Logaritem. Decimalni logaritem. Kaj je decimalni logaritem? Kako odstraniti decimalni logaritem

\(a^(b)=c\) \(\Levodesna puščica\) \(\log_(a)(c)=b\)

Razložimo si lažje. Na primer, \(\log_(2)(8)\) je enako potenci \(2\), na katero je treba dvigniti, da dobimo \(8\). Iz tega je jasno, da \(\log_(2)(8)=3\).

Argument in osnova logaritma

Vsak logaritem ima naslednjo "anatomijo":

Argument logaritma je običajno zapisan na njegovi ravni, osnova pa je zapisana v indeksu bližje predznaku logaritma. In ta vnos se bere takole: "logaritem od petindvajset na osnovo pet."

Kako izračunati logaritem?

Če želite izračunati logaritem, morate odgovoriti na vprašanje: do katere stopnje je treba dvigniti osnovo, da dobite argument?

Na primer, izračunajte logaritem: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Na kakšno potenco je treba dvigniti \(4\), da dobimo \(16\)? Očitno drugo. Zato:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Na kakšno potenco je treba dvigniti \(\sqrt(5)\), da dobimo \(1\)? In kakšna stopnja naredi katero koli število enoto? Nula, seveda!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Na kakšno potenco je treba dvigniti \(\sqrt(7)\), da dobimo \(\sqrt(7)\)? V prvem - vsako število v prvi stopnji je enako samemu sebi.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Na kakšno potenco je treba dvigniti \(3\), da dobimo \(\sqrt(3)\)? Iz tega vemo, da je to delna potenca, zato je kvadratni koren potenca \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Primer : Izračunajte logaritem \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

rešitev :

Odgovori : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Zakaj je bil izumljen logaritem?

Da bi to razumeli, rešimo enačbo: \(3^(x)=9\). Samo ujemite \(x\), da bo enakost delovala. Seveda \(x=2\).

Zdaj rešite enačbo: \(3^(x)=8\). Čemu je x enak? To je bistvo.

Najbolj iznajdljivi bodo rekli: "X je malo manj kot dva." Kako natančno je treba zapisati to številko? Za odgovor na to vprašanje so se domislili logaritma. Zahvaljujoč njemu lahko tukaj odgovor zapišemo kot \(x=\log_(3)(8)\).

Poudariti želim, da \(\log_(3)(8)\), kot tudi vsak logaritem je samo število. Da, izgleda nenavadno, vendar je kratko. Če bi ga želeli zapisati kot decimalno število, bi bilo videti takole: \(1,892789260714.....\)

Primer : Rešite enačbo \(4^(5x-4)=10\)

rešitev :

Odgovori : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimalni in naravni logaritmi

Kot je navedeno v definiciji logaritma, je njegova osnova lahko katero koli pozitivno število razen ena \((a>0, a\neq1)\). In med vsemi možnimi osnovami sta dve, ki se pojavljata tako pogosto, da je bil za logaritme z njima izumljen poseben kratek zapis:

Naravni logaritem: logaritem, katerega osnova je Eulerjevo število \(e\) (enako približno \(2,7182818…\)), logaritem pa je zapisan kot \(\ln(a)\).

to je \(\ln(a)\) je enako kot \(\log_(e)(a)\)

Decimalni logaritem: Logaritem z osnovo 10 je zapisan \(\lg(a)\).

to je \(\lg(a)\) je enako kot \(\log_(10)(a)\), kjer je \(a\) neko število.

Osnovna logaritemska identiteta

Logaritmi imajo številne lastnosti. Eden od njih se imenuje "Osnovna logaritemska identiteta" in izgleda takole:

Ta lastnost izhaja neposredno iz definicije. Poglejmo, kako točno se je pojavila ta formula.

