d என்ன முன்னேற்றத்தில் உள்ளது. எண்கணித முன்னேற்றம்

நுழைவு நிலை

எண்கணித முன்னேற்றம். விரிவான கோட்பாடுஎடுத்துக்காட்டுகளுடன் (2019)

எண் வரிசை

எனவே, உட்கார்ந்து சில எண்களை எழுத ஆரம்பிக்கலாம். உதாரணமாக:
நீங்கள் எந்த எண்களையும் எழுதலாம், மேலும் நீங்கள் விரும்பும் அளவுக்கு அவற்றில் பல இருக்கலாம் (எங்கள் விஷயத்தில், அவை உள்ளன). நாம் எத்தனை எண்களை எழுதினாலும், எது முதலில், எது இரண்டாவது என்று எப்போதும் சொல்லலாம், கடைசி வரை, அதாவது அவற்றை எண்ணலாம். எண் வரிசைக்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு:

எண் வரிசை
எடுத்துக்காட்டாக, எங்கள் வரிசைக்கு:

ஒதுக்கப்பட்ட எண் வரிசையில் உள்ள ஒரு எண்ணுக்கு மட்டுமே குறிப்பிட்டது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வரிசையில் மூன்று வினாடி எண்கள் இல்லை. இரண்டாவது எண் (வது எண் போன்றது) எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.
எண்ணுடன் கூடிய எண் வரிசையின் வது சொல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நாம் வழக்கமாக முழு வரிசையையும் ஏதேனும் ஒரு எழுத்து மூலம் அழைக்கிறோம் (உதாரணமாக,), இந்த வரிசையின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் இந்த உறுப்பினரின் எண்ணிக்கைக்கு சமமான குறியீட்டுடன் ஒரே கடிதம்: .

எங்கள் விஷயத்தில்:

நம்மிடம் ஒரு எண் வரிசை உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதில் அருகிலுள்ள எண்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு ஒரே மாதிரியாகவும் சமமாகவும் இருக்கும்.
உதாரணமாக:

முதலியன
இந்த எண் வரிசை எண்கணித முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
"முன்னேற்றம்" என்ற சொல் 6 ஆம் நூற்றாண்டில் ரோமானிய எழுத்தாளரான போதியஸால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, மேலும் பலவற்றில் புரிந்து கொள்ளப்பட்டது. ஒரு பரந்த பொருளில், எல்லையற்ற எண் வரிசை போன்றது. "எண்கணிதம்" என்ற பெயர் தொடர்ச்சியான விகிதாச்சாரத்தின் கோட்பாட்டிலிருந்து மாற்றப்பட்டது, இது பண்டைய கிரேக்கர்களால் ஆய்வு செய்யப்பட்டது.

இது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் அதே எண்ணில் சேர்க்கப்பட்ட முந்தையதற்கு சமமாக இருக்கும். இந்த எண் வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது எண்கணித முன்னேற்றம்மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது.

எந்த எண் வரிசைகள் எண்கணித முன்னேற்றம் மற்றும் எது இல்லை என்பதை தீர்மானிக்க முயற்சிக்கவும்:

a)
b)
c)
ஈ)

புரிந்ததா? எங்கள் பதில்களை ஒப்பிடுவோம்:
உள்ளதுஎண்கணித முன்னேற்றம் - b, c.
இல்லைஎண்கணித முன்னேற்றம் - a, d.

கொடுக்கப்பட்ட முன்னேற்றத்திற்கு () திரும்பி, அதன் வது காலத்தின் மதிப்பைக் கண்டறிய முயற்சிப்போம். உள்ளது இரண்டுஅதை கண்டுபிடிக்க வழி.

1. முறை

முன்னேற்றத்தின் வது காலத்தை அடையும் வரை, முந்தைய மதிப்புடன் முன்னேற்ற எண்ணைச் சேர்க்கலாம். எங்களிடம் சுருக்கமாக எதுவும் இல்லாதது நல்லது - மூன்று மதிப்புகள் மட்டுமே:

எனவே, விவரிக்கப்பட்ட எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வது சொல் சமம்.

2. முறை

முன்னேற்றத்தின் வது காலத்தின் மதிப்பை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டுமானால் என்ன செய்வது? கூட்டுத்தொகை எங்களுக்கு ஒரு மணி நேரத்திற்கும் மேலாக எடுக்கும், மேலும் எண்களைச் சேர்க்கும்போது நாம் தவறு செய்ய மாட்டோம் என்பது உண்மையல்ல.
நிச்சயமாக, கணிதவியலாளர்கள் முந்தைய மதிப்புடன் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைச் சேர்க்க வேண்டிய அவசியமில்லாத ஒரு வழியைக் கொண்டு வந்துள்ளனர். வரையப்பட்ட படத்தை உற்றுப் பாருங்கள்... நிச்சயமாக நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவத்தை ஏற்கனவே கவனித்திருப்பீர்கள், அதாவது:

எடுத்துக்காட்டாக, இந்த எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வது சொல்லின் மதிப்பு என்ன என்பதை பார்ப்போம்:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்:

கொடுக்கப்பட்ட எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரின் மதிப்பை இந்த வழியில் நீங்களே கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவும்.

நீங்கள் கணக்கிட்டீர்களா? பதிலுடன் உங்கள் குறிப்புகளை ஒப்பிடுக:

முந்தைய மதிப்பில் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளை நாங்கள் தொடர்ச்சியாகச் சேர்த்தபோது, முந்தைய முறையில் இருந்த அதே எண்ணைப் பெற்றுள்ளீர்கள் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.
இந்த சூத்திரத்தை "தனிப்பயனாக்க" முயற்சிப்போம் - அதை கொண்டு வருவோம் பொதுவான பார்வைமற்றும் நாம் பெறுகிறோம்:

எண்கணித முன்னேற்றச் சமன்பாடு.

எண்கணித முன்னேற்றங்கள் அதிகரிக்கலாம் அல்லது குறையலாம்.

அதிகரித்து வருகிறது- விதிமுறைகளின் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த மதிப்பும் முந்தையதை விட அதிகமாக இருக்கும் முன்னேற்றங்கள்.
உதாரணமாக:

இறங்குதல்- விதிமுறைகளின் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த மதிப்பும் முந்தையதை விட குறைவாக இருக்கும் முன்னேற்றங்கள்.
உதாரணமாக:

பெறப்பட்ட சூத்திரம் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அதிகரிக்கும் மற்றும் குறையும் சொற்களில் சொற்களின் கணக்கீட்டில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
இதை நடைமுறையில் பார்க்கலாம்.
பின்வரும் எண்களைக் கொண்ட ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் நமக்குக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: இந்த எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வது எண்ணைக் கணக்கிடுவதற்கு எங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால் அது என்னவாக இருக்கும் என்பதைச் சரிபார்ப்போம்:

அப்போதிருந்து:

எனவே, இந்த சூத்திரம் எண்கணித முன்னேற்றத்தைக் குறைத்தல் மற்றும் அதிகரிப்பது ஆகிய இரண்டிலும் செயல்படுகிறது என்பதை நாங்கள் நம்புகிறோம்.
இந்த எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வது மற்றும் வது விதிமுறைகளை நீங்களே கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவும்.

முடிவுகளை ஒப்பிடுவோம்:

எண்கணித முன்னேற்ற பண்பு

சிக்கலை சிக்கலாக்குவோம் - எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சொத்தைப் பெறுவோம்.
பின்வரும் நிபந்தனை எங்களுக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:
- எண்கணித முன்னேற்றம், மதிப்பைக் கண்டறியவும்.
எளிதானது, நீங்கள் ஏற்கனவே அறிந்த சூத்திரத்தின்படி எண்ணத் தொடங்குங்கள்:

சரி, பிறகு:

முற்றிலும் உண்மை. நாம் முதலில் கண்டுபிடித்து, அதை முதல் எண்ணுடன் சேர்த்து, நாம் தேடுவதைப் பெறுவோம். முன்னேற்றம் சிறிய மதிப்புகளால் குறிப்பிடப்பட்டால், அதில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை, ஆனால் நிபந்தனையில் எண்கள் கொடுக்கப்பட்டால் என்ன செய்வது? ஒப்புக்கொள்கிறேன், கணக்கீடுகளில் தவறு செய்ய வாய்ப்பு உள்ளது.
எந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த சிக்கலை ஒரே கட்டத்தில் தீர்க்க முடியுமா என்று இப்போது சிந்தியுங்கள்? நிச்சயமாக ஆம், அதைத்தான் இப்போது வெளியே கொண்டு வர முயற்சிப்போம்.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் தேவையான காலத்தைக் குறிப்போம், அதைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரம் நமக்குத் தெரியும் - இது ஆரம்பத்தில் நாம் பெற்ற அதே சூத்திரம்:
, பிறகு:

முன்னேற்றத்தின் முந்தைய காலம்:
முன்னேற்றத்தின் அடுத்த காலம்:

முன்னேற்றத்தின் முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த விதிமுறைகளை சுருக்கமாகக் கூறுவோம்:

முன்னேற்றத்தின் முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை அவற்றுக்கிடையே அமைந்துள்ள முன்னேற்ற காலத்தின் இரட்டை மதிப்பு என்று மாறிவிடும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அறியப்பட்ட முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த மதிப்புகளுடன் ஒரு முன்னேற்றச் சொல்லின் மதிப்பைக் கண்டறிய, நீங்கள் அவற்றைச் சேர்த்து வகுக்க வேண்டும்.

அது சரி, எங்களுக்கு அதே எண் கிடைத்தது. பொருளைப் பாதுகாப்போம். முன்னேற்றத்திற்கான மதிப்பை நீங்களே கணக்கிடுங்கள், அது ஒன்றும் கடினம் அல்ல.

நல்லது! முன்னேற்றம் பற்றி உங்களுக்கு எல்லாம் தெரியும்! புராணத்தின் படி, எல்லா காலத்திலும் மிகப் பெரிய கணிதவியலாளர்களில் ஒருவரான "கணிதவாதிகளின் ராஜா" - கார்ல் காஸ்ஸால் எளிதாகக் கண்டறியப்பட்ட ஒரே ஒரு சூத்திரத்தை மட்டுமே கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

கார்ல் காஸ் 9 வயதாக இருந்தபோது, மற்ற வகுப்புகளில் மாணவர்களின் வேலையைச் சரிபார்ப்பதில் மும்முரமாக இருந்த ஒரு ஆசிரியர், வகுப்பில் பின்வரும் பணியை வழங்கினார்: "எல்லா இயற்கை எண்களின் கூட்டுத்தொகையை (மற்ற ஆதாரங்களின்படி) உள்ளடங்கலாகக் கணக்கிடவும்." அவரது மாணவர்களில் ஒருவர் (இது கார்ல் காஸ்) ஒரு நிமிடம் கழித்து பணிக்கு சரியான பதிலைக் கொடுத்தபோது ஆசிரியரின் ஆச்சரியத்தை கற்பனை செய்து பாருங்கள், அதே நேரத்தில் பெரும்பாலான டேர்டெவிலின் வகுப்பு தோழர்கள் நீண்ட கணக்கீடுகளுக்குப் பிறகு தவறான முடிவைப் பெற்றனர்.

இளம் கார்ல் காஸ் நீங்கள் எளிதாக கவனிக்கக்கூடிய ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவத்தை கவனித்தார்.
-வது சொற்களைக் கொண்ட ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்: எண்கணித முன்னேற்றத்தின் இந்த சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். நிச்சயமாக, எல்லா மதிப்புகளையும் நாம் கைமுறையாகத் தொகுக்கலாம், ஆனால் காஸ் தேடுவது போல, பணிக்கு அதன் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய வேண்டுமானால் என்ன செய்வது?

நமக்கு கொடுக்கப்பட்ட முன்னேற்றத்தை சித்தரிப்போம். தனிப்படுத்தப்பட்ட எண்களைக் கூர்ந்து கவனித்து, அவற்றைக் கொண்டு பல்வேறு கணிதச் செயல்பாடுகளைச் செய்ய முயற்சிக்கவும்.

