Primeri kimanja treh številk. Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika, metode, primeri iskanja LCM

Iskanje največjega skupnega delitelja treh ali več števil se lahko zmanjša na zaporedno iskanje gcd dveh števil. To smo omenili pri preučevanju lastnosti GCD. Tam smo oblikovali in dokazali izrek: največji skupni delitelj več števil a 1, a 2, …, a k je enako številu d k, ki se nahaja v zaporednem izračunu GCD(a 1 , a 2)=d 2, GCD(d 2 , a 3)=d 3, GCD(d 3 , a 4)=d 4, …,GCD(d k-1 , a k)=d k.

Poglejmo, kako izgleda postopek iskanja GCD več števil z upoštevanjem rešitve primera.

Primer.

Poiščite največji skupni delitelj štirih števil 78 , 294 , 570 in 36 .

rešitev.

V tem primeru a 1 =78, a2=294, a 3 \u003d 570, a4=36.

Najprej z Evklidovim algoritmom določimo največji skupni delitelj d2 prvi dve številki 78 in 294 . Pri deljenju dobimo enačbe 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18 3+6 in 18=6 3. torej d 2 \u003d GCD (78, 294) \u003d 6.

Zdaj pa izračunajmo d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). Ponovno uporabimo Evklidov algoritem: 570=695, torej, d 3 \u003d GCD (6, 570) \u003d 6.

Ostaja še izračunati d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). Ker 36 deljeno s 6 , To d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.

Torej je največji skupni delitelj štirih danih števil d4=6, to je gcd(78, 294, 570, 36)=6.

odgovor:

gcd(78, 294, 570, 36)=6.

Razstavljanje števil na prafaktorje vam omogoča tudi izračun GCD treh ali več števil. V tem primeru je največji skupni delitelj najden kot produkt vseh skupnih prafaktorjev danih števil.

Primer.

Izračunajte GCD števil iz prejšnjega primera z uporabo njihovih prafaktorizacij.

rešitev.

Razstavimo števila 78 , 294 , 570 in 36 na prafaktorje, dobimo 78=2 3 13,294=2 3 7 7, 570=2 3 5 19, 36=2 2 3 3. Skupni prafaktorji vseh danih štirih števil so števila 2 in 3 . torej GCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.

odgovor:

gcd(78, 294, 570, 36)=6.

Vrh strani

Iskanje gcd negativnih števil

Če so eno, več ali vsa števila, katerih največji delitelj je treba najti, negativna števila, potem je njihov gcd enak največjemu skupnemu delitelju modulov teh števil. To je zato, ker so nasprotna števila a in -a imajo enake delitelje, o katerih smo govorili pri preučevanju lastnosti deljivosti.

Primer.

Poiščite gcd negativnih celih števil −231 in −140 .

rešitev.

Absolutna vrednost števila −231 enako 231 , in modul števila −140 enako 140 , In gcd(−231, −140)=gcd(231, 140). Evklidov algoritem nam daje naslednje enakosti: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7 in 42=7 6. torej gcd(231, 140)=7. Nato želeni največji skupni delitelj negativnih števil −231 in −140 enako 7 .

odgovor:

GCD(−231,−140)=7.

Primer.

Določite gcd treh števil −585 , 81 in −189 .

rešitev.

Pri iskanju največjega skupnega delitelja lahko negativna števila nadomestimo z njihovimi absolutnimi vrednostmi, tj. gcd(−585, 81, −189)=gcd(585, 81, 189). Razširitve številk 585 , 81 in 189 v prafaktorje so oblike 585=3 3 5 13, 81=3 3 3 3 in 189=3 3 3 7. Skupni prafaktorji teh treh števil so 3 in 3 . Potem GCD(585, 81, 189)=3 3=9, torej, gcd(−585, 81, −189)=9.

odgovor:

gcd(−585, 81, −189)=9.

