ลอการิทึม. ลอการิทึมทศนิยม ลอการิทึมทศนิยมคืออะไร? วิธีลบลอการิทึมทศนิยม

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

มาอธิบายให้ง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น \(\log_(2)(8)\) ต้องยกกำลัง \(2\) เป็นถึงจะได้ \(8\) จากนี้ จะเห็นได้ชัดว่า \(\log_(2)(8)=3\)

อาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมใดๆ มี "กายวิภาค" ดังต่อไปนี้:

อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมมักจะเขียนที่ระดับของมัน และฐานจะถูกเขียนด้วยตัวห้อยใกล้กับเครื่องหมายของลอการิทึม และรายการนี้อ่านได้ดังนี้: "ลอการิทึมของยี่สิบห้ายกฐานห้า"

วิธีการคำนวณลอการิทึม?

ในการคำนวณลอการิทึม คุณต้องตอบคำถาม: ควรยกฐานในระดับใดเพื่อรับอาร์กิวเมนต์

ตัวอย่างเช่นคำนวณลอการิทึม: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

ก) ต้องยกกำลังอะไร \(4\) จึงจะได้ \(16\)? เห็นได้ชัดว่าเป็นครั้งที่สอง นั่นเป็นเหตุผล:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) ต้องยกกำลังอะไร \(\sqrt(5)\) จึงจะได้ \(1\) และค่าใดที่ทำให้จำนวนใด ๆ เป็นหน่วย? ศูนย์แน่นอน!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

ง) ต้องยกกำลังอะไร \(\sqrt(7)\) จึงจะได้ \(\sqrt(7)\) ในครั้งแรก - ตัวเลขใด ๆ ในระดับแรกจะเท่ากับตัวมันเอง

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) ต้องยกกำลังอะไร \(3\) จึงจะได้ \(\sqrt(3)\) จากที่เราทราบว่าเป็นกำลังเศษส่วน ดังนั้นรากที่สองจึงเป็นกำลังของ \(\frac(1)(2)\)

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

ตัวอย่าง : คำนวณลอการิทึม \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

สารละลาย :

คำตอบ : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

ทำไมลอการิทึมจึงถูกประดิษฐ์ขึ้น?

เพื่อให้เข้าใจตรงกัน ลองแก้สมการ: \(3^(x)=9\) เพียงจับคู่ \(x\) เพื่อให้ความเท่าเทียมกันทำงาน แน่นอน \(x=2\)

ตอนนี้แก้สมการ: \(3^(x)=8\) x เท่ากับอะไร นั่นคือประเด็น

คนที่ฉลาดที่สุดจะพูดว่า: "X น้อยกว่าสองนิดหน่อย" ตัวเลขนี้เขียนอย่างไร? เพื่อตอบคำถามนี้ พวกเขาคิดลอการิทึมขึ้นมา ขอบคุณเขา คำตอบที่นี่สามารถเขียนเป็น \(x=\log_(3)(8)\)

ฉันต้องการเน้นว่า \(\log_(3)(8)\) เช่นเดียวกับ ลอการิทึมใดๆ เป็นเพียงตัวเลข. ใช่มันดูผิดปกติ แต่มันสั้น เพราะถ้าเราต้องการเขียนเป็นทศนิยม ก็จะได้แบบนี้ \(1.892789260714.....\)

ตัวอย่าง : แก้สมการ \(4^(5x-4)=10\)

สารละลาย :

คำตอบ : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

ทศนิยมและลอการิทึมธรรมชาติ

ตามที่ระบุไว้ในนิยามของลอการิทึม ฐานของมันสามารถเป็นจำนวนบวกใดๆ ก็ได้ ยกเว้นหนึ่ง \((a>0, a\neq1)\) และในบรรดาฐานที่เป็นไปได้ทั้งหมด มีสองฐานที่เกิดขึ้นบ่อยครั้งจนมีการคิดค้นสัญกรณ์แบบสั้นพิเศษสำหรับลอการิทึมร่วมกับฐานเหล่านั้น:

ลอการิทึมธรรมชาติ: ลอการิทึมที่มีฐานเป็นเลขออยเลอร์ \(e\) (เท่ากับประมาณ \(2.7182818…\)) และลอการิทึมเขียนเป็น \(\ln(a)\)

นั่นคือ, \(\ln(a)\) เหมือนกับ \(\log_(e)(a)\)

ลอการิทึมทศนิยม: ลอการิทึมที่มีฐานเป็น 10 เขียนเป็น \(\lg(a)\)

นั่นคือ, \(\lg(a)\) เหมือนกับ \(\log_(10)(a)\)โดยที่ \(a\) คือจำนวนจำนวนหนึ่ง

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

ลอการิทึมมีคุณสมบัติมากมาย หนึ่งในนั้นเรียกว่า "เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน" และมีลักษณะดังนี้:

