எந்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஒன்றுக்கு சமம். நிகழ்வின் நிகழ்தகவு

நிஜத்தில் அல்லது நம் கற்பனையில் நடக்கும் நிகழ்வுகளை 3 குழுக்களாகப் பிரிக்கலாம். இவை நிச்சயமாக நடக்கும் சில நிகழ்வுகள், சாத்தியமற்ற நிகழ்வுகள் மற்றும் சீரற்ற நிகழ்வுகள். நிகழ்தகவு கோட்பாடு சீரற்ற நிகழ்வுகளை ஆய்வு செய்கிறது, அதாவது. நடக்கக்கூடிய அல்லது நடக்காத நிகழ்வுகள். இந்த கட்டுரை வழங்கப்படும் சுருக்கமாகநிகழ்தகவுக் கோட்பாடு சூத்திரங்கள் மற்றும் நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள், இது கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பணி 4 இல் இருக்கும் (சுயவிவர நிலை).

நமக்கு ஏன் நிகழ்தகவு கோட்பாடு தேவை?

வரலாற்று ரீதியாக, வளர்ச்சி மற்றும் தொழில்மயமாக்கல் தொடர்பாக 17 ஆம் நூற்றாண்டில் இந்த சிக்கல்களைப் படிக்க வேண்டிய அவசியம் எழுந்தது சூதாட்டம்மற்றும் சூதாட்ட விடுதிகளின் தோற்றம். இது ஒரு உண்மையான நிகழ்வாகும், அதன் சொந்த ஆய்வு மற்றும் ஆராய்ச்சி தேவைப்பட்டது.

சீட்டுகள், பகடைகள் மற்றும் ரவுலட் விளையாடுவது சமமாக சாத்தியமான நிகழ்வுகளின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையில் ஏதேனும் நிகழக்கூடிய சூழ்நிலைகளை உருவாக்கியது. ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்வு நிகழ்வதற்கான சாத்தியக்கூறுகளின் எண் மதிப்பீடுகளை வழங்க வேண்டிய அவசியம் இருந்தது.

20 ஆம் நூற்றாண்டில், இந்த வெளித்தோற்றத்தில் அற்பமான அறிவியல் நுண்ணுயிரில் நிகழும் அடிப்படை செயல்முறைகளைப் புரிந்துகொள்வதில் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது என்பது தெளிவாகியது. உருவாக்கப்பட்டது நவீன கோட்பாடுநிகழ்தகவுகள்.

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் அடிப்படை கருத்துக்கள்

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் ஆய்வு பொருள் நிகழ்வுகள் மற்றும் அவற்றின் நிகழ்தகவுகள் ஆகும். ஒரு நிகழ்வு சிக்கலானதாக இருந்தால், அதை எளிய கூறுகளாகப் பிரிக்கலாம், அதன் நிகழ்தகவுகளை எளிதாகக் கண்டறியலாம்.

A மற்றும் B நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை நிகழ்வு C என அழைக்கப்படுகிறது, இதில் நிகழ்வு A, அல்லது நிகழ்வு B அல்லது A மற்றும் B நிகழ்வுகள் ஒரே நேரத்தில் நிகழ்ந்தன.

A மற்றும் B நிகழ்வுகளின் தயாரிப்பு நிகழ்வு C ஆகும், அதாவது நிகழ்வு A மற்றும் நிகழ்வு B இரண்டும் நிகழ்ந்தன.

நிகழ்வுகள் A மற்றும் B ஒரே நேரத்தில் நிகழ முடியாவிட்டால் அவை பொருந்தாதவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

A நிகழ்வு நடக்கவில்லை என்றால் அது சாத்தியமற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது. அத்தகைய நிகழ்வு சின்னத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

நிகழ்வு A என்பது நிச்சயமானதாக இருந்தால் அது நிச்சயம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அத்தகைய நிகழ்வு சின்னத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

ஒவ்வொரு நிகழ்வு A என்பது P(A) எண்ணுடன் தொடர்புடையதாக இருக்கட்டும். இந்த கடிதத்தில் பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், இந்த எண் P(A) நிகழ்வு A இன் நிகழ்தகவு எனப்படும்.

ஒரு முக்கியமான சிறப்பு நிகழ்வு, சமமாக சாத்தியமான அடிப்படை முடிவுகள் இருக்கும் சூழ்நிலை, மற்றும் இந்த விளைவுகளின் தன்னிச்சையான நிகழ்வுகள் A. இந்த வழக்கில், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நிகழ்தகவை உள்ளிடலாம். இந்த வழியில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட நிகழ்தகவு அழைக்கப்படுகிறது கிளாசிக்கல் நிகழ்தகவு. இந்த வழக்கில் பண்புகள் 1-4 திருப்திகரமாக இருப்பதை நிரூபிக்க முடியும்.

கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் தோன்றும் நிகழ்தகவு கோட்பாடு சிக்கல்கள் முக்கியமாக கிளாசிக்கல் நிகழ்தகவுடன் தொடர்புடையவை. இத்தகைய பணிகள் மிகவும் எளிமையானதாக இருக்கும். நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் உள்ள சிக்கல்கள் குறிப்பாக எளிமையானவை டெமோ விருப்பங்கள். சாதகமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கையை கணக்கிடுவது எளிது;

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பதிலைப் பெறுகிறோம்.

நிகழ்தகவைத் தீர்மானிப்பதில் கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் இருந்து ஒரு சிக்கலின் எடுத்துக்காட்டு

மேஜையில் 20 துண்டுகள் உள்ளன - 5 முட்டைக்கோஸ், 7 ஆப்பிள்கள் மற்றும் 8 அரிசி. மெரினா பை எடுக்க விரும்புகிறார். அவள் அரிசி கேக்கை எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு.

20 சமமான சாத்தியமான அடிப்படை முடிவுகள் உள்ளன, அதாவது மெரினா 20 பைகளில் ஏதேனும் ஒன்றை எடுக்கலாம். ஆனால் மெரினா ரைஸ் பையை எடுக்கும் நிகழ்தகவை நாம் மதிப்பிட வேண்டும், அதாவது, அரிசி பையின் தேர்வு A ஆகும். இதன் பொருள் சாதகமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கை (அரிசியுடன் கூடிய பைகளின் தேர்வுகள்) 8 மட்டுமே. பின்னர் நிகழ்தகவு சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படும்:

சுதந்திரமான, எதிர் மற்றும் தன்னிச்சையான நிகழ்வுகள்

இருப்பினும், இல் திறந்த ஜாடிமிகவும் சிக்கலான பணிகளை எதிர்கொள்ளத் தொடங்கியது. எனவே, நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில் ஆய்வு செய்யப்பட்ட பிற சிக்கல்களுக்கு வாசகரின் கவனத்தை ஈர்ப்போம்.

A மற்றும் B நிகழ்வுகள் ஒவ்வொன்றின் நிகழ்தகவு மற்ற நிகழ்வு நிகழுமா என்பதைப் பொறுத்திருக்கவில்லை என்றால் அவை சுயாதீனமானவை என்று கூறப்படுகிறது.

நிகழ்வு B என்பது நிகழ்வு A நடக்கவில்லை, அதாவது. நிகழ்வு B நிகழ்வு A க்கு நேர்மாறானது. எதிர் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு நேரிடை நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கழித்தல் ஒன்றுக்கு சமம், அதாவது. .

