ஒரு இருபடி சமன்பாட்டில் ஒரு ஐ எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது. இருபடி சமன்பாடுகள். தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

நாங்கள் தலைப்பை தொடர்ந்து படிக்கிறோம் " சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது" நாம் ஏற்கனவே நேரியல் சமன்பாடுகளுடன் பழகியுள்ளோம், மேலும் பழகுவதற்கு நகர்கிறோம் இருபடி சமன்பாடுகள்.

முதலில், இருபடிச் சமன்பாடு என்றால் என்ன, அது எவ்வாறு பொதுவான வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது என்பதைப் பார்த்து, தொடர்புடைய வரையறைகளை வழங்குவோம். இதற்குப் பிறகு, முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை விரிவாக ஆராய எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்துவோம். அடுத்து, முழுமையான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்குச் செல்வோம், ரூட் சூத்திரத்தைப் பெறுவோம், இருபடிச் சமன்பாட்டின் பாகுபாட்டைப் பற்றி அறிந்துகொள்வோம், மேலும் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். இறுதியாக, வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கிடையிலான இணைப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

இருபடிச் சமன்பாடு என்றால் என்ன? அவற்றின் வகைகள்

முதலில் நீங்கள் ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்றால் என்ன என்பதை தெளிவாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும். எனவே, இருபடி சமன்பாட்டின் வரையறை மற்றும் தொடர்புடைய வரையறைகளுடன் இருபடி சமன்பாடுகளைப் பற்றிய உரையாடலைத் தொடங்குவது தர்க்கரீதியானது. இதற்குப் பிறகு, நீங்கள் முக்கிய வகைகளைக் கருத்தில் கொள்ளலாம் இருபடி சமன்பாடுகள்: குறைக்கப்பட்ட மற்றும் குறைக்கப்படாத, அத்துடன் முழுமையான மற்றும் முழுமையற்ற சமன்பாடுகள்.

இருபடி சமன்பாடுகளின் வரையறை மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள்

வரையறை.

இருபடி சமன்பாடுவடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும் a x 2 +b x+c=0, x என்பது ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c ஆகியவை சில எண்கள், மற்றும் a என்பது பூஜ்ஜியம் அல்ல.

இருபடி சமன்பாடுகள் பெரும்பாலும் இரண்டாவது பட்டத்தின் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்று இப்போதே சொல்லலாம். இருபடி சமன்பாடு என்பது இதற்குக் காரணம் இயற்கணித சமன்பாடுஇரண்டாம் பட்டம்.

கூறப்பட்ட வரையறை இருபடி சமன்பாடுகளின் உதாரணங்களை கொடுக்க அனுமதிக்கிறது. எனவே 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, முதலியன. இவை இருபடி சமன்பாடுகள்.

வரையறை.

எண்கள் a, b மற்றும் c என்று அழைக்கப்படுகின்றன இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்கள் a·x 2 +b·x+c=0, மற்றும் குணகம் a என்பது முதல், அல்லது உயர்ந்தது, அல்லது x 2 இன் குணகம், b என்பது இரண்டாவது குணகம் அல்லது x இன் குணகம், மற்றும் c என்பது இலவசச் சொல் .

எடுத்துக்காட்டாக, 5 x 2 -2 x -3=0 படிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம், இங்கே முன்னணி குணகம் 5, இரண்டாவது குணகம் −2 க்கு சமம், மற்றும் இலவச சொல் −3 க்கு சமம். குணகங்கள் b மற்றும்/அல்லது c எதிர்மறையாக இருக்கும் போது, ​​இப்போது கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் குறுகிய வடிவம் 5 x 2 -2 x−3=0 வடிவத்தின் இருபடி சமன்பாட்டை எழுதுதல், மற்றும் 5 x 2 +(-2) x+(−3)=0 அல்ல.

குணகங்கள் a மற்றும்/அல்லது b 1 அல்லது −1 க்கு சமமாக இருக்கும் போது, ​​அவை பொதுவாக இருபடி சமன்பாட்டில் வெளிப்படையாக இருக்காது, இது போன்ற எழுதும் தனித்தன்மைகள் காரணமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சமன்பாட்டில் y 2 -y+3=0 முன்னணி குணகம் ஒன்று, மற்றும் y இன் குணகம் −1க்கு சமம்.

குறைக்கப்பட்ட மற்றும் குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடுகள்

முன்னணி குணகத்தின் மதிப்பைப் பொறுத்து, குறைக்கப்பட்ட மற்றும் குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடுகள் வேறுபடுகின்றன. அதற்கான வரையறைகளை வழங்குவோம்.

வரையறை.

முன்னணி குணகம் 1 ஆக இருக்கும் இருபடி சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது. இல்லையெனில் இருபடி சமன்பாடு ஆகும் தீண்டப்படாத.

படி இந்த வரையறை, இருபடி சமன்பாடுகள் x 2 −3·x+1=0, x 2 -x−2/3=0, முதலியன. - கொடுக்கப்பட்ட, அவை ஒவ்வொன்றிலும் முதல் குணகம் ஒன்றுக்கு சமம். A 5 x 2 -x−1=0, முதலியன. - குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடுகள், அவற்றின் முன்னணி குணகங்கள் 1 இலிருந்து வேறுபட்டவை.

எந்த குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாட்டிலிருந்து, இரு பக்கங்களையும் முன்னணி குணகத்தால் பிரிப்பதன் மூலம், நீங்கள் குறைக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு செல்லலாம். இந்த செயல் ஒரு சமமான மாற்றமாகும், அதாவது, இந்த வழியில் பெறப்பட்ட குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு அசல் குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாட்டின் அதே வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, அல்லது, அதைப் போலவே, வேர்கள் இல்லை.

குறைக்கப்படாத இருபடிச் சமன்பாட்டிலிருந்து குறைக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு மாறுவது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

3 x 2 +12 x−7=0 சமன்பாட்டிலிருந்து, தொடர்புடைய குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டிற்குச் செல்லவும்.

தீர்வு.

அசல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் முன்னணி குணகம் 3 ஆல் வகுக்க வேண்டும், இது பூஜ்ஜியமற்றது, எனவே இந்த செயலைச் செய்யலாம். எங்களிடம் உள்ளது (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, இது ஒன்றுதான், (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, பின்னர் (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, எங்கிருந்து . இப்படித்தான் நாம் குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெற்றோம், இது அசல் ஒன்றிற்குச் சமமானதாகும்.

பதில்:

முழுமையான மற்றும் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரையறை a≠0 என்ற நிபந்தனையைக் கொண்டுள்ளது. இந்த நிலை அவசியம் எனவே a x 2 + b x + c = 0 சமன்பாடு இருபடியாக இருக்கும், ஏனெனில் a = 0 ஆனது உண்மையில் b x + c = 0 வடிவத்தின் நேரியல் சமன்பாடாக மாறும்.

b மற்றும் c குணகங்களைப் பொறுத்தவரை, அவை தனித்தனியாகவும் ஒன்றாகவும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கலாம். இந்த சந்தர்ப்பங்களில், இருபடி சமன்பாடு முழுமையற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை.

இருபடி சமன்பாடு a x 2 +b x+c=0 அழைக்கப்படுகிறது முழுமையற்றது, b, c குணகங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால்.

இதையொட்டி

வரையறை.

முழு இருபடி சமன்பாடுஅனைத்து குணகங்களும் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும்.

அத்தகைய பெயர்கள் தற்செயலாக கொடுக்கப்படவில்லை. இது பின்வரும் விவாதங்களில் இருந்து தெளிவாகும்.

குணகம் b பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், இருபடிச் சமன்பாடு a·x 2 +0·x+c=0 வடிவத்தை எடுக்கும், மேலும் அது a·x 2 +c=0 சமன்பாட்டிற்குச் சமம். c=0, அதாவது, இருபடிச் சமன்பாடு a·x 2 +b·x+0=0 வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தால், அதை a·x 2 +b·x=0 என மீண்டும் எழுதலாம். மேலும் b=0 மற்றும் c=0 உடன் இருபடி சமன்பாடு a·x 2 =0 கிடைக்கும். இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடுகள் முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டிலிருந்து வேறுபடுகின்றன, அவற்றின் இடது பக்கங்களில் x மாறியுடன் ஒரு சொல் அல்லது ஒரு இலவச சொல் அல்லது இரண்டும் இல்லை. எனவே அவற்றின் பெயர் - முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்.

எனவே சமன்பாடுகள் x 2 +x+1=0 மற்றும் −2 x 2 -5 x+0.2=0 ஆகியவை முழுமையான இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும், மேலும் x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 -5 x=0 முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

முந்தைய பத்தியில் உள்ள தகவலில் இருந்து அது உள்ளது மூன்று வகையான முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்:

• a·x 2 =0, குணகங்கள் b=0 மற்றும் c=0 அதை ஒத்திருக்கும்;
• a x 2 +c=0 போது b=0 ;
• மற்றும் a·x 2 +b·x=0 போது c=0.

இந்த வகைகளில் ஒவ்வொன்றின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை வரிசையாக ஆராய்வோம்.

ஒரு x 2 =0

b மற்றும் c குணகங்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் தொடங்குவோம், அதாவது a x 2 =0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகளுடன். சமன்பாடு a·x 2 =0 என்பது x 2 =0 என்ற சமன்பாட்டிற்குச் சமமானது, இது இரு பகுதிகளையும் பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் வகுத்து மூலத்திலிருந்து பெறப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, x 2 =0 சமன்பாட்டின் வேர் பூஜ்ஜியமாகும், ஏனெனில் 0 2 =0. இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேறு எந்த வேர்களும் இல்லை, இது எந்த பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணிற்கும் p 2 >0 சமத்துவமின்மையால் விளக்கப்படுகிறது, அதாவது p≠0 க்கு p 2 =0 என்ற சமத்துவம் ஒருபோதும் அடையப்படாது.

எனவே, முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு a·x 2 =0 ஆனது x=0 என்ற ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது.

உதாரணமாக, முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு −4 x 2 =0 தீர்வைக் கொடுக்கிறோம். இது x 2 =0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு சமம், அதன் ஒரே ரூட் x=0, எனவே, அசல் சமன்பாடு ஒற்றை ரூட் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது.