คุณสมบัตินี้เป็นไปตามคำนิยามโดยตรง มาดูกันว่าสูตรนี้ปรากฏขึ้นอย่างไร

จำคำจำกัดความสั้น ๆ ของลอการิทึม:

ถ้า \(a^(b)=c\) ดังนั้น \(\log_(a)(c)=b\)

นั่นคือ \(b\) เหมือนกับ \(\log_(a)(c)\) จากนั้นเราสามารถเขียน \(\log_(a)(c)\) แทน \(b\) ในสูตร \(a^(b)=c\) ปรากฎว่า \(a^(\log_(a)(c))=c\) - เอกลักษณ์ลอการิทึมหลัก

คุณสามารถค้นหาคุณสมบัติที่เหลือของลอการิทึมได้ ด้วยความช่วยเหลือ คุณสามารถลดความซับซ้อนและคำนวณค่าของนิพจน์ด้วยลอการิทึมซึ่งยากต่อการคำนวณโดยตรง

ตัวอย่าง : ค้นหาค่าของนิพจน์ \(36^(\log_(6)(5))\)

สารละลาย :

คำตอบ : \(25\)

จะเขียนตัวเลขเป็นลอการิทึมได้อย่างไร?

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ลอการิทึมใดๆ เป็นเพียงตัวเลข บทสนทนายังเป็นจริง: ตัวเลขใดๆ สามารถเขียนเป็นลอการิทึมได้ ตัวอย่างเช่น เรารู้ว่า \(\log_(2)(4)\) เท่ากับสอง จากนั้นคุณสามารถเขียน \(\log_(2)(4)\) แทนสอง

แต่ \(\log_(3)(9)\) ก็เท่ากับ \(2\) ดังนั้นคุณจึงสามารถเขียน \(2=\log_(3)(9)\) ได้เช่นกัน ในทำนองเดียวกันกับ \(\log_(5)(25)\) และด้วย \(\log_(9)(81)\) ฯลฯ นั่นคือปรากฎว่า

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

ดังนั้น หากเราต้องการ เราสามารถเขียนทั้งสองเป็นลอการิทึมที่มีฐานใดก็ได้ (แม้ในสมการ แม้แต่ในนิพจน์ หรือในอสมการ) เราก็แค่เขียนฐานกำลังสองเป็นอาร์กิวเมนต์

มันเหมือนกันกับสามเท่า - สามารถเขียนเป็น \(\log_(2)(8)\) หรือเป็น \(\log_(3)(27)\) หรือเป็น \(\log_(4)( 64) \) ... ที่นี่เราเขียนฐานในคิวบ์เป็นอาร์กิวเมนต์:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

และด้วยสี่:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

และด้วยลบหนึ่ง:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

และหนึ่งในสาม:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

จำนวนใดๆ \(a\) สามารถแสดงเป็นลอการิทึมที่มีฐาน \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

ตัวอย่าง : ค้นหาค่าของนิพจน์ \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

สารละลาย :

คำตอบ : \(1\)

คุณสมบัติหลักของลอการิทึม, กราฟของลอการิทึม, โดเมนของนิยาม, ชุดของค่า, สูตรพื้นฐาน, การเพิ่มและการลดจะได้รับ พิจารณาการหาอนุพันธ์ของลอการิทึม เช่นเดียวกับอินทิกรัล การขยายอนุกรมกำลังและการแทนค่าโดยใช้จำนวนเชิงซ้อน

โดเมน ชุดของค่า จากน้อยไปมาก จากมากไปน้อย

ลอการิทึมเป็นฟังก์ชันโมโนโทนิก ดังนั้นจึงไม่มีค่าสุดขั้ว คุณสมบัติหลักของลอการิทึมแสดงในตาราง

ค่าส่วนตัว

ลอการิทึมฐาน 10 เรียกว่า ลอการิทึมทศนิยมและมีเครื่องหมายดังนี้

ลอการิทึมฐาน อีเรียกว่า ลอการิทึมธรรมชาติ:

สูตรลอการิทึมพื้นฐาน

คุณสมบัติของลอการิทึมต่อจากนิยามของฟังก์ชันผกผัน:

คุณสมบัติหลักของลอการิทึมและผลที่ตามมา

สูตรการแทนที่ฐาน

ลอการิทึมคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการหาลอการิทึม เมื่อใช้ลอการิทึม ผลคูณของปัจจัยจะถูกแปลงเป็นผลรวมของพจน์
ศักยภาพเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ผกผันกับลอการิทึม เมื่อทำการโพเทนเชียล ฐานที่กำหนดจะถูกยกขึ้นเป็นพลังของนิพจน์ซึ่งดำเนินการโพเทนเชียล ในกรณีนี้ ผลรวมของเงื่อนไขจะถูกแปลงเป็นผลคูณของปัจจัย

การพิสูจน์สูตรพื้นฐานสำหรับลอการิทึม

สูตรที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมตามมาจากสูตรสำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลังและจากนิยามของฟังก์ชันผกผัน

พิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล
.
แล้ว
.
ใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล
:
.

