لگاریتم. لگاریتم اعشاری. لگاریتم اعشاری چیست؟ نحوه حذف لگاریتم اعشاری

\(a^(b)=c\) \(\فلش راست چپ\) \(\log_(a)(c)=b\)

بیایید آن را ساده تر توضیح دهیم. به عنوان مثال، \(\log_(2)(8)\) برابر با توانی است که \(2\) باید افزایش یابد تا \(8\) به دست آید. از اینجا مشخص است که \(\log_(2)(8)=3\).

برهان و پایه لگاریتم

هر لگاریتمی دارای "آناتومی" زیر است:

آرگومان لگاریتم معمولاً در سطح آن نوشته می‌شود و پایه به صورت زیرنویس نزدیک‌تر به علامت لگاریتم نوشته می‌شود. و این مدخل به این صورت خوانده می شود: «لگاریتم بیست و پنج تا پایه پنج».

چگونه لگاریتم را محاسبه کنیم؟

برای محاسبه لگاریتم، باید به این سوال پاسخ دهید: برای بدست آوردن آرگومان، پایه تا چه حد باید افزایش یابد؟

مثلا، لگاریتم را محاسبه کنید: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) د) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

الف) برای بدست آوردن \(16\) \(4\) باید به چه قدرتی برود؟ بدیهی است که دومی از همین رو:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

ج) برای بدست آوردن \(1\) \(\sqrt(5)\) باید به چه قدرتی افزایش یابد؟ و چه درجه ای هر عددی را واحد می کند؟ البته صفر!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

د) برای بدست آوردن \(\sqrt(7)\) باید \(\sqrt(7)\) را به چه قدرتی افزایش داد؟ در اول - هر عددی در درجه اول با خودش برابر است.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ه) برای بدست آوردن \(\sqrt(3)\) \(3\) باید به چه قدرتی افزایش یابد؟ از آنجایی که می دانیم که یک توان کسری است و بنابراین جذر آن توان \(\frac(1)(2)\) است.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

مثال : محاسبه لگاریتم \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

راه حل :

پاسخ : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

چرا لگاریتم اختراع شد؟

برای درک این موضوع، اجازه دهید معادله \(3^(x)=9\) را حل کنیم. فقط \(x\) را مطابقت دهید تا برابری عمل کند. البته \(x=2\).

حالا معادله \(3^(x)=8\) را حل کنید x برابر چیست؟ نکته همین است.

باهوش ترین خواهد گفت: "X کمی کمتر از دو است." این عدد دقیقاً چگونه باید نوشته شود؟ برای پاسخ به این سوال، آنها لگاریتم را ارائه کردند. با تشکر از او، پاسخ در اینجا می تواند به صورت \(x=\log_(3)(8)\) نوشته شود.

من می خواهم تأکید کنم که \(\log_(3)(8)\) و همچنین هر لگاریتمی فقط یک عدد است. بله، غیر معمول به نظر می رسد، اما کوتاه است. چون اگر بخواهیم آن را به صورت اعشاری بنویسیم به این صورت می شود: \(1.892789260714.....\)

مثال : حل معادله \(4^(5x-4)=10\)

راه حل :

پاسخ : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

لگاریتم های اعشاری و طبیعی

همانطور که در تعریف لگاریتم بیان شد، پایه آن می تواند هر عدد مثبتی باشد به جز یک \((a>0, a\neq1)\). و در بین همه پایه های ممکن، دو پایه وجود دارد که به قدری اتفاق می افتد که یک نماد کوتاه ویژه برای لگاریتم ها با آنها اختراع شده است:

لگاریتم طبیعی: لگاریتمی که پایه آن عدد اویلر \(e\) است (برابر تقریباً \(2.7182818…\)) و لگاریتم به صورت \(\ln(a)\ نوشته می شود.

به این معنا که، \(\ln(a)\) همان \(\log_(e)(a)\) است.

لگاریتم اعشاری: لگاریتمی که پایه آن 10 است \(\lg(a)\) نوشته می شود.

به این معنا که، \(\lg(a)\) یکسان است با \(\log_(10)(a)\)، جایی که \(a\) تعدادی عدد است.

