள்.

3. புதிய மாறிகளை அறிமுகப்படுத்தும் முறை: கணினியில் மீண்டும் மீண்டும் வரும் சில வெளிப்பாடுகளை நாங்கள் தேடுகிறோம், அதை புதிய மாறிகள் மூலம் குறிப்போம், அதன் மூலம் கணினியின் தோற்றத்தை எளிதாக்குவோம்.

பணி.சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

தீர்வு.அதை எழுதுவோம் இந்த அமைப்புஇல்லையெனில்:

விடுங்கள் x + y = u, xy = v.பின்னர் நாம் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்

மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி அதைத் தீர்ப்போம். அமைப்பின் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் வெளிப்படுத்துகிறோம் uமூலம் vமற்றும் கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் அதை மாற்றவும். அமைப்பைப் பெறுவோம் அந்த.

கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் காண்கிறோம் v 1 = 2, v 2 = 3.

இந்த மதிப்புகளை சமன்பாட்டில் மாற்றவும் u = 5 - v, நாம் பெறுகிறோம் u 1 = 3,
u 2 = 2. பிறகு இரண்டு அமைப்புகள் உள்ளன

முதல் அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம், இரண்டு ஜோடி எண்களைப் பெறுகிறோம் (1; 2), (2; 1). இரண்டாவது முறைக்கு தீர்வுகள் இல்லை.

சுயாதீன வேலைக்கான பயிற்சிகள்

1. மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்கவும்.