35. Korenine polinoma. Bezoutov izrek. (33 in več)

36. Večkratni koreni, kriterij večkratnosti korena.

Številni delilniki

Razmislite o naslednji nalogi: poiščite delitelj števila 140. Očitno je, da število 140 nima enega delitelja, ampak jih je več. V takih primerih se reče, da ima naloga kup rešitve. Poiščimo jih vse. Najprej to število razčlenimo na prafaktorje:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Zdaj lahko enostavno izpišemo vse delilnike. Začnimo s preprostimi delilniki, to je tistimi, ki so prisotni v zgornji razširitvi:

Nato izpišemo tiste, ki jih dobimo z množenjem pradeliteljev po parih:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Nato - tiste, ki vsebujejo tri preproste delilnike:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Nazadnje ne pozabimo na enoto in samo razgradljivo število:

Vsi delitelji, ki smo jih našli, tvorijo kup deliteljev števila 140, ki jih zapišemo z zavitimi oklepaji:

Množica deliteljev števila 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Za lažje zaznavanje smo tukaj zapisali delilnike ( postavljenih elementov) v naraščajočem vrstnem redu, vendar na splošno to ni potrebno. Poleg tega uvajamo okrajšavo. Namesto "Množica deliteljev števila 140" bomo zapisali "D (140)". torej

Podobno lahko najdemo množico deliteljev za katero koli drugo naravno število. Na primer iz razširitve

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

dobimo:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Iz množice vseh deliteljev je treba ločiti množico pradeliteljev, ki sta za števili 140 in 105 enaka:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Poudariti je treba, da je pri razgradnji števila 140 na prafaktorje dva prisotna dvakrat, v množici PD(140) pa samo eden. Množica PD(140) je v bistvu vse odgovore na problem: "Najdi prafaktor števila 140". Jasno je, da se isti odgovor ne sme ponoviti več kot enkrat.

Zmanjšanje frakcije. Največji skupni delitelj

Razmislite o ulomku

Vemo, da lahko ta ulomek skrajšamo s številom, ki je hkrati delitelj števca (105) in delitelj imenovalca (140). Oglejmo si množici D(105) in D(140) in zapišimo njune skupne elemente.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Skupni elementi množic D(105) in D(140) =

Zadnjo enakost lahko zapišemo krajše, in sicer:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Tukaj posebna ikona "∩" ("vrečka z luknjo navzdol") samo nakazuje, da je treba iz dveh nizov, ki sta napisana na nasprotnih straneh, izbrati samo skupne elemente. Vnos "D (105) ∩ D (140)" se glasi " križišče kompleti Te od 105 in Te od 140.

[Upoštevajte, da lahko izvajate različne binarne operacije z množicami, skoraj kot s števili. Druga pogosta binarna operacija je zveza, kar je označeno z ikono "∪" ("vrečka z luknjo navzgor"). Unija dveh množic vključuje vse elemente obeh množic:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Torej smo ugotovili, da je ulomek

lahko reduciramo na katero koli število, ki pripada množici

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

in ga ni mogoče zmanjšati za nobeno drugo naravno število. Tukaj so vsi možni načini zmanjšanja (razen nezanimivega zmanjšanja za enega):

Očitno je, da je najbolj praktično ulomek zmanjšati za številko, če je mogoče, za večjo. Gre v tem primeru za številko 35, ki naj bi največji skupni delitelj (GCD) številki 105 in 140. To je zapisano kot

gcd(105, 140) = 35.

Vendar pa v praksi, če imamo dve števili in moramo najti njun največji skupni delitelj, nam sploh ni treba zgraditi nobenih množic. Dovolj je, da obe števili preprosto faktoriziramo v prafaktorje in podčrtamo tiste faktorje, ki so skupni obema faktorjema, na primer:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Z množenjem podčrtanih številk (v kateri koli razširitvi) dobimo:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Seveda je možno, da sta podčrtana več kot dva dejavnika:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Od tod je jasno, da

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Posebno omembo si zasluži situacija, ko sploh ni skupnih dejavnikov in ni ničesar, kar bi bilo treba poudariti, na primer:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

V tem primeru,

gcd(42, 55) = 1.

Imenujemo dve naravni števili, pri katerih je gcd enak ena coprime. Če iz takih števil naredite ulomek, npr.

potem je tak ulomek ireduktibilen.

Na splošno lahko pravilo za zmanjševanje ulomkov zapišemo takole:

Tukaj se domneva, da a in b so naravna števila in vsi ulomki so pozitivni. Če zdaj obema stranema te enakosti pripišemo znak minus, dobimo ustrezno pravilo za negativne ulomke.

