Logaritam. Decimalni logaritam. Što je decimalni logaritam? Kako ukloniti decimalni logaritam

\(a^(b)=c\) \(\Lijeva desna strelica\) \(\log_(a)(c)=b\)

Objasnimo to lakše. Na primjer, \(\log_(2)(8)\) jednako je potenciji \(2\) na koju se mora podići da bi se dobilo \(8\). Iz ovoga je jasno da je \(\log_(2)(8)=3\).

Argument i baza logaritma

Svaki logaritam ima sljedeću "anatomiju":

Argument logaritma obično se piše na njegovoj razini, a baza se piše u indeksu bliže znaku logaritma. A ovaj unos se čita ovako: "logaritam od dvadeset pet na bazi pet."

Kako izračunati logaritam?

Da biste izračunali logaritam, morate odgovoriti na pitanje: na koji stupanj treba podići bazu da dobijete argument?

Na primjer, izračunajte logaritam: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Na koju potenciju treba podići \(4\) da bi se dobilo \(16\)? Očito drugo. Zato:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Na koju potenciju treba podići \(\sqrt(5)\) da bi se dobilo \(1\)? A koji stupanj čini bilo koji broj jedinicom? Nula, naravno!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Na koju potenciju treba podići \(\sqrt(7)\) da bi se dobilo \(\sqrt(7)\)? U prvom - bilo koji broj u prvom stupnju jednak je sam sebi.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Na koju potenciju treba podići \(3\) da bi se dobilo \(\sqrt(3)\)? Iz znamo da je to razlomačka potencija, pa je stoga kvadratni korijen potencija od \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Primjer : Izračunajte logaritam \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Riješenje :

Odgovor : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Zašto je izmišljen logaritam?

Da bismo ovo razumjeli, riješimo jednadžbu: \(3^(x)=9\). Samo spojite \(x\) da jednakost funkcionira. Naravno, \(x=2\).

Sada riješite jednadžbu: \(3^(x)=8\). Čemu je jednako x? To je bit.

Najgenijalniji će reći: "X je malo manje od dva." Kako točno treba napisati ovaj broj? Kako bi odgovorili na ovo pitanje, smislili su logaritam. Zahvaljujući njemu, odgovor se ovdje može napisati kao \(x=\log_(3)(8)\).

Želim naglasiti da \(\log_(3)(8)\), kao i svaki logaritam je samo broj. Da, izgleda neobično, ali je kratko. Jer da ga želimo napisati kao decimalu, izgledalo bi ovako: \(1,892789260714.....\)

Primjer : Riješite jednadžbu \(4^(5x-4)=10\)

Riješenje :

Odgovor : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimalni i prirodni logaritmi

Kao što je navedeno u definiciji logaritma, njegova baza može biti bilo koji pozitivan broj osim jedan \((a>0, a\neq1)\). A među svim mogućim bazama postoje dvije koje se javljaju toliko često da je za logaritme s njima izmišljen poseban kratki zapis:

Prirodni logaritam: logaritam čija je baza Eulerov broj \(e\) (jednak približno \(2,7182818…\)), a logaritam se piše kao \(\ln(a)\).

To je, \(\ln(a)\) je isto što i \(\log_(e)(a)\)

Decimalni logaritam: Logaritam čija je baza 10 piše \(\lg(a)\).

To je, \(\lg(a)\) je isto što i \(\log_(10)(a)\), gdje je \(a\) neki broj.

Osnovni logaritamski identitet

Logaritmi imaju mnoga svojstva. Jedan od njih se zove "Osnovni logaritamski identitet" i izgleda ovako:

Ovo svojstvo izravno proizlazi iz definicije. Pogledajmo kako je nastala ova formula.

Prisjetimo se kratke definicije logaritma:

ako \(a^(b)=c\), tada \(\log_(a)(c)=b\)

Odnosno, \(b\) je isto što i \(\log_(a)(c)\). Tada možemo napisati \(\log_(a)(c)\) umjesto \(b\) u formuli \(a^(b)=c\) . Ispalo je \(a^(\log_(a)(c))=c\) - glavni logaritamski identitet.

Ostala svojstva logaritama možete pronaći. Uz njihovu pomoć možete pojednostaviti i izračunati vrijednosti izraza s logaritmima, koje je teško izravno izračunati.