நீங்கள் முயற்சித்தீர்களா? நீங்கள் என்ன கவனித்தீர்கள்? சரி! அவற்றின் தொகை சமம்

இப்போது சொல்லுங்கள், நமக்குக் கொடுக்கப்பட்ட முன்னேற்றத்தில் மொத்தம் எத்தனை ஜோடிகள் உள்ளன? நிச்சயமாக, அனைத்து எண்களிலும் சரியாக பாதி, அதாவது.
ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகை சமம் மற்றும் ஒத்த ஜோடிகள் சமம் என்ற உண்மையின் அடிப்படையில், நாங்கள் அதைப் பெறுகிறோம் மொத்த தொகைசமமானது:
.
எனவே, எந்த எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம்:

சில பிரச்சனைகளில் நமக்கு வது சொல் தெரியாது, ஆனால் முன்னேற்றத்தின் வித்தியாசம் தெரியும். தொகை சூத்திரத்தில் வது சொல்லின் சூத்திரத்தை மாற்ற முயற்சிக்கவும்.
உனக்கு என்ன கிடைத்தது?

நல்லது! இப்போது கார்ல் காஸிடம் கேட்கப்பட்ட சிக்கலுக்குத் திரும்புவோம்: வது இலிருந்து தொடங்கும் எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வது இலிருந்து தொடங்கும் எண்களின் கூட்டுத்தொகை என்ன என்பதை நீங்களே கணக்கிடுங்கள்.

உங்களுக்கு எவ்வளவு கிடைத்தது?
சொற்களின் கூட்டுத்தொகை சமம் என்றும், சொற்களின் கூட்டுத்தொகை என்றும் காஸ் கண்டறிந்தார். நீங்கள் முடிவு செய்ததா?

உண்மையில், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம் 3 ஆம் நூற்றாண்டில் பண்டைய கிரேக்க விஞ்ஞானி டியோபாண்டஸால் நிரூபிக்கப்பட்டது, மேலும் இந்த நேரத்தில், நகைச்சுவையான மக்கள் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் பண்புகளை முழுமையாகப் பயன்படுத்தினர்.
உதாரணமாக, கற்பனை செய்து பாருங்கள் பண்டைய எகிப்துமற்றும் அந்தக் காலத்தின் மிகப்பெரிய கட்டுமானத் திட்டம் - ஒரு பிரமிடு கட்டுமானம்... அதன் ஒரு பக்கத்தை படம் காட்டுகிறது.

இங்கே முன்னேற்றம் எங்கே இருக்கிறது என்கிறீர்களா? கவனமாகப் பார்த்து, பிரமிட் சுவரின் ஒவ்வொரு வரிசையிலும் உள்ள மணல் தொகுதிகளின் எண்ணிக்கையில் ஒரு வடிவத்தைக் கண்டறியவும்.

ஏன் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் இல்லை? அடிவாரத்தில் பிளாக் செங்கற்களை வைத்தால் ஒரு சுவர் கட்ட எத்தனை தொகுதிகள் தேவை என்று கணக்கிடுங்கள். மானிட்டரின் குறுக்கே உங்கள் விரலை நகர்த்தும்போது நீங்கள் எண்ண மாட்டீர்கள் என்று நம்புகிறேன், கடைசி சூத்திரம் மற்றும் எண்கணித முன்னேற்றம் பற்றி நாங்கள் சொன்ன அனைத்தும் உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா?

IN இந்த வழக்கில்முன்னேற்றம் இதுபோல் தெரிகிறது: .
எண்கணித முன்னேற்ற வேறுபாடு.
எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் எண்ணிக்கை.
எங்கள் தரவை கடைசி சூத்திரங்களில் மாற்றுவோம் (தொகுதிகளின் எண்ணிக்கையை 2 வழிகளில் கணக்கிடுங்கள்).

முறை 1.

முறை 2.

இப்போது நீங்கள் மானிட்டரில் கணக்கிடலாம்: பெறப்பட்ட மதிப்புகளை எங்கள் பிரமிட்டில் உள்ள தொகுதிகளின் எண்ணிக்கையுடன் ஒப்பிடுங்கள். புரிந்ததா? சரி, எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nவது சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை நீங்கள் தேர்ச்சி பெற்றுள்ளீர்கள்.
நிச்சயமாக, அடிவாரத்தில் உள்ள தொகுதிகளிலிருந்து நீங்கள் ஒரு பிரமிட்டை உருவாக்க முடியாது, ஆனால் இருந்து? இந்த நிலையில் ஒரு சுவரைக் கட்டுவதற்கு எத்தனை மணல் செங்கற்கள் தேவை என்பதைக் கணக்கிட முயற்சிக்கவும்.
சமாளித்தாயா?
சரியான பதில் தொகுதிகள்:

பயிற்சி

பணிகள்:

மாஷா கோடையில் வடிவம் பெறுகிறார். ஒவ்வொரு நாளும் அவள் குந்துகளின் எண்ணிக்கையை அதிகரிக்கிறாள். முதல் பயிற்சி அமர்வில் மாஷா ஒரு வாரத்தில் குந்துகைகளை எத்தனை முறை செய்வார்?
இதில் உள்ள அனைத்து ஒற்றைப்படை எண்களின் கூட்டுத்தொகை என்ன.
பதிவுகளை சேமிக்கும் போது, ஒவ்வொரு மேல் அடுக்கிலும் முந்தையதை விட ஒரு பதிவு குறைவாக இருக்கும் வகையில் பதிவு செய்பவர்கள் அவற்றை அடுக்கி வைக்கின்றனர். ஒரு கொத்து கட்டில் எத்தனை பதிவுகள் உள்ளன, கொத்து அடித்தளம் பதிவுகள் என்றால்?

பதில்கள்:

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அளவுருக்களை வரையறுப்போம். இந்த வழக்கில்
(வாரங்கள் = நாட்கள்).
பதில்:இரண்டு வாரங்களில், மாஷா ஒரு நாளைக்கு ஒரு முறை குந்துகைகள் செய்ய வேண்டும்.
முதல் ஒற்றைப்படை எண் கடைசி எண்.
எண்கணித முன்னேற்ற வேறுபாடு.
ஒற்றைப்படை எண்களின் எண்ணிக்கை பாதியாக உள்ளது, இருப்பினும், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வது சொல்லைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த உண்மையைச் சரிபார்ப்போம்:
எண்களில் ஒற்றைப்படை எண்கள் இருக்கும்.
கிடைக்கக்கூடிய தரவை சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம்:
பதில்:இதில் உள்ள அனைத்து ஒற்றைப்படை எண்களின் கூட்டுத்தொகை சமம்.
பிரமிடுகள் பற்றிய பிரச்சனையை நினைவில் கொள்வோம். எங்கள் விஷயத்தில், a , ஒவ்வொரு மேல் அடுக்கும் ஒரு பதிவால் குறைக்கப்படுவதால், மொத்தத்தில் ஒரு அடுக்குகள் உள்ளன, அதாவது.
தரவை சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம்:
பதில்:கல்தூண்களில் பதிவுகள் உள்ளன.

சுருக்கமாகச் சொல்லலாம்

- ஒரு எண் வரிசை, இதில் அருகிலுள்ள எண்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு ஒரே மாதிரியாகவும் சமமாகவும் இருக்கும். இது அதிகரிக்கலாம் அல்லது குறையலாம்.
சூத்திரத்தைக் கண்டறிதல்எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வது சொல் சூத்திரத்தால் எழுதப்படுகிறது - , முன்னேற்றத்தில் உள்ள எண்களின் எண்ணிக்கை.
எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் சொத்து- - முன்னேற்றத்தில் உள்ள எண்களின் எண்ணிக்கை எங்கே.
எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகைஇரண்டு வழிகளில் காணலாம்:

, மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை எங்கே.

எண்கணித முன்னேற்றம். நடுத்தர நிலை

எண் வரிசை

உட்கார்ந்து சில எண்களை எழுத ஆரம்பிக்கலாம். உதாரணமாக:

நீங்கள் எந்த எண்களையும் எழுதலாம், அவற்றில் நீங்கள் விரும்பும் பல இருக்கலாம். ஆனால் எப்பொழுதும் எது முதலில், எது இரண்டாவது என்று சொல்லலாம், அதாவது, நாம் அவற்றை எண்ணலாம். எண் வரிசைக்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு.

எண் வரிசைஎண்களின் தொகுப்பாகும், ஒவ்வொன்றும் ஒரு தனிப்பட்ட எண்ணை ஒதுக்கலாம்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒவ்வொரு எண்ணும் ஒரு குறிப்பிட்ட இயற்கை எண்ணுடன் தொடர்புடையது மற்றும் ஒரு தனித்துவமானது. மேலும் இந்த தொகுப்பிலிருந்து வேறு எந்த எண்ணுக்கும் இந்த எண்ணை ஒதுக்க மாட்டோம்.

எண்ணைக் கொண்ட எண் வரிசையின் வது உறுப்பினர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரிசையின் வது காலத்தை ஏதேனும் சூத்திரத்தால் குறிப்பிட முடிந்தால் அது மிகவும் வசதியானது. உதாரணமாக, சூத்திரம்

வரிசையை அமைக்கிறது:

மற்றும் சூத்திரம் பின்வரும் வரிசை:

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது ஒரு வரிசை (இங்கே முதல் சொல் சமம், மற்றும் வேறுபாடு). அல்லது (, வேறுபாடு).

n வது கால சூத்திரம்

நாங்கள் ஒரு சூத்திரத்தை மறுநிகழ்வு என்று அழைக்கிறோம், இதில் வது வார்த்தையைக் கண்டுபிடிக்க, முந்தைய அல்லது பல முந்தையவற்றை நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்:

எடுத்துக்காட்டாக, இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முன்னேற்றத்தின் வது காலத்தைக் கண்டறிய, முந்தைய ஒன்பதைக் கணக்கிட வேண்டும். உதாரணமாக, அதை விடுங்கள். பிறகு:

சரி, பார்முலா என்னவென்று இப்போது புரிகிறதா?

ஒவ்வொரு வரியிலும் சில எண்ணால் பெருக்கப்படும். எது? மிகவும் எளிமையானது: இது தற்போதைய உறுப்பினரின் எண்ணிக்கையைக் கழித்தல்:

இப்போது மிகவும் வசதியானது, இல்லையா? நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

எண்கணித முன்னேற்றத்தில், nth termக்கான சூத்திரத்தைக் கண்டுபிடித்து நூறாவது சொல்லைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:

முதல் சொல் சமமானது. என்ன வித்தியாசம்? இதோ என்ன:

(இதனால்தான் இது வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இது முன்னேற்றத்தின் தொடர்ச்சியான சொற்களின் வேறுபாட்டிற்கு சமம்).

எனவே, சூத்திரம்:

பின்னர் நூறாவது சொல் இதற்கு சமம்:

முதல் வரையிலான அனைத்து இயற்கை எண்களின் கூட்டுத்தொகை என்ன?

புராணத்தின் படி, சிறந்த கணிதவியலாளர் கார்ல் காஸ், 9 வயது சிறுவனாக, இந்த தொகையை சில நிமிடங்களில் கணக்கிட்டார். முதல் மற்றும் கடைசி எண்களின் கூட்டுத்தொகை சமம், இரண்டாவது மற்றும் கடைசி எண்களின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுதான், முடிவில் இருந்து மூன்றாவது மற்றும் 3வது ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுதான், மற்றும் பல. இப்படி மொத்தம் எத்தனை ஜோடிகள் உள்ளன? அது சரி, அனைத்து எண்களின் பாதி எண்ணிக்கை, அதாவது. எனவே,

எந்த எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான பொதுவான சூத்திரம்:

எடுத்துக்காட்டு:
அனைத்து இரண்டு இலக்க மடங்குகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:

அத்தகைய முதல் எண் இதுதான். ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த எண்ணும் முந்தைய எண்ணுடன் சேர்ப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. எனவே, நாம் ஆர்வமாக உள்ள எண்கள் முதல் கால மற்றும் வேறுபாட்டுடன் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன.