ให้เราพิสูจน์สูตรการเปลี่ยนฐาน
;
.
การตั้งค่า c = b เรามี:

ฟังก์ชันผกผัน

ส่วนกลับของฐาน a ลอการิทึมคือฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลัง a

ถ้า แล้ว

ถ้า แล้ว

อนุพันธ์ของลอการิทึม

อนุพันธ์ของลอการิทึมโมดูโล x :
.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
.
ที่มาของสูตร > > >

หากต้องการหาอนุพันธ์ของลอการิทึม จะต้องลดค่าลงเป็นฐาน อี.
;
.

อินทิกรัล

อินทิกรัลของลอการิทึมคำนวณโดยการอินทิกรัลตามส่วน: .
ดังนั้น,

นิพจน์ในรูปของจำนวนเชิงซ้อน

พิจารณาฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน ซี:
.
แสดงจำนวนเชิงซ้อนกัน ซีผ่านโมดูล รและการโต้เถียง φ :
.
จากนั้นใช้คุณสมบัติของลอการิทึม เรามี:
.
หรือ

อย่างไรก็ตามข้อโต้แย้ง φ ไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจน ถ้าเราใส่
โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม
จากนั้นจะเป็นหมายเลขเดียวกันสำหรับที่แตกต่างกัน น.

ดังนั้น ลอการิทึมซึ่งเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนจึงไม่ใช่ฟังก์ชันที่มีค่าเดียว

การขยายชุดพลังงาน

สำหรับ การขยายตัวเกิดขึ้น:

อ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, K.A. Semendyaev, Handbook of Mathematics for Engineers and Students of Higher Educational Institutions, Lan, 2009.

มักจะใช้หมายเลขสิบ เราเรียกลอการิทึมของตัวเลขถึงฐานสิบ ทศนิยม. เมื่อทำการคำนวณด้วยลอการิทึมทศนิยม เป็นเรื่องปกติที่จะใช้เครื่องหมาย แอลจี, แต่ไม่ บันทึก; ในขณะที่ไม่ได้ระบุเลขสิบซึ่งกำหนดฐาน ใช่ เราเปลี่ยน บันทึก 10 105เพื่อให้ง่ายขึ้น แอลจี105; ก ล็อก102บน แอลจี2.

สำหรับ ลอการิทึมทศนิยมคุณลักษณะเดียวกันกับที่ลอการิทึมมีฐานมากกว่าหนึ่งเป็นเรื่องปกติ กล่าวคือ ลอการิทึมฐานสิบมีลักษณะเฉพาะสำหรับจำนวนบวก ลอการิทึมทศนิยมของจำนวนที่มากกว่าหนึ่งเป็นค่าบวก และจำนวนที่น้อยกว่าหนึ่งเป็นค่าลบ ของตัวเลขที่ไม่เป็นลบสองตัว ลอการิทึมทศนิยมที่ใหญ่กว่าก็เทียบเท่ากับตัวเลขที่ใหญ่กว่าเช่นกัน เป็นต้น นอกจากนี้ ลอการิทึมทศนิยมยังมีลักษณะเด่นและคุณสมบัติเฉพาะ ซึ่งอธิบายได้ว่าทำไมจึงสะดวกใจที่จะเลือกใช้เลขสิบเป็นฐานของลอการิทึม

ก่อนที่จะวิเคราะห์คุณสมบัติเหล่านี้ เรามาพิจารณาสูตรต่อไปนี้กันก่อน

ส่วนจำนวนเต็มของลอการิทึมฐานสิบของจำนวน กเรียกว่า ลักษณะและเศษส่วน ตั๊กแตนตำข้าวลอการิทึมนี้

ลักษณะของลอการิทึมฐานสิบของจำนวน กระบุเป็น และ mantissa เป็น (lg ก}.

สมมติว่า lg 2 ≈ 0.3010 ดังนั้น = 0, (log 2) ≈ 0.3010

เช่นเดียวกับ lg 543.1 ≈2.7349 ดังนั้น = 2, (lg 543.1)≈ 0.7349

การคำนวณลอการิทึมทศนิยมของจำนวนบวกจากตารางค่อนข้างใช้กันอย่างแพร่หลาย

เครื่องหมายคุณลักษณะของลอการิทึมทศนิยม

เครื่องหมายแรกของลอการิทึมทศนิยมจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบซึ่งแทนด้วย 1 ตามด้วยศูนย์คือจำนวนเต็มบวกเท่ากับจำนวนศูนย์ในจำนวนที่เลือก .

สมมติว่า lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5

โดยทั่วไปถ้า

ที่ ก= 10น จากที่เราได้รับ

lg a = lg 10 n = n lg 10 =พี.