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(36^(\log_(6)(5))\)

Riješenje :

Odgovor : \(25\)

Kako napisati broj kao logaritam?

Kao što je gore spomenuto, svaki logaritam je samo broj. Vrijedi i obrnuto: bilo koji broj se može napisati kao logaritam. Na primjer, znamo da je \(\log_(2)(4)\) jednako dva. Tada možete napisati \(\log_(2)(4)\) umjesto dva.

Ali \(\log_(3)(9)\) također je jednako \(2\), tako da također možete napisati \(2=\log_(3)(9)\) . Slično s \(\log_(5)(25)\), i s \(\log_(9)(81)\), itd. Odnosno, ispada

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Stoga, ako trebamo, možemo zapisati dva kao logaritam s bilo kojom bazom bilo gdje (čak iu jednadžbi, čak i u izrazu, čak i u nejednadžbi) - samo zapišemo kvadrat baze kao argument.

Isto je i s trojkom - može se napisati kao \(\log_(2)(8)\), ili kao \(\log_(3)(27)\), ili kao \(\log_(4)( 64) \) ... Ovdje pišemo bazu u kocki kao argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

I sa četiri:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

I sa minus jedan:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

I s jednom trećinom:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bilo koji broj \(a\) može se predstaviti kao logaritam s bazom \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Riješenje :

Odgovor : \(1\)

Daju se glavna svojstva logaritma, graf logaritma, područje definiranja, skup vrijednosti, osnovne formule, porast i opadanje. Razmatra se nalaženje izvoda logaritma. Kao i integral, širenje u potencijski niz i predstavljanje pomoću kompleksnih brojeva.

Domena, skup vrijednosti, rastuće, silazno

Logaritam je monotona funkcija, pa nema ekstrema. Glavna svojstva logaritma prikazana su u tablici.

Privatne vrijednosti

Logaritam s bazom 10 naziva se decimalni logaritam i označava se ovako:

osnovni logaritam e nazvao prirodni logaritam:

Osnovne logaritamske formule

Svojstva logaritma proizlaze iz definicije inverzne funkcije:

Glavno svojstvo logaritama i njegove posljedice

Formula za zamjenu baze

Logaritam je matematička operacija uzimanja logaritma. Prilikom logaritmiranja umnošci faktora pretvaraju se u zbroje članova.
Potenciranje je matematička operacija inverzna logaritmu. Pri potenciranju se zadana baza podiže na potenciju izraza na kojem se vrši potenciranje. U ovom slučaju, zbrojevi članova pretvaraju se u umnoške faktora.

Dokaz osnovnih formula za logaritme

Formule vezane uz logaritme slijede iz formula za eksponencijalne funkcije i iz definicije inverzne funkcije.

Razmotrimo svojstvo eksponencijalne funkcije
.
Zatim
.
Primijeniti svojstvo eksponencijalne funkcije
:
.

Dokažimo formulu promjene baze.
;
.
Postavljajući c = b, imamo:

Inverzna funkcija

Recipročna vrijednost logaritma baze a je eksponencijalna funkcija s eksponentom a.

Ako tada

Ako tada

Derivacija logaritma

Derivacija logaritma po modulu x:
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula >>>

Da bismo pronašli izvod logaritma, on se mora svesti na bazu e.
;
.

Sastavni

Integral logaritma izračunava se integriranjem po dijelovima : .
Tako,

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Razmotrimo funkciju kompleksnog broja z:
.
Izrazimo kompleksan broj z preko modula r i argument φ :
.
Tada, koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Ili

Međutim, argument φ nije jasno definirano. Ako stavimo
, gdje je n cijeli broj,
onda će to biti isti broj za različite n.

Stoga logaritam, kao funkcija kompleksne varijable, nije funkcija s jednom vrijednošću.

Proširenje niza potencija

Za , proširenje se odvija:

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.

Često uzmite broj deset. Logaritmi brojeva s bazom deset nazivaju se decimal. Kada se izvode izračuni s decimalnim logaritmom, uobičajeno je raditi sa znakom lg, ali ne log; dok broj deset, koji određuje bazu, nije naznačen. Da, zamjenjujemo zapisnik 10 105 na pojednostavljeno lg105; A zapisnik102 na lg2.