هویت لگاریتمی پایه

لگاریتم ها خواص زیادی دارند. یکی از آنها "هویت لگاریتمی پایه" نام دارد و به شکل زیر است:

این ویژگی مستقیماً از تعریف پیروی می کند. بیایید ببینیم این فرمول چگونه به وجود آمد.

تعریف کوتاه لگاریتم را به یاد بیاورید:

اگر \(a^(b)=c\)، سپس \(\log_(a)(c)=b\)

یعنی \(b\) همان \(\log_(a)(c)\) است. سپس می توانیم به جای \(b\) در فرمول \(a^(b)=c\) \(\log_(a)(c)\) بنویسیم. معلوم شد \(a^(\log_(a)(c))=c\) - هویت لگاریتمی اصلی.

بقیه خصوصیات لگاریتم را می توانید پیدا کنید. با کمک آنها می توانید مقادیر عبارات را با لگاریتم ساده و محاسبه کنید که محاسبه مستقیم آنها دشوار است.

مثال : مقدار عبارت \(36^(\log_(6)(5)) را پیدا کنید

راه حل :

پاسخ : \(25\)

چگونه یک عدد را به صورت لگاریتمی بنویسیم؟

همانطور که در بالا ذکر شد، هر لگاریتمی فقط یک عدد است. عکس آن نیز صادق است: هر عددی را می توان به صورت لگاریتم نوشت. به عنوان مثال، می دانیم که \(\log_(2)(4)\) برابر با دو است. سپس می توانید به جای دو، \(\log_(2)(4)\) بنویسید.

اما \(\log_(3)(9)\) نیز برابر با \(2\) است، بنابراین می توانید \(2=\log_(3)(9)\) را نیز بنویسید. به طور مشابه با \(\log_(5)(25)\)، و با \(\log_(9)(81)\) و غیره. یعنی معلوم می شود

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

بنابراین، در صورت نیاز، می‌توانیم این دو را به‌عنوان لگاریتم با هر پایه‌ای در هر جایی بنویسیم (حتی در یک معادله، حتی در یک عبارت، حتی در یک نابرابری) - ما فقط پایه مربع را به عنوان یک آرگومان می‌نویسیم.

در مورد سه گانه هم همینطور است - می توان آن را به صورت \(\log_(2)(8)\)، یا به صورت \(\log_(3)(27)\) یا به صورت \(\log_(4)( نوشت 64) \) ... در اینجا پایه را در مکعب به عنوان آرگومان می نویسیم:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

و با چهار:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

و با منفی یک:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

و با یک سوم:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

هر عدد \(a\) را می توان به عنوان یک لگاریتم با پایه \(b\) نشان داد: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

مثال : مقدار یک عبارت را بیابید \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

راه حل :

پاسخ : \(1\)

خصوصیات اصلی لگاریتم، نمودار لگاریتم، دامنه تعریف، مجموعه مقادیر، فرمول های اساسی، افزایش و کاهش آورده شده است. یافتن مشتق لگاریتم در نظر گرفته شده است. و همچنین بسط و نمایش انتگرال سری توانی با استفاده از اعداد مختلط.

دامنه، مجموعه مقادیر، صعودی، نزولی

لگاریتم یک تابع یکنواخت است، بنابراین هیچ اکسترومومی ندارد. ویژگی های اصلی لگاریتم در جدول ارائه شده است.

ارزش های خصوصی

لگاریتم پایه 10 نامیده می شود لگاریتم اعشاریو به این صورت مشخص شده است:

لگاریتم پایه هتماس گرفت لگاریتم طبیعی:

فرمول های لگاریتمی پایه

خواص لگاریتم که از تعریف تابع معکوس به دست می آید:

ویژگی اصلی لگاریتم ها و پیامدهای آن

فرمول جایگزینی پایه

لگاریتم عملیات ریاضی گرفتن لگاریتم است. هنگام گرفتن لگاریتم، حاصلضرب عوامل به مجموع ترم ها تبدیل می شود.
تقویت یک عملیات ریاضی معکوس لگاریتم است. هنگام تقویت، پایه داده شده به قدرت عبارتی که تقویت بر روی آن انجام می شود، افزایش می یابد. در این حالت، مجموع عبارت ها به محصول عوامل تبدیل می شود.