สัญญาณที่สองลอการิทึมทศนิยมของทศนิยมที่เป็นบวกซึ่งแสดงด้วยเลขศูนย์นำหน้าคือ − พี, ที่ไหน พี- จำนวนศูนย์ในการแทนจำนวนนี้ โดยคำนึงถึงศูนย์ของจำนวนเต็ม

พิจารณา , lg 0.001 = -3, lg 0.000001 = -6

โดยทั่วไปถ้า

,

ที่ ก= 10-น และปรากฎว่า

แอลก้า = แอลจี 10น =-n lg 10 =-n

สัญญาณที่สามคุณลักษณะของลอการิทึมฐานสิบของจำนวนที่ไม่เป็นลบที่มากกว่าหนึ่งจะเท่ากับจำนวนของหลักในส่วนจำนวนเต็มของจำนวนนี้ โดยไม่รวมหนึ่ง

ลองวิเคราะห์คุณลักษณะนี้ 1) คุณลักษณะของลอการิทึม lg 75.631 เท่ากับ 1

แน่นอน 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

แอลจี 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

นี่หมายความว่า

lg 75.631 = 1 + ข

การเลื่อนเครื่องหมายจุลภาคในเศษส่วนทศนิยมไปทางขวาหรือซ้ายจะเทียบเท่ากับการคูณเศษส่วนนี้ด้วยกำลังของสิบด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม พี(บวกหรือลบ). ดังนั้น เมื่อจุดทศนิยมในเศษส่วนทศนิยมที่เป็นบวกเลื่อนไปทางซ้ายหรือทางขวา แมนทิสซาของลอการิทึมทศนิยมของเศษส่วนนี้จะไม่เปลี่ยนแปลง

ดังนั้น (บันทึก 0.0053) = (บันทึก 0.53) = (บันทึก 0.0000053)

ช่วงที่ยอมรับได้ (ODZ) ของลอการิทึม

ตอนนี้เรามาพูดถึงข้อ จำกัด (ODZ - พื้นที่ของค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร)

เราจำได้ว่าตัวอย่างเช่น รากที่สองไม่สามารถนำมาจากจำนวนลบได้ หรือถ้าเรามีเศษส่วน ตัวส่วนจะเท่ากับศูนย์ไม่ได้ มีข้อจำกัดที่คล้ายกันสำหรับลอการิทึม:

นั่นคือทั้งอาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์ และฐานต้องไม่เท่ากัน

ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น?

เริ่มกันง่ายๆ: สมมติว่า ตัวอย่างเช่นไม่มีตัวเลขเนื่องจากไม่ว่าเราจะเพิ่มระดับใดก็จะปรากฎออกมาเสมอ นอกจากนี้ยังไม่มีอยู่สำหรับใคร แต่ในขณะเดียวกันก็สามารถเท่ากับอะไรก็ได้ (ด้วยเหตุผลเดียวกัน - มันเท่ากับระดับใดก็ได้) ดังนั้น วัตถุจึงไม่น่าสนใจ และมันถูกโยนทิ้งไปจากวิชาคณิตศาสตร์

เรามีปัญหาที่คล้ายกันในกรณีนี้: ในระดับบวก - สิ่งนี้ แต่ไม่สามารถยกกำลังเป็นลบได้เลยเนื่องจากการหารด้วยศูนย์จะส่งผลให้ (ฉันเตือนคุณว่า)

เมื่อเราประสบปัญหาในการยกกำลังเศษส่วน (ซึ่งแสดงเป็นรูท: ตัวอย่างเช่น (นั่นคือ) แต่ไม่มีอยู่จริง

ดังนั้นเหตุผลด้านลบจึงง่ายกว่าที่จะทิ้งมันไป

เนื่องจากฐาน a เป็นค่าบวกสำหรับเราเท่านั้น ดังนั้นไม่ว่าเราจะเพิ่มค่าใด เราจะได้จำนวนบวกเสมอ ดังนั้นอาร์กิวเมนต์ต้องเป็นบวก ตัวอย่างเช่น ไม่มีอยู่จริง เนื่องจากจะไม่เป็นจำนวนลบในขอบเขตใด ๆ (และแม้กระทั่งศูนย์ ดังนั้นจึงไม่มีอยู่เช่นกัน)

ในปัญหาเกี่ยวกับลอการิทึม ขั้นตอนแรกคือการจด ODZ ฉันจะยกตัวอย่าง:

มาแก้สมการกันเถอะ

จำคำจำกัดความ: ลอการิทึมคือพลังที่ต้องยกฐานขึ้นเพื่อให้ได้อาร์กิวเมนต์ และตามเงื่อนไขแล้ว ระดับนี้เท่ากับ: .