நிகழ்தகவு கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் தேற்றங்கள், சூத்திரங்கள்

தன்னிச்சையான நிகழ்வுகள் A மற்றும் B க்கு, இந்த நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு அவற்றின் கூட்டு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு இல்லாமல் அவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது. .

சுயாதீன நிகழ்வுகள் A மற்றும் B க்கு, இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு அவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் தயாரிப்புக்கு சமம், அதாவது. இந்த வழக்கில் .

கடைசி 2 அறிக்கைகள் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் கோட்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

விளைவுகளின் எண்ணிக்கையை எண்ணுவது எப்போதும் அவ்வளவு எளிதல்ல. சில சந்தர்ப்பங்களில் காம்பினேட்டரிக்ஸ் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவது அவசியம். சில நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையை கணக்கிடுவது மிக முக்கியமான விஷயம். சில நேரங்களில் இந்த வகையான கணக்கீடுகள் சுயாதீனமான பணிகளாக மாறும்.

6 காலி இருக்கைகளில் 6 மாணவர்களை எத்தனை வழிகளில் உட்கார வைக்க முடியும்? முதல் மாணவர் 6 இடங்களில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பெறுவார். இந்த விருப்பங்கள் ஒவ்வொன்றும் இரண்டாவது மாணவர் இடத்தைப் பிடிக்க 5 வழிகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது. மூன்றாவது மாணவருக்கு 4 இடங்கள் உள்ளன, நான்காவது மாணவருக்கு 3 இடங்கள் உள்ளன, ஐந்தாவது இடத்திற்கு 2 இடங்கள் உள்ளன, மேலும் ஆறாவது மட்டுமே மீதமுள்ள இடத்தைப் பிடிக்கும். அனைத்து விருப்பங்களின் எண்ணிக்கையையும் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் தயாரிப்பைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், இது 6 குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது! மற்றும் "ஆறு காரணி" என்று படிக்கிறது.

பொதுவான வழக்கில், இந்த கேள்விக்கான பதில் எங்கள் விஷயத்தில் n உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கையின் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது.

இப்போது எங்கள் மாணவர்களின் மற்றொரு விஷயத்தைப் பார்ப்போம். 6 காலி இருக்கைகளில் 2 மாணவர்களை எத்தனை வழிகளில் உட்கார வைக்கலாம்? முதல் மாணவர் 6 இடங்களில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பெறுவார். இந்த விருப்பங்கள் ஒவ்வொன்றும் இரண்டாவது மாணவர் இடத்தைப் பிடிக்க 5 வழிகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது. அனைத்து விருப்பங்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறிய, நீங்கள் தயாரிப்பைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

பொதுவாக, இந்த கேள்விக்கான பதில் k உறுப்புகளின் மீது n உறுப்புகளின் இடங்களின் எண்ணிக்கைக்கான சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது

எங்கள் விஷயத்தில்.

இந்த தொடரின் கடைசி வழக்கு. 6 பேரில் 3 மாணவர்களை எத்தனை வழிகளில் தேர்வு செய்யலாம்? முதல் மாணவர் 6 வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கப்படலாம், இரண்டாவது - 5 வழிகளில், மூன்றாவது - நான்கு வழிகளில். ஆனால் இந்த விருப்பங்களில், அதே மூன்று மாணவர்கள் 6 முறை தோன்றும். அனைத்து விருப்பங்களின் எண்ணிக்கையையும் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் மதிப்பைக் கணக்கிட வேண்டும்: . பொதுவாக, இந்த கேள்விக்கான பதில் உறுப்பு மூலம் உறுப்புகளின் சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கைக்கான சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது:

எங்கள் விஷயத்தில்.

நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்க கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் இருந்து சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

பணி 1. திருத்திய தொகுப்பிலிருந்து. யாஷ்செங்கோ.

தட்டில் 30 துண்டுகள் உள்ளன: 3 இறைச்சியுடன், 18 முட்டைக்கோஸ் மற்றும் 9 செர்ரிகளுடன். சாஷா சீரற்ற முறையில் ஒரு பையைத் தேர்ந்தெடுக்கிறார். அவர் ஒரு செர்ரியுடன் முடிவடையும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

.

பதில்: 0.3.

பணி 2. திருத்திய தொகுப்பிலிருந்து. யாஷ்செங்கோ.

1000 மின்விளக்குகள் கொண்ட ஒவ்வொரு தொகுப்பிலும் சராசரியாக 20 குறைபாடுகள் உள்ளன. ஒரு தொகுப்பிலிருந்து சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்பட்ட ஒளி விளக்கை வேலை செய்யும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: வேலை செய்யும் விளக்குகளின் எண்ணிக்கை 1000-20=980. ஒரு தொகுப்பிலிருந்து சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்பட்ட ஒளி விளக்கை வேலை செய்யும் நிகழ்தகவு:

பதில்: 0.98.

கணிதத் தேர்வின் போது மாணவர் U 9க்கும் மேற்பட்ட பிரச்சனைகளை சரியாக தீர்க்கும் நிகழ்தகவு 0.67 ஆகும். 8க்கும் மேற்பட்ட பிரச்சனைகளை U சரியாக தீர்க்கும் நிகழ்தகவு 0.73 ஆகும். U சரியாக 9 சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

நாம் ஒரு எண் கோட்டைக் கற்பனை செய்து அதில் 8 மற்றும் 9 புள்ளிகளைக் குறித்தால், “U. சரியாக 9 பிரச்சனைகளை சரியாக தீர்க்கும்" என்ற நிபந்தனை "U. 8க்கும் மேற்பட்ட பிரச்சனைகளை சரியாக தீர்க்கும்", ஆனால் "U" நிபந்தனைக்கு பொருந்தாது. 9க்கும் மேற்பட்ட பிரச்சனைகளை சரியாக தீர்க்கும்."

இருப்பினும், நிபந்தனை “யு. 9க்கும் மேற்பட்ட பிரச்சனைகளை சரியாக தீர்க்கும்” என்ற நிலையில் “U. 8க்கும் மேற்பட்ட பிரச்சனைகளை சரியாக தீர்க்கும்." எனவே, நாம் நிகழ்வுகளை நியமித்தால்: "யு. சரியாக 9 பிரச்சனைகளை சரியாக தீர்க்கும்" - A, "U மூலம். 8க்கும் மேற்பட்ட பிரச்சனைகளை சரியாக தீர்க்கும்" - மூலம் B, "U. 9க்கும் மேற்பட்ட பிரச்சனைகளை சரியாக தீர்க்கும்” C. மூலம் அந்த தீர்வு இப்படி இருக்கும்:

பதில்: 0.06.

வடிவியல் தேர்வில், ஒரு மாணவர் பட்டியலில் இருந்து ஒரு கேள்விக்கு பதிலளிக்கிறார் தேர்வு கேள்விகள். இது ஒரு முக்கோணவியல் கேள்விக்கான நிகழ்தகவு 0.2 ஆகும். வெளிப்புறக் கோணங்களில் இது ஒரு கேள்விக்கான நிகழ்தகவு 0.15 ஆகும். இந்த இரண்டு தலைப்புகளுக்கும் ஒரே நேரத்தில் தொடர்புடைய கேள்விகள் எதுவும் இல்லை. தேர்வில் இந்த இரண்டு தலைப்புகளில் ஏதாவது ஒரு கேள்வியை மாணவர் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

நாம் என்ன நிகழ்வுகள் என்று யோசிப்போம். எங்களுக்கு இரண்டு பொருந்தாத நிகழ்வுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அதாவது, கேள்வி "முக்கோணவியல்" அல்லது "வெளிப்புற கோணங்கள்" என்ற தலைப்புடன் தொடர்புடையதாக இருக்கும். நிகழ்தகவு தேற்றத்தின்படி, பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு ஒவ்வொரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகையை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதாவது:

பதில்: 0.35.