இந்த முன்னேற்றத்திற்கான வது கால சூத்திரம்:

அவை அனைத்தும் இரண்டு இலக்கமாக இருக்க வேண்டும் என்றால், முன்னேற்றத்தில் எத்தனை விதிமுறைகள் உள்ளன?

மிகவும் எளிதானது: .

முன்னேற்றத்தின் கடைசி காலம் சமமாக இருக்கும். பின்னர் கூட்டுத்தொகை:

பதில்: .

இப்போது நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

ஒவ்வொரு நாளும் தடகள வீரர் முந்தைய நாளை விட அதிக மீட்டர் ஓடுகிறார். முதல் நாளே கிமீ மீ ஓட்டினால், ஒரு வாரத்தில் மொத்தம் எத்தனை கிலோமீட்டர் ஓடுவார்?
ஒரு சைக்கிள் ஓட்டுபவர் முந்தைய நாளை விட ஒவ்வொரு நாளும் அதிக கிலோமீட்டர் பயணம் செய்கிறார். முதல் நாள் அவர் கி.மீ. ஒரு கிலோமீட்டரை கடக்க எத்தனை நாட்கள் பயணம் செய்ய வேண்டும்? பயணத்தின் கடைசி நாளில் அவர் எத்தனை கிலோமீட்டர் பயணம் செய்வார்?
ஒரு கடையில் குளிர்சாதன பெட்டியின் விலை ஒவ்வொரு ஆண்டும் அதே அளவு குறைகிறது. ஆறு ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு ரூபிளுக்கு விற்கப்பட்டால், ஒவ்வொரு ஆண்டும் குளிர்சாதனப் பெட்டியின் விலை எவ்வளவு குறைந்துள்ளது என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.

பதில்கள்:

இங்கே மிக முக்கியமான விஷயம், எண்கணித முன்னேற்றத்தை அங்கீகரித்து அதன் அளவுருக்களை தீர்மானிக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், (வாரங்கள் = நாட்கள்). இந்த முன்னேற்றத்தின் முதல் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையை நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும்:
.
பதில்:
இங்கே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: , கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
வெளிப்படையாக, முந்தைய சிக்கலில் உள்ள அதே தொகை சூத்திரத்தை நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும்:
.
மதிப்புகளை மாற்றவும்:
ரூட் வெளிப்படையாக பொருந்தவில்லை, எனவே பதில்.
வது கால சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கடைசி நாளில் பயணித்த பாதையைக் கணக்கிடுவோம்:
(கிமீ)
பதில்:
கொடுக்கப்பட்டது: . கண்டுபிடி: .
இது எளிமையாக இருக்க முடியாது:
(தேய்த்தல்).
பதில்:

எண்கணித முன்னேற்றம். முக்கிய விஷயங்களைப் பற்றி சுருக்கமாக

இது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதில் அருகிலுள்ள எண்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு ஒரே மாதிரியாகவும் சமமாகவும் இருக்கும்.

எண்கணித முன்னேற்றம் அதிகரிக்கும் () மற்றும் குறையும் ().

உதாரணமாக:

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் n வது சொல்லைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம்

இது சூத்திரத்தால் எழுதப்பட்டது, அங்கு முன்னேற்றத்தில் உள்ள எண்களின் எண்ணிக்கை உள்ளது.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் சொத்து

முன்னேற்றத்தில் உள்ள எண்களின் எண்ணிக்கை எங்கே - அதன் அண்டை சொற்கள் தெரிந்தால், முன்னேற்றத்தின் சொல்லை எளிதாகக் கண்டறிய இது உங்களை அனுமதிக்கிறது.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை

தொகையைக் கண்டறிய இரண்டு வழிகள் உள்ளன:

மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை எங்கே.

எண்கணித முன்னேற்றம் பற்றி பலர் கேள்விப்பட்டிருக்கிறார்கள், ஆனால் அது என்ன என்பது பற்றி அனைவருக்கும் நல்ல யோசனை இல்லை. இந்த கட்டுரையில் நாம் தொடர்புடைய வரையறையை வழங்குவோம், மேலும் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்ற கேள்வியையும் கருத்தில் கொள்வோம், மேலும் பல எடுத்துக்காட்டுகளைக் கொடுப்போம்.

கணித வரையறை

எனவே என்றால் பற்றி பேசுகிறோம்எண்கணிதம் அல்லது இயற்கணித முன்னேற்றம் பற்றி (இந்த கருத்துக்கள் ஒரே விஷயத்தை வரையறுக்கின்றன), இதன் பொருள் திருப்திகரமான ஒரு குறிப்பிட்ட எண் தொடர் உள்ளது அடுத்த சட்டம்: ஒரு தொடரில் உள்ள ஒவ்வொரு இரண்டு அடுத்தடுத்த எண்களும் ஒரே மதிப்பால் வேறுபடுகின்றன. கணித ரீதியாக இது இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

இங்கே n என்பது வரிசையில் உள்ள உறுப்பு a n இன் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது, மேலும் d என்பது முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடாகும் (அதன் பெயர் வழங்கப்பட்ட சூத்திரத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது).

வித்தியாசத்தை தெரிந்துகொள்வது என்றால் என்ன? அண்டை எண்கள் ஒருவருக்கொருவர் எவ்வளவு "தொலைவில்" உள்ளன என்பது பற்றி. எவ்வாறாயினும், முழு முன்னேற்றத்தையும் தீர்மானிப்பதற்கு (மீட்டமைப்பதற்கு) d பற்றிய அறிவு அவசியமான ஆனால் போதுமான நிபந்தனை அல்ல. நீங்கள் இன்னும் ஒரு எண்ணை அறிந்து கொள்ள வேண்டும், இது பரிசீலனையில் உள்ள தொடரின் எந்தவொரு உறுப்பாகவும் இருக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு 4, a10, ஆனால், ஒரு விதியாக, அவர்கள் முதல் எண்ணைப் பயன்படுத்துகிறார்கள், அதாவது 1.

முன்னேற்றக் கூறுகளைத் தீர்மானிப்பதற்கான சூத்திரங்கள்

பொதுவாக, குறிப்பிட்ட சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு மேலே உள்ள தகவல்கள் ஏற்கனவே போதுமானவை. ஆயினும்கூட, எண்கணித முன்னேற்றம் வழங்கப்படுவதற்கு முன்பு, அதன் வேறுபாட்டைக் கண்டறிவது அவசியம், நாங்கள் இரண்டு பயனுள்ள சூத்திரங்களை முன்வைப்போம், அதன் மூலம் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான அடுத்தடுத்த செயல்முறையை எளிதாக்குவோம்.

எண் n உடன் வரிசையின் எந்த உறுப்பும் பின்வருமாறு காணலாம் என்பதைக் காண்பிப்பது எளிது:

a n = a 1 + (n - 1) * d

உண்மையில், எளிய தேடலின் மூலம் இந்த சூத்திரத்தை எவரும் சரிபார்க்கலாம்: நீங்கள் n = 1 ஐ மாற்றினால், முதல் உறுப்பு கிடைக்கும், நீங்கள் n = 2 ஐ மாற்றினால், வெளிப்பாடு முதல் எண் மற்றும் வேறுபாட்டின் கூட்டுத்தொகையை அளிக்கிறது, மேலும் பல.

பல பிரச்சனைகளின் நிலைமைகள் அந்த வகையில் இயற்றப்பட்டுள்ளன பிரபலமான ஜோடிவரிசையில் எண்கள் கொடுக்கப்பட்ட எண்கள், முழு எண் தொடரையும் மீட்டமைக்க வேண்டியது அவசியம் (வேறுபாடு மற்றும் முதல் உறுப்பைக் கண்டறியவும்). இப்போது இந்த சிக்கலை பொதுவான வடிவத்தில் தீர்ப்போம்.

எனவே, n மற்றும் m எண்களைக் கொண்ட இரண்டு தனிமங்களைக் கொடுக்கலாம். மேலே பெறப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்கலாம்:

a n = a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d

அறியப்படாத அளவுகளைக் கண்டறிய, அத்தகைய அமைப்பைத் தீர்க்க நன்கு அறியப்பட்ட எளிய நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை ஜோடிகளாகக் கழித்தால், சமத்துவம் செல்லுபடியாகும். எங்களிடம் உள்ளது:

a n = a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

எனவே, அறியப்படாத ஒன்றைத் தவிர்த்துவிட்டோம் (a 1). இப்போது நாம் d ஐ தீர்மானிப்பதற்கான இறுதி வெளிப்பாட்டை எழுதலாம்:

d = (a n - a m) / (n - m), இங்கு n > m

எங்களுக்கு மிகவும் கிடைத்தது எளிய சூத்திரம்: பிரச்சனையின் நிலைமைகளுக்கு ஏற்ப வேறுபாடு d ஐக் கணக்கிட, நீங்கள் தனிமங்களுக்கும் அவற்றின் கூறுகளுக்கும் இடையிலான வேறுபாடுகளின் விகிதத்தை மட்டுமே எடுக்க வேண்டும். வரிசை எண்கள். ஒன்றில் கவனம் செலுத்த வேண்டும் முக்கியமான புள்ளிகவனம்: "உயர்ந்த" மற்றும் "குறைந்த" உறுப்பினர்களுக்கு இடையே வேறுபாடுகள் எடுக்கப்படுகின்றன, அதாவது, n > m ("அதிகமானது" என்பது வரிசையின் தொடக்கத்திலிருந்து மேலும் அமைந்துள்ள ஒன்று, அதன் முழுமையான மதிப்பு அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருக்கலாம். "ஜூனியர்" உறுப்பு) .

முதல் காலத்தின் மதிப்பைப் பெற, சிக்கலைத் தீர்க்கும் தொடக்கத்தில் உள்ள வேறுபாடு d முன்னேற்றத்திற்கான வெளிப்பாடு ஏதேனும் சமன்பாடுகளுக்குப் பதிலாக மாற்றப்பட வேண்டும்.

நமது வளர்ச்சி யுகத்தில் கணினி தொழில்நுட்பம்பல பள்ளி குழந்தைகள் இணையத்தில் தங்கள் பணிகளுக்கான தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சி செய்கிறார்கள், எனவே இதுபோன்ற கேள்விகள் அடிக்கடி எழுகின்றன: ஆன்லைனில் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும். அத்தகைய கோரிக்கைக்கு, தேடுபொறி பல வலைப்பக்கங்களை வழங்கும், அதற்குச் செல்வதன் மூலம் நீங்கள் நிபந்தனையிலிருந்து அறியப்பட்ட தரவை உள்ளிட வேண்டும் (இது முன்னேற்றத்தின் இரண்டு சொற்களாக இருக்கலாம் அல்லது அவற்றின் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கலாம். ) மற்றும் உடனடியாக ஒரு பதிலைப் பெறுங்கள். ஆயினும்கூட, சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான இந்த அணுகுமுறை மாணவரின் வளர்ச்சி மற்றும் அவருக்கு ஒதுக்கப்பட்ட பணியின் சாரத்தைப் பற்றிய புரிதலின் அடிப்படையில் பயனற்றது.

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தாமல் தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரங்கள் எதையும் பயன்படுத்தாமல் முதல் சிக்கலைத் தீர்ப்போம். தொடரின் கூறுகள் கொடுக்கப்படட்டும்: a6 = 3, a9 = 18. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.

அறியப்பட்ட கூறுகள் ஒரு வரிசையில் ஒருவருக்கொருவர் நெருக்கமாக நிற்கின்றன. பெரியதைப் பெற, சிறியவற்றுடன் d வித்தியாசத்தை எத்தனை முறை சேர்க்க வேண்டும்? மூன்று முறை (முதல் முறையாக d ஐச் சேர்த்தால், 7 வது உறுப்பு கிடைக்கும், இரண்டாவது முறை - எட்டாவது, இறுதியாக, மூன்றாவது முறை - ஒன்பதாவது). 18ஐப் பெற மூன்று முறை மூன்று முறை என்ன எண்ணைக் கூட்ட வேண்டும்? இது எண் ஐந்து. உண்மையில்:

எனவே, அறியப்படாத வேறுபாடு d = 5.