Za decimalni logaritmi tipične su iste značajke koje imaju logaritmi s bazom većom od jedan. Naime, decimalni logaritmi karakteriziraju isključivo pozitivne brojeve. Decimalni logaritmi brojeva većih od jedan su pozitivni, a brojeva manjih od jedan su negativni; dvaju nenegativnih brojeva, veći decimalni logaritam također je ekvivalentan većem, itd. Osim toga, decimalni logaritmi imaju posebne značajke i osebujne značajke, koje objašnjavaju zašto je ugodno preferirati broj deset kao osnovu logaritama.

Prije analize ovih svojstava, pogledajmo sljedeće formulacije.

Cijeli dio decimalnog logaritma broja A nazvao karakteristika, i razlomak kazaljka ovaj logaritam.

Karakteristika decimalnog logaritma broja A označeno kao , a mantisa kao (lg A}.

Uzmimo, recimo, lg 2 ≈ 0,3010. Prema tome, = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

Isto vrijedi i za lg 543.1 ≈2.7349. Prema tome, = 2, (lg 543.1)≈ 0.7349.

Izračunavanje decimalnih logaritama pozitivnih brojeva iz tablica prilično je široko korišteno.

Karakteristični predznaci decimalnih logaritama.

Prvi znak decimalnog logaritma. nenegativan cijeli broj predstavljen s 1 iza kojeg slijede nule je pozitivan cijeli broj jednak broju nula u odabranom broju .

Uzmimo lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

Općenito govoreći, ako

Da A= 10n , iz kojeg dobivamo

lg a = lg 10 n = n lg 10 =P.

Drugi znak. Decimalni logaritam pozitivne decimale, prikazan jedinicom s vodećim nulama, je − P, Gdje P- broj nula u prikazu ovog broja, uzimajući u obzir nulu cijelih brojeva.

Smatrati , lg 0,001 = -3, lg 0,000001 = -6.

Općenito govoreći, ako

,

Da a= 10-n i ispada

lga = lg 10n =-n lg 10 =-n

Treći znak. Karakteristika decimalnog logaritma nenegativnog broja većeg od jedan jednaka je broju znamenki u cijelom dijelu tog broja, isključujući jedinicu.

Analizirajmo ovu značajku 1) Karakteristika logaritma lg 75,631 izjednačena je s 1.

Doista, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

LG 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Iz čega slijedi,

lg 75.631 = 1 + b,

Pomicanje zareza u decimalnom razlomku udesno ili ulijevo jednako je operaciji množenja tog razlomka potencijom desetice s cjelobrojnim eksponentom P(pozitivno ili negativno). Stoga, kada se decimalna točka u pozitivnom decimalnom razlomku pomakne ulijevo ili udesno, mantisa decimalnog logaritma tog razlomka se ne mijenja.

Dakle, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).

Prihvatljivi raspon (ODZ) logaritma

Sada govorimo o ograničenjima (ODZ - područje dopuštenih vrijednosti varijabli).

Sjećamo se da se, na primjer, kvadratni korijen ne može izvaditi iz negativnih brojeva; ili ako imamo razlomak, tada nazivnik ne može biti jednak nuli. Postoje slična ograničenja za logaritme:

To jest, i argument i baza moraju biti veći od nule, a baza ne može biti jednaka.

Zašto je to?

Počnimo jednostavno: recimo to. Tada, na primjer, broj ne postoji, jer koji god stupanj podignemo, uvijek ispadne. Štoviše, ne postoji ni za jednu. Ali u isto vrijeme može biti jednak bilo čemu (iz istog razloga - jednak je bilo kojem stupnju). Dakle, objekt je nezanimljiv i jednostavno je izbačen iz matematike.

Imamo sličan problem u slučaju: u bilo kojem pozitivnom stupnju - ovo, ali se uopće ne može podići na negativnu potenciju, jer će rezultirati dijeljenjem s nulom (podsjećam vas na to).

Kada se suočimo s problemom podizanja na razlomačku potenciju (koja je predstavljena kao korijen:. Na primjer, (to jest), ali ne postoji.

Stoga je negativne razloge lakše odbaciti nego petljati se s njima.

Pa, budući da je baza a samo pozitivna za nas, onda bez obzira na koji stupanj je podignemo, uvijek ćemo dobiti striktno pozitivan broj. Dakle, argument mora biti pozitivan. Na primjer, ne postoji, budući da ni u kojoj mjeri neće biti negativan broj (pa čak ni nula, stoga ni ne postoji).