اثبات فرمول های پایه لگاریتم

فرمول های مربوط به لگاریتم از فرمول های توابع نمایی و از تعریف تابع معکوس به دست می آیند.

ویژگی تابع نمایی را در نظر بگیرید
.
سپس
.
خاصیت تابع نمایی را اعمال کنید
:
.

اجازه دهید فرمول تغییر پایه را ثابت کنیم.
;
.
با تنظیم c = b، داریم:

تابع معکوس

متقابل پایه یک لگاریتم تابع نمایی با توان a است.

اگر پس از آن

اگر پس از آن

مشتق لگاریتم

مشتق مدول لگاریتم x :
.
مشتق از مرتبه n:
.
اشتقاق فرمول ها > > >

برای یافتن مشتق لگاریتم، باید آن را به پایه تقلیل داد ه.
;
.

انتگرال

انتگرال لگاریتم با انتگرال گیری توسط قطعات محاسبه می شود: .
بنابراین،

عبارات بر حسب اعداد مختلط

تابع اعداد مختلط را در نظر بگیرید z:
.
بیایید یک عدد مختلط را بیان کنیم zاز طریق ماژول rو استدلال φ :
.
سپس با استفاده از خواص لگاریتم داریم:
.
یا

با این حال، استدلال φ به وضوح تعریف نشده است. اگر قرار دهیم
، جایی که n یک عدد صحیح است،
سپس برای متفاوت همان عدد خواهد بود n.

بنابراین، لگاریتم، به عنوان تابعی از یک متغیر مختلط، یک تابع تک مقداری نیست.

گسترش سری پاور

برای ، بسط صورت می گیرد:

منابع:
که در. برونشتاین، ک.ا. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسان و دانشجویان مؤسسات آموزش عالی، لان، 2009.

اغلب عدد ده را بگیرید. لگاریتم اعداد به پایه ده نامیده می شود اعشاری. هنگام انجام محاسبات با لگاریتم اعشاری، معمول است که با علامت عمل کنید ال جی، اما نه ورود به سیستم; در حالی که عدد ده که پایه را تعیین می کند، نشان داده نشده است. بله تعویض می کنیم لاگ 10 105ساده شده lg105; آ log102بر lg2.

برای لگاریتم های اعشاریهمان ویژگی هایی که لگاریتم ها با پایه بزرگتر از یک دارند، معمولی هستند. یعنی لگاریتم های اعشاری منحصراً برای اعداد مثبت مشخص می شوند. لگاریتم اعشاری اعداد بزرگتر از یک مثبت و اعداد کوچکتر از یک منفی هستند. از دو عدد غیر منفی، لگاریتم اعشاری بزرگتر نیز معادل عدد بزرگتر است، و غیره. علاوه بر این، لگاریتم های اعشاری دارای ویژگی های متمایز و ویژگی های عجیب و غریب هستند، که توضیح می دهد که چرا ترجیح دادن عدد ده به عنوان مبنای لگاریتم راحت است.

قبل از تجزیه و تحلیل این خواص، اجازه دهید نگاهی به فرمول های زیر بیاندازیم.

قسمت صحیح لگاریتم اعشاری یک عدد آتماس گرفت مشخصه، و کسری مانتیساین لگاریتم

مشخصه لگاریتم اعشاری یک عدد آنشان داده شده به عنوان، و مانتیس به عنوان (lg آ}.

مثلاً lg 2 ≈ 0.3010 را در نظر بگیریم، بر این اساس، = 0، (log 2) ≈ 0.3010.

همین امر برای lg 543.1 ≈2.7349 نیز صادق است. بر این اساس، = 2، (lg 543.1)≈ 0.7349.

محاسبه لگاریتم اعشاری اعداد مثبت از جداول بسیار مورد استفاده قرار می گیرد.

علائم مشخصه لگاریتم اعشاری.

اولین علامت لگاریتم اعشاری.یک عدد صحیح غیر منفی که با 1 و به دنبال آن صفرها نشان داده شود، یک عدد صحیح مثبت برابر با تعداد صفرهای عدد انتخاب شده است. .

بیایید lg 100 = 2، lg 1 00000 = 5 را در نظر بگیریم.

