ஒரு இருபடி முக்கோணத்தை எவ்வாறு காரணியாக்குவது. இருபடி முக்கோணங்களை காரணியாக்குதல்: எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் சூத்திரங்கள்

சதுர முக்கோணம் என்பது ax^2 + bx + c வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், இதில் x என்பது ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c என்பது சில எண்கள் மற்றும் a ≠ 0.

ஒரு முக்கோணத்தை காரணியாக்க, அந்த முக்கோணத்தின் வேர்களை நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும். (5x^2 + 3x- 2 என்ற முக்கோணத்தில் மேலும் ஒரு எடுத்துக்காட்டு)

குறிப்பு: இருபடி முக்கோணத்தின் மதிப்பு 5x^2 + 3x - 2 x இன் மதிப்பைப் பொறுத்தது. எடுத்துக்காட்டாக: x = 0 என்றால், 5x^2 + 3x - 2 = -2

x = 2 எனில், 5x^2 + 3x - 2 = 24

x = -1 எனில், 5x^2 + 3x - 2 = 0

x = -1 இல், சதுர முக்கோணம் 5x^2 + 3x - 2 மறைந்துவிடும், இந்த நிலையில் எண் -1 எனப்படும் ஒரு சதுர முக்கோணத்தின் வேர்.

ஒரு சமன்பாட்டின் மூலத்தை எவ்வாறு பெறுவது

இந்த சமன்பாட்டின் மூலத்தை நாம் எவ்வாறு பெற்றோம் என்பதை விளக்குவோம். முதலில், நாங்கள் செயல்படும் தேற்றம் மற்றும் சூத்திரத்தை நீங்கள் தெளிவாக அறிந்து கொள்ள வேண்டும்:

"x1 மற்றும் x2 இருபடி முக்கோணக் கோடாரி^2 + bx + c என்பதன் வேர்கள் என்றால், ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)."

X = (-b±√(b^2-4ac))/2a\

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான இந்த சூத்திரம் மிகவும் பழமையான சூத்திரமாகும், இதைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் ஒருபோதும் குழப்பமடைய மாட்டீர்கள்.

வெளிப்பாடு 5x^2 + 3x – 2.

1. பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமன்: 5x^2 + 3x – 2 = 0

2. வேர்களைக் கண்டறிதல் இருபடி சமன்பாடு, இதைச் செய்ய, மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம் (a என்பது X ^ 2 க்கான குணகம், b என்பது X க்கான குணகம், இலவச சொல், அதாவது X இல்லாத எண்ணிக்கை):

வர்க்க மூலத்தின் முன் கூட்டல் குறியுடன் முதல் மூலத்தைக் காண்கிறோம்:

Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0.4

சதுர மூலத்தின் முன் கழித்தல் குறி கொண்ட இரண்டாவது வேர்:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

எனவே இருபடி முக்கோணத்தின் வேர்களைக் கண்டுபிடித்தோம். அவை சரியானவை என்பதை உறுதிப்படுத்த, நீங்கள் சரிபார்க்கலாம்: முதலில் நாம் முதல் மூலத்தை சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம், பின்னர் இரண்டாவது:

1) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

அனைத்து வேர்களையும் மாற்றிய பின், சமன்பாடு பூஜ்ஜியமாக மாறினால், சமன்பாடு சரியாக தீர்க்கப்படும்.

3. இப்போது தேற்றத்திலிருந்து சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), X1 மற்றும் X2 இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். எனவே: 5x^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0.4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0.4)(x + 1)

4. சிதைவு சரியாக உள்ளதா என்பதை உறுதிப்படுத்த, நீங்கள் அடைப்புக்குறிகளை பெருக்கலாம்:

5(x - 0.4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0.4x - 0.4) = 5(x^2 + 0.6x – 0.4) = 5x^2 + 3 – 2. இது சரியானதை உறுதிப்படுத்துகிறது முடிவு.

சதுர முக்கோணத்தின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான இரண்டாவது விருப்பம்

ஒரு சதுர முக்கோணத்தின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான மற்றொரு விருப்பம் தேற்றம் ஆகும் தேற்றத்தின் உரையாடல்வியட்டா. இங்கே இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி காணப்படுகின்றன: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. ஆனால் குணகம் a = 1, அதாவது x^2 = 1 க்கு முன்னால் உள்ள எண்ணாக இருந்தால் மட்டுமே இந்தத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த முடியும் என்பதைப் புரிந்துகொள்வது அவசியம்.