இந்த வழக்கில் ஒரு குறுகிய தீர்வை பின்வருமாறு எழுதலாம்:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0

a x 2 +c=0

குணகம் b பூஜ்ஜியம் மற்றும் c≠0, அதாவது a x 2 +c=0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகளில் உள்ள முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம். சமன்பாட்டின் ஒரு பக்கத்திலிருந்து மற்றொரு பக்கத்திற்கு எதிர் குறியுடன் ஒரு சொல்லை நகர்த்துவதும், சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் வகுப்பதும் சமமான சமன்பாட்டைக் கொடுக்கும் என்பதை நாம் அறிவோம். எனவே, ஒரு x 2 +c=0 முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் பின்வரும் சமமான மாற்றங்களைச் செய்யலாம்:

• c ஐ வலது பக்கம் நகர்த்தவும், இது சமன்பாட்டிற்கு ஒரு x 2 =-c,
• மற்றும் இரு பக்கங்களையும் a ஆல் வகுத்தால், நமக்கு கிடைக்கும் .

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு அதன் வேர்களைப் பற்றிய முடிவுகளை எடுக்க அனுமதிக்கிறது. a மற்றும் c இன் மதிப்புகளைப் பொறுத்து, வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு எதிர்மறையாக இருக்கலாம் (உதாரணமாக, a=1 மற்றும் c=2 எனில், பின்னர் ) அல்லது நேர்மறை (உதாரணமாக, a=−2 மற்றும் c=6 எனில், பின்னர் ), இது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது, ஏனெனில் நிபந்தனை c≠0. வழக்குகளை தனித்தனியாக பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

என்றால், சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை. எந்த எண்ணின் வர்க்கமும் எதிர்மில்லாத எண் என்பதிலிருந்து இந்த அறிக்கை பின்பற்றப்படுகிறது. இதிலிருந்து எப்பொழுது , பிறகு எந்த எண்ணுக்கும் p சமத்துவம் உண்மையாக இருக்க முடியாது.

என்றால், சமன்பாட்டின் வேர்களின் நிலைமை வேறுபட்டது. இந்த வழக்கில், நாம் பற்றி நினைவில் வைத்திருந்தால், சமன்பாட்டின் வேர் உடனடியாகத் தெளிவாகிறது, அது எண். எண் சமன்பாட்டின் மூலமும் கூட என்று யூகிக்க எளிதானது. இந்த சமன்பாட்டில் வேறு எந்த வேர்களும் இல்லை, எடுத்துக்காட்டாக, முரண்பாட்டால் காட்டப்படலாம். இதைச் செய்வோம்.

இப்போது x 1 மற்றும் −x 1 என அறிவிக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வேர்களைக் குறிப்போம். x 1 மற்றும் −x 1 ஆகியவற்றிலிருந்து வேறுபட்ட, சமன்பாடு மேலும் ஒரு ரூட் x 2 ஐக் கொண்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். x க்கு பதிலாக அதன் வேர்களை ஒரு சமன்பாட்டில் மாற்றுவது சமன்பாட்டை சரியான எண் சமத்துவமாக மாற்றுகிறது என்பது அறியப்படுகிறது. x 1 மற்றும் −x 1 க்கு நம்மிடம் உள்ளது, x 2 க்கு நம்மிடம் உள்ளது. எண் சமத்துவங்களின் பண்புகள் சரியான எண் சமத்துவங்களின் கால-படி-கால கழிப்பைச் செய்ய அனுமதிக்கின்றன, எனவே சமத்துவங்களின் தொடர்புடைய பகுதிகளைக் கழித்தால் x 1 2 -x 2 2 =0 கிடைக்கும். எண்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகளின் பண்புகள், விளைவான சமத்துவத்தை (x 1 -x 2)·(x 1 +x 2)=0 என மீண்டும் எழுத அனுமதிக்கிறது. இரண்டு எண்களின் பலன் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் என்பது நமக்குத் தெரியும், அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே. எனவே, விளைவான சமத்துவத்திலிருந்து x 1 -x 2 =0 மற்றும்/அல்லது x 1 +x 2 =0, x 2 =x 1 மற்றும்/அல்லது x 2 =−x 1. x 2 சமன்பாட்டின் வேர் x 1 மற்றும் −x 1 இலிருந்து வேறுபட்டது என்று ஆரம்பத்தில் சொன்னதால், நாங்கள் ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வந்தோம். சமன்பாட்டிற்கு மற்றும் தவிர வேறு வேர்கள் இல்லை என்பதை இது நிரூபிக்கிறது.

இந்த பத்தியில் உள்ள தகவலை சுருக்கமாகக் கூறுவோம். முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு a x 2 +c=0 சமன்பாட்டிற்குச் சமம்

• வேர்கள் இல்லை என்றால்,
• இரண்டு வேர்கள் மற்றும் , என்றால் .

a·x 2 +c=0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

இருபடி சமன்பாடு 9 x 2 +7=0 உடன் ஆரம்பிக்கலாம். சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திற்கு இலவச காலத்தை நகர்த்திய பிறகு, அது 9 x 2 =−7 வடிவத்தை எடுக்கும். இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 9 ஆல் வகுத்தால், நாம் வருகிறோம். வலது பக்கம் எதிர்மறை எண்ணைக் கொண்டிருப்பதால், இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, எனவே, அசல் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு 9 x 2 +7 = 0 க்கு வேர்கள் இல்லை.

மற்றொரு முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம் -x 2 +9=0. நாம் ஒன்பதை வலது பக்கமாக நகர்த்துகிறோம்: −x 2 =-9. இப்போது இரண்டு பக்கங்களையும் −1 ஆல் வகுத்தால், x 2 =9 கிடைக்கும். வலது பக்கம் உள்ளது நேர்மறை எண், அதிலிருந்து நாம் முடிவு செய்கிறோம் அல்லது . பின்னர் நாம் இறுதிப் பதிலை எழுதுகிறோம்: முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு -x 2 +9=0 x=3 அல்லது x=−3 என்ற இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

a x 2 +b x=0

c=0 க்கான முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளின் கடைசி வகையின் தீர்வைக் கையாள இது உள்ளது. a x 2 + b x = 0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள் உங்களை தீர்க்க அனுமதிக்கிறது காரணியாக்கல் முறை. வெளிப்படையாக, நாம் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் அமைந்துள்ளது, இதற்கு அடைப்புக்குறிக்குள் x என்ற பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொண்டால் போதும். இது அசல் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டிலிருந்து x·(a·x+b)=0 வடிவத்தின் சமமான சமன்பாட்டிற்குச் செல்ல அனுமதிக்கிறது. மேலும் இந்த சமன்பாடு x=0 மற்றும் a·x+b=0 ஆகிய இரண்டு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்குச் சமமானது, இவற்றின் பிந்தையது நேரியல் மற்றும் x=−b/a வேர் கொண்டது.

எனவே, முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு a·x 2 +b·x=0 x=0 மற்றும் x=−b/a ஆகிய இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

பொருளை ஒருங்கிணைக்க, ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்திற்கான தீர்வை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

உதாரணம்.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

அடைப்புக்குறிக்குள் xஐ எடுத்தால் சமன்பாடு கிடைக்கும். இது x=0 மற்றும் இரண்டு சமன்பாடுகளுக்குச் சமம். இதன் விளைவாக வரும் நேரியல் சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்: , மற்றும் பிரிவைச் செய்கிறோம் கலப்பு எண்அன்று பொதுவான பின்னம், நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம். எனவே, அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள் x=0 மற்றும் .

தேவையான பயிற்சியைப் பெற்ற பிறகு, அத்தகைய சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளை சுருக்கமாக எழுதலாம்:

பதில்:

x=0, .

பாகுபாடு, இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க, ஒரு ரூட் சூத்திரம் உள்ளது. அதை எழுதுவோம் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்: , எங்கே D=b 2 −4 a c- என்று அழைக்கப்படும் இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு. நுழைவு என்பது அடிப்படையில் அதைக் குறிக்கிறது.

மூல சூத்திரம் எவ்வாறு பெறப்பட்டது மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளின் வேர்களைக் கண்டறிவதில் அது எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதை அறிவது பயனுள்ளது. இதை கண்டுபிடிக்கலாம்.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

இருபடி சமன்பாட்டை a·x 2 +b·x+c=0 தீர்க்க வேண்டும். சில சமமான மாற்றங்களைச் செய்வோம்:

• இந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பூஜ்ஜியம் அல்லாத எண் a ஆல் வகுக்க முடியும், இதன் விளைவாக பின்வரும் இருபடி சமன்பாடு கிடைக்கும்.
• இப்போது ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்அதன் இடது பக்கத்தில்: . இதற்குப் பிறகு, சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்.
• இந்த கட்டத்தில், கடைசி இரண்டு சொற்களை எதிர் அடையாளத்துடன் வலது பக்கத்திற்கு மாற்ற முடியும், எங்களிடம் உள்ளது .
• மேலும் வலது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்: .

இதன் விளைவாக, அசல் இருபடி சமன்பாடு a·x 2 +b·x+c=0 க்கு சமமான ஒரு சமன்பாட்டை நாம் வந்தடைகிறோம்.

நாங்கள் ஏற்கனவே ஆய்வு செய்த போது, ​​முந்தைய பத்திகளில் இதே போன்ற சமன்பாடுகளை தீர்த்துள்ளோம். சமன்பாட்டின் வேர்கள் குறித்து பின்வரும் முடிவுகளை எடுக்க இது அனுமதிக்கிறது:

• என்றால், சமன்பாட்டில் உண்மையான தீர்வுகள் இல்லை;
• என்றால், சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது, எனவே, அதன் ஒரே வேர் தெரியும்;
• என்றால் , பிறகு அல்லது , இது அதே அல்லது , அதாவது சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

எனவே, சமன்பாட்டின் வேர்களின் இருப்பு அல்லது இல்லாமை, எனவே அசல் இருபடி சமன்பாடு, வலது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டின் அடையாளத்தைப் பொறுத்தது. இதையொட்டி, இந்த வெளிப்பாட்டின் அடையாளம், 4·a 2 என்ற வகுத்தல் எப்போதும் நேர்மறையாக இருப்பதால், அதாவது, b 2 −4·a·c என்ற வெளிப்பாட்டின் அடையாளத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இந்த வெளிப்பாடு b 2 -4 a c என அழைக்கப்பட்டது இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடுமற்றும் கடிதத்தால் நியமிக்கப்பட்டது டி. இங்கிருந்து பாகுபாடு காண்பவரின் சாராம்சம் தெளிவாக உள்ளது - அதன் மதிப்பு மற்றும் அடையாளத்தின் அடிப்படையில், இருபடி சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் உள்ளதா என்பதை அவர்கள் முடிவு செய்கிறார்கள், அப்படியானால், அவற்றின் எண் என்ன - ஒன்று அல்லது இரண்டு.