به طور کلی، اگر

که آ= 10n ، که از آن می گیریم

lg a = lg 10 n = n lg 10 =پ.

علامت دوملگاریتم اعشاری یک اعشار مثبت، که با یک با صفرهای ابتدایی نشان داده شده است، - است پ، جایی که پ- تعداد صفرها در نمایش این عدد با در نظر گرفتن صفر اعداد صحیح.

در نظر گرفتن , lg 0.001 = -3، lg 0.000001 = -6.

به طور کلی، اگر

,

که آ= 10-n و معلوم می شود

lga = lg 10n =-n lg 10 =-n

علامت سوممشخصه لگاریتم اعشاری یک عدد غیر منفی بزرگتر از یک برابر است با تعداد ارقام در قسمت صحیح این عدد به استثنای یک.

بیایید این ویژگی را تجزیه و تحلیل کنیم 1) مشخصه لگاریتم lg 75.631 برابر با 1 است.

در واقع 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

ال جی 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

این دلالت می کنه که،

lg 75.631 = 1 + b،

جابجایی کاما در کسری اعشاری به راست یا چپ معادل عمل ضرب این کسری در توان ده با توان عدد صحیح است. پ(مثبت یا منفی). و بنابراین، هنگامی که نقطه اعشار در یک کسر اعشاری مثبت به چپ یا راست منتقل می شود، مانتیس لگاریتم اعشاری این کسری تغییر نمی کند.

بنابراین، (log 0.0053) = (log 0.53) = (log 0.0000053).

محدوده قابل قبول (ODZ) لگاریتم

حالا بیایید در مورد محدودیت ها (ODZ - ناحیه مقادیر مجاز متغیرها) صحبت کنیم.

به یاد داریم که برای مثال، جذر را نمی توان از اعداد منفی گرفت. یا اگر کسری داشته باشیم، مخرج آن نمی تواند برابر با صفر باشد. محدودیت های مشابهی برای لگاریتم وجود دارد:

یعنی هم آرگومان و هم مبنا باید بزرگتر از صفر باشند و پایه نمی تواند برابر باشد.

چرا اینطور است؟

بیایید ساده شروع کنیم: این را بگوییم. سپس، برای مثال، عدد وجود ندارد، زیرا مهم نیست که چه درجه ای را افزایش دهیم، همیشه معلوم می شود. علاوه بر این، برای هیچ کدام وجود ندارد. اما در عین حال می تواند با هر چیزی برابر باشد (به همان دلیل - با هر درجه ای برابر است). بنابراین، شی مورد علاقه نیست و به سادگی از ریاضیات پرتاب شده است.

ما در مورد یک مشکل مشابه داریم: در هر درجه مثبت - این، اما به هیچ وجه نمی توان آن را به یک توان منفی رساند، زیرا تقسیم بر صفر نتیجه می دهد (به شما یادآوری می کنم).

وقتی با مشکل افزایش به توان کسری (که به صورت ریشه نمایش داده می شود:. مثلاً (یعنی) مواجه می شویم اما وجود ندارد.

بنابراین، دور انداختن دلایل منفی راحت تر از به هم ریختن آنهاست.

خوب، از آنجایی که پایه a فقط برای ما مثبت است، مهم نیست که چه درجه ای آن را افزایش دهیم، همیشه یک عدد کاملاً مثبت خواهیم داشت. پس استدلال باید مثبت باشد. به عنوان مثال، وجود ندارد، زیرا به هیچ وجه یک عدد منفی نخواهد بود (و حتی صفر، بنابراین وجود ندارد).

در مسائل مربوط به لگاریتم، اولین قدم نوشتن ODZ است. مثالی می زنم:

بیایید معادله را حل کنیم.

این تعریف را به یاد بیاورید: لگاریتم قدرتی است که برای بدست آوردن آرگومان، پایه باید به آن افزایش یابد. و با شرط این درجه برابر است با: .

معادله درجه دوم معمولی را بدست می آوریم: . ما آن را با استفاده از قضیه Vieta حل می کنیم: مجموع ریشه ها و حاصل برابر است. برداشتن آسان، اینها اعداد و ارقام هستند.