Spomnimo se kratke definicije logaritma:

če \(a^(b)=c\), potem \(\log_(a)(c)=b\)

To pomeni, \(b\) je enako kot \(\log_(a)(c)\). Potem lahko zapišemo \(\log_(a)(c)\) namesto \(b\) v formuli \(a^(b)=c\) . Izkazalo se je \(a^(\log_(a)(c))=c\) - glavna logaritemska identiteta.

Ostale lastnosti logaritmov najdete. Z njihovo pomočjo lahko poenostavite in izračunate vrednosti izrazov z logaritmi, ki jih je težko neposredno izračunati.

Primer : Poiščite vrednost izraza \(36^(\log_(6)(5))\)

rešitev :

Odgovori : \(25\)

Kako zapisati število kot logaritem?

Kot že omenjeno, je vsak logaritem samo število. Velja tudi obratno: vsako število lahko zapišemo kot logaritem. Na primer, vemo, da je \(\log_(2)(4)\) enako dve. Potem lahko napišete \(\log_(2)(4)\) namesto dveh.

Toda \(\log_(3)(9)\) je enako tudi \(2\), tako da lahko zapišete tudi \(2=\log_(3)(9)\) . Podobno z \(\log_(5)(25)\) in z \(\log_(9)(81)\) itd. Se pravi, izkaže se

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Torej, če potrebujemo, lahko dva zapišemo kot logaritem s katero koli osnovo kjer koli (tudi v enačbi, tudi v izrazu, tudi v neenakosti) - samo kvadrat osnove zapišemo kot argument.

Enako je s trojko - lahko jo zapišemo kot \(\log_(2)(8)\), ali kot \(\log_(3)(27)\), ali kot \(\log_(4)( 64) \) ... Tukaj zapišemo osnovo v kocki kot argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

In s štirimi:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

In z minus ena:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

In z eno tretjino:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Vsako število \(a\) je mogoče predstaviti kot logaritem z osnovo \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Primer : Poiščite vrednost izraza \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

rešitev :

Odgovori : \(1\)

Podane so glavne lastnosti logaritma, graf logaritma, definicijsko področje, množica vrednosti, osnovne formule, naraščanje in zmanjševanje. Upošteva se iskanje odvoda logaritma. Kot tudi integral, razširjanje potenčnih vrst in predstavitev s pomočjo kompleksnih števil.

Domena, niz vrednosti, naraščajoče, padajoče

Logaritem je monotona funkcija, zato nima ekstremov. Glavne lastnosti logaritma so predstavljene v tabeli.

Zasebne vrednote

Imenuje se logaritem z osnovo 10 decimalni logaritem in je označen takole:

osnovni logaritem e klical naravni logaritem:

Osnovne logaritemske formule

Lastnosti logaritma, ki izhajajo iz definicije inverzne funkcije:

Glavna lastnost logaritmov in njene posledice

Formula za zamenjavo baze

Logaritem je matematična operacija logaritmiranja. Pri logaritmiranju se produkti faktorjev pretvorijo v vsote členov.
Potenciranje je matematična operacija, inverzna logaritmu. Pri potenciranju se podana osnova dvigne na potenco izraza, na katerem se izvaja potenciranje. V tem primeru se vsote členov pretvorijo v produkte faktorjev.

Dokaz osnovnih formul za logaritme

Formule, povezane z logaritmi, izhajajo iz formul za eksponentne funkcije in iz definicije inverzne funkcije.

Upoštevajte lastnost eksponentne funkcije
.
Potem
.
Uporabi lastnost eksponentne funkcije
:
.

Dokažimo formulo za spremembo baze.
;
.
Če nastavimo c = b, imamo:

Inverzna funkcija

Recipročna vrednost logaritma osnove a je eksponentna funkcija z eksponentom a.

Če, potem

Če, potem

Izpeljava logaritma

Odvod logaritma po modulu x:
.
Izpeljanka n-tega reda:
.
Izpeljava formul >>>

Če želite najti odvod logaritma, ga je treba zmanjšati na osnovo e.
;
.