Seštevanje in odštevanje ulomkov. Najmanjši skupni večkratnik

Recimo, da želite izračunati vsoto dveh ulomkov:

Že vemo, kako se imenovalci razčlenijo na prafaktorje:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Iz te razširitve takoj sledi, da je za spravitev ulomkov na skupni imenovalec dovolj, da števec in imenovalec prvega ulomka pomnožimo z 2 ∙ 2 (zmnožek nenaglašenih prafaktorjev drugega imenovalca) in števec in imenovalec drugega ulomka za 3 (»zmnožek« nepodčrtani prafaktorji prvega imenovalca). Posledično bosta imenovalca obeh ulomkov enaka številu, ki ga lahko predstavimo na naslednji način:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Zlahka je videti, da sta oba prvotna imenovalca (tako 105 kot 140) delitelja števila 420, število 420 pa je večkratnik obeh imenovalcev - in ne samo večkratnik, temveč najmanjši skupni večkratnik (NOC) številki 105 in 140. To je zapisano takole:

LCM(105, 140) = 420.

Če podrobneje pogledamo razširitev števil 105 in 140, vidimo to

105 ∙ 140 = LCM(105, 140) ∙ GCD(105, 140).

Podobno velja za poljubna naravna števila b in d:

b ∙ d= LCM( b, d) ∙ GCD( b, d).

Zdaj pa dokončajmo seštevek naših ulomkov:

Druga številka: b=

Ločilo številk Brez ločila presledkov " ´

rezultat:

Največji skupni delitelj gcd( a,b)=6

Najmanjši skupni večkratnik LCM( a,b)=468

Največje naravno število, s katerim sta števili a in b deljivi brez ostanka, se imenuje največji skupni delitelj(gcd) teh številk. Označeno z gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ali hcf(a,b).

Najmanjši skupni večkratnik(LCM) dveh celih števil a in b je najmanjše naravno število, ki je deljivo z a in b brez ostanka. Označeno z LCM(a,b) ali lcm(a,b).

Celi števili a in b se imenujeta coprimeče nimata skupnih deliteljev, razen +1 in −1.

Največji skupni delitelj

Naj sta podani dve pozitivni števili a 1 in a 2 1). Najti je treba skupni delitelj teh števil, tj. najti tako številko λ , ki deli števila a 1 in a 2 hkrati. Opišimo algoritem.

1) V tem članku bo beseda številka pomenila celo število.

Pustiti a 1 ≥ a 2 in pustite

Kje m 1 , a 3 je nekaj celih števil, a 3 <a 2 (ostanek od delitve a 1 na a 2 mora biti manj a 2).

Pretvarjajmo se, da λ deli a 1 in a 2, torej λ deli m 1 a 2 in λ deli a 1 −m 1 a 2 =a 3 (2. trditev članka »Deljivost števil. Znak deljivosti«). Iz tega sledi, da vsak skupni delitelj a 1 in a 2 je skupni delitelj a 2 in a 3. Tudi obratno velja, če λ skupni delilnik a 2 in a 3, torej m 1 a 2 in a 1 =m 1 a 2 +a 3 se delijo tudi na λ . Od tod skupni delilnik a 2 in a 3 je tudi skupni delitelj a 1 in a 2. Ker a 3 <a 2 ≤a 1 , potem lahko rečemo, da je rešitev problema iskanja skupnega delitelja števil a 1 in a 2 zmanjšana na preprostejši problem iskanja skupnega delitelja števil a 2 in a 3 .

če a 3 ≠0, potem lahko delimo a 2 naprej a 3. Potem

,

Kje m 1 in a 4 je nekaj celih števil, ( a 4 ostanek deljenja a 2 naprej a 3 (a 4 <a 3)). S podobnim razmišljanjem pridemo do zaključka, da so skupni delitelji števil a 3 in a 4 je enak navadnim deliteljem števil a 2 in a 3 , in tudi s skupnimi delilniki a 1 in a 2. Ker a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... števila, ki nenehno padajo, in ker je med njimi končno število celih števil a 2 in 0, nato na nekem koraku n, ostanek delitve a n naprej a n+1 bo enako nič ( a n+2=0).

.

Vsak skupni delitelj λ številke a 1 in a 2 je tudi delitelj števil a 2 in a 3 , a 3 in a 4 , .... a n in a n+1 . Velja tudi obratno, skupni delitelji števil a n in a n+1 so tudi delitelji števil a n−1 in a n, ...., a 2 in a 3 , a 1 in a 2. Ampak skupni delilec a n in a n+1 je število a n+1, ker a n in a n+1 so deljivi s a n+1 (spomni se tega a n+2=0). Zato a n+1 je tudi delitelj števil a 1 in a 2 .