அறை மூன்று விளக்குகளுடன் ஒரு விளக்கு மூலம் ஒளிரும். ஒரு வருடத்திற்குள் ஒரு விளக்கு எரியும் நிகழ்தகவு 0.29 ஆகும். வருடத்தில் குறைந்தபட்சம் ஒரு விளக்கு எரியாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

சாத்தியமான நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். எங்களிடம் மூன்று லைட் பல்புகள் உள்ளன, அவை ஒவ்வொன்றும் வேறு எந்த ஒளி விளக்கையும் சாராமல் எரியலாம் அல்லது எரியாமல் போகலாம். இவை சுதந்திரமான நிகழ்வுகள்.

அத்தகைய நிகழ்வுகளுக்கான விருப்பங்களை நாங்கள் குறிப்பிடுவோம். பின்வரும் குறிப்புகளைப் பயன்படுத்துவோம்: - மின்விளக்கு எரிந்தது, - விளக்கு எரிந்தது. உடனடியாக அடுத்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுகிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, "விளக்கு எரிந்துவிட்டது", "விளக்கு எரிந்தது", "விளக்கு எரிந்தது" ஆகிய மூன்று சுயாதீன நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு ஏற்பட்டது: , நிகழ்வின் நிகழ்தகவு "ஒளி விளக்கை" உள்ளது" என்பது "விளக்கு ஆன் செய்யப்படவில்லை" என்ற நிகழ்வின் எதிர் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு என கணக்கிடப்படுகிறது, அதாவது: .

எங்களுக்கு சாதகமான 7 பொருந்தாத நிகழ்வுகள் மட்டுமே உள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க, அத்தகைய நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு ஒவ்வொரு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்: .

பதில்: 0.975608.

படத்தில் மற்றொரு சிக்கலை நீங்கள் காணலாம்:

எனவே, நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு என்ன, ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு பதிப்பில் நீங்கள் சந்திக்கக்கூடிய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளைப் புரிந்துகொண்டோம்.

பொருளாதாரத்திலும், மற்ற பகுதிகளிலும் மனித செயல்பாடுஅல்லது இயற்கையில், துல்லியமாக கணிக்க முடியாத நிகழ்வுகளை நாம் தொடர்ந்து சமாளிக்க வேண்டும். எனவே, ஒரு பொருளின் விற்பனை அளவு தேவையைப் பொறுத்தது, இது கணிசமாக மாறுபடும், மேலும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள முடியாத பல காரணிகளைப் பொறுத்தது. எனவே, உற்பத்தியை ஒழுங்கமைத்து விற்பனை செய்யும் போது, ​​உங்கள் சொந்த முந்தைய அனுபவம், அல்லது மற்றவர்களின் இதேபோன்ற அனுபவம் அல்லது உள்ளுணர்வு ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் இதுபோன்ற செயல்களின் விளைவுகளை நீங்கள் கணிக்க வேண்டும், இது ஒரு பெரிய அளவிற்கு சோதனைத் தரவை நம்பியுள்ளது.

கேள்விக்குரிய நிகழ்வை எப்படியாவது மதிப்பிடுவதற்கு, இந்த நிகழ்வு பதிவுசெய்யப்பட்ட நிபந்தனைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது அல்லது சிறப்பாக ஒழுங்கமைப்பது அவசியம்.

கேள்விக்குரிய நிகழ்வை அடையாளம் காண சில நிபந்தனைகள் அல்லது செயல்களை செயல்படுத்துதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது அனுபவம்அல்லது பரிசோதனை.

நிகழ்வு அழைக்கப்படுகிறது சீரற்ற, அனுபவத்தின் விளைவாக அது நிகழலாம் அல்லது நிகழாமல் போகலாம்.

நிகழ்வு அழைக்கப்படுகிறது நம்பகமான, கொடுக்கப்பட்ட அனுபவத்தின் விளைவாக அது அவசியம் தோன்றினால், மற்றும் சாத்தியமற்றது, இந்த அனுபவத்தில் தோன்ற முடியாவிட்டால்.

உதாரணமாக, நவம்பர் 30 அன்று மாஸ்கோவில் பனிப்பொழிவு ஒரு சீரற்ற நிகழ்வு. தினசரி சூரிய உதயம் நம்பகமான நிகழ்வாக கருதப்படலாம். பூமத்திய ரேகையில் பனிப்பொழிவு சாத்தியமற்ற நிகழ்வாகக் கருதப்படலாம்.

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் முக்கிய பணிகளில் ஒன்று நிகழ்வின் சாத்தியக்கூறுகளின் அளவு அளவை தீர்மானிக்கும் பணியாகும்.

நிகழ்வுகளின் இயற்கணிதம்

ஒரே அனுபவத்தில் ஒன்றாகப் பார்க்க முடியாவிட்டால், நிகழ்வுகள் பொருந்தாதவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இவ்வாறு, ஒரே நேரத்தில் இரண்டு மற்றும் மூன்று கார்கள் விற்பனைக்கு ஒரு கடையில் இருப்பது இரண்டு பொருந்தாத நிகழ்வுகள்.

தொகைநிகழ்வுகள் என்பது இந்த நிகழ்வுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒரு நிகழ்வைக் கொண்ட ஒரு நிகழ்வாகும்

நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையின் உதாரணம், கடையில் குறைந்தது இரண்டு தயாரிப்புகளில் ஒன்று இருப்பது.

வேலைநிகழ்வுகள் என்பது இந்த நிகழ்வுகள் அனைத்தும் ஒரே நேரத்தில் நிகழ்வதைக் கொண்ட ஒரு நிகழ்வாகும்

ஒரே நேரத்தில் ஒரு கடையில் இரண்டு பொருட்களின் தோற்றத்தைக் கொண்ட ஒரு நிகழ்வு நிகழ்வுகளின் ஒரு தயாரிப்பு ஆகும்: - ஒரு பொருளின் தோற்றம், - மற்றொரு தயாரிப்பு தோற்றம்.

நிகழ்வுகள் வடிவம் முழு குழுநிகழ்வுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று அனுபவத்தில் நிகழும் என்பது உறுதி.

உதாரணம்.துறைமுகத்தில் கப்பல்களைப் பெறுவதற்கு இரண்டு பெர்த்கள் உள்ளன. மூன்று நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்ளலாம்: - பெர்த்தில் கப்பல்கள் இல்லாதது, - ஒரு பெர்த்தில் ஒரு கப்பல் இருப்பது, - இரண்டு பெர்த்களில் இரண்டு கப்பல்கள் இருப்பது. இந்த மூன்று நிகழ்வுகளும் ஒரு முழுமையான நிகழ்வுகளை உருவாக்குகின்றன.

எதிர்ஒரு முழுமையான குழுவை உருவாக்கும் இரண்டு தனிப்பட்ட சாத்தியமான நிகழ்வுகள் அழைக்கப்படுகின்றன.

எதிர் நிகழ்வுகளில் ஒன்று குறிக்கப்பட்டால், எதிர் நிகழ்வு பொதுவாகக் குறிக்கப்படும்.