U zadacima s logaritmima prvi korak je zapisivanje ODZ. Dat ću primjer:

Riješimo jednadžbu.

Podsjetimo se definicije: logaritam je potencija na koju se mora podići baza da bi se dobio argument. A prema uvjetu, ovaj stupanj je jednak: .

Dobivamo uobičajenu kvadratnu jednadžbu: . Rješavamo ga pomoću Vieta teorema: zbroj korijena je jednak, a umnožak. Lako se pokupiti, ovo su brojevi i.

Ali ako odmah uzmete i zapišete oba ova broja u odgovoru, možete dobiti 0 bodova za zadatak. Zašto? Razmislimo što se događa ako te korijene zamijenimo početnom jednadžbom?

Ovo je očito netočno, jer baza ne može biti negativna, odnosno korijen je "treća strana".

Da biste izbjegli takve neugodne trikove, trebate zapisati ODZ čak i prije nego što počnete rješavati jednadžbu:

Zatim, primivši korijene i, odmah odbacujemo korijen i pišemo točan odgovor.

Primjer 1(pokušajte sami riješiti) :

Pronađite korijen jednadžbe. Ako ima više korijena, u svom odgovoru označite onaj manji.

Riješenje:

Prije svega, napišimo ODZ:

Sada se sjećamo što je logaritam: na koju snagu trebate podići bazu da biste dobili argument? U drugom. To je:

Čini se da je manji korijen jednak. Ali to nije tako: prema ODZ-u, korijen je treće strane, odnosno uopće nije korijen ove jednadžbe. Dakle, jednadžba ima samo jedan korijen: .

Odgovor: .

Osnovni logaritamski identitet

Prisjetite se općenite definicije logaritma:

Zamijenite u drugu jednakost umjesto logaritma:

Ova jednakost se zove osnovni logaritamski identitet. Iako je u biti ta jednakost samo drugačije napisana definicija logaritma:

Ovo je snaga do koje se morate podići da biste je postigli.

Na primjer:

Riješite sljedeće primjere:

Primjer 2

Pronađite vrijednost izraza.

Riješenje:

Prisjetite se pravila iz odjeljka:, to jest, kada se stupanj podiže na potenciju, indikatori se množe. Primijenimo ga:

Primjer 3

Dokaži to.

Riješenje:

Svojstva logaritama

Nažalost, zadaci nisu uvijek tako jednostavni - često prvo morate pojednostaviti izraz, dovesti ga u uobičajeni oblik, a tek tada će biti moguće izračunati vrijednost. Najlakše je to učiniti znajući svojstva logaritama. Dakle, naučimo osnovna svojstva logaritama. Dokazat ću svako od njih, jer svako se pravilo lakše pamti ako znaš odakle dolazi.

Sva ova svojstva moraju se zapamtiti; bez njih se većina problema s logaritmima ne može riješiti.

A sada o svim svojstvima logaritama detaljnije.

Svojstvo 1:

Dokaz:

Neka, dakle.

Imamo: , h.t.d.

Svojstvo 2: Zbroj logaritama

Zbroj logaritama s istom bazom jednak je logaritmu umnoška: .

Dokaz:

Neka, dakle. Neka, dakle.

Primjer: Odredi vrijednost izraza: .

Riješenje: .

Formula koju ste upravo naučili pomaže pojednostaviti zbroj logaritama, a ne razliku, tako da se ti logaritmi ne mogu odmah kombinirati. Ali možete učiniti suprotno - "razbiti" prvi logaritam na dva dijela: I evo obećanog pojednostavljenja:
.
Zašto je ovo potrebno? Pa, na primjer: kakve to veze ima?

Sada je to očito.

Sada olakšaj sebi:

Zadaci:

odgovori:

Svojstvo 3: Razlika logaritama:

Dokaz:

Sve je potpuno isto kao u paragrafu 2:

Neka, dakle.

Neka, dakle. Imamo:

Primjer iz zadnje točke sada je još jednostavniji:

Složeniji primjer: . Pogodite sami kako se odlučiti?

Ovdje treba napomenuti da nemamo niti jednu formulu o logaritmima na kvadrat. Ovo je nešto slično izrazu - ovo se ne može odmah pojednostaviti.

Stoga, maknimo se od formula o logaritmima i razmislimo koje formule općenito najčešće koristimo u matematici? Još od 7. razreda!