சமன்பாட்டிற்குத் திரும்பி, பாரபட்சமான குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி அதை மீண்டும் எழுதுவோம்: . மற்றும் நாங்கள் முடிவுகளை எடுக்கிறோம்:

• டி என்றால்<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D=0 எனில், இந்தச் சமன்பாடு ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது;
• இறுதியாக, D>0 எனில், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது அல்லது, அதை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதலாம் அல்லது பின்னங்களை விரிவுபடுத்திக் குறைத்த பிறகு பொதுவான வகுத்தல்நாங்கள் பெறுகிறோம்.

எனவே இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்களை நாங்கள் பெற்றோம், அவை , பாகுபாடு D என்பது D=b 2 −4·a·c என்ற சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படும்.

அவர்களின் உதவியுடன், நேர்மறை பாகுபாடுடன், இருபடி சமன்பாட்டின் இரண்டு உண்மையான வேர்களையும் நீங்கள் கணக்கிடலாம். பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது, ​​இரு சூத்திரங்களும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் தனித்துவமான தீர்வுக்கு ஒத்த மூலத்தின் ஒரே மதிப்பைக் கொடுக்கும். எதிர்மறையான பாகுபாடுடன், ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த முயற்சிக்கும்போது, ​​எதிர்மறை எண்ணின் வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதை எதிர்கொள்கிறோம், இது நம்மை நோக்கத்திற்கு அப்பால் அழைத்துச் செல்கிறது. பள்ளி பாடத்திட்டம். எதிர்மறையான பாகுபாட்டுடன், இருபடிச் சமன்பாட்டில் உண்மையான வேர்கள் இல்லை, ஆனால் ஒரு ஜோடி உள்ளது சிக்கலான இணைப்புவேர்கள், நாம் பெற்ற அதே ரூட் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி காணலாம்.

மூல சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்

நடைமுறையில், இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​அவற்றின் மதிப்புகளைக் கணக்கிட ரூட் சூத்திரத்தை உடனடியாகப் பயன்படுத்தலாம். ஆனால் இது சிக்கலான வேர்களைக் கண்டறிவதோடு தொடர்புடையது.

இருப்பினும், பள்ளி இயற்கணித பாடத்தில் இது வழக்கமாக உள்ளது பற்றி பேசுகிறோம்சிக்கலானது அல்ல, ஆனால் இருபடி சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்கள் பற்றி. இந்த வழக்கில், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன், முதலில் பாகுபாட்டைக் கண்டறிவது நல்லது, அது எதிர்மறையானது அல்ல என்பதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள் (இல்லையெனில், சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்), பின்னர் மட்டுமே வேர்களின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள்.

மேலே உள்ள தர்க்கம் நம்மை எழுத அனுமதிக்கிறது இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை. இருபடி சமன்பாட்டை a x 2 +b x+c=0 தீர்க்க, நீங்கள் செய்ய வேண்டியது:

• D=b 2 −4·a·c என்ற பாகுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, அதன் மதிப்பைக் கணக்கிடவும்;
• பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால் இருபடி சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்று முடிவு செய்யுங்கள்;
• D=0 என்றால் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் ஒரே மூலத்தைக் கணக்கிடுங்கள்;
• பாகுபாடு நேர்மறையாக இருந்தால், மூல சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாட்டின் இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கண்டறியவும்.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம் என்பதை இங்கே நாங்கள் கவனிக்கிறோம்.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு நீங்கள் செல்லலாம்.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

நேர்மறை, எதிர்மறை மற்றும் பூஜ்ஜிய பாகுபாடு கொண்ட மூன்று இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். அவற்றின் தீர்வைக் கையாள்வதன் மூலம், ஒப்புமை மூலம் வேறு எந்த இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்க முடியும். ஆரம்பிக்கலாம்.

உதாரணம்.

x 2 +2·x−6=0 சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

இந்த வழக்கில், இருபடி சமன்பாட்டின் பின்வரும் குணகங்கள் உள்ளன: a=1, b=2 மற்றும் c=−6. அல்காரிதத்தின் படி, நீங்கள் முதலில் பாகுபாட்டைக் கணக்கிட வேண்டும், சுட்டிக்காட்டப்பட்ட a, b மற்றும் c ஐ பாரபட்சமான சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம் D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0, அதாவது, பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக உள்ளது, இருபடி சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. மூல சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம், நாங்கள் பெறுகிறோம், இங்கே நீங்கள் செய்வதன் மூலம் விளைந்த வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கலாம் மூல அடையாளத்திற்கு அப்பால் பெருக்கியை நகர்த்துகிறதுபின்னம் குறைக்கப்பட்டது தொடர்ந்து:

பதில்:

அடுத்த பொதுவான உதாரணத்திற்கு செல்லலாம்.

உதாரணம்.

இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் -4 x 2 +28 x−49=0 .

தீர்வு.

பாகுபாட்டைக் கண்டறிவதன் மூலம் தொடங்குகிறோம்: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. எனவே, இந்த இருபடிச் சமன்பாடு ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதை நாம் , அதாவது,

பதில்:

x=3.5.

இருபடி சமன்பாடுகளை எதிர்மறையான பாகுபாடுடன் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

உதாரணம்.

5·y 2 +6·y+2=0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்கள் இங்கே உள்ளன: a=5, b=6 மற்றும் c=2. இந்த மதிப்புகளை பாரபட்சமான சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம், எங்களிடம் உள்ளது D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. பாகுபாடு எதிர்மறையானது, எனவே, இந்த இருபடி சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை.

நீங்கள் சிக்கலான வேர்களைக் குறிப்பிட வேண்டும் என்றால், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கு நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம், மேலும் செயல்படுகிறோம் சிக்கலான எண்கள் கொண்ட செயல்பாடுகள்:

பதில்:

உண்மையான வேர்கள் இல்லை, சிக்கலான வேர்கள்: .

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால், பள்ளியில் அவர்கள் உடனடியாக ஒரு பதிலை எழுதுவார்கள், அதில் உண்மையான வேர்கள் இல்லை, சிக்கலான வேர்கள் காணப்படவில்லை என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை கவனத்தில் கொள்வோம்.

இரண்டாவது குணகங்களுக்கான ரூட் சூத்திரம்

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம், D=b 2 -4·a·c ஆனது, மிகவும் கச்சிதமான வடிவத்தின் சூத்திரத்தைப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது. படிவத்தின் குணகம் 2·n, எடுத்துக்காட்டாக, அல்லது 14· ln5=2·7·ln5 ). அவளை வெளியேற்றுவோம்.

x 2 +2 n x+c=0 வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும் என்று வைத்துக் கொள்வோம். நமக்குத் தெரிந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, நாங்கள் பாகுபாடு கணக்கிடுகிறோம் D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 -4 a c=4 (n 2 -a c), பின்னர் நாம் ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

n 2 -a c என்ற வெளிப்பாட்டை D 1 ஆகக் குறிப்போம் (சில நேரங்களில் அது D "என்று குறிக்கப்படுகிறது) பின்னர் இரண்டாவது குணகம் 2 n உடன் பரிசீலனையில் உள்ள இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம் வடிவம் எடுக்கும். , D 1 =n 2 -a·c.

D=4·D 1, அல்லது D 1 =D/4 என்பதைப் பார்ப்பது எளிது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், டி 1 என்பது பாகுபாட்டின் நான்காவது பகுதியாகும். D 1 இன் அடையாளம் D யின் அறிகுறியே என்பது தெளிவாகிறது. அதாவது, D 1 என்பது ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் இருப்பு அல்லது இல்லாமையின் குறிகாட்டியாகும்.

எனவே, இரண்டாவது குணகம் 2·n உடன் இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, உங்களுக்குத் தேவை

• D 1 =n 2 -a·c கணக்கிடுக;
• டி 1 என்றால்<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0 எனில், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் ஒரே மூலத்தைக் கணக்கிடவும்;
• D 1 >0 எனில், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கண்டறியவும்.

இந்த பத்தியில் பெறப்பட்ட ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உதாரணத்தைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணம்.

இருபடிச் சமன்பாட்டை 5 x 2 -6 x -32=0 தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இந்த சமன்பாட்டின் இரண்டாவது குணகம் 2·(−3) என குறிப்பிடப்படலாம். அதாவது, அசல் இருபடிச் சமன்பாட்டை 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, இங்கே a=5, n=−3 மற்றும் c=−32 வடிவில் மீண்டும் எழுதலாம் மற்றும் நான்காவது பகுதியைக் கணக்கிடலாம். பாகுபாடு: D 1 =n 2 −a·c=(-3) 2 −5·(-32)=9+160=169. அதன் மதிப்பு நேர்மறையாக இருப்பதால், சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. பொருத்தமான ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கு வழக்கமான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது சாத்தியம் என்பதை நினைவில் கொள்க, ஆனால் இந்த விஷயத்தில் அதிக கணக்கீட்டு வேலைகள் செய்யப்பட வேண்டும்.

பதில்:

இருபடி சமன்பாடுகளின் வடிவத்தை எளிதாக்குதல்

சில நேரங்களில், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கணக்கிடத் தொடங்குவதற்கு முன், "இந்த சமன்பாட்டின் வடிவத்தை எளிமைப்படுத்த முடியுமா?" என்ற கேள்வியைக் கேட்பது வலிக்காது. கணக்கீடுகளின் அடிப்படையில் 1100 x 2 -400 x−600=0 ஐ விட இருபடி சமன்பாடு 11 x 2 -4 x−6=0 ஐ தீர்க்க எளிதாக இருக்கும் என்பதை ஒப்புக்கொள்கிறேன்.