எடுத்துக்காட்டாக: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

நாங்கள் தீர்க்கிறோம்: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

இப்போது தயாரிப்பில் உள்ள எண்கள் ஒன்றைக் கொடுக்கின்றன என்பதைப் பற்றி சிந்திக்க வேண்டியது அவசியம்? இயற்கையாகவே இது 1 * 1 மற்றும் -1 * (-1) . இந்த எண்களில் இருந்து x1 + x2 = 2 என்ற வெளிப்பாட்டுடன் தொடர்புடையவற்றைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம், நிச்சயமாக - இது 1 + 1. எனவே சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிந்தோம்: x1 = 1, x2 = 1. இதை நாம் சரிபார்க்க எளிதானது வெளிப்பாட்டில் x^2 ஐ மாற்றவும் - 2x + 1 = 0.

சதுர முக்கோணம் கோடாரி 2 +bx+cசூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நேரியல் காரணிகளாக காரணியாக்கலாம்:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), எங்கே x 1, x 2- இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் கோடாரி 2 +bx+c=0.

இருபடி முக்கோணத்தை நேரியல் காரணிகளாகக் கூறு:

எடுத்துக்காட்டு 1). 2x 2 -7x-15.

தீர்வு. 2x 2 -7x-15=0.

அ=2; பி=-7; c=-15. இது ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான வழக்கு. பாகுபாடு காண்பவரைக் கண்டறிதல் டி.

D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 உண்மையான வேர்கள்.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

2x 2 -7x-15=2 (x+1.5)(x-5)=(2x+3)(x-5). இந்த முக்கோணத்தை அறிமுகப்படுத்தினோம் 2x 2 -7x-15 2x+3மற்றும் x-5.

பதில்: 2x 2 -7x-15= (2x+3)(x-5).

எடுத்துக்காட்டு 2). 3x 2 +2x-8.

தீர்வு.இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

அ=3; பி=2;c=-8. இது இரண்டாவது குணகம் கொண்ட முழுமையான இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கான ஒரு சிறப்பு வழக்கு ( பி=2). பாகுபாடு காண்பவரைக் கண்டறிதல் டி 1.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

நாங்கள் முக்கோணத்தை அறிமுகப்படுத்தினோம் 3x 2 +2x-8இருசொற்களின் விளைபொருளாக x+2மற்றும் 3x-4.

பதில்: 3x 2 +2x-8 =(x+2)(3x-4).

எடுத்துக்காட்டு 3). 5x 2 -3x-2.

தீர்வு.இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

அ=5; பி=-3; c=-2. பின்வரும் நிபந்தனையுடன் முழுமையான இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு இது ஒரு சிறப்பு வழக்கு: a+b+c=0(5-3-2=0). அத்தகைய சந்தர்ப்பங்களில் முதல் வேர்எப்போதும் ஒன்றுக்கு சமம், ஏ இரண்டாவது வேர்முதல் குணகத்தால் வகுக்கப்பட்ட இலவச காலத்தின் பங்கிற்கு சமம்:

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

5x 2 -3x-2=5 (x-1)(x+0.4)=(x-1)(5x+2). நாங்கள் முக்கோணத்தை அறிமுகப்படுத்தினோம் 5x 2 -3x-2இருசொற்களின் விளைபொருளாக x-1மற்றும் 5x+2.

பதில்: 5x 2 -3x-2= (x-1)(5x+2).

எடுத்துக்காட்டு 4). 6x 2 +x-5.

தீர்வு.இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

அ=6; பி=1; c=-5. பின்வரும் நிபந்தனையுடன் முழுமையான இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு இது ஒரு சிறப்பு வழக்கு: a-b+c=0(6-1-5=0). அத்தகைய சந்தர்ப்பங்களில் முதல் வேர்எப்போதும் கழித்தல் ஒன்றுக்கு சமம், மற்றும் இரண்டாவது வேர்இலவசச் சொல்லை முதல் குணகத்தால் வகுக்கும் மைனஸ் பங்குக்கு சமம்:

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

நாங்கள் முக்கோணத்தை அறிமுகப்படுத்தினோம் 6x 2 +x-5இருசொற்களின் விளைபொருளாக x+1மற்றும் 6x-5.

பதில்: 6x 2 +x-5= (x+1)(6x-5).

எடுத்துக்காட்டு 5). x 2 -13x+12.

தீர்வு.கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

x 2 -13x+12=0. பயன்படுத்த முடியுமா என்று பார்க்கலாம். இதைச் செய்ய, பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடித்து, அது ஒரு முழு எண்ணின் சரியான சதுரமாக இருப்பதை உறுதி செய்வோம்.

அ=1; பி=-13; c=12. பாகுபாடு காண்பவரைக் கண்டறிதல் டி.

D=b 2 -4ac=13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: வேர்களின் கூட்டுத்தொகை இரண்டாவது குணகத்திற்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும், எதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்டதாக இருக்க வேண்டும், மேலும் வேர்களின் பலன் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும்:

x 1 + x 2 =13; x 1 ∙x 2 =12. x 1 =1 என்பது வெளிப்படையானது; x 2 =12.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

x 2 -13x+12=(x-1)(x-12).

பதில்: x 2 -13x+12= (x-1)(x-12).