اما اگر بلافاصله هر دوی این اعداد را در پاسخ بگیرید و یادداشت کنید، می توانید 0 امتیاز برای کار دریافت کنید. چرا؟ بیایید فکر کنیم اگر این ریشه ها را در معادله اولیه جایگزین کنیم چه اتفاقی می افتد؟

این به وضوح نادرست است، زیرا پایه نمی تواند منفی باشد، یعنی ریشه "شخص ثالث" است.

برای جلوگیری از چنین ترفندهای ناخوشایندی، باید ODZ را حتی قبل از شروع حل معادله یادداشت کنید:

سپس با دریافت ریشه ها و بلافاصله ریشه را کنار می گذاریم و پاسخ صحیح را می نویسیم.

مثال 1(سعی کن خودت حلش کنی) :

ریشه معادله را پیدا کنید. اگر چندین ریشه وجود دارد، در پاسخ خود ریشه کوچکتر را مشخص کنید.

راه حل:

اول از همه، بیایید ODZ را بنویسیم:

اکنون به یاد می آوریم که لگاریتم چیست: برای به دست آوردن آرگومان به چه قدرتی نیاز دارید که پایه را بالا ببرید؟ در دومی. به این معنا که:

به نظر می رسد که ریشه کوچکتر برابر است. اما اینطور نیست: طبق ODZ، ریشه شخص ثالث است، یعنی اصلا ریشه این معادله نیست. بنابراین، معادله فقط یک ریشه دارد: .

پاسخ: .

هویت لگاریتمی پایه

تعریف لگاریتم را به صورت کلی به یاد بیاورید:

در برابری دوم به جای لگاریتم جایگزین کنید:

این برابری نامیده می شود هویت لگاریتمی پایه. اگرچه در اصل این برابری فقط متفاوت نوشته شده است تعریف لگاریتم:

این قدرتی است که برای رسیدن به آن باید بالا ببرید.

مثلا:

مثال های زیر را حل کنید:

مثال 2

مقدار عبارت را پیدا کنید.

راه حل:

قانون را از بخش: به یاد بیاورید، یعنی هنگام بالا بردن درجه به توان، شاخص ها ضرب می شوند. بیایید آن را اعمال کنیم:

مثال 3

ثابت کنیم که.

راه حل:

خواص لگاریتم ها

متأسفانه، کارها همیشه به این سادگی نیستند - اغلب ابتدا باید عبارت را ساده کنید، آن را به شکل معمولی برسانید و تنها در این صورت امکان محاسبه مقدار وجود خواهد داشت. انجام این کار با دانستن ساده ترین کار است خواص لگاریتم ها. پس بیایید ویژگی های اصلی لگاریتم ها را بیاموزیم. من هر یک از آنها را ثابت خواهم کرد، زیرا اگر بدانید هر قانون از کجا آمده است، به خاطر سپردن آسانتر است.

همه این ویژگی ها را باید به خاطر بسپارید؛ بدون آنها، بسیاری از مسائل مربوط به لگاریتم قابل حل نیستند.

و اکنون در مورد تمام خواص لگاریتم با جزئیات بیشتر.

خاصیت 1:

اثبات:

بگذار پس

ما داریم: , h.t.d.

خاصیت 2: مجموع لگاریتم ها

مجموع لگاریتم هایی با پایه یکسان برابر است با لگاریتم حاصل: .

اثبات:

بگذار پس بگذار پس

مثال:مقدار عبارت را پیدا کنید: .

راه حل: .

فرمولی که به تازگی یاد گرفتید به ساده کردن مجموع لگاریتم ها کمک می کند، نه تفاوت، به طوری که این لگاریتم ها نمی توانند فوراً ترکیب شوند. اما می توانید برعکس این کار را انجام دهید - لگاریتم اول را به دو قسمت تقسیم کنید: و در اینجا ساده سازی وعده داده شده است:
.
چرا این مورد نیاز است؟ خوب مثلا: چه اهمیتی دارد؟

حالا واضح است که

اکنون کار را برای خود آسان کنید:

وظایف:

پاسخ ها:

خاصیت 3: تفاوت لگاریتم ها:

اثبات:

همه چیز دقیقاً مانند بند 2 است:

بگذار پس

بگذار پس ما داریم:

مثال از نقطه آخر اکنون حتی ساده تر است:

مثال پیچیده تر: . خودتان حدس بزنید چگونه تصمیم بگیرید؟

در اینجا لازم به ذکر است که ما یک فرمول واحد در مورد لگاریتم مربع نداریم. این چیزی شبیه به یک عبارت است - این را نمی توان فوراً ساده کرد.