பொதுவாக, ஒரு இருபக்க சமன்பாட்டின் வடிவத்தை எளிமையாக்குவது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதன் மூலம் அல்லது வகுப்பதன் மூலம் அடையப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, முந்தைய பத்தியில் 1100 x 2 -400 x -600=0 சமன்பாட்டை இரு பக்கங்களையும் 100 ஆல் வகுப்பதன் மூலம் எளிமைப்படுத்த முடியும்.

இதேபோன்ற மாற்றம் இருபடி சமன்பாடுகளுடன் மேற்கொள்ளப்படுகிறது, அவற்றின் குணகங்கள் இல்லை. இந்த வழக்கில், சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் பொதுவாக அதன் குணகங்களின் முழுமையான மதிப்புகளால் வகுக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சமன்பாடு 12 x 2 -42 x+48=0 ஐ எடுத்துக் கொள்வோம். அதன் குணகங்களின் முழுமையான மதிப்புகள்: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. அசல் இருபடி சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 6 ஆல் வகுத்தால், சமமான இருபடி சமன்பாடு 2 x 2 -7 x+8=0 ஐ அடைகிறோம்.

மற்றும் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் இருபுறமும் பெருக்குவது பொதுவாக பின்ன குணகங்களை அகற்றுவதற்காக செய்யப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், பெருக்கல் அதன் குணகங்களின் வகுப்பினரால் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் LCM(6, 3, 1)=6 ஆல் பெருக்கப்பட்டால், அது x 2 +4·x−18=0 என்ற எளிய வடிவத்தை எடுக்கும்.

இந்த புள்ளியின் முடிவில், இருபுறமும் −1 ஆல் பெருக்க (அல்லது வகுத்தல்) ஒத்த அனைத்து சொற்களின் அறிகுறிகளையும் மாற்றுவதன் மூலம் அவை எப்போதும் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் மிக உயர்ந்த குணகத்தில் கழித்தலை அகற்றுவதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, பொதுவாக ஒன்று −2 x 2 -3 x+7=0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டிலிருந்து 2 x 2 +3 x−7=0 தீர்வுக்கு நகரும்.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையிலான உறவு

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம் அதன் குணகங்களின் மூலம் சமன்பாட்டின் வேர்களை வெளிப்படுத்துகிறது. ரூட் சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், நீங்கள் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையில் மற்ற உறவுகளைப் பெறலாம்.

வியட்டாவின் தேற்றத்திலிருந்து மிகவும் நன்கு அறியப்பட்ட மற்றும் பொருந்தக்கூடிய சூத்திரங்கள் வடிவம் மற்றும் . குறிப்பாக, கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு, வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் இரண்டாவது குணகத்திற்குச் சமமாக இருக்கும், மேலும் வேர்களின் பெருக்கல் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமம். எடுத்துக்காட்டாக, 3 x 2 -7 x + 22 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் வடிவத்தின் மூலம், அதன் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை 7/3 க்கு சமம் என்றும், வேர்களின் பலன் 22/3 என்றும் கூறலாம்.

ஏற்கனவே எழுதப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையில் பல இணைப்புகளைப் பெறலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையை அதன் குணகங்கள் மூலம் வெளிப்படுத்தலாம்: .

குறிப்புகள்.

• இயற்கணிதம்:பாடநூல் 8 ஆம் வகுப்புக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள் / [யு. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; திருத்தியது எஸ். ஏ. டெலியாகோவ்ஸ்கி. - 16வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2008. - 271 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி.இயற்கணிதம். 8 ஆம் வகுப்பு. மதியம் 2 மணிக்கு பகுதி 1. மாணவர்களுக்கான பாடநூல் கல்வி நிறுவனங்கள்/ ஏ.ஜி. மோர்ட்கோவிச். - 11வது பதிப்பு, அழிக்கப்பட்டது. - எம்.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Kopyevskaya கிராமப்புற மேல்நிலைப் பள்ளி

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான 10 வழிகள்

தலைவர்: பாட்ரிகீவா கலினா அனடோலியேவ்னா,

கணித ஆசிரியர்

கிராமம் கோபேவோ, 2007

1. இருபடி சமன்பாடுகளின் வளர்ச்சியின் வரலாறு

1.1 பண்டைய பாபிலோனில் இருபடி சமன்பாடுகள்

1.2 இருபடி சமன்பாடுகளை டையோபாண்டஸ் எவ்வாறு உருவாக்கி தீர்த்தார்

1.3 இந்தியாவில் இருபடி சமன்பாடுகள்

1.4 அல்-கோரெஸ்மியின் இருபடி சமன்பாடுகள்

1.5 ஐரோப்பா XIII - XVII நூற்றாண்டுகளில் இருபடிச் சமன்பாடுகள்

1.6 வியட்டா தேற்றம் பற்றி

2. இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

முடிவுரை

இலக்கியம்

1. இருபடி சமன்பாடுகளின் வளர்ச்சியின் வரலாறு

1.1 பண்டைய பாபிலோனில் இருபடி சமன்பாடுகள்

முதல் சமன்பாடுகளை மட்டுமல்ல, இரண்டாவது பட்டத்தையும் தீர்க்க வேண்டிய அவசியம், பண்டைய காலங்களில் கூட, நில அடுக்குகளைக் கண்டறிவது மற்றும் இராணுவத் தன்மையின் அகழ்வாராய்ச்சி வேலைகள் தொடர்பான சிக்கல்களைத் தீர்க்க வேண்டியதன் அவசியத்தால் ஏற்பட்டது. வானியல் மற்றும் கணிதத்தின் வளர்ச்சியைப் போலவே. கிமு 2000 வாக்கில் இருபடி சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படலாம். இ. பாபிலோனியர்கள்.

நவீன இயற்கணிதக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, அவற்றின் கியூனிஃபார்ம் நூல்களில் முழுமையற்றவற்றைத் தவிர, எடுத்துக்காட்டாக, முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகள் உள்ளன என்று நாம் கூறலாம்:

எக்ஸ் 2 + எக்ஸ் = ¾; எக்ஸ் 2 - எக்ஸ் = 14,5

இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான விதி, பாபிலோனிய நூல்களில் அமைக்கப்பட்டுள்ளது, அடிப்படையில் நவீனத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, ஆனால் பாபிலோனியர்கள் இந்த விதிக்கு எப்படி வந்தார்கள் என்பது தெரியவில்லை. இதுவரை கண்டுபிடிக்கப்பட்ட அனைத்து கியூனிஃபார்ம் நூல்களும் சமையல் வடிவில் உள்ள தீர்வுகளில் உள்ள சிக்கல்களை மட்டுமே வழங்குகின்றன, அவை எவ்வாறு கண்டுபிடிக்கப்பட்டன என்பதற்கான எந்த அறிகுறியும் இல்லை.

பாபிலோனில் இயற்கணிதத்தின் உயர் மட்ட வளர்ச்சி இருந்தபோதிலும், கியூனிஃபார்ம் நூல்களில் எதிர்மறை எண்ணின் கருத்து இல்லை மற்றும் பொது முறைகள்இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

1.2 இருபடி சமன்பாடுகளை டையோபாண்டஸ் எவ்வாறு உருவாக்கி தீர்த்தார்.

Diophantus இன் எண்கணிதமானது இயற்கணிதத்தின் முறையான விளக்கத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை, ஆனால் இது ஒரு முறையான தொடர் சிக்கல்களைக் கொண்டுள்ளது, விளக்கங்களுடன் சேர்ந்து பல்வேறு அளவுகளின் சமன்பாடுகளை உருவாக்குவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது.

சமன்பாடுகளை உருவாக்கும் போது, ​​தீர்வை எளிமையாக்க, தெரியாதவர்களை டயோபாண்டஸ் திறமையாக தேர்ந்தெடுக்கிறார்.

இங்கே, எடுத்துக்காட்டாக, அவரது பணிகளில் ஒன்றாகும்.

பிரச்சனை 11."இரண்டு எண்களைக் கண்டுபிடி, அவற்றின் கூட்டுத்தொகை 20 மற்றும் அவற்றின் தயாரிப்பு 96"

Diophantus பின்வருமாறு காரணங்கள்: பிரச்சனையின் நிலைமைகளில் இருந்து, தேவையான எண்கள் சமமாக இல்லை, ஏனெனில் அவை சமமாக இருந்தால், அவற்றின் தயாரிப்பு 96 க்கு சமமாக இருக்காது, ஆனால் 100 ஆக இருக்கும். இதனால், அவற்றில் ஒன்று அதிகமாக இருக்கும். அவற்றின் தொகையில் பாதி, அதாவது. 10 + x, மற்றொன்று குறைவாக உள்ளது, அதாவது. 10கள். அவர்களுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு 2x .

எனவே சமன்பாடு:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

இங்கிருந்து x = 2. தேவையான எண்களில் ஒன்று சமம் 12 , மற்றவை 8 . தீர்வு x = -2கிரேக்க கணிதம் நேர்மறை எண்களை மட்டுமே அறிந்திருந்ததால், டையோபாண்டஸ் இல்லை.

தெரியாத எண்களில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுத்து இந்த சிக்கலைத் தீர்த்தால், சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுக்கு வருவோம்.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

தேவையான எண்களின் அரை-வேறுபாட்டை அறியாததாகத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், டியோபாண்டஸ் தீர்வை எளிதாக்குகிறார் என்பது தெளிவாகிறது; முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டை (1) தீர்க்கும் சிக்கலைக் குறைக்க அவர் நிர்வகிக்கிறார்.

1.3 இந்தியாவில் இருபடி சமன்பாடுகள்

இந்திய கணிதவியலாளரும் வானவியலாளருமான ஆர்யபட்டாவால் 499 இல் தொகுக்கப்பட்ட “ஆர்யப்பட்டியம்” என்ற வானியல் ஆய்வுக் கட்டுரையில் இருபடிச் சமன்பாடுகளில் உள்ள சிக்கல்கள் ஏற்கனவே காணப்படுகின்றன. மற்றொரு இந்திய விஞ்ஞானியான பிரம்மகுப்தா (7ஆம் நூற்றாண்டு) கோடிட்டுக் காட்டினார் பொது விதிஇருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள் ஒற்றை நியதி வடிவத்திற்கு குறைக்கப்பட்டது:

ஆ 2+ பி x = c, a > 0. (1)

சமன்பாட்டில் (1), குணகங்கள், தவிர ஏ, எதிர்மறையாகவும் இருக்கலாம். பிரம்மகுப்தரின் ஆட்சி அடிப்படையில் நம்முடையது போலவே உள்ளது.