நிகழ்வு நிகழ்தகவு பற்றிய பாரம்பரிய மற்றும் புள்ளிவிவர வரையறைகள்

சோதனைகளின் (சோதனைகள்) சமமாக சாத்தியமான முடிவுகள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு அடிப்படை விளைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அவை பொதுவாக எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன. உதாரணமாக, ஒரு சாவு வீசப்படுகிறது. பக்கங்களில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையின் அடிப்படையில் மொத்தம் ஆறு அடிப்படை முடிவுகள் இருக்கலாம்.

அடிப்படை முடிவுகளிலிருந்து நீங்கள் மிகவும் சிக்கலான நிகழ்வை உருவாக்கலாம். எனவே, சம எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளின் நிகழ்வு மூன்று முடிவுகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது: 2, 4, 6.

கேள்விக்குரிய நிகழ்வின் சாத்தியத்தின் ஒரு அளவு அளவீடு நிகழ்தகவு ஆகும்.

ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவின் மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் வரையறைகள்: உன்னதமானமற்றும் புள்ளியியல்.

நிகழ்தகவு பற்றிய கிளாசிக்கல் வரையறை ஒரு சாதகமான முடிவின் கருத்துடன் தொடர்புடையது.

முடிவு அழைக்கப்படுகிறது சாதகமானகொடுக்கப்பட்ட நிகழ்வின் நிகழ்வு இந்த நிகழ்வின் நிகழ்வை உள்ளடக்கியதாக இருந்தால்.

கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், கேள்விக்குரிய நிகழ்வு சம எண்கைவிடப்பட்ட பக்கத்தில் உள்ள புள்ளிகள் மூன்று சாதகமான விளைவுகளைக் கொண்டுள்ளன. IN இந்த வழக்கில்அறியப்பட்ட மற்றும் பொதுவான
சாத்தியமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கை. ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவுக்கான பாரம்பரிய வரையறை இங்கே பயன்படுத்தப்படலாம் என்பதே இதன் பொருள்.

கிளாசிக் வரையறைசாத்தியமான விளைவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கைக்கு சாதகமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கையின் விகிதத்திற்கு சமம்

நிகழ்வின் நிகழ்தகவு எங்கே, நிகழ்வுக்கு சாதகமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கை, மொத்த எண்ணிக்கைசாத்தியமான விளைவுகள்.

கருதப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில்

நிகழ்தகவு பற்றிய புள்ளிவிவர வரையறையானது சோதனைகளில் நிகழ்வின் ஒப்பீட்டு அதிர்வெண் என்ற கருத்துடன் தொடர்புடையது.

நிகழ்வின் ஒப்பீட்டு அதிர்வெண் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது

தொடர்ச்சியான சோதனைகளில் (சோதனைகள்) ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை எங்கே.

புள்ளிவிவர வரையறை. ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு என்பது சோதனைகளின் எண்ணிக்கையில் வரம்பற்ற அதிகரிப்புடன் தொடர்புடைய அதிர்வெண் நிலைப்படுத்தப்படும் (செட்) எண்ணாகும்.

நடைமுறைச் சிக்கல்களில், நிகழ்வின் நிகழ்தகவு போதுமான அளவில் தொடர்புடைய அதிர்வெண்ணாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது பெரிய எண்ணிக்கைசோதனைகள்.

ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு பற்றிய இந்த வரையறைகளிலிருந்து சமத்துவமின்மை எப்போதும் திருப்தி அடைகிறது என்பது தெளிவாகிறது

சூத்திரத்தின் (1.1) அடிப்படையில் நிகழ்வின் நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்க, காம்பினேட்டரிக்ஸ் சூத்திரங்கள் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை சாதகமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் சாத்தியமான விளைவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கையைக் கண்டறியப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

என்னவென்று தெரிந்து கொள்ள வேண்டுமா கணித முரண்பாடுகள்உங்கள் பந்தயத்தின் வெற்றி பற்றி? அப்போது உங்களுக்கு இரண்டு நல்ல செய்திகள் உள்ளன. முதலாவதாக: நாடுகடந்த திறனைக் கணக்கிட, நீங்கள் சிக்கலான கணக்கீடுகளைச் செய்து செலவு செய்யத் தேவையில்லை பெரிய எண்ணிக்கைநேரம். பயன்படுத்தினால் போதும் எளிய சூத்திரங்கள், இது வேலை செய்ய இரண்டு நிமிடங்கள் எடுக்கும். இரண்டாவதாக: இந்தக் கட்டுரையைப் படித்த பிறகு, உங்களின் எந்தவொரு வர்த்தகமும் கடந்து செல்லும் நிகழ்தகவை நீங்கள் எளிதாகக் கணக்கிடலாம்.

குறுக்கு நாடு திறனை சரியாக தீர்மானிக்க, நீங்கள் மூன்று படிகளை எடுக்க வேண்டும்:

• புத்தக தயாரிப்பாளரின் அலுவலகத்தின்படி ஒரு நிகழ்வின் விளைவின் நிகழ்தகவின் சதவீதத்தைக் கணக்கிடுங்கள்;
• புள்ளிவிவரத் தரவைப் பயன்படுத்தி நிகழ்தகவை நீங்களே கணக்கிடுங்கள்;
• இரண்டு நிகழ்தகவுகளையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, பந்தயத்தின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

சூத்திரங்களை மட்டுமல்ல, எடுத்துக்காட்டுகளையும் பயன்படுத்தி, ஒவ்வொரு படிநிலையையும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

விரைவு ஜம்ப்

புக்மேக்கர் முரண்பாடுகளில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுகிறது

ஒரு குறிப்பிட்ட விளைவின் சாத்தியக்கூறுகளை புத்தகத் தயாரிப்பாளரே என்ன நிகழ்தகவுடன் மதிப்பிடுகிறார் என்பதைக் கண்டுபிடிப்பதே முதல் படி. புக்மேக்கர்கள் அதுபோல் முரண்பாடுகளை அமைக்கவில்லை என்பது தெளிவாகிறது. இதைச் செய்ய, பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

பிபி=(1/K)*100%,

இங்கு P B என்பது புத்தகத் தயாரிப்பாளரின் அலுவலகத்தின்படி முடிவின் நிகழ்தகவு ஆகும்;

கே - முடிவுக்கான புக்மேக்கர் முரண்பாடுகள்.

பேயர்ன் முனிச்சிற்கு எதிரான போட்டியில் லண்டன் ஆர்சனலின் வெற்றிக்கான வாய்ப்புகள் 4 என்று வைத்துக் கொள்வோம். இதன் பொருள், அவர்களின் வெற்றியின் நிகழ்தகவு புக்மேக்கரால் (1/4)*100%=25% என மதிப்பிடப்படுகிறது. அல்லது யூஸ்னிக்கு எதிராக ஜோகோவிச் விளையாடுகிறார். நோவாக்கின் வெற்றிக்கான பெருக்கல் 1.2, அவருடைய வாய்ப்புகள் (1/1.2)*100%=83%.

ஒவ்வொரு வீரர் மற்றும் குழுவின் வெற்றிக்கான வாய்ப்புகளை புக்மேக்கர் தானே மதிப்பீடு செய்கிறார். முதல் படியை முடித்த பிறகு, இரண்டாவது படிக்கு செல்கிறோம்.