เราได้สมการกำลังสองตามปกติ: . เราแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทเวียตา ผลรวมของรากเท่ากันและผลคูณ ง่ายต่อการรับนี่คือตัวเลขและ

แต่ถ้าคุณจดตัวเลขทั้งสองนี้ลงในคำตอบทันที คุณจะได้รับ 0 คะแนนสำหรับงานนี้ ทำไม ลองคิดดูว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราแทนรากเหล่านี้ลงในสมการตั้งต้น

นี่เป็นเท็จอย่างชัดเจน เนื่องจากฐานไม่สามารถเป็นค่าลบได้ นั่นคือรากคือ "บุคคลที่สาม"

เพื่อหลีกเลี่ยงกลอุบายที่ไม่พึงประสงค์ คุณต้องจด ODZ ก่อนที่จะเริ่มแก้สมการ:

จากนั้นเมื่อได้รับรูทแล้วเราก็ทิ้งรูททันทีและเขียนคำตอบที่ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 1(ลองแก้เองนะครับ) :

ค้นหารากของสมการ หากมีหลายราก ให้ระบุรากที่เล็กกว่าในคำตอบของคุณ

สารละลาย:

ก่อนอื่นมาเขียน ODZ:

ตอนนี้เราจำได้ว่าลอการิทึมคืออะไร: คุณต้องการพลังใดในการยกฐานเพื่อรับการโต้แย้ง ในครั้งที่สอง นั่นคือ:

ดูเหมือนว่ารูทที่เล็กกว่านั้นเท่ากัน แต่ไม่เป็นเช่นนั้น ตาม ODZ รากเป็นของบุคคลที่สาม นั่นคือ มันไม่ใช่รากของสมการนี้เลย ดังนั้น สมการจึงมีรากเดียวเท่านั้น:

คำตอบ: .

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

จำคำจำกัดความของลอการิทึมในแง่ทั่วไป:

แทนที่ความเท่าเทียมกันที่สองแทนลอการิทึม:

ความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่า เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน. แม้ว่าโดยเนื้อแท้ความเท่าเทียมกันนี้จะเขียนแตกต่างกัน นิยามของลอการิทึม:

นี่คือพลังที่คุณต้องเพิ่มเพื่อที่จะได้มา

ตัวอย่างเช่น:

แก้ไขตัวอย่างต่อไปนี้:

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาค่าของนิพจน์

สารละลาย:

เรียกคืนกฎจากส่วน: นั่นคือเมื่อเพิ่มระดับเป็นพลังงาน ตัวบ่งชี้จะถูกคูณ มาประยุกต์ใช้กันเถอะ:

ตัวอย่างที่ 3

พิสูจน์ว่า

สารละลาย:

คุณสมบัติของลอการิทึม

น่าเสียดายที่งานนั้นไม่ง่ายเสมอไป - ก่อนอื่นคุณต้องทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นนำมาสู่รูปแบบปกติแล้วจึงจะสามารถคำนวณค่าได้ ง่ายที่สุดที่จะทำสิ่งนี้โดยรู้ คุณสมบัติของลอการิทึม. ดังนั้นมาเรียนรู้คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึมกัน ฉันจะพิสูจน์แต่ละกฎเพราะกฎใด ๆ นั้นง่ายต่อการจดจำหากคุณรู้ว่ามาจากไหน

ต้องจดจำคุณสมบัติเหล่านี้ทั้งหมดหากไม่มีคุณสมบัติเหล่านี้ ปัญหาส่วนใหญ่เกี่ยวกับลอการิทึมจะไม่สามารถแก้ไขได้

และตอนนี้เกี่ยวกับคุณสมบัติทั้งหมดของลอการิทึมอย่างละเอียด

คุณสมบัติ 1:

การพิสูจน์:

ให้แล้ว.

เรามี: , h.t.d.

คุณสมบัติ 2: ผลรวมของลอการิทึม

ผลรวมของลอการิทึมที่มีฐานเท่ากันจะเท่ากับลอการิทึมของผลคูณ: .

การพิสูจน์:

ให้แล้ว. ให้แล้ว.

ตัวอย่าง:ค้นหาค่าของนิพจน์: .

สารละลาย: .

สูตรที่คุณเพิ่งเรียนรู้ช่วยทำให้ผลรวมของลอการิทึมง่ายขึ้น ไม่ใช่ผลต่าง เพื่อไม่ให้รวมลอการิทึมเหล่านี้ได้ทันที แต่คุณสามารถทำสิ่งที่ตรงกันข้าม - "แบ่ง" ลอการิทึมแรกออกเป็นสอง: และนี่คือการทำให้เข้าใจง่ายตามสัญญา:
.
ทำไมถึงจำเป็น? ตัวอย่างเช่น: มันสำคัญอย่างไร

ตอนนี้เห็นได้ชัดว่า

ตอนนี้ ทำให้มันง่ายสำหรับตัวคุณเอง:

งาน:

คำตอบ:

คุณสมบัติ 3: ผลต่างของลอการิทึม:

การพิสูจน์:

ทุกอย่างเหมือนกับในวรรค 2:

ให้แล้ว.