IN பண்டைய இந்தியாகடினமான பிரச்சினைகளைத் தீர்ப்பதில் பொதுப் போட்டிகள் பொதுவானவை. பழைய இந்திய புத்தகங்களில் ஒன்று இத்தகைய போட்டிகளைப் பற்றி பின்வருமாறு கூறுகிறது: “சூரியன் தனது பிரகாசத்தால் நட்சத்திரங்களை மறைப்பது போல, கற்ற மனிதன்மற்றொருவரின் மகிமையை மறைத்துவிடும் மக்கள் கூட்டங்கள், இயற்கணித சிக்கல்களை முன்மொழிதல் மற்றும் தீர்ப்பது." பிரச்சினைகள் பெரும்பாலும் கவிதை வடிவில் வழங்கப்படுகின்றன.

12ஆம் நூற்றாண்டின் புகழ்பெற்ற இந்தியக் கணிதவியலாளரின் பிரச்சினைகளில் இதுவும் ஒன்று. பாஸ்கர்ஸ்.

பிரச்சனை 13.

"விறுவிறுப்பான குரங்குகளின் கூட்டம், கொடிகளுடன் பன்னிரண்டு ...

அதிகாரிகள், சாப்பிட்டு, வேடிக்கை பார்த்தனர். அவர்கள் குதித்து, தொங்க ஆரம்பித்தனர் ...

சதுக்கத்தில் அவை உள்ளன, பகுதி எட்டு எத்தனை குரங்குகள் இருந்தன?

நான் வெட்டவெளியில் வேடிக்கை பார்த்துக் கொண்டிருந்தேன். சொல்லுங்கள், இந்த பேக்கில்?

பாஸ்கராவின் தீர்வு இருபடி சமன்பாடுகளின் வேர்கள் இரண்டு மதிப்புடையவை என்பதை அவர் அறிந்திருப்பதைக் குறிக்கிறது (படம் 3).

சிக்கல் 13 உடன் தொடர்புடைய சமன்பாடு:

( x /8) 2 + 12 = x

பாஸ்கரா என்ற போர்வையில் எழுதுகிறார்:

x 2 - 64x = -768

மற்றும், இந்த சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை சதுரமாக முடிக்க, இரு பக்கங்களிலும் சேர்க்கிறது 32 2 , பிறகு பெறுவது:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 அல் - கோரெஸ்மியில் இருபடி சமன்பாடுகள்

அல்-கோரெஸ்மியின் இயற்கணிதக் கட்டுரையில், நேரியல் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளின் வகைப்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஆசிரியர் 6 வகையான சமன்பாடுகளைக் கணக்கிடுகிறார், அவற்றை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்துகிறார்:

1) "சதுரங்கள் வேர்களுக்கு சமம்," அதாவது. கோடாரி 2 + c = பி எக்ஸ்.

2) "சதுரங்கள் எண்களுக்கு சமம்", அதாவது. கோடாரி 2 = c.

3) "வேர்கள் எண்ணிக்கைக்கு சமம்," அதாவது. ஆ = கள்.

4) "சதுரங்களும் எண்களும் வேர்களுக்குச் சமம்," அதாவது. கோடாரி 2 + c = பி எக்ஸ்.

5) "சதுரங்கள் மற்றும் வேர்கள் எண்களுக்கு சமம்," அதாவது. ஆ 2+ bx = எஸ்.

6) "வேர்கள் மற்றும் எண்கள் சதுரங்களுக்கு சமம்," அதாவது. bx + c = கோடாரி 2 .

எதிர்மறை எண்களைப் பயன்படுத்துவதைத் தவிர்த்த அல்-கோரெஸ்மிக்கு, இந்தச் சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றின் விதிமுறைகளும் கூட்டல்களே தவிர கழித்தல் அல்ல. இந்த வழக்கில், நேர்மறையான தீர்வுகள் இல்லாத சமன்பாடுகள் வெளிப்படையாக கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுவதில்லை. அல்-ஜப்ர் மற்றும் அல்-முகபாலா நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறைகளை ஆசிரியர் குறிப்பிடுகிறார். அவருடைய முடிவுகள், நிச்சயமாக, நம்முடைய முடிவுகளுடன் முழுமையாக ஒத்துப்போவதில்லை. இது முற்றிலும் சொல்லாட்சி என்று குறிப்பிட தேவையில்லை, எடுத்துக்காட்டாக, முதல் வகையின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

அல்-கோரெஸ்மி, 17 ஆம் நூற்றாண்டுக்கு முந்தைய அனைத்து கணிதவியலாளர்களைப் போலவே, பூஜ்ஜிய தீர்வை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளவில்லை, ஒருவேளை குறிப்பிட்ட நடைமுறை சிக்கல்களில் இது ஒரு பொருட்டல்ல. முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​அல்-கோரெஸ்மி குறிப்பிட்ட எண் உதாரணங்களைப் பயன்படுத்தி அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான விதிகளை அமைக்கிறார், பின்னர் வடிவியல் சான்றுகள்.

பிரச்சனை 14."சதுரம் மற்றும் எண் 21 ஆகியவை 10 வேர்களுக்கு சமம். மூலத்தைக் கண்டுபிடி" (x 2 + 21 = 10x சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் குறிக்கிறது).

ஆசிரியரின் தீர்வு இது போன்றது: வேர்களின் எண்ணிக்கையை பாதியாகப் பிரிக்கவும், நீங்கள் 5 ஐப் பெறுவீர்கள், 5 ஐப் பெருக்கவும், தயாரிப்பிலிருந்து 21 ஐக் கழிக்கவும், மீதமுள்ளது 4. 4 இலிருந்து ரூட்டை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், உங்களுக்கு 2 கிடைக்கும். 5 இலிருந்து 2 ஐக் கழிக்கவும். , உங்களுக்கு 3 கிடைக்கும், இதுவே விரும்பிய ரூட்டாக இருக்கும். அல்லது 2-ஐ 5-ஐக் கூட்டினால், 7-ஐக் கொடுக்கும், இதுவும் ஒரு ரூட்.

அல்-கோரெஸ்மியின் கட்டுரை நமக்கு வந்த முதல் புத்தகம், இது இருபடி சமன்பாடுகளின் வகைப்பாட்டை முறையாக அமைக்கிறது மற்றும் அவற்றின் தீர்வுக்கான சூத்திரங்களை வழங்குகிறது.

ஐரோப்பாவில் 1.5 இருபடி சமன்பாடுகள் XIII - XVII பிபி

ஐரோப்பாவில் அல்-கோரெஸ்மியின் கோடுகளுடன் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள் முதன்முதலில் இத்தாலிய கணிதவியலாளர் லியோனார்டோ ஃபிபோனாச்சியால் 1202 இல் எழுதப்பட்ட அபாகஸ் புத்தகத்தில் அமைக்கப்பட்டன. இஸ்லாமிய நாடுகள் மற்றும் கணிதத்தின் செல்வாக்கை பிரதிபலிக்கும் இந்த மிகப்பெரிய வேலை பண்டைய கிரீஸ், விளக்கக்காட்சியின் முழுமை மற்றும் தெளிவு ஆகிய இரண்டாலும் வேறுபடுகிறது. ஆசிரியர் சுயாதீனமாக சில புதியவற்றை உருவாக்கினார் இயற்கணித எடுத்துக்காட்டுகள்சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது மற்றும் எதிர்மறை எண்களை அறிமுகப்படுத்திய முதல் ஐரோப்பாவாகும். அவரது புத்தகம் இத்தாலியில் மட்டுமல்ல, ஜெர்மனி, பிரான்ஸ் மற்றும் பிற ஐரோப்பிய நாடுகளிலும் இயற்கணித அறிவைப் பரப்புவதற்கு பங்களித்தது. அபாகஸ் புத்தகத்திலிருந்து பல சிக்கல்கள் 16 - 17 ஆம் நூற்றாண்டுகளின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து ஐரோப்பிய பாடப்புத்தகங்களிலும் பயன்படுத்தப்பட்டன. மற்றும் பகுதி XVIII.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான விதி ஒற்றை நியமன வடிவத்திற்குக் குறைக்கப்பட்டது:

x 2 + bx = c,

குணக அறிகுறிகளின் சாத்தியமான அனைத்து சேர்க்கைகளுக்கும் பி , உடன்ஐரோப்பாவில் 1544 இல் M. ஸ்டீஃபல் மட்டுமே உருவாக்கினார்.

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை பொது வடிவத்தில் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல் Vieth இலிருந்து கிடைக்கிறது, ஆனால் Vieth நேர்மறை வேர்களை மட்டுமே அங்கீகரித்தது. இத்தாலிய கணிதவியலாளர்கள் டார்டாக்லியா, கார்டானோ, பொம்பெல்லி ஆகியோர் 16 ஆம் நூற்றாண்டில் முதன்மையானவர்கள். நேர்மறைக்கு கூடுதலாக, எதிர்மறை வேர்களும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. 17 ஆம் நூற்றாண்டில் மட்டுமே. ஜிரார்ட், டெஸ்கார்ட்ஸ், நியூட்டன் மற்றும் பிற விஞ்ஞானிகளின் பணிக்கு நன்றி, இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் முறை நவீன வடிவத்தை எடுக்கும்.

1.6 வியட்டா தேற்றம் பற்றி

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் குணகங்களுக்கும் அதன் வேர்களுக்கும் இடையிலான உறவை வெளிப்படுத்தும் தேற்றம், வியட்டாவின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டது, 1591 இல் அவர் முதன்முறையாக பின்வருமாறு உருவாக்கப்பட்டது: “என்றால் பி + டி, பெருக்கப்படுகிறது ஏ - ஏ 2 , சமம் BD, அது ஏசமம் INமற்றும் சமமானது டி ».

வியட்டாவைப் புரிந்து கொள்ள, நாம் அதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும் ஏ, எந்த உயிர் எழுத்தைப் போலவே, தெரியாததைக் குறிக்கிறது (எங்கள் எக்ஸ்), உயிரெழுத்துக்கள் IN, டி- தெரியாதவர்களுக்கான குணகங்கள். நவீன இயற்கணிதத்தின் மொழியில், மேலே உள்ள வியட்டா உருவாக்கம் என்றால்: இருந்தால்

(a + பி )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + பி )x + a பி = 0,

x 1 = a, x 2 = பி .