நிச்சயமாக, தீர்வு பொருத்தமான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்பட்டிருக்கலாம், ஆனால் இது வேண்டுமென்றே செய்யப்படவில்லை. சிக்கலுக்கான தீர்வு பற்றிய விரிவான விளக்கம் தெளிவாக இருக்க வேண்டும் ஒரு பிரகாசமான உதாரணம்எண்கணித முன்னேற்றம் என்றால் என்ன?

முந்தையதைப் போன்ற ஒரு பணி

இப்போது இதேபோன்ற சிக்கலைத் தீர்ப்போம், ஆனால் உள்ளீட்டுத் தரவை மாற்றவும். எனவே, a3 = 2, a9 = 19 என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

நிச்சயமாக, நீங்கள் மீண்டும் "ஹெட்-ஆன்" தீர்வு முறையை நாடலாம். ஆனால் தொடரின் கூறுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, அவை ஒருவருக்கொருவர் ஒப்பீட்டளவில் தொலைவில் உள்ளன, இந்த முறை முற்றிலும் வசதியாக இருக்காது. ஆனால் இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது விரைவாக பதிலுக்கு நம்மை அழைத்துச் செல்லும்:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83

இங்கே நாம் இறுதி எண்ணை வட்டமிட்டுள்ளோம். இந்த ரவுண்டிங் எந்த அளவிற்கு பிழைக்கு வழிவகுத்தது என்பதை முடிவைச் சரிபார்ப்பதன் மூலம் தீர்மானிக்க முடியும்:

a 9 = a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98

இந்த முடிவு நிபந்தனையில் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பிலிருந்து 0.1% மட்டுமே வேறுபடுகிறது. எனவே, அருகிலுள்ள நூறில் பயன்படுத்தப்படும் ரவுண்டிங் ஒரு வெற்றிகரமான தேர்வாகக் கருதப்படலாம்.

ஒரு காலத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதில் உள்ள சிக்கல்கள்

கருத்தில் கொள்வோம் உன்னதமான உதாரணம்அறியப்படாத d ஐக் கண்டறியும் பணிகள்: a1 = 12, a5 = 40 எனில் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.

அறியப்படாத இயற்கணித வரிசையின் இரண்டு எண்கள் கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றில் ஒன்று உறுப்பு a 1 ஆகும், நீங்கள் நீண்ட நேரம் யோசிக்க வேண்டியதில்லை, ஆனால் உடனடியாக a n காலத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இந்த வழக்கில் எங்களிடம் உள்ளது:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

எங்களுக்கு கிடைத்தது சரியான எண்பிரிக்கும் போது, முந்தைய பத்தியில் செய்யப்பட்டது போல், கணக்கிடப்பட்ட முடிவின் துல்லியத்தை சரிபார்க்க எந்த அர்த்தமும் இல்லை.

இதேபோன்ற மற்றொரு சிக்கலைத் தீர்ப்போம்: a1 = 16, a8 = 37 எனில் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைக் கண்டறிய வேண்டும்.

முந்தையதைப் போன்ற ஒரு அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் பெறுகிறோம்:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

எண்கணித முன்னேற்றம் பற்றி நீங்கள் வேறு என்ன தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்?

அறியப்படாத வேறுபாடு அல்லது தனிப்பட்ட கூறுகளைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கல்களுக்கு கூடுதலாக, ஒரு வரிசையின் முதல் சொற்களின் கூட்டுத்தொகையின் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது அவசியம். இந்த பணிகளைக் கருத்தில் கொள்வது கட்டுரையின் எல்லைக்கு அப்பாற்பட்டது, இருப்பினும், நாங்கள் வழங்கும் தகவலின் முழுமைக்காக பொது சூத்திரம்ஒரு தொடரில் உள்ள n எண்களின் கூட்டுக்கு:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

நுழைவு நிலை

எண்கணித முன்னேற்றம். எடுத்துக்காட்டுகளுடன் விரிவான கோட்பாடு (2019)

எண் வரிசை

எண் வரிசை
எடுத்துக்காட்டாக, எங்கள் வரிசைக்கு:

எங்கள் விஷயத்தில்:

முதலியன
இந்த எண் வரிசை எண்கணித முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
"முன்னேற்றம்" என்ற சொல் 6 ஆம் நூற்றாண்டில் ரோமானிய எழுத்தாளரான போதியஸால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது மற்றும் ஒரு எல்லையற்ற எண் வரிசையாக பரந்த பொருளில் புரிந்து கொள்ளப்பட்டது. "எண்கணிதம்" என்ற பெயர் தொடர்ச்சியான விகிதாச்சாரத்தின் கோட்பாட்டிலிருந்து மாற்றப்பட்டது, இது பண்டைய கிரேக்கர்களால் ஆய்வு செய்யப்பட்டது.

இது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் அதே எண்ணில் சேர்க்கப்பட்ட முந்தையதற்கு சமமாக இருக்கும். இந்த எண் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் நியமிக்கப்பட்டது.

a)
b)
c)
ஈ)

1. முறை

எனவே, விவரிக்கப்பட்ட எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வது சொல் சமம்.

2. முறை

நீங்கள் கணக்கிட்டீர்களா? பதிலுடன் உங்கள் குறிப்புகளை ஒப்பிடுக:

முந்தைய மதிப்பில் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளை நாங்கள் தொடர்ச்சியாகச் சேர்த்தபோது, முந்தைய முறையில் இருந்த அதே எண்ணைப் பெற்றுள்ளீர்கள் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.
இந்த சூத்திரத்தை "தனிப்பயனாக்க" முயற்சிப்போம் - அதை பொதுவான வடிவத்தில் வைத்து பெறுவோம்:

எண்கணித முன்னேற்றச் சமன்பாடு.

எண்கணித முன்னேற்றங்கள் அதிகரிக்கலாம் அல்லது குறையலாம்.

அப்போதிருந்து:

முடிவுகளை ஒப்பிடுவோம்:

எண்கணித முன்னேற்ற பண்பு

சரி, பிறகு:

முன்னேற்றத்தின் முந்தைய காலம்:
முன்னேற்றத்தின் அடுத்த காலம்:

இப்போது சொல்லுங்கள், நமக்குக் கொடுக்கப்பட்ட முன்னேற்றத்தில் மொத்தம் எத்தனை ஜோடிகள் உள்ளன? நிச்சயமாக, அனைத்து எண்களிலும் சரியாக பாதி, அதாவது.
ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகை சமம் மற்றும் ஒத்த ஜோடிகள் சமம் என்ற உண்மையின் அடிப்படையில், மொத்தத் தொகை சமம்:
.
எனவே, எந்த எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம்:

உண்மையில், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம் 3 ஆம் நூற்றாண்டில் பண்டைய கிரேக்க விஞ்ஞானி டியோபாண்டஸால் நிரூபிக்கப்பட்டது, மேலும் இந்த நேரத்தில், நகைச்சுவையான மக்கள் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் பண்புகளை முழுமையாகப் பயன்படுத்தினர்.
உதாரணமாக, பண்டைய எகிப்தையும் அந்தக் காலத்தின் மிகப்பெரிய கட்டுமானத் திட்டத்தையும் கற்பனை செய்து பாருங்கள் - ஒரு பிரமிட் கட்டுமானம் ... படம் அதன் ஒரு பக்கத்தைக் காட்டுகிறது.

இந்த வழக்கில், முன்னேற்றம் இதுபோல் தெரிகிறது: .
எண்கணித முன்னேற்ற வேறுபாடு.
எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் எண்ணிக்கை.
எங்கள் தரவை கடைசி சூத்திரங்களில் மாற்றுவோம் (தொகுதிகளின் எண்ணிக்கையை 2 வழிகளில் கணக்கிடுங்கள்).

முறை 1.

முறை 2.

பயிற்சி

பணிகள்:

மாஷா கோடையில் வடிவம் பெறுகிறார். ஒவ்வொரு நாளும் அவள் குந்துகளின் எண்ணிக்கையை அதிகரிக்கிறாள். முதல் பயிற்சி அமர்வில் மாஷா ஒரு வாரத்தில் குந்துகைகளை எத்தனை முறை செய்வார்?
இதில் உள்ள அனைத்து ஒற்றைப்படை எண்களின் கூட்டுத்தொகை என்ன.
பதிவுகளை சேமிக்கும் போது, ஒவ்வொரு மேல் அடுக்கிலும் முந்தையதை விட ஒரு பதிவு குறைவாக இருக்கும் வகையில் பதிவு செய்பவர்கள் அவற்றை அடுக்கி வைக்கின்றனர். ஒரு கொத்து கட்டில் எத்தனை பதிவுகள் உள்ளன, கொத்து அடித்தளம் பதிவுகள் என்றால்?

பதில்கள்:

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அளவுருக்களை வரையறுப்போம். இந்த வழக்கில்
(வாரங்கள் = நாட்கள்).
பதில்:இரண்டு வாரங்களில், மாஷா ஒரு நாளைக்கு ஒரு முறை குந்துகைகள் செய்ய வேண்டும்.
முதல் ஒற்றைப்படை எண், கடைசி எண்.
எண்கணித முன்னேற்ற வேறுபாடு.
ஒற்றைப்படை எண்களின் எண்ணிக்கை பாதியாக உள்ளது, இருப்பினும், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வது சொல்லைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த உண்மையைச் சரிபார்ப்போம்:
எண்களில் ஒற்றைப்படை எண்கள் இருக்கும்.
கிடைக்கக்கூடிய தரவை சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம்:
பதில்:இதில் உள்ள அனைத்து ஒற்றைப்படை எண்களின் கூட்டுத்தொகை சமம்.
பிரமிடுகள் பற்றிய பிரச்சனையை நினைவில் கொள்வோம். எங்கள் விஷயத்தில், a , ஒவ்வொரு மேல் அடுக்கும் ஒரு பதிவால் குறைக்கப்படுவதால், மொத்தத்தில் ஒரு அடுக்குகள் உள்ளன, அதாவது.
தரவை சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம்:
பதில்:கல்தூண்களில் பதிவுகள் உள்ளன.

சுருக்கமாகச் சொல்லலாம்

- ஒரு எண் வரிசை, இதில் அருகிலுள்ள எண்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு ஒரே மாதிரியாகவும் சமமாகவும் இருக்கும். இது அதிகரிக்கலாம் அல்லது குறையலாம்.
சூத்திரத்தைக் கண்டறிதல்எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வது சொல் சூத்திரத்தால் எழுதப்படுகிறது - , முன்னேற்றத்தில் உள்ள எண்களின் எண்ணிக்கை.
எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் சொத்து- - முன்னேற்றத்தில் உள்ள எண்களின் எண்ணிக்கை எங்கே.
எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகைஇரண்டு வழிகளில் காணலாம்:

, மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை எங்கே.

எண்கணித முன்னேற்றம். நடுத்தர நிலை

எண் வரிசை

உட்கார்ந்து சில எண்களை எழுத ஆரம்பிக்கலாம். உதாரணமாக:

எண்ணைக் கொண்ட எண் வரிசையின் வது உறுப்பினர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரிசையை அமைக்கிறது:

மற்றும் சூத்திரம் பின்வரும் வரிசை:

n வது கால சூத்திரம்

சரி, பார்முலா என்னவென்று இப்போது புரிகிறதா?

இப்போது மிகவும் வசதியானது, இல்லையா? நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

தீர்வு:

முதல் சொல் சமமானது. என்ன வித்தியாசம்? இதோ என்ன:

எனவே, சூத்திரம்:

பின்னர் நூறாவது சொல் இதற்கு சமம்:

முதல் வரையிலான அனைத்து இயற்கை எண்களின் கூட்டுத்தொகை என்ன?

தீர்வு:

இந்த முன்னேற்றத்திற்கான வது கால சூத்திரம்:

மிகவும் எளிதானது: .