Ovo - . Morate se naviknuti na činjenicu da su posvuda! I u eksponencijalnim, i u trigonometrijskim, i u iracionalnim problemima, oni se nalaze. Stoga ih se mora zapamtiti.

Ako pažljivo pogledate prva dva pojma, postaje jasno da je to razlika kvadrata:

Odgovor za provjeru:

Pojednostavite se.

Primjeri

Odgovori.

Svojstvo 4: Derivacija eksponenta iz argumenta logaritma:

Dokaz: I ovdje također koristimo definiciju logaritma: neka, onda. Imamo: , h.t.d.

Ovo pravilo možete shvatiti ovako:

To jest, stupanj argumenta uzima se naprijed od logaritma, kao koeficijent.

Primjer: Pronađite vrijednost izraza.

Riješenje: .

Odlučite sami:

Primjeri:

odgovori:

Svojstvo 5: Derivacija eksponenta iz baze logaritma:

Dokaz: Neka, dakle.

Imamo: , h.t.d.
Zapamtite: od osnove stupanj se prenosi kao obrnuti broj, za razliku od prethodnog slučaja!

Svojstvo 6: Derivacija eksponenta iz baze i argumenta logaritma:

Ili ako su stupnjevi isti: .

Svojstvo 7: Prijelaz na novu bazu:

Dokaz: Neka, dakle.

Imamo: , h.t.d.

Svojstvo 8: Zamjena baze i argumenta logaritma:

Dokaz: Ovo je poseban slučaj formule 7: ako zamijenimo, dobivamo: , p.t.d.

Pogledajmo još nekoliko primjera.

Primjer 4

Pronađite vrijednost izraza.

Koristimo svojstvo logaritama br. 2 - zbroj logaritama s istom bazom jednak je logaritmu umnoška:

Primjer 5

Pronađite vrijednost izraza.

Riješenje:

Koristimo svojstvo logaritama br. 3 i br. 4:

Primjer 6

Pronađite vrijednost izraza.

Riješenje:

Koristeći svojstvo broj 7 - idite na bazu 2:

Primjer 7

Pronađite vrijednost izraza.

Riješenje:

Kako vam se sviđa članak?

Ako čitate ove retke, onda ste pročitali cijeli članak.

I super je!

Sada nam recite kako vam se sviđa članak?

Jeste li naučili rješavati logaritme? Ako nije, u čemu je problem?

Pišite nam u komentarima ispod.

I da, sretno s ispitima.

Na Jedinstvenom državnom ispitu i OGE i općenito u životu

Dakle, imamo potencije dvojke. Ako uzmete broj iz donjeg retka, lako možete pronaći snagu na koju morate podići dvojku da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrtu potenciju. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šestu potenciju. To se vidi iz tablice.

A sada - zapravo, definicija logaritma:

Baza a logaritma argumenta x je potencija na koju se broj a mora podići da bi se dobio broj x.

Zapis: log a x \u003d b, gdje je a baza, x argument, b je zapravo ono čemu je jednak logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritam s bazom 2 od 8 je tri jer je 2 3 = 8). Moglo bi se i zapisati 2 64 = 6, budući da je 2 6 = 64.

Operacija pronalaženja logaritma broja na zadanu bazu naziva se logaritam. Dakle, dodajmo novi red u našu tablicu:

Nažalost, ne razmatraju se svi logaritmi tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći log 2 5. Broj 5 nije u tablici, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na segmentu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takve brojeve nazivamo iracionalnim: brojevi iza decimalne točke mogu se pisati neograničeno dugo i nikada se ne ponavljaju. Ako se logaritam pokaže iracionalnim, bolje ga je ostaviti ovako: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Važno je razumjeti da je logaritam izraz s dvije varijable (baza i argument). U početku mnogi brkaju gdje je osnova, a gdje argument. Kako biste izbjegli dosadne nesporazume, samo pogledajte sliku:

Pred nama je ništa više od definicije logaritma. Zapamtiti: logaritam je stupanj, na koju trebate podići bazu da biste dobili argument. To je baza koja je podignuta na potenciju - na slici je označena crvenom bojom. Ispada da je baza uvijek na dnu! Ovo prekrasno pravilo govorim svojim učenicima na prvoj lekciji - i nema zabune.