வீரரால் நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுதல்

எங்கள் திட்டத்தின் இரண்டாவது புள்ளி சொந்த மதிப்பீடுஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு. உந்துதல் மற்றும் விளையாட்டு தொனி போன்ற அளவுருக்களை நாம் கணித ரீதியாக கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள முடியாது என்பதால், நாங்கள் எளிமையான மாதிரியைப் பயன்படுத்துவோம் மற்றும் முந்தைய கூட்டங்களின் புள்ளிவிவரங்களை மட்டுமே பயன்படுத்துவோம். ஒரு முடிவின் புள்ளிவிவர நிகழ்தகவைக் கணக்கிட, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

பிமற்றும்=(UM/M)*100%,

எங்கேபிமற்றும்- வீரரின் படி ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு;

UM - அத்தகைய நிகழ்வு நிகழ்ந்த வெற்றிகரமான போட்டிகளின் எண்ணிக்கை;

எம் - போட்டிகளின் மொத்த எண்ணிக்கை.

அதை தெளிவுபடுத்த, எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குவோம். ஆண்டி முர்ரே மற்றும் ரஃபேல் நடால் தங்களுக்கு இடையே 14 போட்டிகளில் விளையாடியுள்ளனர். அவற்றில் 6 விளையாட்டுகளில் மொத்தம் 21 க்கும் குறைவாக இருந்தது, 8 இல் மொத்தம் அதிகமாக இருந்தது. அடுத்த போட்டி அதிக மொத்தத்துடன் விளையாடப்படுவதற்கான நிகழ்தகவை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்: (8/14)*100=57%. வலென்சியா மெஸ்டல்லாவில் அட்லெடிகோவுக்கு எதிராக 74 போட்டிகளில் விளையாடியது, அதில் அவர்கள் 29 வெற்றிகளை வென்றனர். வலென்சியா வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு: (29/74)*100%=39%.

முந்தைய கேம்களின் புள்ளிவிவரங்களால் மட்டுமே இதையெல்லாம் நாங்கள் கற்றுக்கொள்கிறோம்! இயற்கையாகவே, சிலருக்கு புதிய அணிஅல்லது ஒரு வீரர், அத்தகைய நிகழ்தகவைக் கணக்கிட முடியாது, எனவே இந்த பந்தய உத்தியானது எதிரிகள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை சந்திக்கும் போட்டிகளுக்கு மட்டுமே பொருத்தமானது. இப்போது புக்மேக்கரின் முடிவுகளையும் நமது சொந்த நிகழ்தகவுகளையும் எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்பது எங்களுக்குத் தெரியும், மேலும் கடைசி கட்டத்திற்குச் செல்வதற்கான அனைத்து அறிவும் எங்களிடம் உள்ளது.

ஒரு பந்தயத்தின் மதிப்பை தீர்மானித்தல்

ஒரு பந்தயத்தின் மதிப்பு (மதிப்பு) மற்றும் பாஸ்பிலிட்டி ஆகியவை நேரடித் தொடர்பைக் கொண்டுள்ளன: அதிக மதிப்பு, கடந்து செல்லும் வாய்ப்பு அதிகம். மதிப்பு பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:

வி=பிமற்றும்*கே-100%,

V என்பது மதிப்பு;

P I - பந்தயம் கட்டுபவர் படி விளைவு நிகழ்தகவு;

கே - முடிவுக்கான புக்மேக்கர் முரண்பாடுகள்.

ரோமாவுக்கு எதிரான போட்டியில் மிலனின் வெற்றியைப் பற்றி நாங்கள் பந்தயம் கட்ட விரும்புகிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் "சிவப்பு-கறுப்பர்கள்" வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 45% என்று கணக்கிடுகிறோம். புக்மேக்கர் இந்த முடிவுக்கு 2.5 முரண்பாடுகளை வழங்குகிறது. அத்தகைய பந்தயம் மதிப்புமிக்கதாக இருக்குமா? நாங்கள் கணக்கீடுகளை மேற்கொள்கிறோம்: V = 45% * 2.5-100% = 12.5%. பெரியது, எங்களுக்கு முன்னால் ஒரு மதிப்புமிக்க பந்தயம் உள்ளது நல்ல வாய்ப்புகள்கடக்க.

இன்னொரு வழக்கை எடுத்துக் கொள்வோம். மரியா ஷரபோவா, பெட்ரா கிவிட்டோவாவை எதிர்த்து விளையாடுகிறார். மரியா வெற்றிபெற ஒரு ஒப்பந்தம் செய்ய விரும்புகிறோம், அதன் நிகழ்தகவு, எங்கள் கணக்கீடுகளின்படி, 60% ஆகும். புத்தகத் தயாரிப்பாளர்கள் இந்த முடிவுக்கு 1.5 பெருக்கியை வழங்குகிறார்கள். மதிப்பை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்: V = 60% * 1.5-100 = -10%. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த பந்தயம் எந்த மதிப்பும் இல்லை மற்றும் தவிர்க்கப்பட வேண்டும்.

1. நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள்

1.3.1. சுயாதீன சோதனைகளின் வரிசை (பெர்னோலி சுற்று)

சில சோதனைகள் அதே நிலைமைகளின் கீழ் மீண்டும் மீண்டும் மேற்கொள்ளப்படலாம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த அனுபவம் உண்டாகட்டும் nமுறை, அதாவது, ஒரு வரிசை nசோதனைகள்.

வரையறை. பின்தொடர் n சோதனைகள் அழைக்கப்படுகின்றன பரஸ்பர சுதந்திரம் , கொடுக்கப்பட்ட சோதனையுடன் தொடர்புடைய எந்த நிகழ்வும் மற்ற சோதனைகளுடன் தொடர்புடைய எந்த நிகழ்வுகளிலிருந்தும் சுயாதீனமாக இருந்தால்.

ஏதோ ஒரு நிகழ்வு என்று வைத்துக் கொள்வோம் ஏநடக்க வாய்ப்புள்ளது பஒரு சோதனையின் விளைவாக அல்லது நடக்க வாய்ப்பில்லை கே= 1- ப.

வரையறை . வரிசை nபின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் சோதனைகள் பெர்னௌல்லி திட்டத்தை உருவாக்குகின்றன:

அடுத்தடுத்து nசோதனைகள் பரஸ்பரம் சுயாதீனமானவை,

2) ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஏசோதனையிலிருந்து சோதனைக்கு மாறாது மற்றும் பிற சோதனைகளின் முடிவைச் சார்ந்தது அல்ல.

நிகழ்வு ஏசோதனையின் "வெற்றி" என்றும், எதிர் நிகழ்வு "தோல்வி" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. நிகழ்வைக் கவனியுங்கள்

=(இல் nசோதனைகள் சரியாக நடந்தன மீ"வெற்றி").

இந்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிட, பெர்னோலி சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்

ப() =
, மீ = 1, 2, …, n , (1.6)

எங்கே - சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கை nமூலம் கூறுகள் மீ :

=
=
.

எடுத்துக்காட்டு 1.16. டை மூன்று முறை தூக்கி எறியப்படுகிறது. கண்டுபிடி:

a) 6 புள்ளிகள் இருமுறை தோன்றும் நிகழ்தகவு;

b) சிக்ஸர்களின் எண்ணிக்கை இரண்டு முறைக்கு மேல் தோன்றாத நிகழ்தகவு.

தீர்வு . 6 புள்ளிகள் கொண்ட படம் டையில் தோன்றும் போது சோதனையின் "வெற்றி" என்று கருதுவோம்.

அ) சோதனைகளின் மொத்த எண்ணிக்கை - n=3, "வெற்றிகளின்" எண்ணிக்கை - மீ = 2. "வெற்றி" நிகழ்தகவு - ப=, மற்றும் "தோல்வி" நிகழ்தகவு கே= 1 - =.