சமன்பாடுகளின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையிலான உறவை வெளிப்படுத்துதல் பொது சூத்திரங்கள், குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி எழுதப்பட்ட வியட் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் முறைகளில் சீரான தன்மையை நிறுவியது. இருப்பினும், வியட் சின்னம் இன்னும் வெகு தொலைவில் உள்ளது நவீன தோற்றம். அவர் எதிர்மறை எண்களை அடையாளம் காணவில்லை, எனவே, சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​அனைத்து வேர்களும் நேர்மறையாக இருக்கும் நிகழ்வுகளை மட்டுமே அவர் கருதினார்.

2. இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

இருபடிச் சமன்பாடுகள் இயற்கணிதத்தின் கம்பீரமான கட்டிடம் தங்கியிருக்கும் அடித்தளமாகும். முக்கோணவியல், அதிவேக, மடக்கை, பகுத்தறிவற்ற மற்றும் ஆழ்நிலை சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதில் இருபடிச் சமன்பாடுகள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை நாம் அனைவரும் அறிவோம் பள்ளி நாட்கள்(8 ஆம் வகுப்பு), பட்டப்படிப்பு வரை.

", அதாவது, முதல் பட்டத்தின் சமன்பாடுகள். இந்த பாடத்தில் நாம் பார்ப்போம் இருபடி சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறதுமற்றும் அதை எவ்வாறு தீர்ப்பது.

இருபடிச் சமன்பாடு என்றால் என்ன?

முக்கியமானது!

ஒரு சமன்பாட்டின் அளவு அறியப்படாதது எந்த அளவிற்கு உயர்ந்தது என்பதை தீர்மானிக்கிறது.

அறியப்படாத அதிகபட்ச சக்தி "2" என்றால், உங்களிடம் இருபடி சமன்பாடு உள்ளது.

இருபடி சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

முக்கியமானது! இருபடி சமன்பாட்டின் பொதுவான வடிவம் இதுபோல் தெரிகிறது:

A x 2 + b x + c = 0

• "a" என்பது முதல் அல்லது மிக உயர்ந்த குணகம்;
• "b" என்பது இரண்டாவது குணகம்;
• "c" என்பது ஒரு இலவச சொல்.

"a", "b" மற்றும் "c" ஆகியவற்றைக் கண்டறிய, உங்கள் சமன்பாட்டை "ax 2 + bx + c = 0" என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் பொதுவான வடிவத்துடன் ஒப்பிட வேண்டும்.

இருபடி சமன்பாடுகளில் "a", "b" மற்றும் "c" குணகங்களை நிர்ணயிப்பதை பயிற்சி செய்வோம்.

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது

போலல்லாமல் நேரியல் சமன்பாடுகள்இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க, ஒரு சிறப்பு வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம்.

நினைவில் கொள்ளுங்கள்!

இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, உங்களுக்கு இது தேவைப்படும்:

• இருபடி சமன்பாட்டை குறைக்கவும் பொது தோற்றம்"ax 2 + bx + c = 0".
• அதாவது, வலது பக்கத்தில் "0" மட்டுமே இருக்க வேண்டும்;

வேர்களுக்கு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிய சூத்திரத்தை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

X 2 - 3x - 4 = 0 "x 2 - 3x - 4 = 0" என்ற சமன்பாடு ஏற்கனவே "ax 2 + bx + c = 0" என்ற பொது வடிவத்திற்குக் குறைக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் கூடுதல் எளிமைப்படுத்தல் தேவையில்லை. அதைத் தீர்க்க, நாம் விண்ணப்பிக்க வேண்டும்.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம்

x 1;2 =

எந்த இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்க இதைப் பயன்படுத்தலாம்.
"x 1;2 =" சூத்திரத்தில் தீவிர வெளிப்பாடு அடிக்கடி மாற்றப்படுகிறது

"D" என்ற எழுத்துக்கான "b 2 - 4ac" மற்றும் பாரபட்சம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு பாகுபாடு பற்றிய கருத்து "பாகுபாடு என்றால் என்ன" என்ற பாடத்தில் இன்னும் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகிறது.

இருபடி சமன்பாட்டின் மற்றொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

இந்த வடிவத்தில், "a", "b" மற்றும் "c" குணகங்களை தீர்மானிப்பது மிகவும் கடினம். முதலில் சமன்பாட்டை "ax 2 + bx + c = 0" என்ற பொது வடிவத்திற்குக் குறைப்போம்.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

இப்போது நீங்கள் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு வேர்கள் இல்லாத நேரங்களும் உண்டு. சூத்திரம் மூலத்தின் கீழ் எதிர்மறை எண்ணைக் கொண்டிருக்கும்போது இந்த நிலை ஏற்படுகிறது.

IN நவீன சமூகம்ஒரு மாறி ஸ்கொயர் கொண்ட சமன்பாடுகளுடன் செயல்பாடுகளைச் செய்யும் திறன் செயல்பாட்டின் பல பகுதிகளில் பயனுள்ளதாக இருக்கும் மற்றும் அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்ப முன்னேற்றங்களில் நடைமுறையில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. கடல் மற்றும் நதிக் கப்பல்கள், விமானங்கள் மற்றும் ராக்கெட்டுகளின் வடிவமைப்பில் இதற்கான சான்றுகள் உள்ளன. இத்தகைய கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தி, பெரும்பாலான இயக்கத்தின் பாதைகள் வெவ்வேறு உடல்கள், விண்வெளி பொருட்கள் உட்பட. இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள் பொருளாதார முன்கணிப்பில், கட்டிடங்களின் வடிவமைப்பு மற்றும் கட்டுமானத்தில் மட்டுமல்ல, மிகவும் சாதாரண அன்றாட சூழ்நிலைகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஹைகிங் பயணங்கள், விளையாட்டு நிகழ்வுகள், கடைகளில் வாங்கும் போது மற்றும் பிற பொதுவான சூழ்நிலைகளில் அவை தேவைப்படலாம்.

வெளிப்பாட்டை அதன் கூறு காரணிகளாக உடைப்போம்

ஒரு சமன்பாட்டின் அளவு, வெளிப்பாடு கொண்டிருக்கும் மாறியின் பட்டத்தின் அதிகபட்ச மதிப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இது 2 க்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாடு இருபடி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நாம் சூத்திரங்களின் மொழியில் பேசினால், சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வெளிப்பாடுகள், அவை எப்படித் தோன்றினாலும், வெளிப்பாட்டின் இடது பக்கம் மூன்று சொற்களைக் கொண்டிருக்கும்போது எப்போதும் வடிவத்திற்கு கொண்டு வர முடியும். அவற்றில்: கோடாரி 2 (அதாவது, அதன் குணகத்துடன் ஒரு மாறி ஸ்கொயர்), bx (அதன் குணகத்துடன் சதுரம் இல்லாதது) மற்றும் c (ஒரு இலவச கூறு, அதாவது ஒரு சாதாரண எண்). வலதுபுறத்தில் உள்ள இவை அனைத்தும் 0 க்கு சமமாக இருக்கும். அத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவையில் அதன் உட்கூறு சொற்களில் ஒன்று இல்லாத நிலையில், கோடாரி 2 தவிர, அது முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு எனப்படும். இத்தகைய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள், எளிதில் கண்டுபிடிக்கக்கூடிய மாறிகளின் மதிப்புகள் முதலில் கருதப்பட வேண்டும்.

வெளிப்பாட்டில் வலது பக்கத்தில் இரண்டு சொற்கள் இருப்பது போல் தோன்றினால், இன்னும் துல்லியமாக ax 2 மற்றும் bx, x ஐக் கண்டுபிடிப்பதற்கான எளிதான வழி, அடைப்புக்குறிக்குள் மாறியை வைப்பதாகும். இப்போது நமது சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்: x(ax+b). அடுத்து, x=0, அல்லது சிக்கல் பின்வரும் வெளிப்பாட்டிலிருந்து மாறியைக் கண்டறிவதில் வரும் என்பது தெளிவாகிறது: ax+b=0. இது பெருக்கத்தின் பண்புகளில் ஒன்றால் கட்டளையிடப்படுகிறது. இரண்டு காரணிகளின் பலன்களில் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே 0 இல் விளைகிறது என்று விதி கூறுகிறது.

உதாரணம்

x=0 அல்லது 8x - 3 = 0

இதன் விளைவாக, சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்களைப் பெறுகிறோம்: 0 மற்றும் 0.375.

இந்த வகையான சமன்பாடுகள் புவியீர்ப்பு செல்வாக்கின் கீழ் உடல்களின் இயக்கத்தை விவரிக்க முடியும், இது ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றமாக எடுக்கப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியிலிருந்து நகரத் தொடங்கியது. இங்கே கணிதக் குறியீடு பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்: y = v 0 t + gt 2/2. தேவையான மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம், வலது பக்கத்தை 0 க்கு சமன் செய்வதன் மூலம் மற்றும் தெரியாதவற்றைக் கண்டறிவதன் மூலம், உடல் உயரும் தருணத்திலிருந்து அது விழும் வரை கடந்து செல்லும் நேரத்தையும், பல அளவுகளையும் நீங்கள் கண்டுபிடிக்கலாம். ஆனால் இதைப் பற்றி பின்னர் பேசுவோம்.

ஒரு வெளிப்பாட்டைக் காரணியாக்குதல்

மேலே விவரிக்கப்பட்ட விதி இந்த சிக்கல்களை மிகவும் சிக்கலான நிகழ்வுகளில் தீர்க்க உதவுகிறது. இந்த வகை இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

X 2 - 33x + 200 = 0

இது இருபடி முக்கோணம்முழுமையானது. முதலில், வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம் மற்றும் காரணிகளாக காரணிகளாக மாற்றுவோம். அவற்றில் இரண்டு உள்ளன: (x-8) மற்றும் (x-25) = 0. இதன் விளைவாக, நமக்கு இரண்டு வேர்கள் 8 மற்றும் 25 உள்ளன.