Shvatili smo definiciju - ostaje naučiti kako brojati logaritme, tj. riješite se znaka "log". Za početak napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:

1. Argument i baza uvijek moraju biti veći od nule. To proizlazi iz definicije stupnja pomoću racionalnog eksponenta, na koji se svodi definicija logaritma.
2. Baza se mora razlikovati od jedinice, budući da je jedinica na bilo koju potenciju još uvijek jedinica. Zbog toga je besmisleno pitanje "na koju se snagu treba uzdići da bi se dobilo dvoje". Ne postoji takva diploma!

Takva se ograničenja nazivaju važeći raspon(ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Imajte na umu da nema ograničenja na broj b (vrijednost logaritma) nije nametnuto. Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 = −1, jer 0,5 = 2 −1 .

Međutim, sada razmatramo samo numeričke izraze, gdje nije potrebno znati ODZ logaritma. Sastavljači problema već su uzeli u obzir sva ograničenja. Ali kada u igru ​​uđu logaritamske jednadžbe i nejednakosti, zahtjevi DHS-a postat će obvezni. Doista, u osnovi i argumentu mogu postojati vrlo jake konstrukcije, koje ne moraju nužno odgovarati gornjim ograničenjima.

Sada razmotrite opću shemu za izračunavanje logaritama. Sastoji se od tri koraka:

1. Izrazite bazu a i argument x kao potenciju s najmanjom mogućom bazom većom od jedan. Usput je bolje riješiti se decimalnih razlomaka;
2. Riješite jednadžbu za varijablu b: x = a b ;
3. Rezultirajući broj b bit će odgovor.

To je sve! Ako se logaritam pokaže iracionalnim, to će se vidjeti već na prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan vrlo je relevantan: to smanjuje vjerojatnost pogreške i uvelike pojednostavljuje izračune. Slično je i s decimalnim razlomcima: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će višestruko manje pogrešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira s konkretnim primjerima:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25

1. Predstavimo bazu i argument kao potenciju broja pet: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
2. Napravimo i riješimo jednadžbu:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Dobio odgovor: 2.

Zadatak. Izračunajte logaritam:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 4 64

1. Predstavimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Napravimo i riješimo jednadžbu:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Dobio odgovor: 3.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1

1. Predstavimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Napravimo i riješimo jednadžbu:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Primljen odgovor: 0.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 7 14

1. Predstavimo bazu i argument kao potenciju broja sedam: 7 = 7 1 ; 14 nije predstavljeno kao stepen od sedam, jer je 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prethodnog odlomka proizlazi da se logaritam ne uzima u obzir;
3. Odgovor je bez promjene: log 7 14.

Mala napomena o posljednjem primjeru. Kako biti siguran da broj nije točna potencija drugog broja? Vrlo jednostavno - samo ga rastavite na proste faktore. A ako se takvi faktori ne mogu sakupiti u stupnju s istim pokazateljima, tada izvorni broj nije točan stupanj.

Zadatak. Saznajte jesu li točne potencije broja: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 je točan stupanj, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nije točna potencija jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - točan stupanj;
35 \u003d 7 5 - opet nije točna diploma;
14 \u003d 7 2 - opet nije točan stupanj;

Primijetite također da su sami prosti brojevi uvijek sami sebi točne potencije.

Decimalni logaritam

Neki logaritmi su toliko uobičajeni da imaju poseban naziv i oznaku.

Decimalni logaritam argumenta x je logaritam baze 10, tj. potenciju na koju treba povisiti broj 10 da bi se dobio broj x. Oznaka: lg x .

Na primjer, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput "Pronađi lg 0,01", znajte da to nije tipfeler. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste navikli na takvu oznaku, uvijek je možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimale.

prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima vlastitu notaciju. U određenom je smislu čak i važniji od decimalnog. Ovo je prirodni logaritam.

Prirodni logaritam argumenta x je logaritam s bazom e, tj. potenciju na koju treba podići broj e da bi se dobio broj x. Oznaka: ln x .

Mnogi će se pitati: što je još broj e? Ovo je iracionalan broj, njegova točna vrijednost se ne može pronaći i zapisati. Evo samo prvih brojki:
e = 2,718281828459...

Nećemo ulaziti u to koji je to broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x

Stoga je ln e = 1; log e 2 = 2; U 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam svakog racionalnog broja je iracionalan. Osim, naravno, jedinice: ln 1 = 0.

Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.