.

பின்னர், பெர்னோலியின் சூத்திரத்தின்படி, மூன்று முறை ஒரு டையை வீசியதன் விளைவாக, ஆறு புள்ளிகளைக் கொண்ட பக்கம் இரண்டு முறை தோன்றும் நிகழ்தகவு சமமாக இருக்கும். b) மூலம் குறிப்போம்ஏ 6 மதிப்பெண்களைக் கொண்ட ஒரு பக்கம் இரண்டு முறைக்கு மேல் தோன்றாது என்று பொருள்படும் நிகழ்வு. பின்னர் நிகழ்வை வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம்பொருந்தாத மூன்றின் கூட்டுத்தொகை நிகழ்வுகள்
,

எங்கே A= IN

A= 3 0 - ஆர்வத்தின் விளிம்பு ஒருபோதும் தோன்றாத ஒரு நிகழ்வு,

A= 3 1 - ஆர்வத்தின் விளிம்பு ஒருமுறை தோன்றும் நிகழ்வு,

3 2 - ஆர்வத்தின் விளிம்பு இருமுறை தோன்றும் நிகழ்வு.

ப(b) மூலம் குறிப்போம்) பெர்னோலி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (1.6) நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்
) = ப(
)=
+
+
=

=
.

1.3.2. ஒரு நிகழ்வின் நிபந்தனை நிகழ்தகவு

= ப (

நிபந்தனை நிகழ்தகவு மற்றொரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மீது ஒரு நிகழ்வின் செல்வாக்கை பிரதிபலிக்கிறது. சோதனை மேற்கொள்ளப்படும் நிலைமைகளை மாற்றுவதும் பாதிக்கிறது

வரையறை. ஆர்வமுள்ள நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மீது. ஏ விடுங்கள் மற்றும்பி ப(மற்றும்)> 0.

நிபந்தனை நிகழ்தகவுநிகழ்வுகள் ஏ"நிகழ்வு" என்று வழங்கப்பட்டது மற்றும்ஏற்கனவேநடந்தது” என்பது இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மற்றும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டறிய வேண்டிய நிகழ்வை விட முந்தைய நிகழ்வின் நிகழ்தகவு விகிதம் ஆகும். நிபந்தனை நிகழ்தகவு என குறிக்கப்படுகிறது ப(ஏ மற்றும்). பின்னர் வரையறை மூலம்

ப (ஏ  மற்றும்) =
. (1.7)

எடுத்துக்காட்டு 1.17. இரண்டு பகடைகள் வீசப்படுகின்றன. ஆரம்ப நிகழ்வுகளின் இடம் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடி எண்களைக் கொண்டுள்ளது

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

எடுத்துக்காட்டு 1.16 இல் அது நிகழ்வு என்று தீர்மானிக்கப்பட்டது ஏ=(முதல் டையில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை > 4) மற்றும் நிகழ்வு சி=(புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகை 8) சார்ந்தது. உறவாடுவோம்

.

இந்த உறவை பின்வருமாறு விளக்கலாம். முதல் எறிதலின் முடிவு, முதல் டையில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை > 4 என்று அறியப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இரண்டாவது டையை வீசுவது நிகழ்வை உருவாக்கும் 12 விளைவுகளில் ஒன்றுக்கு வழிவகுக்கும். ஏ:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

இந்த நிகழ்வில் சிஅவற்றில் இரண்டு மட்டுமே பொருந்த முடியும் (5,3) (6,2). இந்த வழக்கில், நிகழ்வின் நிகழ்தகவு சி சமமாக இருக்கும்
. இவ்வாறு, ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வு பற்றிய தகவல் ஏஒரு நிகழ்வின் சாத்தியத்தை பாதித்தது சி.

நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு

பெருக்கல் தேற்றம்

நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுஏ 1 ஏ 2  ஏ n சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

ப(ஏ 1 ஏ 2  ஏ n)= ப(ஏ 1)ப(ஏ 2  ஏ 1)) ப(ஏ n  ஏ 1 ஏ 2  ஏ n- 1). (1.8)

இரண்டு நிகழ்வுகளின் தயாரிப்புக்கு அது பின்வருமாறு

ப(ஏபி)= ப(ஏ பி) ப{மற்றும்)= ப(மற்றும் ஏ)ப{ஏ). (1.9)

எடுத்துக்காட்டு 1.18. 25 தயாரிப்புகளின் தொகுப்பில், 5 தயாரிப்புகள் குறைபாடுடையவை. 3 உருப்படிகள் தொடர்ச்சியாக சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அனைத்து தயாரிப்புகளும் குறைபாடுடைய நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு. நிகழ்வுகளைக் குறிப்போம்:

ஏ 1 = (முதல் தயாரிப்பு குறைபாடுடையது),

ஏ 2 = (இரண்டாவது தயாரிப்பு குறைபாடுடையது),

ஏ 3 = (மூன்றாவது தயாரிப்பு குறைபாடுடையது),

ஏ = (அனைத்து தயாரிப்புகளும் குறைபாடுடையவை).

நிகழ்வு b) மூலம் குறிப்போம் மூன்று நிகழ்வுகளின் விளைவாகும் ஏ = ஏ 1 ஏ 2 ஏ 3 .

பெருக்கல் தேற்றத்திலிருந்து (1.6) நாம் பெறுகிறோம்

ப(ஏ)= p( ஏ 1 ஏ 2 ஏ 3 ) = ப(ஏ 1) ப(ஏ 2  ஏ 1))ப(ஏ 3  ஏ 1 ஏ 2).

நிகழ்தகவின் கிளாசிக்கல் வரையறை நம்மை கண்டுபிடிக்க அனுமதிக்கிறது ப(ஏ 1) குறைபாடுள்ள தயாரிப்புகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் மொத்த தயாரிப்புகளின் விகிதம்:

ப(ஏ 1)= ;

ப(ஏ 2) – இது ஒன்றை அகற்றிய பிறகு மீதமுள்ள குறைபாடுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கையின் விகிதம் மீதமுள்ள தயாரிப்புகளின் மொத்த எண்ணிக்கைக்கு:

ப(ஏ 2  ஏ 1))= ;

ப(ஏ 3) - இது இரண்டு குறைபாடுள்ள பொருட்களை அகற்றிய பிறகு மீதமுள்ள குறைபாடுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கையின் விகிதம் மீதமுள்ள தயாரிப்புகளின் மொத்த எண்ணிக்கைக்கு:

ப(ஏ 3  ஏ 1 ஏ 2)=.

பின்னர் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஏ சமமாக இருக்கும்

ப(ஏ) ==
.

மணிக்கு எந்தவொரு சீரற்ற நிகழ்வின் நிகழ்வின் நிகழ்தகவை மதிப்பிடும் போது, ​​நாம் ஆர்வமாக உள்ள நிகழ்வின் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு () மற்ற நிகழ்வுகள் எவ்வாறு உருவாகின்றன என்பதைப் பொறுத்தது என்பதை நன்கு புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியம்.

கிளாசிக்கல் திட்டத்தைப் பொறுத்தவரை, எல்லா விளைவுகளும் சமமாக இருக்கும் போது, ​​நமக்கு ஆர்வமுள்ள தனிப்பட்ட நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மதிப்புகளை நாம் ஏற்கனவே சுயாதீனமாக மதிப்பிடலாம். நிகழ்வு பல அடிப்படை விளைவுகளின் சிக்கலான தொகுப்பாக இருந்தாலும் நாம் இதைச் செய்யலாம். மற்றும் பல இருந்தால் சீரற்ற நிகழ்வுகள்இது ஒரே நேரத்தில் அல்லது தொடர்ச்சியாக நடக்கிறதா? நாம் விரும்பும் நிகழ்வின் சாத்தியத்தை இது எவ்வாறு பாதிக்கிறது?