Upoštevajte, da je številka a n+1 je največji delitelj števila a n in a n+1 , saj je največji delitelj a n+1 je sam a n+1 . če a n + 1 lahko predstavimo kot zmnožek celih števil, potem so ta števila tudi pogosti delitelji števil a 1 in a 2. številka a n+1 se imenujejo največji skupni deliteljštevilke a 1 in a 2 .

Številke a 1 in a 2 so lahko pozitivna in negativna števila. Če je eno od števil enako nič, potem bo največji skupni delitelj teh števil enak absolutni vrednosti drugega števila. Največji skupni delitelj števil nič ni definiran.

Pokliče se zgornji algoritem Evklidov algoritem najti največji skupni delitelj dveh celih števil.

Primer iskanja največjega skupnega delitelja dveh števil

Poiščite največji skupni delitelj dveh števil 630 in 434.

• Korak 1. Število 630 delite s 434. Ostanek je 196.
• Korak 2. Število 434 delite s 196. Ostanek je 42.
• Korak 3. Število 196 razdelite na 42. Ostanek je 28.
• Korak 4. Število 42 delite z 28. Ostanek je 14.
• Korak 5. Število 28 delite s 14. Ostanek je 0.

Pri koraku 5 je preostanek deljenja 0. Zato je največji skupni delitelj števil 630 in 434 14. Upoštevajte, da sta števili 2 in 7 tudi delitelja števil 630 in 434.

Kopraštevila

Opredelitev 1. Naj bo največji skupni delitelj števil a 1 in a 2 je enako ena. Nato se pokličejo te številke soprosta števila ki nimajo skupnega delitelja.

Izrek 1. če a 1 in a 2 relativno praštevili in λ neko število, nato poljuben skupni delitelj števil λa 1 in a 2 je tudi skupni delitelj števil λ in a 2 .

Dokaz. Razmislite o Evklidovem algoritmu za iskanje največjega skupnega delitelja števil a 1 in a 2 (glej zgoraj).

.

Iz pogojev izreka sledi, da je največji skupni delitelj števil a 1 in a 2 in zato a n in a n+1 je 1. tj. a n+1=1.

Pomnožimo vse te enakosti z λ , Potem

.

Naj skupni delilec a 1 λ in a 2 je δ . Potem δ vstopi kot dejavnik v a 1 λ , m 1 a 2 λ in v a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Glej »Deljivost števil«, trditev 2). Nadalje δ vstopi kot dejavnik v a 2 λ in m 2 a 3 λ , in tako vstopi kot dejavnik a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

S takšnim razmišljanjem smo prepričani, da δ vstopi kot dejavnik v a n−1 λ in m n−1 a n λ , torej v a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Ker a n+1 =1, torej δ vstopi kot dejavnik v λ . Zato število δ je skupni delitelj števil λ in a 2 .

Razmislite o posebnih primerih izreka 1.

Posledica 1. Pustiti a in c praštevila so relativna b. Nato njihov izdelek ac je praštevilo glede na b.

res. Iz izreka 1 ac in b imajo enake skupne delitelje kot c in b. Ampak številke c in b coprime, tj. imajo en sam skupni delitelj 1. Potem ac in b imajo tudi en sam skupni delitelj 1. Zato ac in b medsebojno preprosta.

Posledica 2. Pustiti a in b soprosta števila in pustimo b deli ak. Potem b deli in k.

res. Iz trditvenega pogoja ak in b imajo skupni delitelj b. Na podlagi izreka 1, b mora biti skupni delitelj b in k. Zato b deli k.

Posledico 1 lahko posplošimo.

Posledica 3. 1. Naj številke a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m so praštevila glede na število b. Potem a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , je produkt teh števil praštevil glede na število b.

2. Naj imamo dve vrstici številk

tako, da je vsako število v prvi vrstici praštevilo glede na vsako število v drugi vrstici. Nato izdelek

Najti je treba takšna števila, ki so deljiva z vsakim od teh števil.