தரம் 9 இல் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள், இந்த முறையானது, இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது வரிசைகளின் வெளிப்பாடுகளில் ஒரு மாறியைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டாக: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. வலது பக்கத்தை ஒரு மாறியுடன் காரணிகளாக மாற்றும்போது, ​​அவற்றில் மூன்று உள்ளன, அதாவது (x+1), (x-3) மற்றும் (x+ 3)

இதன் விளைவாக, அது தெளிவாகிறது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுமூன்று வேர்கள் உள்ளன: -3; -1; 3.

சதுர வேர்

முழுமையடையாத இரண்டாம்-வரிசை சமன்பாட்டின் மற்றொரு நிகழ்வு, எழுத்துகளின் மொழியில் குறிப்பிடப்படும் ஒரு வெளிப்பாடாகும், இது வலதுபுறம் கோடாரி 2 மற்றும் c கூறுகளிலிருந்து கட்டமைக்கப்படுகிறது. இங்கே, மாறியின் மதிப்பைப் பெற, இலவச சொல் மாற்றப்படுகிறது வலது பக்கம், அதன் பிறகு வர்க்கமூலம் சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களிலிருந்தும் எடுக்கப்படுகிறது. இல் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் இந்த வழக்கில்சமன்பாட்டில் பொதுவாக இரண்டு வேர்கள் உள்ளன. ஒரே விதிவிலக்கு என்பது ஒரு சொல்லைக் கொண்டிருக்காத சமத்துவங்களாக இருக்கலாம், அங்கு மாறி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், அதே போல் வலது பக்கம் எதிர்மறையாக மாறும் போது வெளிப்பாடுகளின் மாறுபாடுகள். பிந்தைய வழக்கில், மேலே உள்ள செயல்களை வேர்கள் மூலம் செய்ய முடியாது என்பதால், தீர்வுகள் எதுவும் இல்லை. இந்த வகை இருபடி சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

இந்த வழக்கில், சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்கள் -4 மற்றும் 4 ஆக இருக்கும்.

நிலப்பரப்பின் கணக்கீடு

இந்த வகையான கணக்கீடுகளின் தேவை பண்டைய காலங்களில் தோன்றியது, ஏனென்றால் அந்த தொலைதூர காலங்களில் கணிதத்தின் வளர்ச்சி பெரும்பாலும் நில அடுக்குகளின் பகுதிகள் மற்றும் சுற்றளவுகளை மிகத் துல்லியமாக தீர்மானிக்க வேண்டியதன் அவசியத்தால் தீர்மானிக்கப்பட்டது.

இந்த வகையான சிக்கல்களின் அடிப்படையில் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணங்களையும் நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

எனவே, ஒரு செவ்வக நிலம் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம், அதன் நீளம் அகலத்தை விட 16 மீட்டர் அதிகமாகும். தளத்தின் பரப்பளவு 612 மீ 2 என்று உங்களுக்குத் தெரிந்தால், தளத்தின் நீளம், அகலம் மற்றும் சுற்றளவு ஆகியவற்றை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

தொடங்குவதற்கு, முதலில் தேவையான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம். பகுதியின் அகலத்தை x ஆல் குறிப்போம், அதன் நீளம் (x+16) இருக்கும். எழுதப்பட்டவற்றிலிருந்து, பகுதி x(x+16) என்ற வெளிப்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, இது எங்கள் பிரச்சனையின் நிபந்தனைகளின்படி, 612 ஆகும். இதன் பொருள் x(x+16) = 612.

முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது, மற்றும் இந்த வெளிப்பாடு சரியாக உள்ளது, அதே வழியில் செய்ய முடியாது. ஏன்? இடது பக்கம் இன்னும் இரண்டு காரணிகளைக் கொண்டிருந்தாலும், அவற்றின் தயாரிப்பு 0 க்கு சமமாக இல்லை, எனவே வெவ்வேறு முறைகள் இங்கே பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பாகுபாடு காட்டுபவர்

முதலில், தேவையான மாற்றங்களைச் செய்வோம் தோற்றம்இந்த வெளிப்பாட்டின் தோற்றம் இப்படி இருக்கும்: x 2 + 16x - 612 = 0. இதன் பொருள் முன்பு குறிப்பிடப்பட்ட தரநிலையுடன் தொடர்புடைய வடிவத்தில் ஒரு வெளிப்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம், அங்கு a=1, b=16, c=-612.

ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. இங்கே தேவையான கணக்கீடுகள்திட்டத்தின் படி உற்பத்தி செய்யப்படுகிறது: D = b 2 - 4ac. இந்த துணை அளவு, இரண்டாவது வரிசை சமன்பாட்டில் தேவையான அளவுகளை கண்டுபிடிப்பது மட்டுமல்லாமல், சாத்தியமான விருப்பங்களின் எண்ணிக்கையையும் தீர்மானிக்கிறது. D>0 எனில், அவற்றில் இரண்டு உள்ளன; D=0 க்கு ஒரு ரூட் உள்ளது. வழக்கில் டி<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

வேர்கள் மற்றும் அவற்றின் சூத்திரம் பற்றி

எங்கள் விஷயத்தில், பாரபட்சமானது இதற்குச் சமம்: 256 - 4(-612) = 2704. இது எங்கள் பிரச்சனைக்கு விடை உள்ளது என்று தெரிவிக்கிறது. உங்களுக்கு k தெரிந்தால், இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வு கீழே உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தொடர வேண்டும். இது வேர்களைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது.

இதன் பொருள் வழங்கப்பட்ட வழக்கில்: x 1 =18, x 2 =-34. இந்த இக்கட்டான சூழ்நிலையில் இரண்டாவது விருப்பம் ஒரு தீர்வாக இருக்க முடியாது, ஏனென்றால் நிலத்தின் பரிமாணங்களை எதிர்மறையான அளவுகளில் அளவிட முடியாது, அதாவது x (அதாவது, சதித்திட்டத்தின் அகலம்) 18 மீ +16=34, மற்றும் சுற்றளவு 2(34+ 18)=104(மீ2).

எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் பணிகள்

இருபடிச் சமன்பாடுகள் பற்றிய ஆய்வைத் தொடர்கிறோம். அவற்றில் பலவற்றின் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் விரிவான தீர்வுகள் கீழே கொடுக்கப்படும்.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

எல்லாவற்றையும் சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்திற்கு நகர்த்துவோம், மாற்றத்தை உருவாக்குவோம், அதாவது, வழக்கமாக நிலையானது என்று அழைக்கப்படும் சமன்பாட்டின் வகையைப் பெறுவோம், அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம்.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

ஒத்தவற்றைச் சேர்த்து, நாம் பாகுபாட்டைத் தீர்மானிக்கிறோம்: D = 49 - 48 = 1. இதன் பொருள் நமது சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும். மேலே உள்ள சூத்திரத்தின்படி அவற்றைக் கணக்கிடுவோம், அதாவது அவற்றில் முதலாவது 4/3 ஆகவும், இரண்டாவது 1 ஆகவும் இருக்கும்.

2) இப்போது வேறு வகையான மர்மங்களைத் தீர்ப்போம்.

இங்கே x 2 - 4x + 5 = 1 வேர்கள் உள்ளதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்? விரிவான பதிலைப் பெற, பல்லுறுப்புக்கோவையை தொடர்புடைய வழக்கமான வடிவத்திற்குக் குறைத்து, பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம். மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனெனில் இது சிக்கலின் சாராம்சம் அல்ல. இந்த வழக்கில், D = 16 - 20 = -4, அதாவது உண்மையில் வேர்கள் இல்லை.

வியட்டாவின் தேற்றம்

பிந்தையவற்றின் மதிப்பிலிருந்து வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக் கொள்ளும்போது, ​​மேற்கூறிய சூத்திரங்கள் மற்றும் பாகுபாடுகளைப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது வசதியானது. ஆனால் இது எப்போதும் நடக்காது. இருப்பினும், இந்த வழக்கில் மாறிகளின் மதிப்புகளைப் பெற பல வழிகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டு: வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. அவர் 16 ஆம் நூற்றாண்டில் பிரான்சில் வாழ்ந்தவர் மற்றும் அவரது கணிதத் திறமை மற்றும் நீதிமன்றத்தில் உள்ள தொடர்புகளுக்கு நன்றி தெரிவிக்கும் வகையில் ஒரு சிறந்த வாழ்க்கையை மேற்கொண்டார். அவரது உருவப்படத்தை கட்டுரையில் காணலாம்.

பிரபல பிரெஞ்சுக்காரர் கவனித்த முறை பின்வருமாறு. சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்களின் அடிப்படையில் -p=b/a ஐக் கூட்டுகின்றன, மேலும் அவற்றின் தயாரிப்பு q=c/a உடன் ஒத்துள்ளது என்பதை அவர் நிரூபித்தார்.

இப்போது குறிப்பிட்ட பணிகளைப் பார்ப்போம்.

3x 2 + 21x - 54 = 0

எளிமைக்காக, வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்:

x 2 + 7x - 18 = 0

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம், இது பின்வருவனவற்றைக் கொடுக்கும்: வேர்களின் கூட்டுத்தொகை -7, அவற்றின் தயாரிப்பு -18. இங்கிருந்து நாம் சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்கள் -9 மற்றும் 2 என்று பெறுகிறோம். சரிபார்த்த பிறகு, இந்த மாறி மதிப்புகள் உண்மையில் வெளிப்பாட்டிற்கு பொருந்துமா என்பதை உறுதி செய்வோம்.

பரவளைய வரைபடம் மற்றும் சமன்பாடு

இருபடிச் செயல்பாடு மற்றும் இருபடிச் சமன்பாடுகளின் கருத்துக்கள் நெருங்கிய தொடர்புடையவை. இதற்கான உதாரணங்கள் முன்பே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இப்போது சில கணிதப் புதிர்களை சற்று விரிவாகப் பார்ப்போம். விவரிக்கப்பட்ட வகையின் எந்த சமன்பாடும் பார்வைக்கு குறிப்பிடப்படலாம். ஒரு வரைபடமாக வரையப்பட்ட அத்தகைய உறவு, பரவளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதன் பல்வேறு வகைகள் கீழே உள்ள படத்தில் வழங்கப்பட்டுள்ளன.