Integral

Integral logaritma se izračuna z integracijo po delih: .
Torej,

Izrazi v kompleksnih številih

Razmislite o funkciji kompleksnega števila z:
.
Izrazimo kompleksno število z preko modula r in argument φ :
.
Nato z uporabo lastnosti logaritma dobimo:
.
oz

Vendar argument φ ni jasno opredeljen. Če postavimo
, kjer je n celo število,
potem bo enako število za različne n.

Zato logaritem kot funkcija kompleksne spremenljivke ni funkcija z eno vrednostjo.

Razširitev potenčnega niza

Za razširitev poteka:

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priročnik iz matematike za inženirje in študente visokošolskih ustanov, Lan, 2009.

Pogosto vzemite številko deset. Imenujemo logaritme števil na osnovo deset decimalno. Pri izračunih z decimalnim logaritmom je običajno delovati z znakom lg, vendar ne dnevnik; medtem ko število deset, ki določa osnovo, ni navedeno. Da, zamenjamo dnevnik 10 105 na poenostavljeno lg105; A dnevnik102 na lg2.

Za decimalni logaritmi značilne so enake lastnosti, kot jih imajo logaritmi z osnovo, večjo od ena. Decimalni logaritmi so namreč značilni izključno za pozitivna števila. Decimalni logaritmi števil, večjih od ena, so pozitivni, števil, manjših od ena, pa negativni; dveh nenegativnih števil je večji decimalni logaritem enakovreden večjemu, itd. Poleg tega imajo decimalni logaritmi posebne značilnosti in posebnosti, ki pojasnjujejo, zakaj je udobno dati prednost številu deset kot osnovi logaritmov.

Preden analiziramo te lastnosti, si poglejmo naslednje formulacije.

Celi del decimalnega logaritma števila A klical značilnost, in ulomek mantisa ta logaritem.

Značilnost decimalnega logaritma števila A označeno kot , mantisa pa kot (lg A}.

Recimo, da je lg 2 ≈ 0,3010, torej = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

Enako velja za lg 543.1 ≈2.7349. V skladu s tem je = 2, (lg 543,1)≈ 0,7349.

Izračun decimalnih logaritmov pozitivnih števil iz tabel je precej razširjen.

Značilni znaki decimalnih logaritmov.

Prvi znak decimalnega logaritma. nenegativno celo število, predstavljeno z 1, ki mu sledijo ničle, je pozitivno celo število, ki je enako številu ničel v izbranem številu .

Vzemimo lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

Na splošno, če

to A= 10n , iz katerega dobimo

lg a = lg 10 n = n lg 10 =p.

Drugi znak. Decimalni logaritem pozitivne decimalke, prikazan z enico z začetnimi ničlami, je − p, Kje p- število ničel v predstavitvi tega števila, ob upoštevanju ničle celih števil.

Razmislite , lg 0,001 = -3, lg 0,000001 = -6.

Na splošno, če

,

to a= 10-n in se izkaže

lga = lg 10n =-n lg 10 =-n

Tretje znamenje. Značilnost decimalnega logaritma nenegativnega števila, večjega od ena, je enaka številu števk v celem delu tega števila, razen ena.

Analizirajmo to lastnost 1) Značilnost logaritma lg 75,631 je enačena z 1.

Res, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

To pomeni,

lg 75.631 = 1 + b,

Premik vejice v decimalnem ulomku v desno ali levo je enakovreden operaciji množenja tega ulomka s potenco števila deset s celim eksponentom p(pozitivno ali negativno). In zato, ko se decimalna vejica v pozitivnem decimalnem ulomku premakne v levo ali desno, se mantisa decimalnega logaritma tega ulomka ne spremeni.

Torej, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).

Sprejemljivo območje (ODZ) logaritma

Zdaj pa se pogovorimo o omejitvah (ODZ - območje dopustnih vrednosti spremenljivk).