எடுத்துக்காட்டு 6). x 2 -4x-6.

தீர்வு. கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

அ=1; பி=-4; c=-6. இரண்டாவது குணகம் - சம எண். பாகுபாடு D 1 ஐக் கண்டறியவும்.

பாகுபாடு என்பது ஒரு முழு எண்ணின் சரியான சதுரம் அல்ல, எனவே, வியட்டாவின் தேற்றம் நமக்கு உதவாது, மேலும் இரண்டாவது குணகத்திற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) மற்றும் பதிலை எழுதுங்கள்.

வளர்ச்சி திறந்த பாடம்

8 ஆம் வகுப்பில் அல்ஜீப்ரா

தலைப்பில்: "சதுர முக்கோணம். ஒரு இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குதல்."

கணித ஆசிரியர், KSU மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 16, கரகண்டா

பெகெனோவா ஜி.எம்.

கரகண்டா 2015

"கணிதத்தை கவனிப்பதன் மூலம் கற்றுக்கொள்ள முடியாது."

லாரி நிவன் - கணிதப் பேராசிரியர்

பாடம் தலைப்பு:

சதுர முக்கோணம்.

ஒரு இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குதல்.

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

1. இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்கும் போது வகுப்பில் உள்ள அனைத்து மாணவர்களிடமிருந்தும் வெற்றிகரமான பயிற்சி மற்றும் அறிவைப் பயன்படுத்துதல்.

2. ஊக்குவித்தல்: அ) சுய கட்டுப்பாடு மற்றும் சுய கற்றலின் வளர்ச்சி,

b) பயன்படுத்தும் திறன் ஊடாடும் வெள்ளை பலகை,

c) கணித கல்வியறிவு மற்றும் துல்லியத்தின் வளர்ச்சி.

3. ஒருவரின் எண்ணங்களை திறமையாகவும் சுருக்கமாகவும் வெளிப்படுத்தும் திறனை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள், வகுப்பு தோழர்களின் பார்வையில் சகிப்புத்தன்மையுடன் இருங்கள் மற்றும் அடையப்பட்ட முடிவுகளிலிருந்து திருப்தியைப் பெறுங்கள்.

பாடம் வகை:வளர்ச்சி மற்றும் மேம்பட்ட கற்றலின் கூறுகளுடன், வேறுபட்ட மற்றும் தனிப்பட்ட அணுகுமுறையுடன் ஒருங்கிணைந்த பாடம்.

பாடம் இடம்:இந்த தலைப்பில் மூன்றாவது பாடம் (முக்கியம்), முதல் இரண்டில், மாணவர்கள் இருபடி முக்கோணத்தின் வரையறையைக் கற்றுக்கொண்டனர், அதன் வேர்களைக் கண்டுபிடிக்க கற்றுக்கொண்டனர், இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குவதற்கான வழிமுறையுடன் பழகினார்கள், மேலும் இது எதிர்காலத்தில் உதவும் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது, பின்னங்களைக் குறைத்தல், இயற்கணித வெளிப்பாடுகளின் மாற்றம்.

பாட அமைப்பு:

1 மாணவர்களுக்கு வித்தியாசமான அணுகுமுறையுடன் அறிவைப் புதுப்பித்தல்.

2 கட்டுப்பாடு என்பது முன்பு பெற்ற அறிவின் சுய பரிசோதனை ஆகும்.

3 புதிய உள்ளடக்கத்தை வழங்குவது ஓரளவு தேடல் முறையாகும்.

4 கற்றுக்கொண்டவற்றின் முதன்மை ஒருங்கிணைப்பு, தனித்தனியாக வேறுபட்ட அணுகுமுறை.

5 புரிதல், அறிவைப் பொதுமைப்படுத்துதல்.

6 பிரச்சனை அடிப்படையிலான கற்றலைப் பயன்படுத்தி வீட்டுப்பாடத்தை அமைத்தல்.

உபகரணங்கள்: ஊடாடும் ஒயிட்போர்டு, வழக்கமான ஒயிட்போர்டு, டாஸ்க் கார்டுகள், அல்ஜீப்ரா 8 பாடப்புத்தகம், நகல் காகிதம் மற்றும் வெற்று தாள்கள், இயற்பியல் சின்னங்கள்.

பாடம் முன்னேற்றம்

நிறுவன தருணம் (1 நிமிடம்).

1. மாணவர்களுக்கு வாழ்த்துதல்; பாடத்திற்கான அவர்களின் தயார்நிலையை சரிபார்க்கிறது.

2. பாடத்தின் நோக்கத்தைத் தெரிவிக்கவும்.

நிலை I.

“திரும்பத் திரும்பச் சொல்வது கற்றலின் தாய்."

1. வீட்டுப்பாடத்தைச் சரிபார்த்தல். எண். 476 (b,d), எண். 474, எண். 475

2. தனிப்பட்ட வேலைஅட்டைகளில் (4 பேர்) (வீட்டுப்பாடத்தைச் சரிபார்க்கும் போது) (5 நிமிடங்கள்)

நிலை II.