எந்தவொரு பரவளையத்திற்கும் ஒரு உச்சி உள்ளது, அதாவது அதன் கிளைகள் வெளிப்படும் புள்ளி. a>0 எனில், அவை முடிவிலிக்கு உயரச் செல்கின்றன, எப்போது a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

செயல்பாடுகளின் காட்சிப் பிரதிநிதித்துவங்கள் இருபடி சமன்பாடுகள் உட்பட எந்த சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க உதவுகின்றன. இந்த முறை வரைகலை என்று அழைக்கப்படுகிறது. மற்றும் x என்ற மாறியின் மதிப்பு, வரைபடக் கோடு 0x உடன் வெட்டும் புள்ளிகளில் உள்ள abscissa ஒருங்கிணைப்பு ஆகும். x 0 = -b/2a கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உச்சியின் ஆயங்களைக் கண்டறியலாம். இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பை செயல்பாட்டின் அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுவதன் மூலம், நீங்கள் y 0 ஐக் கண்டறியலாம், அதாவது பரவளையத்தின் உச்சியின் இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பு, இது ஆர்டினேட் அச்சுக்கு சொந்தமானது.

abscissa அச்சுடன் ஒரு பரவளையத்தின் கிளைகளின் குறுக்குவெட்டு

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு நிறைய எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன, ஆனால் பொதுவான வடிவங்களும் உள்ளன. அவற்றைப் பார்ப்போம். a>0க்கான 0x அச்சுடன் வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு y 0 எடுத்தால் மட்டுமே சாத்தியமாகும் என்பது தெளிவாகிறது. எதிர்மறை மதிப்புகள். மற்றும் ஒரு<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. இல்லையெனில் டி<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

பரவளையத்தின் வரைபடத்திலிருந்து நீங்கள் வேர்களையும் தீர்மானிக்கலாம். இதற்கு நேர்மாறாகவும் உள்ளது. அதாவது, ஒரு இருபடிச் செயல்பாட்டின் காட்சிப் பிரதிநிதித்துவத்தைப் பெறுவது எளிதல்ல என்றால், வெளிப்பாட்டின் வலது பக்கத்தை 0க்கு சமன் செய்து அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கலாம். மற்றும் 0x அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளை அறிந்து, வரைபடத்தை உருவாக்குவது எளிது.

வரலாற்றில் இருந்து

ஒரு சதுர மாறியைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, பழைய நாட்களில் அவை கணிதக் கணக்கீடுகளை மட்டும் செய்யவில்லை மற்றும் வடிவியல் புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளை தீர்மானித்தன. இயற்பியல் மற்றும் வானியல் துறைகளில் மகத்தான கண்டுபிடிப்புகளுக்கும், ஜோதிட கணிப்புகளைச் செய்வதற்கும் பழங்காலங்களுக்கு இத்தகைய கணக்கீடுகள் தேவைப்பட்டன.

நவீன விஞ்ஞானிகள் கூறுவது போல், இருபடி சமன்பாடுகளை முதலில் தீர்த்தவர்களில் பாபிலோனில் வசிப்பவர்கள் இருந்தனர். இது நமது சகாப்தத்திற்கு நான்கு நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பு நடந்தது. நிச்சயமாக, அவர்களின் கணக்கீடுகள் தற்போது ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டவற்றிலிருந்து முற்றிலும் வேறுபட்டவை மற்றும் மிகவும் பழமையானவை. உதாரணமாக, மெசபடோமிய கணிதவியலாளர்களுக்கு எதிர்மறை எண்கள் இருப்பதைப் பற்றி எதுவும் தெரியாது. எந்தவொரு நவீன பள்ளி மாணவருக்கும் தெரிந்த பிற நுணுக்கங்களையும் அவர்கள் அறிந்திருக்கவில்லை.

ஒருவேளை பாபிலோனின் விஞ்ஞானிகளை விட முன்னதாகவே, இந்தியாவைச் சேர்ந்த பௌதயாமா முனிவர் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கத் தொடங்கினார். இது கிறிஸ்துவின் சகாப்தத்திற்கு சுமார் எட்டு நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பு நடந்தது. உண்மை, இரண்டாம் வரிசை சமன்பாடுகள், அவர் கொடுத்த தீர்வுக்கான முறைகள் எளிமையானவை. அவரைத் தவிர, சீனக் கணிதவியலாளர்களும் பழைய நாட்களில் இதே போன்ற கேள்விகளில் ஆர்வமாக இருந்தனர். ஐரோப்பாவில், இருபடி சமன்பாடுகள் 13 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் மட்டுமே தீர்க்கப்படத் தொடங்கின, ஆனால் பின்னர் அவை நியூட்டன், டெஸ்கார்ட்ஸ் மற்றும் பலர் போன்ற சிறந்த விஞ்ஞானிகளால் தங்கள் படைப்புகளில் பயன்படுத்தப்பட்டன.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்கள். உண்மையான, பல மற்றும் சிக்கலான வேர்களின் வழக்குகள் கருதப்படுகின்றன. ஒரு இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குதல். வடிவியல் விளக்கம். வேர்கள் மற்றும் காரணிகளை தீர்மானிப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்.

அடிப்படை சூத்திரங்கள்

இருபடிச் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
(1) .
இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள்(1) சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:
; .
இந்த சூத்திரங்களை இவ்வாறு இணைக்கலாம்:
.
ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் அறியப்படும் போது, ​​இரண்டாவது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை காரணிகளின் (காரணி) விளைபொருளாகக் குறிப்பிடப்படலாம்:
.

அடுத்து அவை உண்மையான எண்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
கருத்தில் கொள்வோம் இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு:
.
பாகுபாடு நேர்மறையாக இருந்தால், இருபடிச் சமன்பாடு (1) இரண்டு வெவ்வேறு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:
; .
பின்னர் இருபடி முக்கோணத்தின் காரணியாக்கம் வடிவம் கொண்டது:
.
பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், இருபடி சமன்பாடு (1) இரண்டு பல (சமமான) உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:
.
காரணியாக்கம்:
.
பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால், இருபடிச் சமன்பாடு (1) இரண்டு சிக்கலான இணைந்த வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:
;
.
இங்கே கற்பனை அலகு, ;
மற்றும் வேர்களின் உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகள்:
; .
பிறகு

.

கிராஃபிக் விளக்கம்

நீங்கள் செயல்பாட்டைத் திட்டமிட்டால்
,
இது ஒரு பரவளையமாகும், பின்னர் வரைபடத்தின் அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகள் சமன்பாட்டின் வேர்களாக இருக்கும்
.
இல், வரைபடம் x-அச்சு (அச்சு) இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
போது , வரைபடம் ஒரு புள்ளியில் x- அச்சைத் தொடும்.
எப்போது , வரைபடம் x- அச்சைக் கடக்காது.

அத்தகைய வரைபடங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே உள்ளன.

இருபடிச் சமன்பாடு தொடர்பான பயனுள்ள சூத்திரங்கள்

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

நாங்கள் மாற்றங்களைச் செய்து, சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம் (f.1) மற்றும் (f.3):




,
எங்கே
; .

எனவே, வடிவத்தில் இரண்டாவது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கான சூத்திரம் கிடைத்தது:
.
சமன்பாடு என்பதை இது காட்டுகிறது

இல் நிகழ்த்தப்பட்டது
மற்றும் .
அதாவது, மற்றும் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள்
.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைத் தீர்மானிப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

(1.1) .

தீர்வு

.
எங்கள் சமன்பாடு (1.1) உடன் ஒப்பிடுகையில், குணகங்களின் மதிப்புகளைக் காண்கிறோம்:
.
நாங்கள் பாகுபாட்டைக் காண்கிறோம்:
.
பாகுபாடு நேர்மறையாக இருப்பதால், சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:
;
;
.

இதிலிருந்து இருபடி முக்கோணத்தின் காரணியாக்கத்தைப் பெறுகிறோம்:

.

செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = 2 x 2 + 7 x + 3 x அச்சை இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.

செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுவோம்
.
இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு பரவளையமாகும். இது இரண்டு புள்ளிகளில் abscissa அச்சை (அச்சு) கடக்கிறது:
மற்றும் .
இந்த புள்ளிகள் அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள் (1.1).

பதில்

;
;
.

எடுத்துக்காட்டு 2

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்:
(2.1) .

தீர்வு

இருபடி சமன்பாட்டை பொது வடிவத்தில் எழுதுவோம்:
.
அசல் சமன்பாட்டுடன் (2.1) ஒப்பிடுகையில், குணகங்களின் மதிப்புகளைக் காண்கிறோம்:
.
நாங்கள் பாகுபாட்டைக் காண்கிறோம்:
.
பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், சமன்பாடு இரண்டு பல (சமமான) வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:
;
.

பின்னர் முக்கோணத்தின் காரணியாக்கம் வடிவம் கொண்டது:
.

y = x செயல்பாட்டின் வரைபடம் 2 - 4 x + 4ஒரு புள்ளியில் x அச்சை தொடுகிறது.

செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுவோம்
.
இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு பரவளையமாகும். இது ஒரு கட்டத்தில் x- அச்சை (அச்சு) தொடுகிறது:
.
இந்த புள்ளியானது அசல் சமன்பாட்டின் (2.1) வேர் ஆகும். இந்த ரூட் இரண்டு முறை காரணியாக இருப்பதால்:
,
அத்தகைய வேர் பொதுவாக பல என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதாவது, இரண்டு சம வேர்கள் இருப்பதாக அவர்கள் நம்புகிறார்கள்:
.

பதில்

;
.

எடுத்துக்காட்டு 3

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்:
(3.1) .

தீர்வு

இருபடி சமன்பாட்டை பொது வடிவத்தில் எழுதுவோம்:
(1) .
அசல் சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம் (3.1):
.
(1) உடன் ஒப்பிடுகையில், குணகங்களின் மதிப்புகளைக் காண்கிறோம்:
.
நாங்கள் பாகுபாட்டைக் காண்கிறோம்:
.
பாகுபாடு எதிர்மறையானது, .

எனவே உண்மையான வேர்கள் இல்லை.
;
;
.

நீங்கள் சிக்கலான வேர்களைக் காணலாம்:


.

பிறகு

செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுவோம்
.
செயல்பாட்டின் வரைபடம் x- அச்சைக் கடக்காது. உண்மையான வேர்கள் இல்லை.

பதில்

இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு பரவளையமாகும். இது x- அச்சை (அச்சு) வெட்டுவதில்லை. எனவே உண்மையான வேர்கள் இல்லை.
;
;
.