Spomnimo se, da na primer kvadratnega korena ni mogoče vzeti iz negativnih števil; ali če imamo ulomek, potem imenovalec ne more biti enak nič. Obstajajo podobne omejitve za logaritme:

To pomeni, da morata biti argument in osnova večja od nič, osnova pa ne more biti enaka.

Zakaj?

Začnimo preprosto: recimo to. Potem na primer številka ne obstaja, saj ne glede na to, katero stopnjo dvignemo, se vedno izkaže. Poleg tega ne obstaja za nobeno. Toda hkrati je lahko enak karkoli (iz istega razloga - enak je kateri koli stopinji). Zato predmet ni zanimiv in je bil preprosto vržen iz matematike.

Imamo podoben problem v primeru: v kateri koli pozitivni stopnji - to, vendar ga sploh ni mogoče dvigniti na negativno moč, saj bo rezultat deljenja z nič (na to vas spomnim).

Ko se soočimo s problemom povišanja na ulomek (ki je predstavljen kot koren:. Na primer, (to je), vendar ne obstaja.

Zato je negativne razloge lažje zavreči kot se z njimi zapletati.

No, ker je osnova a za nas samo pozitivna, potem ne glede na to, na katero stopnjo jo dvignemo, bomo vedno dobili strogo pozitivno število. Torej mora biti argument pozitiven. Na primer, ne obstaja, saj v nobeni meri ne bo negativno število (in celo nič, torej tudi ne obstaja).

Pri nalogah z logaritmi je prvi korak zapis ODZ. Dal bom primer:

Rešimo enačbo.

Spomnimo se definicije: logaritem je potenca, na katero je treba dvigniti osnovo, da dobimo argument. In po pogoju je ta stopnja enaka: .

Dobimo običajno kvadratno enačbo: . Rešujemo jo z uporabo Vieta izreka: vsota korenin je enaka, produkt pa. Enostaven za prevzem, to so številke in.

Če pa v odgovor takoj vzamete in zapišete obe številki, lahko za nalogo dobite 0 točk. Zakaj? Pomislimo, kaj se zgodi, če te korene nadomestimo v začetno enačbo?

To je očitno napačno, saj osnova ne more biti negativna, to pomeni, da je koren "tretja oseba".

Da bi se izognili tako neprijetnim trikom, morate ODZ zapisati še preden začnete reševati enačbo:

Potem, ko prejmemo korenine in, korenino takoj zavržemo in napišemo pravilen odgovor.

Primer 1(poskusite rešiti sami) :

Poiščite koren enačbe. Če je korenin več, v odgovoru označite manjšo.

rešitev:

Najprej napišimo ODZ:

Zdaj se spomnimo, kaj je logaritem: na kakšno moč morate dvigniti osnovo, da dobite argument? V drugem. To je:

Zdi se, da je manjši koren enak. Vendar to ni tako: po ODZ je koren tretji, torej sploh ni koren te enačbe. Tako ima enačba samo en koren: .

odgovor: .

Osnovna logaritemska identiteta

Spomnite se splošne definicije logaritma:

Nadomestite v drugo enakost namesto logaritma:

Ta enakost se imenuje osnovna logaritemska identiteta. Čeprav je v bistvu ta enakost le drugače zapisana definicija logaritma:

To je moč, do katere se morate dvigniti, da bi dosegli.

Na primer:

Rešite naslednje primere:

Primer 2

Poiščite vrednost izraza.

rešitev:

Spomnite se pravila iz razdelka:, to je, da se pri dvigu stopnje na moč indikatorji pomnožijo. Uporabimo ga:

Primer 3

Dokaži to.

rešitev:

Lastnosti logaritmov

Na žalost naloge niso vedno tako preproste - pogosto morate najprej poenostaviti izraz, ga pripeljati v običajno obliko in šele nato bo mogoče izračunati vrednost. Najlažje je to narediti, če veste lastnosti logaritmov. Naučimo se torej osnovnih lastnosti logaritmov. Vsakega od njih bom dokazal, saj si vsako pravilo lažje zapomniš, če veš, od kod prihaja.