ให้แล้ว. เรามี:

ตัวอย่างจากข้อที่แล้วนั้นง่ายกว่า:

ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น: . เดาเอาเองว่าจะตัดสินใจอย่างไร?

โปรดทราบว่าเราไม่มีสูตรเดียวเกี่ยวกับลอการิทึมกำลังสอง นี่คือสิ่งที่คล้ายกับนิพจน์ - สิ่งนี้ไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ทันที

ดังนั้นเรามาพูดนอกเรื่องจากสูตรเกี่ยวกับลอการิทึมและคิดว่าสูตรใดที่เราใช้ในวิชาคณิตศาสตร์บ่อยที่สุด? ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7!

นี้ - . คุณต้องชินกับความจริงที่ว่าพวกเขาอยู่ทุกที่! และในเอกซ์โปเนนเชียล ตรีโกณมิติ และในปัญหาอตรรกยะ ดังนั้นจึงต้องจดจำไว้

หากคุณพิจารณาสองคำแรกอย่างใกล้ชิด จะเห็นได้ชัดว่านี่คือ ความแตกต่างของกำลังสอง:

คำตอบเพื่อตรวจสอบ:

ทำให้ตัวเองง่ายขึ้น

ตัวอย่าง

คำตอบ

คุณสมบัติ 4: ที่มาของเลขชี้กำลังจากการโต้แย้งของลอการิทึม:

การพิสูจน์:และที่นี่เรายังใช้นิยามของลอการิทึม: ให้, แล้ว เรามี: , h.t.d.

คุณสามารถเข้าใจกฎนี้ได้ดังนี้:

นั่นคือ ระดับของอาร์กิวเมนต์ถูกนำหน้าลอการิทึมเป็นค่าสัมประสิทธิ์

ตัวอย่าง:ค้นหาค่าของนิพจน์

สารละลาย: .

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

ตัวอย่าง:

คำตอบ:

คุณสมบัติ 5: ที่มาของเลขยกกำลังจากฐานของลอการิทึม:

การพิสูจน์:ให้แล้ว.

เรามี: , h.t.d.
จำไว้ว่า: จาก บริเวณองศาจะแสดงเป็น ย้อนกลับเบอร์ไม่เหมือนคดีที่แล้ว!

คุณสมบัติ 6: ที่มาของเลขยกกำลังจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม:

หรือถ้าองศาเท่ากัน: .

คุณสมบัติ 7: การเปลี่ยนไปสู่ฐานใหม่:

การพิสูจน์:ให้แล้ว.

เรามี: , h.t.d.

คุณสมบัติ 8: การสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม:

การพิสูจน์:นี่เป็นกรณีพิเศษของสูตร 7: ถ้าเราแทนที่ เราจะได้: , p.t.d.

ลองดูตัวอย่างเพิ่มเติม

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาค่าของนิพจน์

เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึมหมายเลข 2 - ผลรวมของลอการิทึมที่มีฐานเดียวกันเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาค่าของนิพจน์

สารละลาย:

เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึมหมายเลข 3 และหมายเลข 4:

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาค่าของนิพจน์

สารละลาย:

ใช้คุณสมบัติหมายเลข 7 - ไปที่ฐาน 2:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาค่าของนิพจน์

สารละลาย:

คุณชอบบทความอย่างไร

หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้ แสดงว่าคุณได้อ่านบทความทั้งหมดแล้ว

และมันเจ๋งมาก!

ตอนนี้บอกเราว่าคุณชอบบทความนี้อย่างไร

คุณได้เรียนรู้ที่จะแก้ลอการิทึม? ถ้าไม่ ปัญหาคืออะไร?

เขียนถึงเราในความคิดเห็นด้านล่าง

และใช่ ขอให้โชคดีกับการสอบของคุณ

ที่การสอบ Unified State และ OGE และโดยทั่วไปในชีวิต

ดังนั้นเราจึงมีกำลังสอง หากคุณใช้ตัวเลขจากบรรทัดล่างสุด คุณจะพบพลังที่คุณต้องยกกำลังสองเพื่อให้ได้ตัวเลขนี้ ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ได้ 16 คุณต้องยกกำลังสองเป็นสี่ และเพื่อให้ได้ 64 คุณต้องยกกำลังสองยกกำลังหก สามารถดูได้จากตาราง

และตอนนี้ - ในความเป็นจริงคำจำกัดความของลอการิทึม:

ฐานของลอการิทึมของอาร์กิวเมนต์ x คือเลขยกกำลังที่ต้องยก a เพื่อให้ได้จำนวน x

สัญลักษณ์: บันทึก a x \u003d b โดยที่ a คือฐาน x คืออาร์กิวเมนต์ b คือสิ่งที่ลอการิทึมเท่ากับ