"நம்பி ஆனால் சரிபார்க்கவும்"

சுய கட்டுப்பாட்டுடன் வேலையைச் சோதிக்கவும்.

சுய சோதனை மூலம் சோதனை வேலை (கார்பன் காகிதம் வழியாக).

விருப்பம் 1 மீ II விருப்பம்

1) 2)

2. இருபடி முக்கோணத்தின் காரணி:

பதில்கள்

செய்ய சோதனை வேலை

"நம்புங்கள், ஆனால் சரிபார்க்கவும்."

1. இருபடி முக்கோணத்தின் வேர்களைக் கண்டறியவும்:

І விருப்பம் ІІ மாறுபாடு nடி

2. இருபடி முக்கோணத்தின் காரணி:

1) (X-3) (X+5); 1) (X+9) (X-7)

2) 9X (X-14); 2) 8X(X-16);

3) 4 (X-6) (X+6). 3) 7 (X-3) (X+3).

கவனிக்க வேண்டிய சில அற்புதமான பதில்கள்.

மாணவர்களுக்கான கேள்வி:

இருபடி முக்கோணத்தின் காரணியாக்கத்தை நாம் எங்கு பயன்படுத்தலாம் என்று நினைக்கிறீர்கள்?

சரி: சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் போது,

பின்னங்களைக் குறைக்கும் போது,

இயற்கணித வெளிப்பாடுகளை மாற்றுவதில்.

நிலை III

” திறமையும் உழைப்பும் எல்லாவற்றையும் நசுக்கும்”(10 நிமிடங்கள்)

1. பின்னங்களைக் குறைக்கும் போது இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குவதைப் பயன்படுத்துவதைக் கவனியுங்கள். மாணவர்கள் கரும்பலகையில் வேலை செய்கிறார்கள்.

ஒரு பகுதியைக் குறைக்கவும்:

2. இப்போது இயற்கணித வெளிப்பாடுகளின் மாற்றங்களில் ஒரு இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குவதைப் பயன்படுத்துவோம்.

பாடநூல். இயற்கணிதம் 8. ப 126 எண். 570 (ஆ)

இருபடி முக்கோணத்தின் காரணியாக்கத்தை நீங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறீர்கள் என்பதைக் காட்டுங்கள்.

நிலை IV

"இரும்பு சூடாக இருக்கும்போது வேலைநிறுத்தம்!"

சுதந்திரமான வேலை (13 நிமிடங்கள்)

விருப்பம் I விருப்பம் 1

ஒரு பகுதியைக் குறைக்கவும்:

5. நான் அதை உணர்ந்தேன்…….

6. இப்போது என்னால் முடியும்…….

7. நான் அதை உணர்ந்தேன்....

8. நான் வாங்கினேன்….

9. நான் கற்றுக்கொண்டேன்……

10. நான் செய்தேன்.......

11. என்னால் முடிந்தது….

12. நான் முயற்சி செய்கிறேன்......

13. நான் ஆச்சரியப்பட்டேன்….

14. அவர் எனக்கு வாழ்க்கைக்கு ஒரு பாடம் கொடுத்தார்….

15. நான் விரும்பினேன்….

பற்றிய தகவல்கள் வீட்டுப்பாடம்: உங்கள் வீட்டுப்பாடத்தை அடுத்த பாடத்திற்கு கொண்டு வாருங்கள் சுதந்திரமான வேலைஒரு வாரத்திற்கு முன்பு நாங்கள் பெற்றோம்.

வீட்டில் சுயாதீன வேலை.

விருப்பம் I விருப்பம் 1

№ 560 (a,c) எண். 560 (b,d)

№ 564 (a,c) எண். 564(b,d)

№ 566 (அ) எண். 566 (ஆ)

№ 569 (அ) எண். 569 (ஆ)

№ 571 (a,c) எண். 571 (b,d)

பாடம் முடிந்தது.

ஒரு இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குதல்சிக்கல் C3 அல்லது அளவுரு C5 இல் உள்ள சிக்கலில் இருந்து ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும் போது பயனுள்ளதாக இருக்கும். மேலும், வியட்டாவின் தேற்றம் உங்களுக்குத் தெரிந்தால், பல B13 வார்த்தைச் சிக்கல்கள் மிக விரைவாக தீர்க்கப்படும்.

இந்த தேற்றம், நிச்சயமாக, 8 ஆம் வகுப்பின் கண்ணோட்டத்தில் கருதப்படலாம், அதில் இது முதல் முறையாக கற்பிக்கப்படுகிறது. ஆனால் எங்கள் பணி ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வுக்கு நன்கு தயாராகி, முடிந்தவரை திறமையாக தேர்வு பணிகளை தீர்க்க கற்றுக்கொள்வது. எனவே, இந்தப் பாடம் பள்ளியிலிருந்து சற்று வித்தியாசமான அணுகுமுறையைக் கருதுகிறது.