Vse te lastnosti si je treba zapomniti; brez njih večine problemov z logaritmi ni mogoče rešiti.

In zdaj o vseh lastnostih logaritmov podrobneje.

Lastnost 1:

Dokaz:

Naj torej.

Imamo: , h.t.d.

Lastnost 2: Vsota logaritmov

Vsota logaritmov z isto osnovo je enaka logaritmu produkta: .

Dokaz:

Naj torej. Naj torej.

primer: Poiščite vrednost izraza: .

Rešitev: .

Formula, ki ste se jo pravkar naučili, pomaga poenostaviti vsoto logaritmov, ne razlike, tako da teh logaritmov ni mogoče takoj združiti. Lahko pa storite nasprotno - "razlomite" prvi logaritem na dvoje: In tukaj je obljubljena poenostavitev:
.
Zakaj je to potrebno? No, na primer: kaj je to pomembno?

Zdaj je to očitno.

zdaj olajšajte si:

Naloge:

odgovori:

Lastnost 3: Razlika logaritmov:

Dokaz:

Vse je popolnoma enako kot v 2. odstavku:

Naj torej.

Naj torej. Imamo:

Primer iz zadnje točke je zdaj še enostavnejši:

Bolj zapleten primer: . Uganete sami, kako se odločiti?

Tukaj je treba opozoriti, da nimamo ene same formule o logaritmih na kvadrat. To je nekaj podobnega izrazu - tega ni mogoče takoj poenostaviti.

Zato se oddaljimo od formul o logaritmih in pomislimo, katere formule na splošno najpogosteje uporabljamo v matematiki? Že od 7. razreda!

Ta - . Moraš se navaditi, da so povsod! Najdemo jih v eksponentnih, trigonometričnih in iracionalnih problemih. Zato si jih je treba zapomniti.

Če natančno pogledate prva dva izraza, postane jasno, da je to razlika kvadratov:

Odgovor za preverjanje:

Poenostavite se.

Primeri

odgovori.

Lastnost 4: Izpeljava eksponenta iz argumenta logaritma:

Dokaz: In tukaj uporabljamo tudi definicijo logaritma: pustimo, torej. Imamo: , h.t.d.

To pravilo lahko razumete takole:

To pomeni, da je stopnja argumenta vzeta naprej od logaritma kot koeficient.

primer: Poiščite vrednost izraza.

rešitev: .

Odločite se sami:

Primeri:

odgovori:

Lastnost 5: Izpeljava eksponenta iz osnove logaritma:

Dokaz: Naj torej.

Imamo: , h.t.d.
Ne pozabite: od razlogov stopnja je uvedena kot vzvratnoštevilo, za razliko od prejšnjega primera!

Lastnost 6: Izpeljava eksponenta iz osnove in argumenta logaritma:

Ali če sta stopnji enaki: .

Lastnost 7: Prehod na novo osnovo:

Dokaz: Naj torej.

Imamo: , h.t.d.

Lastnost 8: Zamenjava osnove in argumenta logaritma:

Dokaz: To je poseben primer formule 7: če zamenjamo, dobimo: , p.t.d.

Poglejmo si še nekaj primerov.

Primer 4

Poiščite vrednost izraza.

Uporabljamo lastnost logaritmov št. 2 - vsota logaritmov z isto osnovo je enaka logaritmu produkta:

Primer 5

Poiščite vrednost izraza.

rešitev:

Uporabljamo lastnost logaritmov št. 3 in št. 4:

Primer 6

Poiščite vrednost izraza.

rešitev:

Uporaba lastnosti številka 7 - pojdite na osnovo 2:

Primer 7

Poiščite vrednost izraza.

rešitev:

Kako vam je všeč članek?

Če berete te vrstice, ste prebrali celoten članek.

In to je kul!

Zdaj pa nam povejte, kako vam je všeč članek?