ตัวอย่างเช่น 2 3 = 8 ⇒ ล็อก 2 8 = 3 (ลอการิทึมฐาน 2 ของ 8 คือ 3 เนื่องจาก 2 3 = 8) อาจเป็นบันทึก 2 64 = 6 เนื่องจาก 2 6 = 64

การดำเนินการค้นหาลอการิทึมของตัวเลขไปยังฐานที่กำหนดเรียกว่าลอการิทึม ลองเพิ่มแถวใหม่ในตารางของเรา:

น่าเสียดายที่ไม่ใช่ว่าลอการิทึมทั้งหมดจะพิจารณาได้ง่าย ตัวอย่างเช่น ลองหาล็อก 2 5 เลข 5 ไม่อยู่ในตาราง แต่ลอจิกบอกว่าลอการิทึมจะอยู่ที่ใดที่หนึ่งในเซ็กเมนต์ เพราะ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ: ตัวเลขหลังจุดทศนิยมสามารถเขียนได้เรื่อย ๆ และจะไม่เกิดซ้ำ หากลอการิทึมกลายเป็นอตรรกยะ จะเป็นการดีกว่าถ้าปล่อยไว้แบบนี้: บันทึก 2 5, บันทึก 3 8, บันทึก 5 100

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าลอการิทึมเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรสองตัว (ฐานและอาร์กิวเมนต์) ในตอนแรกหลายคนสับสนว่าพื้นฐานอยู่ที่ไหนและอาร์กิวเมนต์อยู่ที่ไหน เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดที่น่ารำคาญ ลองดูรูปภาพ:

ก่อนหน้าเราไม่มีอะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของลอการิทึม จดจำ: ลอการิทึมคือพลังซึ่งคุณต้องยกฐานเพื่อรับข้อโต้แย้ง เป็นฐานที่ยกกำลัง - ในภาพจะเน้นด้วยสีแดง ปรากฎว่าฐานอยู่ที่ด้านล่างเสมอ! ฉันบอกกฎที่ยอดเยี่ยมนี้กับนักเรียนในบทเรียนแรก และไม่มีความสับสน

เราพบคำจำกัดความ - ยังคงต้องเรียนรู้วิธีนับลอการิทึมเช่น กำจัดเครื่องหมาย "บันทึก" ในการเริ่มต้น เราทราบว่ามีข้อเท็จจริงสำคัญสองประการตามมาจากคำนิยาม:

1. อาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์เสมอ สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของระดับโดยเลขยกกำลังตรรกยะ ซึ่งนิยามของลอการิทึมจะลดลง
2. ฐานจะต้องแตกต่างจากความสามัคคีเนื่องจากหน่วยต่ออำนาจใด ๆ ยังคงเป็นหน่วย ด้วยเหตุนี้ คำถามที่ว่า "ต้องยกกำลังใดจึงจะได้สอง" จึงไม่มีความหมาย ไม่มีปริญญา!

ข้อจำกัดดังกล่าวเรียกว่า ช่วงที่ถูกต้อง(อพดซ). ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: บันทึก a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1

โปรดทราบว่าไม่มีการจำกัดจำนวน b (ค่าของลอการิทึม) ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมอาจเป็นค่าลบ: log 2 0.5 = −1 เนื่องจาก 0.5 = 2 −1 .

อย่างไรก็ตาม ขณะนี้เรากำลังพิจารณานิพจน์ที่เป็นตัวเลขเท่านั้น โดยที่ไม่จำเป็นต้องรู้ ODZ ของลอการิทึม คอมไพเลอร์ของปัญหาได้คำนึงถึงข้อ จำกัด ทั้งหมดแล้ว แต่เมื่อสมการลอการิทึมและอสมการเข้ามามีบทบาท ข้อกำหนด DHS จะกลายเป็นข้อบังคับ แท้จริงแล้วในพื้นฐานและการโต้แย้งอาจมีโครงสร้างที่แข็งแกร่งมาก ซึ่งไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับข้อจำกัดข้างต้น

พิจารณาโครงร่างทั่วไปสำหรับการคำนวณลอการิทึม ประกอบด้วยสามขั้นตอน:

1. แสดงฐาน a และอาร์กิวเมนต์ x เป็นเลขยกกำลังที่มีฐานที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่งฐาน ระหว่างทางควรกำจัดเศษส่วนทศนิยม
2. แก้สมการของตัวแปร b: x = a b ;
3. ผลลัพธ์ของหมายเลข b จะเป็นคำตอบ

นั่นคือทั้งหมด! หากลอการิทึมกลายเป็นอตรรกยะ สิ่งนี้จะถูกเห็นในขั้นตอนแรกแล้ว ข้อกำหนดที่ฐานมากกว่าหนึ่งมีความเกี่ยวข้องมาก: สิ่งนี้ช่วยลดโอกาสเกิดข้อผิดพลาดและทำให้การคำนวณง่ายขึ้นมาก เช่นเดียวกับเศษส่วนทศนิยม: หากคุณแปลงเป็นเศษส่วนทั่วไปทันทีจะมีข้อผิดพลาดน้อยลงหลายเท่า

มาดูกันว่าโครงร่างนี้ทำงานอย่างไรกับตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 5 25

1. ลองแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังห้า: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
2. มาสร้างและแก้สมการกันเถอะ:
   บันทึก 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. ได้รับคำตอบ: 2.