முன்னேற்றத்தின் கடைசி காலம் சமமாக இருக்கும். பின்னர் கூட்டுத்தொகை:

பதில்: .

இப்போது நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

ஒவ்வொரு நாளும் தடகள வீரர் முந்தைய நாளை விட அதிக மீட்டர் ஓடுகிறார். முதல் நாளே கிமீ மீ ஓட்டினால், ஒரு வாரத்தில் மொத்தம் எத்தனை கிலோமீட்டர் ஓடுவார்?
ஒரு சைக்கிள் ஓட்டுபவர் முந்தைய நாளை விட ஒவ்வொரு நாளும் அதிக கிலோமீட்டர் பயணம் செய்கிறார். முதல் நாள் அவர் கி.மீ. ஒரு கிலோமீட்டரை கடக்க எத்தனை நாட்கள் பயணம் செய்ய வேண்டும்? பயணத்தின் கடைசி நாளில் அவர் எத்தனை கிலோமீட்டர் பயணம் செய்வார்?
ஒரு கடையில் குளிர்சாதன பெட்டியின் விலை ஒவ்வொரு ஆண்டும் அதே அளவு குறைகிறது. ஆறு ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு ரூபிளுக்கு விற்கப்பட்டால், ஒவ்வொரு ஆண்டும் குளிர்சாதனப் பெட்டியின் விலை எவ்வளவு குறைந்துள்ளது என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.

பதில்கள்:

இங்கே மிக முக்கியமான விஷயம், எண்கணித முன்னேற்றத்தை அங்கீகரித்து அதன் அளவுருக்களை தீர்மானிக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், (வாரங்கள் = நாட்கள்). இந்த முன்னேற்றத்தின் முதல் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையை நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும்:
.
பதில்:
இங்கே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: , கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
வெளிப்படையாக, முந்தைய சிக்கலில் உள்ள அதே தொகை சூத்திரத்தை நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும்:
.
மதிப்புகளை மாற்றவும்:
ரூட் வெளிப்படையாக பொருந்தவில்லை, எனவே பதில்.
வது கால சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கடைசி நாளில் பயணித்த பாதையைக் கணக்கிடுவோம்:
(கிமீ)
பதில்:
கொடுக்கப்பட்டது: . கண்டுபிடி: .
இது எளிமையாக இருக்க முடியாது:
(தேய்த்தல்).
பதில்:

எண்கணித முன்னேற்றம். முக்கிய விஷயங்களைப் பற்றி சுருக்கமாக

எண்கணித முன்னேற்றம் அதிகரிக்கும் () மற்றும் குறையும் ().

உதாரணமாக:

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் n வது சொல்லைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம்

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் சொத்து

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை

தொகையைக் கண்டறிய இரண்டு வழிகள் உள்ளன:

மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை எங்கே.

ஆம், ஆம்: எண்கணித முன்னேற்றம் உங்களுக்கு ஒரு பொம்மை அல்ல :)

சரி, நண்பர்களே, நீங்கள் இந்த உரையைப் படிக்கிறீர்கள் என்றால், எண்கணித முன்னேற்றம் என்னவென்று உங்களுக்கு இன்னும் தெரியவில்லை என்று உள் தொப்பி-சான்று சொல்கிறது, ஆனால் நீங்கள் உண்மையில் (இல்லை, இது போன்ற: SOOOOO!) தெரிந்து கொள்ள விரும்புகிறீர்கள். எனவே, நீண்ட அறிமுகங்களுடன் உங்களைத் துன்புறுத்த மாட்டேன், நேரடியாக விஷயத்திற்கு வருகிறேன்.

முதலில், இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகள். எண்களின் பல தொகுப்புகளைப் பார்ப்போம்:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

இந்த அனைத்து தொகுப்புகளுக்கும் பொதுவானது என்ன? முதல் பார்வையில், எதுவும் இல்லை. ஆனால் உண்மையில் ஏதோ இருக்கிறது. அதாவது: ஒவ்வொரு அடுத்த உறுப்புமுந்தைய எண்ணிலிருந்து அதே எண்ணிக்கையில் வேறுபடுகிறது.

நீங்களே தீர்ப்பளிக்கவும். முதல் தொகுப்பு வெறுமனே தொடர்ச்சியான எண்கள், ஒவ்வொன்றும் முந்தையதை விட ஒன்று அதிகமாகும். இரண்டாவது வழக்கில், அருகிலுள்ள எண்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு ஏற்கனவே ஐந்து ஆகும், ஆனால் இந்த வேறுபாடு இன்னும் நிலையானது. மூன்றாவது வழக்கில், வேர்கள் எதுவும் இல்லை. இருப்பினும், $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, மற்றும் $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, அதாவது. இந்த நிலையில், ஒவ்வொரு அடுத்த உறுப்பும் $\sqrt(2)$ ஆக அதிகரிக்கிறது (மேலும் இந்த எண் பகுத்தறிவற்றது என்று பயப்பட வேண்டாம்).

எனவே: அத்தகைய அனைத்து வரிசைகளும் எண்கணித முன்னேற்றங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. கடுமையான வரையறையை வழங்குவோம்:

வரையறை. எண்களின் வரிசை ஒவ்வொன்றும் முந்தையவற்றிலிருந்து அதே அளவு வேறுபடும் எண்கணித முன்னேற்றம் எனப்படும். எண்கள் வேறுபடும் அளவு முன்னேற்ற வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் பெரும்பாலும் $d$ என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

குறிப்பு: $\left(((a)_(n)) \right)$ என்பது முன்னேற்றமே, $d$ என்பது அதன் வித்தியாசம்.

மற்றும் சில முக்கியமான குறிப்புகள். முதலில், முன்னேற்றம் மட்டுமே கருதப்படுகிறது உத்தரவிட்டார்எண்களின் வரிசை: அவை எழுதப்பட்ட வரிசையில் கண்டிப்பாக படிக்க அனுமதிக்கப்படுகின்றன - வேறு எதுவும் இல்லை. எண்களை மறுசீரமைக்கவோ அல்லது மாற்றவோ முடியாது.

இரண்டாவதாக, வரிசையே வரையறுக்கப்பட்டதாகவோ அல்லது எல்லையற்றதாகவோ இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, தொகுப்பு (1; 2; 3) ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்கணித முன்னேற்றம். ஆனால் நீங்கள் ஆவியில் ஏதாவது எழுதினால் (1; 2; 3; 4; ...) - இது ஏற்கனவே எல்லையற்ற முன்னேற்றம். நான்கிற்குப் பிறகு வரும் நீள்வட்டம் இன்னும் சில எண்கள் வரவுள்ளன என்பதைக் குறிக்கிறது. எண்ணற்ற பல, எடுத்துக்காட்டாக :)

முன்னேற்றங்கள் அதிகரிக்கலாம் அல்லது குறையலாம் என்பதையும் நான் கவனிக்க விரும்புகிறேன். அதிகரித்து வருவதை நாம் ஏற்கனவே பார்த்திருக்கிறோம் - அதே தொகுப்பு (1; 2; 3; 4; ...). முன்னேற்றங்கள் குறைந்து வருவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

சரி, சரி: கடைசி உதாரணம்மிகவும் சிக்கலானதாக தோன்றலாம். ஆனால் மீதமுள்ளவை, நீங்கள் புரிந்துகொள்கிறீர்கள் என்று நினைக்கிறேன். எனவே, நாங்கள் புதிய வரையறைகளை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்:

வரையறை. ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் அழைக்கப்படுகிறது:

ஒவ்வொரு அடுத்த உறுப்பும் முந்தையதை விட அதிகமாக இருந்தால் அதிகரிக்கும்;

மாறாக, ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த உறுப்பும் முந்தையதை விட குறைவாக இருந்தால் குறைகிறது.

கூடுதலாக, "நிலையான" வரிசைகள் என்று அழைக்கப்படுபவை உள்ளன - அவை மீண்டும் மீண்டும் வரும் எண்ணைக் கொண்டிருக்கும். உதாரணமாக, (3; 3; 3; ...).

ஒரே ஒரு கேள்வி மட்டுமே உள்ளது: அதிகரித்து வரும் முன்னேற்றத்தை குறைவதை எவ்வாறு வேறுபடுத்துவது? அதிர்ஷ்டவசமாக, இங்கே எல்லாம் $d$ எண்ணின் அடையாளத்தை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, அதாவது. முன்னேற்ற வேறுபாடுகள்:

$d \gt 0$ எனில், முன்னேற்றம் அதிகரிக்கிறது;
$d \lt 0$ எனில், முன்னேற்றம் வெளிப்படையாகக் குறைகிறது;
இறுதியாக, $d=0$ வழக்கு உள்ளது - இந்த வழக்கில் முழு முன்னேற்றமும் ஒரே மாதிரியான எண்களின் நிலையான வரிசையாக குறைக்கப்படுகிறது: (1; 1; 1; 1; ...), முதலியன.

மேலே கொடுக்கப்பட்ட மூன்று குறைந்து வரும் முன்னேற்றங்களுக்கான வித்தியாசத்தை $d$ கணக்கிட முயற்சிப்போம். இதைச் செய்ய, அருகிலுள்ள இரண்டு கூறுகளை (உதாரணமாக, முதல் மற்றும் இரண்டாவது) எடுத்து, வலதுபுறத்தில் உள்ள எண்ணிலிருந்து இடதுபுறத்தில் உள்ள எண்ணைக் கழித்தால் போதும். இது இப்படி இருக்கும்:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

நாம் பார்க்கிறபடி, எல்லாவற்றிலும் மூன்று வழக்குகள்வித்தியாசம் உண்மையில் எதிர்மறையாக மாறியது. இப்போது நாம் வரையறைகளை அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ கண்டுபிடித்துள்ளோம், முன்னேற்றங்கள் எவ்வாறு விவரிக்கப்படுகின்றன மற்றும் அவை என்ன பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதைக் கண்டறிய வேண்டிய நேரம் இது.

முன்னேற்ற விதிமுறைகள் மற்றும் மறுநிகழ்வு சூத்திரம்

எங்கள் வரிசைகளின் கூறுகளை மாற்ற முடியாது என்பதால், அவற்றை எண்ணலாம்:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \வலது$\]

இந்த தொகுப்பின் தனிப்பட்ட கூறுகள் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவை ஒரு எண்ணால் குறிக்கப்படுகின்றன: முதல் உறுப்பினர், இரண்டாவது உறுப்பினர், முதலியன.

கூடுதலாக, நாம் ஏற்கனவே அறிந்தபடி, முன்னேற்றத்தின் அண்டை விதிமுறைகள் சூத்திரத்தால் தொடர்புடையவை:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

சுருக்கமாக, ஒரு முன்னேற்றத்தின் $n$வது காலத்தைக் கண்டறிய, $n-1$வது காலத்தையும் $d$ வித்தியாசத்தையும் நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இந்த சூத்திரம் மீண்டும் மீண்டும் அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அதன் உதவியுடன் முந்தையதை (மற்றும் உண்மையில், முந்தைய அனைத்தையும்) அறிந்துகொள்வதன் மூலம் மட்டுமே நீங்கள் எந்த எண்ணையும் கண்டுபிடிக்க முடியும். இது மிகவும் சிரமமாக உள்ளது, எனவே மிகவும் தந்திரமான சூத்திரம் உள்ளது, இது எந்த கணக்கீடுகளையும் முதல் கால மற்றும் வேறுபாட்டிற்கு குறைக்கிறது:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

இந்த சூத்திரத்தை நீங்கள் ஏற்கனவே பார்த்திருக்கலாம். அனைத்து வகையான குறிப்பு புத்தகங்களிலும் தீர்வு புத்தகங்களிலும் கொடுக்க விரும்புகிறார்கள். எந்த விவேகமான கணித பாடப்புத்தகத்திலும் இது முதன்மையானது.

இருப்பினும், நீங்கள் கொஞ்சம் பயிற்சி செய்ய பரிந்துரைக்கிறேன்.