நான் பலமுறை ஒரு டையை உருட்டி, சிக்ஸர் அடிக்க வேண்டும் என்று நினைத்தால், நான் துரதிர்ஷ்டவசமாகப் போகிறேன் என்றால், நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டின்படி, நான் அதிர்ஷ்டம் அடையப் போகிறேன் என்பதால், நான் என் பந்தயத்தை அதிகரிக்க வேண்டும் என்று அர்த்தமா? ஐயோ, நிகழ்தகவு கோட்பாடு இது போன்ற எதையும் கூறவில்லை. பகடை இல்லை, அட்டைகள் இல்லை, நாணயங்கள் இல்லை நினைவில் இல்லை அவர்கள் கடைசியாக எங்களுக்கு என்ன காட்டினார்கள். இன்று நான் எனது அதிர்ஷ்டத்தை சோதிப்பது முதல் முறையா அல்லது பத்தாவது முறையா என்பது அவர்களுக்கு ஒரு பொருட்டல்ல. ஒவ்வொரு முறையும் நான் ரோலை மீண்டும் செய்யும்போது, ​​​​எனக்கு ஒன்று மட்டுமே தெரியும்: இந்த முறை சிக்ஸரைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு மீண்டும் ஆறில் ஒரு பங்கு. நிச்சயமாக, எனக்குத் தேவையான எண் ஒருபோதும் வராது என்று இது அர்த்தப்படுத்துவதில்லை. முதல் எறிதலுக்குப் பிறகும் மற்ற எறிதலுக்குப் பின்னரும் எனது தோல்வி என்பது சுதந்திரமான நிகழ்வுகள் என்பதுதான் இதன் பொருள்.

நிகழ்வுகள் A மற்றும் B என்று அழைக்கப்படுகின்றன சுதந்திரமான, அவற்றில் ஒன்றைச் செயல்படுத்துவது மற்றொரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவை எந்த வகையிலும் பாதிக்கவில்லை என்றால். எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு ஆயுதங்களில் முதல் ஆயுதத்தால் இலக்கைத் தாக்கும் சாத்தியக்கூறுகள் இலக்கு மற்ற ஆயுதத்தால் தாக்கப்பட்டதா என்பதைப் பொறுத்தது அல்ல, எனவே "முதல் ஆயுதம் இலக்கைத் தாக்கியது" மற்றும் "இரண்டாவது ஆயுதம் இலக்கைத் தாக்கியது" சுதந்திரமான.

இரண்டு நிகழ்வுகள் A மற்றும் B ஆகியவை சுயாதீனமாக இருந்தால், அவை ஒவ்வொன்றின் நிகழ்தகவு அறியப்பட்டால், நிகழ்வு A மற்றும் நிகழ்வு B (ஏபி என குறிப்பிடப்படுகிறது) இரண்டும் ஒரே நேரத்தில் நிகழும் நிகழ்தகவை பின்வரும் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.

சுயாதீன நிகழ்வுகளுக்கான நிகழ்தகவு பெருக்கல் தேற்றம்

உதாரணம்.முதல் மற்றும் இரண்டாவது துப்பாக்கிகளை சுடும் போது இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவுகள் முறையே சமம்: p 1 =0.7;

ப 2 =0.8. இரண்டு துப்பாக்கிகளாலும் ஒரே நேரத்தில் ஒரு சால்வோ அடிப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.தீர்வு:

நாம் ஏற்கனவே பார்த்தபடி, நிகழ்வுகள் A (முதல் துப்பாக்கியால் தாக்கப்பட்டது) மற்றும் B (இரண்டாவது துப்பாக்கியால் தாக்கப்பட்டது) ஆகியவை சுயாதீனமானவை, அதாவது. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0.56.

உதாரணம்.ஆரம்ப நிகழ்வுகள் சுயாதீனமாக இல்லாவிட்டால் எங்கள் மதிப்பீடுகளுக்கு என்ன நடக்கும்? முந்தைய உதாரணத்தை கொஞ்சம் மாற்றுவோம். இரண்டு துப்பாக்கி சுடும் வீரர்கள் ஒரு போட்டியில் இலக்குகளை நோக்கி சுடுகிறார்கள், அவர்களில் ஒருவர் துல்லியமாக சுட்டால், எதிராளி பதற்றமடையத் தொடங்குகிறார் மற்றும் அவரது முடிவுகள் மோசமடைகின்றன. இந்த அன்றாடச் சூழலை எப்படி கணிதப் பிரச்சனையாக மாற்றி அதைத் தீர்ப்பதற்கான வழிகளை கோடிட்டுக் காட்டுவது? இரண்டு விருப்பங்களையும் நாம் எப்படியாவது பிரிக்க வேண்டும் என்பது உள்ளுணர்வாக தெளிவாக உள்ளதுவளர்ச்சிகள் , அடிப்படையில் இரண்டு காட்சிகளை உருவாக்கவும், இரண்டு. முதல் வழக்கில், எதிராளி தவறவிட்டால், சூழ்நிலையானது நரம்பு தடகள வீரருக்கு சாதகமாக இருக்கும் மற்றும் அவரது துல்லியம் அதிகமாக இருக்கும். இரண்டாவது வழக்கில், எதிராளி தனது வாய்ப்பை கண்ணியமாக எடுத்துக் கொண்டால், இரண்டாவது தடகள வீரரின் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு குறைகிறது.

நிகழ்வுகளின் வளர்ச்சிக்கான சாத்தியமான காட்சிகளை (பெரும்பாலும் கருதுகோள்கள் என்று அழைக்கப்படும்) பிரிக்க, நாங்கள் அடிக்கடி "நிகழ்தகவு மரம்" வரைபடத்தைப் பயன்படுத்துவோம். இந்த வரைபடம் நீங்கள் ஏற்கனவே கையாண்ட முடிவு மரத்தின் பொருளைப் போன்றது. ஒவ்வொரு கிளையும் நிகழ்வுகளின் வளர்ச்சிக்கான ஒரு தனி காட்சியை பிரதிபலிக்கிறது, இப்போது அது அதன் சொந்த அர்த்தம் என்று அழைக்கப்படுபவைநிபந்தனைக்குட்பட்ட

நிகழ்தகவுகள் (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

தொடர்ச்சியான சீரற்ற நிகழ்வுகளை பகுப்பாய்வு செய்ய இந்த திட்டம் மிகவும் வசதியானது. இன்னும் ஒரு முக்கியமான கேள்வியை தெளிவுபடுத்துவதற்கு இது உள்ளது: நிகழ்தகவுகளின் ஆரம்ப மதிப்புகள் எங்கே உண்மையான சூழ்நிலைகள் ? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அதே நாணயங்களுடன் அல்லபகடை

உதாரணம்.நிகழ்தகவு கோட்பாடு செயல்படுகிறதா? பொதுவாக இந்த மதிப்பீடுகள் புள்ளிவிவரங்களிலிருந்து எடுக்கப்படுகின்றன, மேலும் புள்ளிவிவரத் தகவல்கள் கிடைக்காதபோது, ​​நாங்கள் எங்கள் சொந்த ஆராய்ச்சியை மேற்கொள்கிறோம். நாம் அடிக்கடி அதை தரவு சேகரிப்பில் தொடங்க வேண்டும், ஆனால் உண்மையில் நமக்கு என்ன தகவல் தேவை என்ற கேள்வியுடன். ஒரு இலட்சம் மக்கள்தொகை கொண்ட நகரத்தின் சந்தை அளவை மதிப்பிட வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.புதிய தயாரிப்பு , இது ஒரு அத்தியாவசிய பொருள் அல்ல, எடுத்துக்காட்டாக, வண்ண முடி பராமரிப்பு ஒரு தைலம். "நிகழ்தகவு மரம்" வரைபடத்தை கருத்தில் கொள்வோம். இந்த வழக்கில், ஒவ்வொரு "கிளையிலும்" நிகழ்தகவு மதிப்பை தோராயமாக மதிப்பிட வேண்டும்.