بنابراین، بیایید از فرمول‌های مربوط به لگاریتم دور شویم و به این فکر کنیم که معمولاً از چه فرمول‌هایی در ریاضیات استفاده می‌کنیم؟ از کلاس هفتم!

این - . شما باید به این واقعیت عادت کنید که آنها همه جا هستند! و در مسائل نمایی و مثلثاتی و غیر منطقی یافت می شوند. بنابراین، آنها باید به خاطر بسپارند.

اگر به دو اصطلاح اول دقت کنید، مشخص می شود که اینطور است تفاوت مربع ها:

پاسخ برای بررسی:

خودتان را ساده کنید.

مثال ها

پاسخ ها.

خاصیت 4: استخراج توان از استدلال لگاریتم:

اثبات:و در اینجا از تعریف لگاریتم نیز استفاده می کنیم: let, then. داریم: , h.t.d.

شما می توانید این قانون را اینگونه درک کنید:

یعنی درجه استدلال به عنوان یک ضریب از لگاریتم جلوتر گرفته می شود.

مثال:مقدار عبارت را پیدا کنید.

راه حل: .

خودتان تصمیم بگیرید:

مثال ها:

پاسخ ها:

خاصیت 5: استخراج توان از پایه لگاریتم:

اثبات:بگذار پس

ما داریم: , h.t.d.
به یاد داشته باشید: از زمینهدرجه به عنوان ارائه می شود معکوسعدد بر خلاف مورد قبلی!

خاصیت 6: استخراج توان از مبنا و آرگومان لگاریتم:

یا اگر درجات یکسان باشد: .

ویژگی 7: انتقال به پایگاه جدید:

اثبات:بگذار پس

ما داریم: , h.t.d.

خاصیت 8: مبادله مبنا و آرگومان لگاریتم:

اثبات:این یک مورد خاص از فرمول 7 است: اگر جایگزین کنیم، به دست می آید: , p.t.d.

بیایید به چند نمونه دیگر نگاه کنیم.

مثال 4

مقدار عبارت را پیدا کنید.

از خاصیت لگاریتم شماره 2 استفاده می کنیم - مجموع لگاریتم های با پایه یکسان برابر است با لگاریتم حاصل:

مثال 5

مقدار عبارت را پیدا کنید.

راه حل:

از خاصیت لگاریتم شماره 3 و شماره 4 استفاده می کنیم:

مثال 6

مقدار عبارت را پیدا کنید.

راه حل:

با استفاده از ملک شماره 7 - به پایه 2 بروید:

مثال 7

مقدار عبارت را پیدا کنید.

راه حل:

مقاله را چگونه دوست دارید؟

اگر در حال خواندن این خطوط هستید، پس کل مقاله را خوانده اید.

و جالب است!

حالا به ما بگویید مقاله را چگونه دوست دارید؟

آیا حل لگاریتم را یاد گرفته اید؟ اگر نه مشکل چیست؟

در نظرات زیر برای ما بنویسید.

و بله، در امتحانات موفق باشید.

در آزمون یکپارچه دولتی و OGE و به طور کلی در زندگی

بنابراین، ما دو قدرت داریم. اگر عدد را از خط پایین بگیرید، به راحتی می توانید قدرتی را پیدا کنید که برای به دست آوردن این عدد باید دو را بالا ببرید. به عنوان مثال، برای به دست آوردن 16، باید دو را به توان چهارم ببرید. و برای گرفتن 64 باید دو را به توان ششم برسانید. این را می توان از جدول مشاهده کرد.

و اکنون - در واقع، تعریف لگاریتم:

پایه لگاریتم آرگومان x توانی است که برای بدست آوردن عدد x باید عدد a را به آن افزایش داد.

علامت گذاری: log a x \u003d b، جایی که a پایه است، x آرگومان است، b در واقع همان چیزی است که لگاریتم برابر است.