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்பலருக்குத் தெரியும் (அல்லது குறைந்தபட்சம் பார்த்திருக்கலாம்):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

இங்கு `a, b` மற்றும் `c` ஆகியவை இருபடி முக்கோணமான `ax^2+bx+c` இன் குணகங்களாகும்.

தேற்றத்தை எவ்வாறு எளிதாகப் பயன்படுத்துவது என்பதை அறிய, அது எங்கிருந்து வருகிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்வோம் (இது உண்மையில் நினைவில் வைத்திருப்பதை எளிதாக்கும்).

`ax^2+ bx+ c = 0` என்ற சமன்பாட்டைக் கொள்வோம். மேலும் வசதிக்காக, அதை `a` ஆல் வகுத்து, `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0` ஐப் பெறவும். அப்படி ஒரு சமன்பாடு குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

முக்கியமான பாட யோசனை: வேர்களைக் கொண்ட எந்த இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை அடைப்புக்குறிக்குள் விரிவாக்கப்படலாம்.நம்முடையது `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, இங்கு `k` மற்றும் `` என குறிப்பிடலாம் என்று வைத்துக் கொள்வோம். l` - சில மாறிலிகள்.

அடைப்புக்குறிகள் எவ்வாறு திறக்கப்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம்:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

எனவே, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

இது கிளாசிக்கல் விளக்கத்திலிருந்து சற்று வித்தியாசமானது வியட்டாவின் தேற்றம்- அதில் நாம் சமன்பாட்டின் வேர்களைத் தேடுகிறோம். விதிமுறைகளைத் தேட நான் முன்மொழிகிறேன் அடைப்புக்குறி சிதைவு- இந்த வழியில் நீங்கள் சூத்திரத்தில் இருந்து கழித்தல் பற்றி நினைவில் கொள்ள தேவையில்லை (அதாவது `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). இதுபோன்ற இரண்டு எண்களைத் தேர்ந்தெடுப்பது போதுமானது, இதன் கூட்டுத்தொகை சராசரி குணகத்திற்கு சமம், மற்றும் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம்.

சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வு தேவைப்பட்டால், அது வெளிப்படையானது: வேர்கள் `x=-k` அல்லது `x=-l` (இந்த சந்தர்ப்பங்களில் அடைப்புக்குறிக்குள் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், அதாவது முழு வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். )

நான் உங்களுக்கு அல்காரிதத்தை உதாரணமாகக் காட்டுகிறேன்: ஒரு இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையை அடைப்புக்குறிக்குள் விரிவாக்குவது எப்படி.

உதாரணம் ஒன்று. இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குவதற்கான அல்காரிதம்

எங்களிடம் உள்ள பாதை ஒரு நால்வகை முக்கோணமான `x^2+5x+4` ஆகும்.

இது குறைக்கப்பட்டது (`x^2` இன் குணகம் ஒன்றுக்கு சமம்). அவருக்கு வேர்கள் உள்ளன. (நிச்சயமாக, நீங்கள் பாகுபாடு காட்டுபவர்களை மதிப்பிடலாம் மற்றும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருப்பதை உறுதிசெய்யலாம்.)

மேலும் படிகள் (எல்லாவற்றையும் முடித்த பிறகு நீங்கள் அவற்றைக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும் பயிற்சி பணிகள்):

1. பின்வரும் உள்ளீட்டை முடிக்கவும்: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ புள்ளிகளுக்குப் பதிலாக, இலவச இடத்தை விட்டு, பொருத்தமான எண்களையும் அடையாளங்களையும் அங்கு சேர்ப்போம்.
2. இரண்டு எண்களின் பெருக்கத்தில் `4` எண்ணை சிதைப்பதற்கான சாத்தியமான அனைத்து விருப்பங்களையும் கவனியுங்கள். சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கு "வேட்பாளர்களின்" ஜோடிகளைப் பெறுகிறோம்: `2, 2` மற்றும் `1, 4`.
3. எந்த ஜோடியிலிருந்து சராசரி குணகத்தை நீங்கள் பெறலாம் என்பதைக் கண்டறியவும். வெளிப்படையாக இது `1, 4`.
4. $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$ என எழுதவும்.
5. அடுத்த கட்டமாக, செருகப்பட்ட எண்களுக்கு முன்னால் அடையாளங்களை வைப்பது.

   அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள எண்களுக்கு முன் என்ன அறிகுறிகள் தோன்ற வேண்டும் என்பதைப் புரிந்துகொள்வது மற்றும் எப்போதும் நினைவில் கொள்வது எப்படி? அவற்றை (அடைப்புக்குறிகள்) திறக்க முயற்சிக்கவும். முதல் சக்திக்கு `x` க்கு முன் குணகம் `(± 4 ± 1)` (எங்களுக்கு இன்னும் அறிகுறிகள் தெரியவில்லை - நாம் தேர்வு செய்ய வேண்டும்), மேலும் அது `5` க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். வெளிப்படையாக, இரண்டு பிளஸ்கள் $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$ இருக்கும்.