Ste se naučili reševati logaritme? Če ne, v čem je problem?

Pišite nam v komentarjih spodaj.

In ja, veliko sreče pri izpitih.

Na Enotnem državnem izpitu in OGE ter na splošno v življenju

Torej, imamo moči dvojke. Če vzamete številko iz spodnje vrstice, potem zlahka najdete moč, na katero morate dvigniti dvojko, da dobite to številko. Na primer, če želite dobiti 16, morate dvigniti dve na četrto potenco. In da bi dobili 64, morate dve dvigniti na šesto potenco. To je razvidno iz tabele.

In zdaj - pravzaprav definicija logaritma:

Osnovni a logaritem argumenta x je potenca, na katero je treba dvigniti število a, da dobimo število x.

Zapis: log a x \u003d b, kjer je a osnova, x argument, b je dejansko tisto, čemur je enak logaritem.

Na primer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (osnovni logaritem 2 od 8 je tri, ker je 2 3 = 8). Lahko bi tudi zabeležili 2 64 = 6, ker je 2 6 = 64.

Operacija iskanja logaritma števila na dano osnovo se imenuje logaritem. Zato dodajmo novo vrstico v našo tabelo:

Na žalost se vsi logaritmi ne obravnavajo tako enostavno. Na primer, poskusite najti log 2 5. Števila 5 ni v tabeli, vendar logika narekuje, da bo logaritem ležal nekje na segmentu. Ker 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takšna števila imenujemo iracionalna: števila za decimalno vejico lahko pišemo neomejeno in se nikoli ne ponovijo. Če se izkaže, da je logaritem iracionalen, ga je bolje pustiti takole: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Pomembno je razumeti, da je logaritem izraz z dvema spremenljivkama (osnova in argument). Marsikdo sprva zamenjuje, kje je osnova in kje argument. Da ne bi prišlo do nadležnih nesporazumov, samo poglejte sliko:

Pred nami ni nič drugega kot definicija logaritma. Ne pozabite: logaritem je moč, na katerega morate dvigniti bazo, da dobite argument. To je baza, ki je dvignjena na potenco - na sliki je označena z rdečo. Izkazalo se je, da je osnova vedno na dnu! To čudovito pravilo povem svojim učencem že na prvi lekciji - in ni zmede.

Ugotovili smo definicijo - ostalo je, da se naučimo šteti logaritme, tj. znebite se znaka "hlod". Za začetek opozorimo, da iz definicije izhajata dve pomembni dejstvi:

1. Argument in osnova morata biti vedno večja od nič. To izhaja iz definicije stopnje z racionalnim eksponentom, na katerega se reducira definicija logaritma.
2. Osnova se mora razlikovati od enote, saj je enota na katero koli potenco še vedno enota. Zaradi tega je vprašanje, »na kakšno moč se je treba povzdigniti, da dobiš dva«, nesmiselno. Te diplome ni!

Takšne omejitve se imenujejo veljaven obseg(ODZ). Izkazalo se je, da je ODZ logaritma videti takole: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Upoštevajte, da za število b (vrednost logaritma) ni nobenih omejitev. Na primer, logaritem je lahko negativen: log 2 0,5 = −1, ker 0,5 = 2 −1 .

Vendar pa zdaj obravnavamo samo numerične izraze, kjer ni potrebno poznati ODZ logaritma. Vse omejitve so že upoštevali sestavljalci problemov. Ko pa pridejo v poštev logaritemske enačbe in neenakosti, bodo zahteve DHS postale obvezne. V osnovi in ​​argumentu so lahko namreč zelo močne konstrukcije, ki pa ne ustrezajo nujno zgornjim omejitvam.

Zdaj razmislite o splošni shemi za izračun logaritmov. Sestavljen je iz treh korakov:

1. Izrazite osnovo a in argument x kot potenco z najmanjšo možno osnovo, večjo od ena. Spotoma se je bolje znebiti decimalnih ulomkov;
2. Rešite enačbo za spremenljivko b: x = a b ;
3. Dobljeno število b bo odgovor.