งาน. คำนวณลอการิทึม:

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 4 64

1. ลองแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังสอง: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. มาสร้างและแก้สมการกันเถอะ:
   บันทึก 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. ได้รับคำตอบ: 3.

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 16 1

1. ลองแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังสอง: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. มาสร้างและแก้สมการกันเถอะ:
   บันทึก 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. ได้รับการตอบกลับ: 0.

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 7 14

1. ลองแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังเจ็ด: 7 = 7 1 ; 14 ไม่ได้แสดงเป็นยกกำลังของเจ็ด เพราะ 7 1< 14 < 7 2 ;
2. ต่อจากย่อหน้าก่อนหน้านี้ว่าไม่มีการพิจารณาลอการิทึม
3. คำตอบคือไม่เปลี่ยนแปลง: บันทึก 7 14

หมายเหตุเล็กน้อยในตัวอย่างสุดท้าย จะแน่ใจได้อย่างไรว่าตัวเลขไม่ใช่เลขยกกำลังที่แน่นอน ง่ายมาก - เพียงแค่แยกย่อยมันเป็นปัจจัยสำคัญ และหากไม่สามารถรวบรวมปัจจัยดังกล่าวในระดับที่มีตัวบ่งชี้เดียวกันได้ แสดงว่าจำนวนเดิมไม่ใช่ระดับที่แน่นอน

งาน. ค้นหาว่าพลังของตัวเลขคือ: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 เป็นระดับที่แน่นอนเพราะ มีตัวคูณเดียวเท่านั้น
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ไม่ใช่เลขยกกำลังที่แน่นอนเพราะมีตัวประกอบสองตัว: 3 และ 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ระดับที่แน่นอน;
35 \u003d 7 5 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง
14 \u003d 7 2 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง

โปรดทราบว่าจำนวนเฉพาะนั้นเป็นพลังที่แน่นอนของตัวมันเองเสมอ

ลอการิทึมทศนิยม

ลอการิทึมบางตัวเป็นเรื่องธรรมดามากจนมีชื่อและการกำหนดพิเศษ

ลอการิทึมทศนิยมของอาร์กิวเมนต์ x คือลอการิทึมฐาน 10 นั่นคือ พลังที่คุณต้องยกเลข 10 เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: lg x .

ตัวอย่างเช่น บันทึก 10 = 1; บันทึก 100 = 2; lg 1,000 = 3 - เป็นต้น

จากนี้ไป เมื่อมีวลีเช่น “ค้นหา lg 0.01” ปรากฏในหนังสือเรียน โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด นี่คือลอการิทึมทศนิยม อย่างไรก็ตาม หากคุณไม่คุ้นเคยกับการกำหนดดังกล่าว คุณสามารถเขียนใหม่ได้ตลอดเวลา:
ล็อก x = ล็อก 10 x

ทุกสิ่งที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมธรรมดาก็เป็นจริงสำหรับทศนิยมเช่นกัน

ลอการิทึมธรรมชาติ

มีลอการิทึมอื่นที่มีสัญกรณ์ของตัวเอง เรียกได้ว่ามีความสำคัญมากกว่าทศนิยมเสียอีก นี่คือลอการิทึมธรรมชาติ

ลอการิทึมธรรมชาติของอาร์กิวเมนต์ x คือลอการิทึมของฐาน e , เช่น กำลังที่ต้องยกเลข e เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: ln x .

หลายคนจะถามว่า: หมายเลข e คืออะไร? นี่เป็นจำนวนอตรรกยะ ไม่สามารถหาค่าที่แน่นอนและเขียนลงไปได้ นี่เป็นเพียงตัวเลขแรก:
จ = 2.718281828459...

เราจะไม่เจาะลึกว่าหมายเลขนี้คืออะไรและทำไมจึงจำเป็น เพียงจำไว้ว่า e เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ:
ln x = บันทึก e x

ดังนั้น ln e = 1; บันทึก e 2 = 2; ln e 16 = 16 - เป็นต้น ในทางกลับกัน ln 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยทั่วไป ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนตรรกยะใดๆ จะเป็นจำนวนอตรรกยะ ยกเว้นความสามัคคี: ln 1 = 0

สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ กฎทั้งหมดที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมสามัญนั้นถูกต้อง