எனவே, சந்தை திறன் பற்றிய எங்கள் மதிப்பீடுகள்:

1) நகரவாசிகளில் 50% பெண்கள்,

2) எல்லா பெண்களிலும் 30% பேர் மட்டுமே தலைமுடிக்கு அடிக்கடி சாயம் பூசுகிறார்கள்.

3) அவர்களில், 10% பேர் மட்டுமே வண்ண முடிக்கு தைலம் பயன்படுத்துகின்றனர்,

4) அவர்களில், 10% பேர் மட்டுமே ஒரு புதிய தயாரிப்பை முயற்சிக்க தைரியத்தை சேகரிக்க முடியும்,

ப 2 =0.8. இரண்டு துப்பாக்கிகளாலும் ஒரே நேரத்தில் ஒரு சால்வோ அடிப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும். 5) அவர்களில் 70% பொதுவாக எங்களிடமிருந்து அல்ல, ஆனால் எங்கள் போட்டியாளர்களிடமிருந்து எல்லாவற்றையும் வாங்குகிறார்கள்.

நிகழ்தகவுகளின் பெருக்கல் சட்டத்தின்படி, A = (ஒரு நகரவாசி எங்களிடமிருந்து இந்த புதிய தைலம் வாங்குகிறார்) = 0.00045 இல் ஆர்வமுள்ள நிகழ்வின் நிகழ்தகவை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்.

இந்த நிகழ்தகவு மதிப்பை நகரவாசிகளின் எண்ணிக்கையால் பெருக்கலாம். இதன் விளைவாக, எங்களிடம் 45 சாத்தியமான வாடிக்கையாளர்கள் மட்டுமே உள்ளனர், மேலும் இந்த தயாரிப்பின் ஒரு பாட்டில் பல மாதங்களுக்கு நீடிக்கும் என்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, வர்த்தகம் மிகவும் சுறுசுறுப்பாக இல்லை.

இன்னும் எங்கள் மதிப்பீடுகளிலிருந்து சில நன்மைகள் உள்ளன.

இரண்டாவதாக, நாம் ஏற்கனவே கூறியது போல், ஒரு சீரற்ற மாறி சீரற்றதாக அழைக்கப்படுவதில்லை, ஏனெனில் அது எதையும் சார்ந்து இல்லை. அவள் மட்டும் துல்லியமானஅர்த்தம் முன்கூட்டியே தெரியவில்லை. வாங்குபவர்களின் சராசரி எண்ணிக்கையை அதிகரிக்க முடியும் என்பதை நாங்கள் அறிவோம் (உதாரணமாக, ஒரு புதிய தயாரிப்பை விளம்பரப்படுத்துவதன் மூலம்). எனவே, நிகழ்தகவு விநியோகம் நமக்குப் பொருந்தாத அந்த "முட்கரண்டிகளில்" நமது முயற்சிகளை கவனம் செலுத்துவது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது, அந்த காரணிகளில் நாம் செல்வாக்கு செலுத்த முடியும்.

நுகர்வோர் நடத்தை ஆராய்ச்சியின் மற்றொரு அளவு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.ஒரு நாளைக்கு சராசரியாக 10,000 பேர் உணவு சந்தைக்கு வருகிறார்கள். சந்தை பார்வையாளர் ஒரு பெவிலியனுக்குள் நுழைவதற்கான நிகழ்தகவு பால் பொருட்கள், 1/2 க்கு சமம்.

இந்த பந்தலில் நாள் ஒன்றுக்கு சராசரியாக 500 கிலோ பல்வேறு பொருட்கள் விற்பனையாகிறது என்பது தெரிந்ததே.

பெவிலியனில் சராசரி கொள்முதல் 100 கிராம் மட்டுமே என்று சொல்ல முடியுமா?கலந்துரையாடல்.

நிச்சயமாக இல்லை. பெவிலியனுக்குள் நுழைந்த அனைவரும் அங்கு எதையாவது வாங்கவில்லை என்பது தெளிவாகிறது.

வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, வாங்குதலின் சராசரி எடை பற்றிய கேள்விக்கு பதிலளிக்க, பெவிலியனுக்குள் நுழையும் ஒருவர் அங்கு எதையாவது வாங்குவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன என்ற கேள்விக்கு நாம் ஒரு பதிலைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். அத்தகைய தரவுகள் எங்களிடம் இல்லை, ஆனால் எங்களுக்கு அது தேவை என்றால், பெவிலியனுக்கு வருபவர்களை சிறிது நேரம் கவனித்து அதை நாமே பெற வேண்டும். பெவிலியன் பார்வையாளர்களில் ஐந்தில் ஒரு பகுதியினர் மட்டுமே எதையாவது வாங்குகிறார்கள் என்று எங்கள் அவதானிப்புகள் காட்டுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த மதிப்பீடுகளைப் பெற்றவுடன், பணி எளிதாகிவிடும். சந்தைக்கு வரும் 10,000 பேரில், 5,000 பேர் பால் பொருட்கள் பந்தலுக்குச் செல்வர், சராசரி கொள்முதல் எடை 500 கிராம் மட்டுமே. கட்டமைக்க வேண்டும் என்பதைக் குறிப்பிடுவது சுவாரஸ்யமானதுமுழு படம்

நிகழும், நிபந்தனைக்குட்பட்ட "கிளையிடல்" தர்க்கம், நமது பகுத்தறிவின் ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் நாம் ஒரு "கான்கிரீட்" சூழ்நிலையில் வேலை செய்வது போல் தெளிவாக வரையறுக்கப்பட வேண்டும், நிகழ்தகவுகளுடன் அல்ல.

சுய பரிசோதனை பணிகள்

1. தொடரில் இணைக்கப்பட்ட n உறுப்புகளைக் கொண்ட மின்சுற்று இருக்கட்டும், அவை ஒவ்வொன்றும் மற்றவற்றிலிருந்து சுயாதீனமாக இயங்குகின்றன.

ஒவ்வொரு தனிமத்தின் தோல்வியின் நிகழ்தகவு p அறியப்படுகிறது. சுற்று முழு பிரிவின் (நிகழ்வு A) சரியான செயல்பாட்டின் நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும்.

3. உற்பத்தி நான்கு தொடர்ச்சியான நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றிலும் உபகரணங்கள் செயல்படுகின்றன, அடுத்த மாதத்தில் தோல்விக்கான சாத்தியக்கூறுகள் முறையே p 1, p 2, p 3 மற்றும் p 4 க்கு சமமாக இருக்கும். ஒரு மாதத்தில் உபகரணங்கள் செயலிழப்பதால் உற்பத்தி நிறுத்தங்கள் இருக்காது என்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.