பணி எண் 1. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் மூன்று சொற்களை எழுதவும் $\left((((a)_(n)) \right)$ என்றால் $((a)_(1))=8,d=-5$.

தீர்வு. எனவே, முதல் சொல் $((a)_(1))=8$ மற்றும் முன்னேற்றத்தின் வித்தியாசம் $d=-5$ ஆகியவற்றை நாங்கள் அறிவோம். இப்போது கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி $n=1$, $n=2$ மற்றும் $n=3$ ஆகியவற்றை மாற்றுவோம்:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

பதில்: (8; 3; -2)

அவ்வளவுதான்! தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: எங்கள் முன்னேற்றம் குறைந்து வருகிறது.

நிச்சயமாக, $n=1$ ஐ மாற்ற முடியாது - முதல் சொல் ஏற்கனவே எங்களுக்குத் தெரியும். இருப்பினும், ஒற்றுமையை மாற்றியமைப்பதன் மூலம், முதல் தவணைக்கு கூட எங்கள் சூத்திரம் செயல்படும் என்று நாங்கள் உறுதியாக நம்பினோம். மற்ற சந்தர்ப்பங்களில், எல்லாம் சாதாரணமான எண்கணிதத்திற்கு வந்தது.

பணி எண் 2. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் மூன்று சொற்களை எழுதவும், அதன் ஏழாவது சொல் −40 க்கும், பதினேழாவது சொல் −50 க்கும் சமமாக இருந்தால்.

தீர்வு. பழக்கமான சொற்களில் சிக்கல் நிலையை எழுதுவோம்:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \ end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \வலது.\]

இந்த தேவைகள் ஒரே நேரத்தில் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும் என்பதால் நான் கணினி அடையாளத்தை வைத்தேன். இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து முதலில் கழித்தால் (இதைச் செய்ய நமக்கு உரிமை உள்ளது, ஏனெனில் எங்களிடம் ஒரு அமைப்பு உள்ளது), இதைப் பெறுவோம்:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

முன்னேற்ற வேறுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்பது எவ்வளவு எளிது! கணினியின் எந்த சமன்பாடுகளிலும் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண்ணை மாற்றுவது மட்டுமே மீதமுள்ளது. உதாரணமாக, முதலில்:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((அ)_(1))=-40+6=-34. \\ \முடிவு(மேட்ரிக்ஸ்)\]

இப்போது, முதல் சொல் மற்றும் வேறுபாட்டை அறிந்து, இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சொற்களைக் கண்டுபிடிப்பது உள்ளது:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

தயார்! பிரச்சனை தீர்ந்துவிட்டது.

பதில்: (−34; -35; -36)

நாங்கள் கண்டறிந்த முன்னேற்றத்தின் சுவாரஸ்யமான பண்புகளைக் கவனியுங்கள்: $n$th மற்றும் $m$வது விதிமுறைகளை எடுத்து, அவற்றை ஒன்றிலிருந்து ஒன்று கழித்தால், $n-m$ எண்ணால் பெருக்கப்படும் முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைப் பெறுவோம்:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

எளிய ஆனால் மிகவும் பயனுள்ள சொத்து, நீங்கள் நிச்சயமாக தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் - அதன் உதவியுடன் நீங்கள் பல முன்னேற்ற சிக்கல்களின் தீர்வை கணிசமாக விரைவுபடுத்தலாம். இங்கே பிரகாசமான என்றுஉதாரணம்:

பணி எண். 3. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஐந்தாவது சொல் 8.4, மற்றும் அதன் பத்தாவது சொல் 14.4. இந்த முன்னேற்றத்தின் பதினைந்தாவது வார்த்தையைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, மற்றும் $((a)_(15))$ ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்பதால், பின்வருவனவற்றைக் கவனிக்கிறோம்:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

ஆனால் நிபந்தனையின்படி $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, எனவே $5d=6$, இதில் இருந்து நாம்:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((அ)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

பதில்: 20.4

அவ்வளவுதான்! சமன்பாடுகளின் எந்த அமைப்புகளையும் உருவாக்கி, முதல் காலத்தையும் வேறுபாட்டையும் கணக்கிட வேண்டிய அவசியமில்லை - எல்லாம் ஓரிரு வரிகளில் தீர்க்கப்பட்டது.

இப்போது மற்றொரு வகை சிக்கலைப் பார்ப்போம் - ஒரு முன்னேற்றத்தின் எதிர்மறை மற்றும் நேர்மறையான சொற்களைத் தேடுவது. ஒரு முன்னேற்றம் அதிகரித்து, அதன் முதல் சொல் எதிர்மறையாக இருந்தால், விரைவில் அல்லது பின்னர் நேர்மறையான சொற்கள் அதில் தோன்றும் என்பது இரகசியமல்ல. மற்றும் நேர்மாறாக: குறைந்து வரும் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகள் விரைவில் அல்லது பின்னர் எதிர்மறையாக மாறும்.

அதே நேரத்தில், உறுப்புகளின் வழியாக வரிசையாகச் செல்வதன் மூலம் இந்த தருணத்தை "தலையாக" கண்டுபிடிப்பது எப்போதும் சாத்தியமில்லை. பெரும்பாலும், சிக்கல்கள் சூத்திரங்கள் தெரியாமல், கணக்கீடுகள் பல காகிதத் தாள்களை எடுக்கும் வகையில் எழுதப்படுகின்றன - பதிலைக் கண்டுபிடிக்கும் போது நாம் தூங்கிவிடுவோம். எனவே, இந்த சிக்கல்களை விரைவாக தீர்க்க முயற்சிப்போம்.

பணி எண். 4. எண்கணித முன்னேற்றத்தில் எத்தனை எதிர்மறை சொற்கள் உள்ளன -38.5; −35.8; ...?

தீர்வு. எனவே, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, எங்கிருந்து நாம் உடனடியாக வித்தியாசத்தைக் காண்கிறோம்:

வேறுபாடு நேர்மறையானது என்பதை நினைவில் கொள்க, எனவே முன்னேற்றம் அதிகரிக்கிறது. முதல் சொல் எதிர்மறையானது, எனவே ஒரு கட்டத்தில் நாம் நேர்மறை எண்களில் தடுமாறுவோம். இது எப்போது நடக்கும் என்பதுதான் ஒரே கேள்வி.

கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம்: எப்போது வரை (அதாவது என்ன வரை இயற்கை எண்$n$) விதிமுறைகளின் எதிர்மறையானது பாதுகாக்கப்படுகிறது:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \வலது. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

கடைசி வரிக்கு கொஞ்சம் விளக்கம் தேவை. எனவே $n \lt 15\frac(7)(27)$ என்று நமக்குத் தெரியும். மறுபுறம், எண்ணின் முழு எண் மதிப்புகளில் மட்டுமே நாங்கள் திருப்தி அடைகிறோம் (மேலும்: $n\in \mathbb(N)$), எனவே மிகப்பெரிய அனுமதிக்கப்பட்ட எண் துல்லியமாக $n=15$ ஆகும், எந்த வகையிலும் 16 .

பணி எண் 5. எண்கணித முன்னேற்றத்தில் $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. இந்த முன்னேற்றத்தின் முதல் நேர்மறை சொல்லின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும்.

இது முந்தைய சிக்கலைப் போலவே இருக்கும், ஆனால் எங்களுக்கு $((a)_(1))$ தெரியாது. ஆனால் அருகிலுள்ள சொற்கள் அறியப்படுகின்றன: $((a)_(5))$ மற்றும் $((a)_(6))$, எனவே முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டை நாம் எளிதாகக் கண்டறியலாம்:

கூடுதலாக, ஐந்தாவது வார்த்தையை முதல் மற்றும் வேறுபாட்டின் மூலம் நிலையான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்த முயற்சிப்போம்:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((அ)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((அ)_(1))=-150-12=-162. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இப்போது நாம் முந்தைய பணியுடன் ஒப்புமை மூலம் தொடர்கிறோம். நேர்மறை எண்கள் வரிசையில் எந்த கட்டத்தில் தோன்றும் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இந்த சமத்துவமின்மைக்கான குறைந்தபட்ச முழு எண் தீர்வு எண் 56 ஆகும்.

தயவு செய்து கவனிக்கவும்: கடைசிப் பணியில் எல்லாமே கடுமையான சமத்துவமின்மைக்கு வந்தன, எனவே $n=55$ விருப்பம் எங்களுக்குப் பொருந்தாது.

இப்போது எளிய சிக்கல்களை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொண்டோம், மேலும் சிக்கலானவற்றுக்கு செல்லலாம். ஆனால் முதலில், எண்கணித முன்னேற்றங்களின் மற்றொரு பயனுள்ள சொத்தை படிப்போம், இது எதிர்காலத்தில் நிறைய நேரம் மற்றும் சமமற்ற செல்களை சேமிக்கும்.

எண்கணித சராசரி மற்றும் சம உள்தள்ளல்கள்

அதிகரித்து வரும் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் பல தொடர்ச்சியான விதிமுறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம் $\left(((a)_(n)) \right)$. அவற்றை எண் வரிசையில் குறிக்க முயற்சிப்போம்:

எண் வரிசையில் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகள்

நான் குறிப்பாக தன்னிச்சையான விதிமுறைகளை $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ எனக் குறித்துள்ளேன், சில $((a)_(1)) ,\ ((அ)_(2)),\ ((அ)_(3))$, போன்றவை. ஏனென்றால் நான் இப்போது உங்களுக்குச் சொல்லும் விதி எந்த "பிரிவுகளுக்கும்" ஒரே மாதிரியாகச் செயல்படுகிறது.

மற்றும் விதி மிகவும் எளிது. மீண்டும் வரும் சூத்திரத்தை நினைவில் வைத்துக் கொண்டு, குறிக்கப்பட்ட அனைத்து சொற்களுக்கும் எழுதுவோம்:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இருப்பினும், இந்த சமத்துவங்களை வேறுவிதமாக மீண்டும் எழுதலாம்:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \முடிவு(சீரமை)\]

அதனால் என்ன? $((a)_(n-1))$ மற்றும் $((a)_(n+1))$ ஆகிய சொற்கள் $((a)_(n)) $ இலிருந்து ஒரே தூரத்தில் உள்ளன. . இந்த தூரம் $d$ க்கு சமம். $((a)_(n-2))$ மற்றும் $((a)_(n+2))$ ஆகிய சொற்களைப் பற்றியும் இதைச் சொல்லலாம் - அவை $((a)_(n) இலிருந்தும் நீக்கப்படும். )$ அதே தூரத்தில் $2d$. முடிவில்லாத விளம்பரத்தைத் தொடரலாம், ஆனால் இதன் பொருள் படத்தால் நன்கு விளக்கப்பட்டுள்ளது

முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகள் மையத்திலிருந்து அதே தூரத்தில் உள்ளன

இது நமக்கு என்ன அர்த்தம்? இதன் பொருள், அருகில் உள்ள எண்கள் தெரிந்தால் $((a)_(n))$ கண்டுபிடிக்கலாம்:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

நாங்கள் ஒரு சிறந்த அறிக்கையைப் பெற்றுள்ளோம்: ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு சொல்லும் அதன் அண்டை சொற்களின் எண்கணித சராசரிக்கு சமம்! மேலும்: நமது $((a)_(n))$ இலிருந்து இடது மற்றும் வலது பக்கம் ஒரு படியால் அல்ல, $k$ படிகள் மூலம் பின்வாங்கலாம் - மேலும் சூத்திரம் சரியாக இருக்கும்:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

அந்த. $((a)_(100))$ மற்றும் $((a)_(200))$ தெரிந்தால் சில $((a)_(150))$ஐ நாம் எளிதாகக் கண்டுபிடிக்கலாம், ஏனெனில் $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. முதல் பார்வையில், இந்த உண்மை நமக்கு பயனுள்ள எதையும் கொடுக்கவில்லை என்று தோன்றலாம். இருப்பினும், நடைமுறையில், எண்கணித சராசரியைப் பயன்படுத்துவதற்கு பல சிக்கல்கள் சிறப்பாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன. பாருங்கள்:

பணி எண். 6. $x$ இன் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறிக ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் (குறிப்பிட்ட வரிசையில்).