برای مثال، 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (لگاریتم پایه 2 از 8 سه است زیرا 2 3 = 8 است). ممکن است 2 64 = 6 را نیز ثبت کنید، زیرا 2 6 = 64.

عملیات یافتن لگاریتم یک عدد به یک پایه معین را لگاریتم می گویند. بنابراین بیایید یک ردیف جدید به جدول خود اضافه کنیم:

متأسفانه همه لگاریتم ها به این راحتی در نظر گرفته نمی شوند. به عنوان مثال، سعی کنید log 2 5 را پیدا کنید. عدد 5 در جدول نیست، اما منطق حکم می کند که لگاریتم در جایی از قطعه قرار گیرد. زیرا 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

چنین اعدادی غیر منطقی نامیده می شوند: اعداد بعد از نقطه اعشار را می توان به طور نامحدود نوشت و هرگز تکرار نمی شود. اگر لگاریتم غیرمنطقی است، بهتر است آن را به این صورت رها کنید: log 2 5، log 3 8، log 5 100.

درک این نکته مهم است که لگاریتم عبارتی است با دو متغیر (پایه و آرگومان). در ابتدا، بسیاری از مردم اشتباه می کنند که اساس و استدلال کجاست. برای جلوگیری از سوء تفاهم های آزار دهنده، کافی است به تصویر نگاه کنید:

در مقابل ما چیزی بیش از تعریف لگاریتم نیست. یاد آوردن: لگاریتم قدرت است، که برای دریافت استدلال باید پایه را به آن بالا ببرید. این پایه ای است که به یک قدرت بالا می رود - در تصویر با رنگ قرمز مشخص شده است. معلوم می شود که پایه همیشه در پایین است! من این قانون فوق العاده را در همان درس اول به دانش آموزانم می گویم - و هیچ سردرگمی وجود ندارد.

ما تعریف را فهمیدیم - باید یاد بگیریم که چگونه لگاریتم ها را بشماریم، یعنی. از شر علامت "log" خلاص شوید. برای شروع، متذکر می شویم که دو واقعیت مهم از این تعریف به دست می آید:

1. آرگومان و مبنا باید همیشه بزرگتر از صفر باشد. این از تعریف درجه توسط یک توان گویا، که تعریف لگاریتم به آن تقلیل می یابد، به دست می آید.
2. پایه باید با وحدت متفاوت باشد، زیرا یک واحد به هر قدرتی هنوز یک واحد است. به همین دلیل، این سوال که "برای بدست آوردن دو تا چه قدرتی باید بالا رفت" بی معنی است. چنین مدرکی وجود ندارد!

چنین محدودیت هایی نامیده می شود محدوده معتبر(ODZ). معلوم می شود که ODZ لگاریتم به این صورت است: log a x = b ⇒ x > 0، a > 0، a ≠ 1.

توجه داشته باشید که هیچ محدودیتی بر روی عدد b (مقدار لگاریتم) اعمال نمی شود. برای مثال، لگاریتم ممکن است منفی باشد: log 2 0.5 = -1، زیرا 0.5 = 2-1.

با این حال، اکنون ما فقط عبارات عددی را در نظر می گیریم، جایی که نیازی به دانستن ODZ لگاریتم نیست. تمام محدودیت ها قبلاً توسط کامپایلرهای مشکلات در نظر گرفته شده است. اما وقتی معادلات لگاریتمی و نابرابری ها وارد عمل شوند، الزامات DHS اجباری خواهند شد. در واقع، در مبنا و استدلال می‌تواند ساختارهای بسیار قوی داشته باشد که لزوماً با محدودیت‌های فوق مطابقت ندارد.

اکنون طرح کلی برای محاسبه لگاریتم را در نظر بگیرید. از سه مرحله تشکیل شده است:

1. پایه a و آرگومان x را به صورت توانی با کوچکترین پایه ممکن بزرگتر از یک بیان کنید. در طول راه، بهتر است از کسری اعشاری خلاص شوید.
2. معادله متغیر b را حل کنید: x = a b ;
3. عدد b به دست آمده پاسخ خواهد بود.