To je vse! Če se izkaže, da je logaritem iracionalen, se bo to pokazalo že na prvem koraku. Zahteva, da je osnova večja od ena, je zelo pomembna: to zmanjša verjetnost napake in močno poenostavi izračune. Podobno z decimalnimi ulomki: če jih takoj pretvorite v navadne, bo napak velikokrat manj.

Poglejmo, kako ta shema deluje s konkretnimi primeri:

Naloga. Izračunajte logaritem: log 5 25

1. Osnovo in argument predstavimo kot potenco števila pet: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
2. Sestavimo in rešimo enačbo:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Prejel odgovor: 2.

Naloga. Izračunajte logaritem:

Naloga. Izračunaj logaritem: log 4 64

1. Osnovo in argument predstavimo kot potenco dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Sestavimo in rešimo enačbo:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Prejel odgovor: 3.

Naloga. Izračunajte logaritem: log 16 1

1. Osnovo in argument predstavimo kot potenco dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Sestavimo in rešimo enačbo:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Prejeti odgovor: 0.

Naloga. Izračunaj logaritem: log 7 14

1. Osnovo in argument predstavimo kot potenco števila sedem: 7 = 7 1 ; 14 ni predstavljeno kot potenca števila sedem, ker je 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prejšnjega odstavka sledi, da se logaritem ne upošteva;
3. Odgovor je brez sprememb: dnevnik 7 14.

Majhna opomba k zadnjemu primeru. Kako se prepričati, da število ni natančna potenca drugega števila? Zelo preprosto - samo razstavite ga na prafaktorje. In če takih faktorjev ni mogoče zbrati v stopnji z enakimi indikatorji, potem prvotno število ni natančna stopnja.

Naloga. Ugotovite, ali so točne potence števila: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 je natančna stopnja, ker obstaja samo en množitelj;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ni natančna potenca, ker obstajata dva faktorja: 3 in 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - natančna stopnja;
35 \u003d 7 5 - spet ni natančna stopnja;
14 \u003d 7 2 - spet ni natančna stopnja;

Upoštevajte tudi, da so praštevila sama po sebi vedno natančne potence.

Decimalni logaritem

Nekateri logaritmi so tako pogosti, da imajo posebno ime in oznako.

Decimalni logaritem argumenta x je osnovni logaritem 10, tj. potenco, na katero morate dvigniti število 10, da dobite število x. Oznaka: lg x .

Na primer, dnevnik 10 = 1; dnevnik 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Ko se odslej v učbeniku pojavi stavek, kot je »Najdi lg 0,01«, vedite, da to ni tipkarska napaka. To je decimalni logaritem. Če pa niste vajeni takšne oznake, jo lahko vedno prepišete:
log x = log 10 x

Vse, kar velja za navadne logaritme, velja tudi za decimalke.

naravni logaritem

Obstaja še en logaritem, ki ima svoj zapis. V nekem smislu je celo pomembnejši od decimalke. To je naravni logaritem.

Naravni logaritem argumenta x je logaritem na osnovo e, tj. potenco, na katero je treba dvigniti število e, da dobimo število x. Oznaka: ln x .

Mnogi se bodo vprašali: kaj je še številka e? To je iracionalno število, njegove natančne vrednosti ni mogoče najti in zapisati. Tukaj so le prve številke:
e = 2,718281828459...

Ne bomo se poglabljali v to, kakšna je ta številka in zakaj je potrebna. Samo zapomnite si, da je e osnova naravnega logaritma:
ln x = log e x

Tako je ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - itd. Po drugi strani pa je ln 2 iracionalno število. Na splošno je naravni logaritem katerega koli racionalnega števila iracionalen. Razen seveda enotnosti: ln 1 = 0.

Za naravne logaritme veljajo vsa pravila, ki veljajo za navadne logaritme.