தீர்வு. இந்த எண்கள் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களாக இருப்பதால், எண்கணித சராசரி நிபந்தனை அவர்களுக்குத் திருப்தி அளிக்கிறது: மைய உறுப்பு $x+1$ அண்டை உறுப்புகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம்:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & (((x)^(2))+x-6=0. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இது கிளாசிக் ஆனது இருபடி சமன்பாடு. அதன் வேர்கள்: $x=2$ மற்றும் $x=-3$ ஆகியவை பதில்கள்.

பதில்: −3; 2.

பணி எண். 7. எண்கள் $-1;4-3;(()^(2))+1$ எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்கும் $$ மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் (அந்த வரிசையில்).

தீர்வு. அண்டை சொற்களின் எண்கணித சராசரி மூலம் நடுத்தர வார்த்தையை மீண்டும் வெளிப்படுத்துவோம்:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \வலது.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & (((x)^(2))-7x+6=0. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

மீண்டும் இருபடி சமன்பாடு. மீண்டும் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன: $x=6$ மற்றும் $x=1$.

பதில்: 1; 6.

ஒரு சிக்கலைத் தீர்க்கும் செயல்பாட்டில் நீங்கள் சில மிருகத்தனமான எண்களைக் கொண்டு வந்தால், அல்லது கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பதில்களின் சரியான தன்மையை நீங்கள் முழுமையாக நம்பவில்லை என்றால், நீங்கள் சரிபார்க்க அனுமதிக்கும் ஒரு அற்புதமான நுட்பம் உள்ளது: நாங்கள் சிக்கலை சரியாக தீர்த்துவிட்டோமா?

பிரச்சனை எண். 6-ல் −3 மற்றும் 2 ஆகிய பதில்களைப் பெற்றோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த பதில்கள் சரியானதா என எப்படிச் சரிபார்க்கலாம்? அவற்றை அசல் நிலையில் இணைத்து என்ன நடக்கிறது என்று பார்ப்போம். எங்களிடம் மூன்று எண்கள் உள்ளன என்பதை நினைவூட்டுகிறேன் ($-6()^(2))$, $+1$ மற்றும் $14+4(()^(2))$), அவை எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்க வேண்டும். $x=-3$ ஐ மாற்றுவோம்:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

எண்கள் −54 கிடைத்தது; -2; 52 ஆல் வேறுபடும் 50 என்பது சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி ஒரு எண்கணித முன்னேற்றமாகும். $x=2$க்கும் இதேதான் நடக்கும்:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

மீண்டும் ஒரு முன்னேற்றம், ஆனால் 27 வித்தியாசத்தில். இதனால், பிரச்சனை சரியாக தீர்க்கப்பட்டது. விரும்புவோர் இரண்டாவது சிக்கலைத் தாங்களாகவே சரிபார்க்கலாம், ஆனால் நான் இப்போதே சொல்கிறேன்: அங்கேயும் எல்லாம் சரியாக இருக்கிறது.

பொதுவாக, கடைசி சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது, மற்றொன்றைக் கண்டோம் சுவாரஸ்யமான உண்மை, இதையும் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்:

மூன்று எண்கள் இரண்டாவது முதல் மற்றும் கடைசி எண்கணித சராசரியாக இருந்தால், இந்த எண்கள் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன.

எதிர்காலத்தில், இந்த அறிக்கையைப் புரிந்துகொள்வது சிக்கலின் நிலைமைகளின் அடிப்படையில் தேவையான முன்னேற்றங்களை உண்மையில் "கட்டமைக்க" அனுமதிக்கும். ஆனால் அத்தகைய "கட்டுமானத்தில்" ஈடுபடுவதற்கு முன், நாம் ஏற்கனவே விவாதிக்கப்பட்டவற்றிலிருந்து நேரடியாகப் பின்பற்றும் மற்றொரு உண்மைக்கு கவனம் செலுத்த வேண்டும்.

கூறுகளை தொகுத்தல் மற்றும் தொகுத்தல்

மீண்டும் எண் அச்சுக்கு வருவோம். முன்னேற்றத்தின் பல உறுப்பினர்களைக் கவனிக்கலாம், அவற்றுக்கிடையே, ஒருவேளை. மற்ற பல உறுப்பினர்களுக்கு மதிப்புள்ளது:

எண் வரிசையில் 6 கூறுகள் குறிக்கப்பட்டுள்ளன

"இடது வால்" $((a)_(n))$ மற்றும் $d$ மூலமாகவும், "வலது வால்" $((a)_(k))$ மற்றும் $d$ மூலமாகவும் வெளிப்படுத்த முயற்சிப்போம். இது மிகவும் எளிமையானது:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இப்போது பின்வரும் அளவுகள் சமம் என்பதை நினைவில் கொள்க:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= எஸ்; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= எஸ். \end(align)\]

எளிமையாகச் சொன்னால், முன்னேற்றத்தின் இரண்டு கூறுகளை ஒரு தொடக்கமாகக் கருதினால், அவை மொத்தமாக சில $S$ எண்ணுக்குச் சமமாக இருக்கும், பின்னர் இந்த உறுப்புகளிலிருந்து எதிர் திசைகளில் (ஒன்றொன்று நோக்கி அல்லது நேர்மாறாக விலகிச் செல்ல) பிறகு நாம் தடுமாறும் உறுப்புகளின் தொகையும் சமமாக இருக்கும்$S$. இதை மிகத் தெளிவாக வரைகலையாகக் குறிப்பிடலாம்:

சம உள்தள்ளல்கள் சம அளவுகளைக் கொடுக்கும்

புரிதல் இந்த உண்மைநாம் மேலே கருதியதை விட அடிப்படையில் அதிக சிக்கலான சிக்கல்களை தீர்க்க அனுமதிக்கும். உதாரணமாக, இவை:

பணி எண் 8. ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைத் தீர்மானிக்கவும், இதில் முதல் சொல் 66 ஆகும், மேலும் இரண்டாவது மற்றும் பன்னிரண்டாவது சொற்களின் பலன் மிகவும் சிறியதாக இருக்கும்.

தீர்வு. நமக்குத் தெரிந்த அனைத்தையும் எழுதுவோம்:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

எனவே, $d$ முன்னேற்ற வேறுபாடு எங்களுக்குத் தெரியாது. உண்மையில், முழுத் தீர்வும் வேறுபாட்டின் அடிப்படையில் கட்டமைக்கப்படும், ஏனெனில் $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ ஐ பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

தொட்டியில் இருப்பவர்களுக்கு: இரண்டாவது அடைப்புக்குறியிலிருந்து 11 இன் மொத்த பெருக்கியை எடுத்தேன். எனவே, தேவையான தயாரிப்பு $d$ மாறியைப் பொறுத்து ஒரு இருபடிச் செயல்பாடு ஆகும். எனவே, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள் - அதன் வரைபடம் கிளைகள் மேலே இருக்கும் ஒரு பரவளையமாக இருக்கும், ஏனெனில் அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்தினால், நமக்கு கிடைக்கும்:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11((( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, மிக உயர்ந்த காலத்தின் குணகம் 11 - இது நேர்மறை எண், எனவே நாங்கள் உண்மையில் கிளைகளைக் கொண்ட ஒரு பரவளையத்தைக் கையாளுகிறோம்:

அட்டவணை இருபடி செயல்பாடு- பரவளையம்
தயவு செய்து கவனிக்கவும்: இந்த பரவளையம் அதன் உச்சியில் அதன் குறைந்தபட்ச மதிப்பை abscissa $((d)_(0))$ உடன் எடுக்கும். நிச்சயமாக, நிலையான திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த அப்சிஸ்ஸாவை நாம் கணக்கிடலாம் (சூத்திரம் $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ உள்ளது), ஆனால் அதைக் குறிப்பிடுவது மிகவும் நியாயமானதாக இருக்கும். விரும்பிய உச்சியானது பரவளையத்தின் அச்சு சமச்சீர் மீது உள்ளது, எனவே புள்ளி $((d)_(0))$ சமன்பாட்டின் வேர்களில் இருந்து $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

அதனால்தான் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க நான் அவசரப்படவில்லை: அவற்றின் அசல் வடிவத்தில், வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பது மிகவும் எளிதானது. எனவே, abscissa எண்கள் −66 மற்றும் −6 எண்களின் எண்கணித சராசரிக்கு சமம்:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண் நமக்கு என்ன தருகிறது? அதனுடன், தேவையான தயாரிப்பு எடுக்கும் மிகச்சிறிய மதிப்பு(இதன் மூலம், நாங்கள் $((y)_(\min ))$ கணக்கிடவில்லை - இது எங்களிடம் தேவையில்லை). அதே நேரத்தில், இந்த எண் அசல் முன்னேற்றத்தின் வித்தியாசம், அதாவது. விடை கண்டோம். :)

பதில்: −36

பணி எண். 9. $-\frac(1)(2)$ மற்றும் $-\frac(1)(6)$ எண்களுக்கு இடையில் மூன்று எண்களைச் செருகவும், இதனால் இந்த எண்களுடன் சேர்ந்து அவை எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன.

தீர்வு. அடிப்படையில், நாம் ஏற்கனவே அறியப்பட்ட முதல் மற்றும் கடைசி எண்ணுடன் ஐந்து எண்களின் வரிசையை உருவாக்க வேண்டும். $x$, $y$ மற்றும் $z$ மாறிகள் மூலம் விடுபட்ட எண்களைக் குறிப்போம்:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

$y$ என்பது எங்கள் வரிசையின் “நடுத்தரம்” என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் - இது $x$ மற்றும் $z$ எண்களிலிருந்தும், $-\frac(1)(2)$ மற்றும் $-\frac ஆகிய எண்களிலிருந்தும் சமமான தொலைவில் உள்ளது. (1)( 6)$. மேலும் $x$ மற்றும் $z$ எண்களில் இருந்து நாம் உள்ளோம் இந்த நேரத்தில்எங்களால் $y$ ஐப் பெற முடியாது, பின்னர் முன்னேற்றத்தின் முடிவில் நிலைமை வேறுபட்டது. எண்கணித சராசரியை நினைவில் கொள்வோம்:

இப்போது, $y$ தெரிந்து, மீதமுள்ள எண்களைக் கண்டுபிடிப்போம். $x$ என்பது $-\frac(1)(2)$ மற்றும் $y=-\frac(1)(3)$ ஆகிய எண்களுக்கு இடையில் உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். அதனால் தான்

இதே போன்ற காரணத்தைப் பயன்படுத்தி, மீதமுள்ள எண்ணைக் காண்கிறோம்:

தயார்! மூன்று எண்களையும் கண்டுபிடித்தோம். அவற்றை அசல் எண்களுக்கு இடையில் செருக வேண்டிய வரிசையில் பதிலில் எழுதுவோம்.

பதில்: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

பணி எண். 10. எண்கள் 2 மற்றும் 42 க்கு இடையில், செருகப்பட்ட எண்களின் முதல், இரண்டாவது மற்றும் கடைசி எண்களின் கூட்டுத்தொகை 56 என்று உங்களுக்குத் தெரிந்தால், இந்த எண்களுடன் சேர்ந்து, ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்கும் பல எண்களைச் செருகவும்.