Če je število deljivo z a 1, potem izgleda sa 1, kjer s neko število. če q je največji skupni delitelj števil a 1 in a 2, torej

Kje s 1 je neko celo število. Potem

je najmanjši skupni večkratnik števil a 1 in a 2 .

a 1 in a 2 enako praštevila, potem najmanjši skupni večkratnik števil a 1 in a 2:

Poiščite najmanjši skupni večkratnik teh števil.

Iz zgoraj navedenega sledi, da vsak večkratnik števil a 1 , a 2 , a 3 mora biti večkratnik številk ε in a 3 in obratno. Najmanjši skupni večkratnik števil ε in a 3 je ε 1. Nadalje, večkratnik številk a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mora biti večkratnik številk ε 1 in a 4. Najmanjši skupni večkratnik števil ε 1 in a 4 je ε 2. Tako smo ugotovili, da so vsi večkratniki števil a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sovpada z večkratniki določenega števila ε n, ki se imenuje najmanjši skupni večkratnik danih števil.

V posebnem primeru, ko so številke a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m skupno praštevilo, potem najmanjši skupni večkratnik števil a 1 , a 2, kot je prikazano zgoraj, ima obliko (3). Nadalje, saj a 3 praštevilo glede na števila a 1 , a 2, torej a 3 je praštevilo relativno a 1 · a 2 (posledica 1). Torej najmanjši skupni večkratnik števil a 1 ,a 2 ,a 3 je številka a 1 · a 2 · a 3. S podobnim argumentiranjem pridemo do naslednjih trditev.

Izjava 1. Najmanjši skupni večkratnik soprostih števil a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je enak njihovemu produktu a 1 · a 2 · a 3 ··· a m .

Izjava 2. Vsako število, ki je deljivo z vsakim od soprostih števil a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je tudi deljiv z njihovim produktom a 1 · a 2 · a 3 ··· a m .

Lancinova Aisa

Prenesi:

Predogled:

Za uporabo predogleda predstavitev ustvarite Google račun (račun) in se prijavite: https://accounts.google.com

Podnapisi diapozitivov:

Naloge za GCD in LCM števil Delo učenca 6. razreda MKOU "Kamyshovskaya OOSh" Lantsinova Aisa Nadzornica Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, učiteljica matematike str. Kamyshovo, 2013

Primer iskanja GCD števil 50, 75 in 325. 1) Razstavimo števila 50, 75 in 325 na prafaktorje. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 deljenje brez ostanka števili a in b imenujemo največji skupni delitelj teh števil.

Primer iskanja LCM števil 72, 99 in 117. 1) Razložimo števila 72, 99 in 117. Izpišite faktorje, vključene v razširitev enega od števil 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 in jim prištej manjkajoče faktorje preostalih števil. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Poiščite produkt nastalih faktorjev. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Odgovor: NKM (72, 99 in 117) = 10296 Najmanjši skupni večkratnik naravnih števil a in b je najmanjše naravno število, ki je večkratnik a. in b.

List kartona ima obliko pravokotnika, katerega dolžina je 48 cm in širina 40 cm, ta list je treba razrezati brez odpadkov na enake kvadrate. Katere največje kvadrate lahko dobimo iz tega lista in koliko? Rešitev: 1) S = a ∙ b je ploščina pravokotnika. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 cm². je površina kartona. 2) a - stran kvadrata 48: a - število kvadratov, ki jih je mogoče položiti vzdolž dolžine kartona. 40: a - število kvadratov, ki jih je mogoče položiti po širini kartona. 3) GCD (40 in 48) \u003d 8 (cm) - stran kvadrata. 4) S \u003d a² - površina enega kvadrata. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - površina enega kvadrata. 5) 1960: 64 = 30 (število kvadratov). Odgovor: 30 kvadratov s stranico 8 cm. Naloge za GCD

Kamin v prostoru mora biti položen z zaključnimi ploščicami v obliki kvadrata. Koliko ploščic je potrebnih za kamin 195 ͯ 156 cm in katere so največje velikosti ploščic? Rešitev: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) - S površine kamina. 2) GCD (195 in 156) = 39 (cm) - stran ploščice. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - površina 1 ploščice. 4) 30420: = 20 (kosov). Odgovor: 20 ploščic velikosti 39 ͯ 39 (cm). Naloge za GCD