   இந்த செயல்பாட்டை பல முறை செய்யவும் (ஹலோ, பயிற்சி பணிகள்!) மேலும் இதில் உங்களுக்கு எந்த பிரச்சனையும் இருக்காது.

`x^2+5x+4` சமன்பாட்டை நீங்கள் தீர்க்க வேண்டும் என்றால், இப்போது அதைத் தீர்ப்பது கடினமாக இருக்காது. இதன் வேர்கள் `-4, -1`.

உதாரணம் இரண்டு. வெவ்வேறு அறிகுறிகளின் குணகங்களுடன் ஒரு இருபடி முக்கோணத்தின் காரணியாக்கம்

`x^2-x-2=0` சமன்பாட்டை நாம் தீர்க்க வேண்டும். வெளிப்படையாக, பாகுபாடு நேர்மறை.

நாங்கள் அல்காரிதத்தைப் பின்பற்றுகிறோம்.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. இரண்டு முழு எண் காரணிகளாக ஒரே ஒரு காரணியாக்கம் உள்ளது: `2 · 1`.
3. நாங்கள் புள்ளியைத் தவிர்க்கிறோம் - தேர்வு செய்ய எதுவும் இல்லை.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. எங்கள் எண்களின் பலன் எதிர்மறையானது (`-2` என்பது இலவச சொல்), அதாவது அவற்றில் ஒன்று எதிர்மறையாகவும் மற்றொன்று நேர்மறையாகவும் இருக்கும்.
   அவற்றின் கூட்டுத்தொகை `-1` (`x` இன் குணகம்) க்கு சமமாக இருப்பதால், `2` எதிர்மறையாக இருக்கும் (உள்ளுணர்வு விளக்கம் என்னவென்றால், இரண்டு எண்களில் இரண்டு பெரியது, அது மிகவும் வலுவாக "இழுக்கும்" எதிர்மறை பக்கம்) நமக்கு $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$ கிடைக்கும்

மூன்றாவது உதாரணம். ஒரு இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குதல்

சமன்பாடு `x^2+5x -84 = 0`.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. 84 இன் முழு எண் காரணிகளாக சிதைவு: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
3. எண்களின் வித்தியாசம் (அல்லது கூட்டுத்தொகை) 5 ஆக இருக்க வேண்டும் என்பதால், `7, 12` ஜோடி பொருத்தமானது.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

நம்பிக்கை, இந்த இருபடி முக்கோணத்தை அடைப்புக்குறிக்குள் விரிவுபடுத்துதல்தெளிவாக இருக்கிறது.

உங்களுக்கு ஒரு சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு தேவைப்பட்டால், இதோ: `12, -7`.

பயிற்சி பணிகள்

எளிதான சில உதாரணங்களை உங்கள் கவனத்திற்குக் கொண்டு வருகிறேன் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகின்றன.("கணிதம்", 2002 இதழிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்.)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

கட்டுரை எழுதப்பட்ட சில ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு, வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையை விரிவுபடுத்துவதற்கான 150 பணிகளின் தொகுப்பு தோன்றியது.

கருத்துகளில் லைக் செய்து கேள்விகளைக் கேளுங்கள்!

உலகம் ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையில் மூழ்கியுள்ளது. எந்த கணக்கீடுகளும் அவர்களின் உதவியுடன் நிகழ்கின்றன.

மக்கள் எண்களைக் கற்றுக்கொள்கிறார்கள் பிற்கால வாழ்க்கைஏமாற்றத்தில் விழ வேண்டாம். கல்வியறிவு பெறுவதற்கும் உங்கள் சொந்த வரவுசெலவுத் திட்டத்தைக் கணக்கிடுவதற்கும் அதிக நேரம் எடுக்கும்.

கணிதம் என்பது வாழ்க்கையில் ஒரு பெரிய பாத்திரத்தை வகிக்கும் ஒரு துல்லியமான அறிவியல். பள்ளியில், குழந்தைகள் எண்களைப் படிக்கிறார்கள், பின்னர் அவர்கள் மீதான செயல்கள்.

எண்களின் செயல்பாடுகள் முற்றிலும் வேறுபட்டவை: பெருக்கல், விரிவாக்கம், கூட்டல் மற்றும் பிற. எளிய சூத்திரங்களுக்கு கூடுதலாக, மிகவும் சிக்கலான செயல்களும் கணித ஆய்வில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எந்த மதிப்புகளையும் கண்டுபிடிக்கப் பயன்படுத்தக்கூடிய ஏராளமான சூத்திரங்கள் உள்ளன.