همین! اگر لگاریتم غیرمنطقی باشد، این در مرحله اول دیده می شود. این شرط که پایه بزرگتر از یک باشد بسیار مرتبط است: این امر احتمال خطا را کاهش می دهد و محاسبات را بسیار ساده می کند. به طور مشابه با کسرهای اعشاری: اگر بلافاصله آنها را به کسرهای معمولی تبدیل کنید، چندین برابر خطاهای کمتری وجود خواهد داشت.

بیایید ببینیم این طرح با مثال های خاص چگونه کار می کند:

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 5 25

1. بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان پنج نشان دهیم: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
2. بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. پاسخ دریافت کرد: 2.

وظیفه. محاسبه لگاریتم:

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 4 64

1. بیایید پایه و آرگومان را به صورت توان دو نشان دهیم: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. پاسخ دریافت شد: 3.

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 16 1

1. بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان دو نشان دهیم: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. پاسخ دریافت کرد: 0.

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 7 14

1. بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان هفت نشان دهیم: 7 = 7 1 ; 14 به عنوان توان هفت نشان داده نمی شود، زیرا 7 1< 14 < 7 2 ;
2. از پاراگراف قبل بر می آید که لگاریتم در نظر گرفته نمی شود.
3. پاسخ هیچ تغییری نیست: log 7 14.

یک نکته کوچک در مورد آخرین مثال. چگونه مطمئن شویم که یک عدد توان دقیق عدد دیگری نیست؟ بسیار ساده - فقط آن را به فاکتورهای اصلی تجزیه کنید. و اگر چنین عواملی را نتوان در یک درجه با همان شاخص ها جمع آوری کرد، آنگاه عدد اصلی درجه دقیقی نیست.

وظیفه. دریابید که آیا توان های دقیق عدد عبارتند از: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 درجه دقیق است، زیرا فقط یک ضریب وجود دارد.
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 توان دقیقی نیست زیرا دو عامل وجود دارد: 3 و 2.
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - درجه دقیق؛
35 \u003d 7 5 - دوباره یک درجه دقیق نیست.
14 \u003d 7 2 - دوباره یک درجه دقیق نیست.

همچنین توجه داشته باشید که خود اعداد اول همیشه توانهای دقیق خودشان هستند.

لگاریتم اعشاری

برخی از لگاریتم ها آنقدر رایج هستند که نام و نام خاصی دارند.

لگاریتم اعشاری آرگومان x، لگاریتم پایه 10 است، یعنی. توانی که باید عدد 10 را به آن ببرید تا عدد x را بدست آورید. نامگذاری: lg x.

به عنوان مثال، log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - و غیره

از این به بعد وقتی عبارتی مانند Find lg 0.01 در کتاب درسی ظاهر شد، بدانید که این اشتباه تایپی نیست. این لگاریتم اعشاری است. با این حال، اگر به چنین تعیینی عادت ندارید، همیشه می توانید آن را بازنویسی کنید:
log x = log 10 x

هر چیزی که برای لگاریتم های معمولی صادق است برای اعشار نیز صادق است.

لگاریتم طبیعی

لگاریتم دیگری وجود دارد که نماد خاص خود را دارد. به یک معنا، حتی مهمتر از اعشاری است. این لگاریتم طبیعی است.

لگاریتم طبیعی آرگومان x لگاریتم پایه e است، یعنی. توانی که برای بدست آوردن عدد x باید عدد e را به آن افزایش داد. نامگذاری: ln x.

بسیاری خواهند پرسید: عدد e دیگر چیست؟ این یک عدد غیر منطقی است، مقدار دقیق آن را نمی توان یافت و یادداشت کرد. در اینجا فقط اعداد اول هستند:
e = 2.718281828459...

ما به این نخواهیم پرداخت که این عدد چیست و چرا به آن نیاز است. فقط به یاد داشته باشید که e پایه لگاریتم طبیعی است:
ln x = log e x

بنابراین ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - و غیره. از طرف دیگر، ln 2 یک عدد غیر منطقی است. به طور کلی، لگاریتم طبیعی هر عدد گویا غیر منطقی است. به جز، البته، وحدت: ln 1 = 0.

برای لگاریتم های طبیعی، تمام قوانینی که برای لگاریتم های معمولی صادق هستند، معتبر هستند.