Vrt v izmeri 54 ͯ 48 m po obodu mora biti ograjen, za to je treba v enakomernih razmakih postaviti betonske stebre. Koliko drogov je treba prinesti na lokacijo in na kakšni največji medsebojni razdalji bodo drogovi stali? Rešitev: 1) P = 2(a + b) – obod mesta. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m. 2) GCD (54 in 48) \u003d 6 (m) - razdalja med stebri. 3) 204: 6 = 34 (stebrov). Odgovor: 34 stebrov, na razdalji 6 m Naloge za GCD

Od 210 bordo, 126 belih, 294 rdečih vrtnic je bilo zbranih šopkov, v vsakem šopku pa je enako število vrtnic iste barve. Koliko je največ šopkov iz teh vrtnic in koliko vrtnic posamezne barve je v enem šopku? Rešitev: 1) NOT (210, 126 in 294) = 42 (šopkov). 2) 210: 42 = 5 (bordo vrtnice). 3) 126: 42 = 3 (bele vrtnice). 4) 294: 42 = 7 (rdeče vrtnice). Odgovor: 42 šopkov: 5 bordo, 3 bele, 7 rdečih vrtnic v vsakem šopku. Naloge za GCD

Tanja in Maša sta kupili enako število nabiralnikov. Tanja je plačala 90 rubljev, Maša pa 5 rubljev. več. Koliko stane en komplet? Koliko kompletov je kupil vsak? Rešitev: 1) Maša je plačala 90 + 5 = 95 (rubljev). 2) GCD (90 in 95) = 5 (rubljev) - cena 1 kompleta. 3) 980: 5 = 18 (kompletov) - kupila Tanya. 4) 95: 5 = 19 (nizov) - Maša je kupila. Odgovor: 5 rubljev, 18 kompletov, 19 kompletov. Naloge za GCD

V pristaniškem mestu se začnejo trije izleti s turistično ladjo, od katerih prvi traja 15 dni, drugi 20 in tretji 12 dni. Ko se vrnejo v pristanišče, se ladje istega dne spet odpravijo na pot. Motorne ladje so danes iz pristanišča izplule na vseh treh progah. Čez koliko dni bosta prvič jadrala skupaj? Koliko potovanj bo opravila posamezna ladja? Rešitev: 1) NOC (15.20 in 12) = 60 (dni) - čas sestanka. 2) 60: 15 = 4 (potovanja) - 1 ladja. 3) 60: 20 = 3 (potovanja) - 2 motorni ladji. 4) 60: 12 = 5 (potovanja) - 3 motorne ladje. Odgovor: 60 dni, 4 leti, 3 leti, 5 letov. Naloge za NOK

Maša je v trgovini kupila jajca za Medveda. Na poti v gozd je ugotovila, da je število jajc deljivo z 2,3,5,10 in 15. Koliko jajc je kupila Maša? Rešitev: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (jajc) Odgovor: Maša je kupila 30 jajc. Naloge za NOK

Za zlaganje škatel velikosti 16 ͯ 20 cm je treba izdelati škatlo s kvadratnim dnom.. Kakšna mora biti najkrajša stranica kvadratnega dna, da se škatle tesno prilegajo škatli? Rešitev: 1) NOC (16 in 20) = 80 (škatel). 2) S = a ∙ b je površina 1 škatle. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm²) - površina dna 1 škatle. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) - kvadratna spodnja površina. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - dimenzije škatle. Odgovor: 160 cm je stranica dna kvadrata. Naloge za NOK

Ob cesti od točke K so na vsakih 45 m električni stebri, ki so bili odločeni, da se ti stebri zamenjajo z drugimi, in sicer na razdalji 60 m drug od drugega. Koliko drogov je bilo in koliko jih bo stalo? Rešitev: 1) NOK (45 in 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - bili so stebri. 3) 180: 60 = 3 - bili so stebri. Odgovor: 4 stebri, 3 stebri. Naloge za NOK

Koliko vojakov koraka po paradi, če korakajo v formaciji po 12 ljudi v vrsti in se spremenijo v kolono po 18 ljudi v vrsti? Rešitev: 1) NOC (12 in 18) = 36 (ljudi) - korakanje. Odgovor: 36 ljudi. Naloge za NOK

Največji skupni delitelj

Definicija 2

Če je naravno število a deljivo z naravnim številom $b$, potem $b$ imenujemo delitelj števila $a$, število $a$ pa večkratnik števila $b$.