பள்ளியில், இயற்கணிதம் தோன்றியவுடன், மாணவர்களின் வாழ்க்கையில் எளிமைப்படுத்தல் சூத்திரங்கள் சேர்க்கப்படுகின்றன. இரண்டு அறியப்படாத எண்கள் இருக்கும் சமன்பாடுகள் உள்ளன, ஆனால் கண்டுபிடிக்கவும் ஒரு எளிய வழியில்அது வேலை செய்யாது. டிரினோமியல் என்பது மூன்று மோனோமியல்களின் கலவையாகும் எளிய முறைகழித்தல் மற்றும் கூட்டல். வியட்டாவின் தேற்றம் மற்றும் பாகுபாடு ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி முக்கோணம் தீர்க்கப்படுகிறது.

இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குவதற்கான சூத்திரம்

உதாரணத்திற்கு இரண்டு சரியான மற்றும் எளிமையான தீர்வுகள் உள்ளன:

• பாரபட்சமான;
• வியட்டாவின் தேற்றம்.

ஒரு சதுர முக்கோணத்தில் அறியப்படாத ஸ்கொயர் உள்ளது மற்றும் சதுரம் இல்லாத எண் உள்ளது. சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான முதல் விருப்பம் வியட்டாவின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. இது எளிய சூத்திரம் , தெரியாத எண்களுக்கு முந்திய எண்கள் குறைந்தபட்ச மதிப்பாக இருக்கும்.

அறியப்படாத எண்ணுக்கு முந்திய பிற சமன்பாடுகளுக்கு, சமன்பாடு பாகுபாடு மூலம் தீர்க்கப்பட வேண்டும். இது அதிகம் கடினமான முடிவு, ஆனால் வியத்தாவின் தேற்றத்தை விட பாகுபாடு அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது.

ஆரம்பத்தில், அனைத்தையும் கண்டுபிடிக்க சமன்பாடு மாறிகள்உதாரணத்தை 0 ஆக உயர்த்துவது அவசியம். உதாரணத்திற்கான தீர்வைச் சரிபார்த்து, எண்கள் சரியாகச் சரிசெய்யப்பட்டுள்ளதா என்பதை நீங்கள் கண்டறியலாம்.

பாகுபாடு காட்டுபவர்

1. சமன்பாட்டை 0 க்கு சமன் செய்வது அவசியம்.

2. x க்கு முன் உள்ள ஒவ்வொரு எண்ணும் a, b, c எண்கள் என அழைக்கப்படும். முதல் சதுர x க்கு முன்னால் எண் இல்லாததால், அது 1 க்கு சமம்.

3. இப்போது சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு பாகுபாடு மூலம் தொடங்குகிறது:

4. இப்போது நாம் பாரபட்சத்தைக் கண்டுபிடித்து இரண்டு x ஐக் கண்டுபிடித்துள்ளோம். வித்தியாசம் என்னவென்றால், ஒரு வழக்கில் b க்கு முன்னால் ஒரு கூட்டல் இருக்கும், மற்றொன்றில் ஒரு கழித்தல்:

5. இரண்டு எண்களைத் தீர்ப்பதன் மூலம் முடிவுகள் -2 மற்றும் -1. அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றவும்:

6. இந்த எடுத்துக்காட்டில், இரண்டு சரியான விருப்பங்கள் இருந்தன. இரண்டு தீர்வுகளும் பொருந்தினால், அவை ஒவ்வொன்றும் உண்மை.

மிகவும் சிக்கலான சமன்பாடுகளும் பாகுபாடுகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகின்றன. ஆனால் பாகுபாடு மதிப்பு 0 க்கும் குறைவாக இருந்தால், உதாரணம் தவறானது. தேடும் போது, ​​பாகுபாடு எப்போதும் வேரில் இருக்கும், எதிர்மறை மதிப்பு மூலத்தில் இருக்க முடியாது.

வியட்டாவின் தேற்றம்

முதல் x க்கு முன்னால் ஒரு எண்ணில் இல்லாத, அதாவது a=1 இல் உள்ள எளிதான சிக்கல்களைத் தீர்க்க இது பயன்படுகிறது. விருப்பம் பொருந்தினால், வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடு மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

எந்த முக்கோணத்தையும் தீர்க்கசமன்பாட்டை 0 ஆக உயர்த்துவது அவசியம். பாகுபாடு மற்றும் வியட்டாவின் தேற்றத்தின் முதல் படிகள் வேறுபட்டவை அல்ல.

2. இப்போது இரண்டு முறைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகள் தொடங்குகின்றன. வியட்டாவின் தேற்றம் "உலர்" கணக்கீடு மட்டுமல்ல, தர்க்கம் மற்றும் உள்ளுணர்வையும் பயன்படுத்துகிறது. ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் அதன் சொந்த எழுத்து a, b, c உள்ளது. தேற்றம் இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பெருக்கத்தைப் பயன்படுத்துகிறது.