Naj bosta $a$ in $b$ naravni števili. Število $c$ imenujemo skupni delitelj za $a$ in $b$.

Množica skupnih deliteljev števil $a$ in $b$ je končna, saj nobeden od teh deliteljev ne more biti večji od $a$. To pomeni, da je med temi delitelji največji, ki ga imenujemo največji skupni delitelj števil $a$ in $b$ in ga označujemo z zapisom:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​ali \ D \ (a;b)$

Če želite najti največji skupni delitelj dveh števil:

1. Poiščite zmnožek števil iz 2. koraka. Dobljeno število bo želeni največji skupni delitelj.

Primer 1

Poiščite gcd števil $121$ in $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Izberite številke, ki so vključene v razširitev teh številk

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Poiščite zmnožek števil iz 2. koraka. Dobljeno število bo želeni največji skupni delitelj.

$gcd=2\cdot 11=22$

Primer 2

Poiščite GCD monomov $63$ in $81$.

Poiskali bomo po predstavljenem algoritmu. Za to:

Razčlenimo števila na prafaktorje

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Izberemo številke, ki so vključene v razširitev teh številk

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Poiščimo zmnožek števil, najdenih v koraku 2. Dobljeno število bo želeni največji skupni delitelj.

$gcd=3\cdot 3=9$

GCD dveh števil lahko najdete na drug način, z uporabo niza deliteljev števil.

Primer 3

Poiščite gcd števil $48$ in $60$.

rešitev:

Poiščite množico deliteljev $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Zdaj pa poiščimo nabor deliteljev $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Poiščimo presečišče teh množic: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ta množica bo določala množico skupnih deliteljev števil $48$ in $60 $. Največji element v tem nizu bo številka $12$. Torej je največji skupni delitelj $48$ in $60$ 12$.

Opredelitev NOC

Definicija 3

skupni mnogokratnik naravnih števil$a$ in $b$ je naravno število, ki je večkratnik tako $a$ kot $b$.

Navadni večkratniki števil so števila, ki so deljiva z izvirnikom brez ostanka. Na primer, za števili $25$ in $50$ bodo skupni večkratniki števila $50,100,150,200$ itd.

Najmanjši skupni večkratnik bomo imenovali najmanjši skupni večkratnik in ga označili z LCM$(a;b)$ ali K$(a;b).$

Če želite najti LCM dveh števil, potrebujete:

1. Razstavite števila na prafaktorje
2. Izpišite faktorje, ki so del prvega števila in jim dodajte faktorje, ki so del drugega in ne gredo k prvemu.

Primer 4

Poiščite LCM števil $99$ in $77$.

Poiskali bomo po predstavljenem algoritmu. Za to

Razstavite števila na prafaktorje

99 $=3\cdot 3\cdot 11$

Zapišite dejavnike, vključene v prvi

dodajte jim dejavnike, ki so del drugega in ne gredo k prvemu

Poiščite zmnožek števil, najdenih v koraku 2. Dobljeno število bo želeni najmanjši skupni večkratnik

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Sestavljanje seznamov deliteljev števil je pogosto zelo zamudno. Obstaja način za iskanje GCD, imenovan Evklidov algoritem.

Izjave, na katerih temelji Evklidov algoritem:

Če sta $a$ in $b$ naravni števili in $a\vpike b$, potem je $D(a;b)=b$

Če sta $a$ in $b$ naravni števili, tako da $b

Z uporabo $D(a;b)= D(a-b;b)$ lahko zaporedoma znižujemo obravnavana števila, dokler ne dosežemo para števil, tako da je eno od njiju deljivo z drugim. Potem bo manjše od teh števil želeni največji skupni delitelj za števili $a$ in $b$.

Lastnosti GCD in LCM

1. Vsak skupni večkratnik $a$ in $b$ je deljiv s K$(a;b)$
2. Če $a\vpike b$, potem je K$(a;b)=a$

Če je K$(a;b)=k$ in $m$-naravno število, potem je K$(am;bm)=km$

Če je $d$ skupni delitelj za $a$ in $b$, potem je K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Če $a\vdots c$ in $b\vdots c$, potem je $\frac(ab)(c)$ skupni večkratnik $a$ in $b$

Za poljubni naravni števili $a$ in $b$ velja enakost

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Vsak skupni delitelj $a$ in $b$ je delitelj $D(a;b)$