நினைவில் கொள்ளுங்கள்! எண் b சேர்க்கும்போது எப்போதும் எதிர் குறியைக் கொண்டிருக்கும், ஆனால் c எண் மாறாமல் இருக்கும்!

எடுத்துக்காட்டில் தரவு மதிப்புகளை மாற்றுதல் , நாம் பெறுகிறோம்:

3. தர்க்கத்தின் முறையைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் மிகவும் பொருத்தமான எண்களை மாற்றுகிறோம். சாத்தியமான அனைத்து தீர்வுகளையும் கருத்தில் கொள்வோம்:

1. எண்கள் 1 மற்றும் 2. சேர்த்தால், நமக்கு 3 கிடைக்கும், ஆனால் நாம் பெருக்கினால், நமக்கு 4 கிடைக்காது. பொருந்தாது.
2. மதிப்பு 2 மற்றும் -2. பெருக்கும்போது அது -4 ஆக இருக்கும், ஆனால் சேர்த்தால் 0 ஆக மாறிவிடும். பொருத்தமானது அல்ல.
3. எண்கள் 4 மற்றும் -1. பெருக்கல் ஒரு எதிர்மறை மதிப்பை உள்ளடக்கியதால், எண்களில் ஒன்று கழித்தல் வேண்டும் என்று அர்த்தம். கூட்டுவதற்கும் பெருக்குவதற்கும் ஏற்றது. சரியான விருப்பம்.

4. எண்களை இடுவதன் மூலம் சரிபார்த்து, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட விருப்பம் சரியானதா என்பதைப் பார்ப்பது மட்டுமே மீதமுள்ளது.

5. ஆன்லைன் சரிபார்ப்புக்கு நன்றி, உதாரணத்தின் நிபந்தனைகளுக்கு -1 பொருந்தவில்லை, எனவே இது ஒரு தவறான தீர்வு என்பதை அறிந்தோம்.

சேர்க்கும் போது எதிர்மறை மதிப்புஎடுத்துக்காட்டில், நீங்கள் எண்ணை அடைப்புக்குறிக்குள் வைக்க வேண்டும்.

கணிதத்தில் எப்பொழுதும் எளிய பிரச்சனைகளும் கடினமான பிரச்சனைகளும் இருக்கும். விஞ்ஞானமே பல்வேறு சிக்கல்கள், கோட்பாடுகள் மற்றும் சூத்திரங்களை உள்ளடக்கியது. நீங்கள் அறிவை சரியாகப் புரிந்துகொண்டு பயன்படுத்தினால், கணக்கீடுகளில் ஏதேனும் சிரமங்கள் அற்பமானதாக இருக்கும்.

கணிதத்திற்கு நிலையான மனப்பாடம் தேவையில்லை. நீங்கள் தீர்வைப் புரிந்து கொள்ள கற்றுக்கொள்ள வேண்டும் மற்றும் பல சூத்திரங்களைக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும். படிப்படியாக, தர்க்கரீதியான முடிவுகளின்படி, இதே போன்ற சிக்கல்களையும் சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க முடியும். அத்தகைய விஞ்ஞானம் முதல் பார்வையில் மிகவும் கடினமாகத் தோன்றலாம், ஆனால் எண்கள் மற்றும் சிக்கல்களின் உலகில் ஒருவர் மூழ்கினால், பார்வை வியத்தகு முறையில் மாறும் சிறந்த பக்கம்.

தொழில்நுட்ப சிறப்புகள் எப்போதும் உலகில் மிகவும் விரும்பப்படும் ஒன்றாக இருக்கும். இப்போது, ​​உலகில் நவீன தொழில்நுட்பங்கள், கணிதம் என்பது எந்தத் துறைக்கும் இன்றியமையாத பண்பாகிவிட்டது. நாம் எப்போதும் நினைவில் கொள்ள வேண்டும் நன்மை பயக்கும் பண்புகள்கணிதம்.

அடைப்புக்குறியைப் பயன்படுத்தி முக்கோணத்தை விரிவுபடுத்துதல்

வழக்கமான முறைகளைத் தீர்ப்பதற்கு கூடுதலாக, மற்றொன்று உள்ளது - அடைப்புக்குறிக்குள் சிதைவு. Vieta சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பயன்படுத்தப்படுகிறது.

1. சமன்பாட்டை 0க்கு சமன் செய்யவும்.

கோடாரி 2 +bx+c= 0

2. சமன்பாட்டின் வேர்கள் அப்படியே இருக்கும், ஆனால் பூஜ்ஜியத்திற்குப் பதிலாக அவை இப்போது விரிவாக்க சூத்திரங்களை அடைப்புக்குறிக்குள் பயன்படுத்துகின்றன.

கோடாரி 2 + bx+ c = a (x – x 1) (x – x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. தீர்வு x=-1, x=3