தீர்வு. இன்னும் அதிகமாக கடினமான பணிஇருப்பினும், இது முந்தைய திட்டங்களின்படி தீர்க்கப்படுகிறது - எண்கணித சராசரி மூலம். பிரச்சனை என்னவென்றால், எத்தனை எண்களை செருக வேண்டும் என்பது நமக்குத் தெரியாது. எனவே, எல்லாவற்றையும் செருகிய பின் சரியாக $n$ எண்கள் இருக்கும் என்றும், அவற்றில் முதல் எண் 2 என்றும் கடைசியாக 42 என்றும் திட்டவட்டமாக வைத்துக்கொள்வோம்.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \வலது$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

எவ்வாறாயினும், $((a)_(2))$ மற்றும் $((a)_(n-1))$ எண்கள் 2 மற்றும் 42 ஆகிய எண்களிலிருந்து விளிம்புகளில் இருந்து ஒரு படி ஒன்றையொன்று நோக்கிப் பெறுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். அதாவது. வரிசையின் மையத்திற்கு. மற்றும் இதன் பொருள்

\[((அ)_(2))+((அ)_(n-1))=2+42=44\]

ஆனால் மேலே எழுதப்பட்ட வெளிப்பாடு பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படலாம்:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((அ)_(3))=56; \\ & ((அ)_(3))=56-44=12. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

$((a)_(3))$ மற்றும் $((a)_(1))$ ஆகியவற்றை அறிந்தால், முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டை நாம் எளிதாகக் கண்டறியலாம்:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

மீதமுள்ள விதிமுறைகளைக் கண்டறிவதே எஞ்சியுள்ளது:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((அ)_(2))=2+5=7; \\ & ((அ)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((அ)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \முடிவு(சீரமை)\]

எனவே, ஏற்கனவே 9 வது படியில் நாம் வரிசையின் இடது முனைக்கு வருவோம் - எண் 42. மொத்தத்தில், 7 எண்கள் மட்டுமே செருகப்பட வேண்டும்: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

பதில்: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

முன்னேற்றங்களுடன் வார்த்தை சிக்கல்கள்

முடிவில், ஒப்பீட்டளவில் எளிமையான சில சிக்கல்களைக் கருத்தில் கொள்ள விரும்புகிறேன். சரி, எளிமையானது: பள்ளியில் கணிதம் படிக்கும் மற்றும் மேலே எழுதப்பட்டதைப் படிக்காத பெரும்பாலான மாணவர்களுக்கு, இந்த சிக்கல்கள் கடினமாகத் தோன்றலாம். ஆயினும்கூட, இவை OGE மற்றும் கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் தோன்றும் சிக்கல்களின் வகைகள், எனவே நீங்கள் அவற்றைப் பற்றி அறிந்து கொள்ளுமாறு நான் பரிந்துரைக்கிறேன்.

பணி எண். 11. குழு ஜனவரியில் 62 பாகங்களைத் தயாரித்தது, மேலும் ஒவ்வொரு மாதமும் முந்தைய மாதத்தை விட 14 கூடுதல் பாகங்களைத் தயாரித்தது. நவம்பரில் குழு எத்தனை பாகங்களை தயாரித்தது?

தீர்வு. வெளிப்படையாக, மாதம் பட்டியலிடப்பட்ட பகுதிகளின் எண்ணிக்கை அதிகரித்து வரும் எண்கணித முன்னேற்றத்தைக் குறிக்கும். மேலும்:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

நவம்பர் ஆண்டின் 11வது மாதமாகும், எனவே நாம் $((a)_(11))$ ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:

\[((அ)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

எனவே, நவம்பர் மாதம் 202 பாகங்கள் தயாரிக்கப்படும்.

பணி எண். 12. புக் பைண்டிங் பட்டறை ஜனவரியில் 216 புத்தகங்களைக் கட்டியது, அடுத்த ஒவ்வொரு மாதத்திலும் முந்தைய மாதத்தை விட 4 புத்தகங்கள் கூடுதலாகக் கட்டப்பட்டன. டிசம்பரில் பட்டறை எத்தனை புத்தகங்களை பைண்ட் செய்தது?

தீர்வு. எல்லாம் ஒன்றே:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

டிசம்பர் ஆண்டின் கடைசி, 12வது மாதம், எனவே நாங்கள் $((a)_(12))$ ஐத் தேடுகிறோம்:

\[((அ)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

பதில் இதுதான் - டிசம்பரில் 260 புத்தகங்கள் கட்டப்படும்.

சரி, நீங்கள் இதுவரை படித்திருந்தால், நான் உங்களை வாழ்த்த விரைகிறேன்: எண்கணித முன்னேற்றங்களில் "இளம் போராளியின் பாடத்திட்டத்தை" வெற்றிகரமாக முடித்துவிட்டீர்கள். நீங்கள் அடுத்த பாடத்திற்கு பாதுகாப்பாக செல்லலாம், அங்கு முன்னேற்றத்தின் தொகைக்கான சூத்திரத்தையும், அதிலிருந்து முக்கியமான மற்றும் மிகவும் பயனுள்ள விளைவுகளையும் நாங்கள் படிப்போம்.

இயற்கணிதம் படிக்கும் போது மேல்நிலைப் பள்ளி(9ம் வகுப்பு) ஒன்று முக்கியமான தலைப்புகள்எண் வரிசைகளின் ஆய்வு ஆகும், இதில் முன்னேற்றங்கள் அடங்கும் - வடிவியல் மற்றும் எண்கணிதம். இந்த கட்டுரையில் நாம் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் மற்றும் தீர்வுகளுடன் எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

எண்கணித முன்னேற்றம் என்றால் என்ன?

இதைப் புரிந்து கொள்ள, கேள்விக்குரிய முன்னேற்றத்தை வரையறுக்க வேண்டியது அவசியம், அத்துடன் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் பின்னர் பயன்படுத்தப்படும் அடிப்படை சூத்திரங்களை வழங்கவும்.

எண்கணிதம் அல்லது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட பகுத்தறிவு எண்களின் தொகுப்பாகும், அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் முந்தையவற்றிலிருந்து சில நிலையான மதிப்பால் வேறுபடுகின்றன. இந்த மதிப்பு வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதாவது, வரிசைப்படுத்தப்பட்ட எண்கள் மற்றும் வேறுபாட்டின் எந்த உறுப்பினரையும் அறிந்தால், நீங்கள் முழு எண்கணித முன்னேற்றத்தையும் மீட்டெடுக்கலாம்.

ஒரு உதாரணம் தருவோம். எண்களின் பின்வரும் வரிசை எண்கணித முன்னேற்றமாக இருக்கும்: 4, 8, 12, 16, ..., இந்த வழக்கில் உள்ள வேறுபாடு 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). ஆனால் 3, 5, 8, 12, 17 எண்களின் தொகுப்பை இனி பரிசீலனையில் உள்ள முன்னேற்றத்தின் வகைக்குக் கூற முடியாது, ஏனெனில் அதற்கான வேறுபாடு நிலையான மதிப்பு அல்ல (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

முக்கியமான சூத்திரங்கள்

எண்கணித முன்னேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சிக்கல்களைத் தீர்க்கத் தேவையான அடிப்படை சூத்திரங்களை இப்போது முன்வைப்போம். a n என்ற குறியீட்டால் குறிப்போம் nவது பதவிக்காலம் n ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும் தொடர்கள். நாங்கள் வேறுபாட்டைக் குறிக்கிறோம் லத்தீன் எழுத்துஈ. பின்னர் பின்வரும் வெளிப்பாடுகள் செல்லுபடியாகும்:

n வது காலத்தின் மதிப்பைத் தீர்மானிக்க, பின்வரும் சூத்திரம் பொருத்தமானது: a n = (n-1)*d+a 1 .
முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைத் தீர்மானிக்க: S n = (a n +a 1)*n/2.

9 ஆம் வகுப்பில் உள்ள தீர்வுகளுடன் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் எந்த எடுத்துக்காட்டுகளையும் புரிந்து கொள்ள, இந்த இரண்டு சூத்திரங்களையும் நினைவில் வைத்துக் கொள்வது போதுமானது, ஏனெனில் கருத்தில் உள்ள வகையின் ஏதேனும் சிக்கல்கள் அவற்றின் பயன்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. முன்னேற்ற வேறுபாடு சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதையும் நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்: d = a n - a n-1.

எடுத்துக்காட்டு #1: தெரியாத உறுப்பினரைக் கண்டறிதல்

எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கான எளிய உதாரணத்தையும் அதைத் தீர்க்க பயன்படுத்த வேண்டிய சூத்திரங்களையும் தருவோம்.

வரிசை 10, 8, 6, 4, ... கொடுக்கப்பட்டிருக்கட்டும், அதில் ஐந்து சொற்களைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

சிக்கலின் நிலைமைகளிலிருந்து, முதல் 4 சொற்கள் ஏற்கனவே அறியப்படுகின்றன. ஐந்தாவது இரண்டு வழிகளில் வரையறுக்கப்படுகிறது:

முதலில் வித்தியாசத்தை கணக்கிடுவோம். எங்களிடம் உள்ளது: d = 8 - 10 = -2. இதேபோல், ஒருவர் வேறு எந்த இரண்டு சொற்களையும் எடுக்கலாம், அருகில் நின்றுஒருவருக்கொருவர். உதாரணமாக, d = 4 - 6 = -2. d = a n - a n-1 என்று அறியப்பட்டதால், d = a 5 - a 4, இதிலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்: a 5 = a 4 + d. மாற்றுவோம் அறியப்பட்ட மதிப்புகள்: a 5 = 4 + (-2) = 2.
இரண்டாவது முறைக்கு கேள்விக்குரிய முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைப் பற்றிய அறிவும் தேவைப்படுகிறது, எனவே மேலே காட்டப்பட்டுள்ளபடி அதை முதலில் தீர்மானிக்க வேண்டும் (d = -2). முதல் சொல் a 1 = 10 என்பதை அறிந்து, வரிசையின் n எண்ணுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். எங்களிடம் உள்ளது: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. கடைசி வெளிப்பாட்டிற்கு n = 5 ஐ மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இரண்டு தீர்வுகளும் ஒரே முடிவுக்கு வழிவகுத்தன. இந்த எடுத்துக்காட்டில் முன்னேற்ற வேறுபாடு d எதிர்மறை மதிப்பு என்பதை நினைவில் கொள்க. ஒவ்வொரு அடுத்த காலமும் முந்தையதை விட குறைவாக இருப்பதால், இத்தகைய வரிசைகள் குறைதல் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு #2: முன்னேற்ற வேறுபாடு

இப்போது பணியை கொஞ்சம் சிக்கலாக்குவோம், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதற்கான உதாரணத்தைக் கொடுங்கள்.

சில இயற்கணித முன்னேற்றத்தில் 1 வது சொல் 6 க்கு சமம் என்றும், 7 வது சொல் 18 க்கு சமம் என்றும் அறியப்படுகிறது. வேறுபாட்டைக் கண்டறிந்து இந்த வரிசையை 7 வது காலத்திற்கு மீட்டமைக்க வேண்டியது அவசியம்.

அறியப்படாத சொல்லைத் தீர்மானிக்க சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: a n = (n - 1) * d + a 1 . நிபந்தனையிலிருந்து அறியப்பட்ட தரவை அதில் மாற்றுவோம், அதாவது எண்கள் a 1 மற்றும் a 7, எங்களிடம் உள்ளது: 18 = 6 + 6 * d. இந்த வெளிப்பாட்டிலிருந்து நீங்கள் வேறுபாட்டை எளிதாகக் கணக்கிடலாம்: d = (18 - 6) /6 = 2. எனவே, சிக்கலின் முதல் பகுதிக்கு நாங்கள் பதிலளித்துள்ளோம்.

வரிசையை 7 வது காலத்திற்கு மீட்டமைக்க, நீங்கள் வரையறையைப் பயன்படுத்த வேண்டும் இயற்கணித முன்னேற்றம், அதாவது, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d மற்றும் பல. இதன் விளைவாக, முழு வரிசையையும் மீட்டெடுக்கிறோம்: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

எடுத்துக்காட்டு எண். 3: ஒரு முன்னேற்றத்தை வரைதல்

அதை மேலும் சிக்கலாக்குவோம் வலுவான நிலைபணிகள். இப்போது ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்ற கேள்விக்கு நாம் பதிலளிக்க வேண்டும். பின்வரும் உதாரணத்தை கொடுக்கலாம்: இரண்டு எண்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, உதாரணமாக - 4 மற்றும் 5. இயற்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்குவது அவசியம், இதனால் மேலும் மூன்று சொற்கள் இவைகளுக்கு இடையில் வைக்கப்படும்.

இந்த சிக்கலைத் தீர்க்கத் தொடங்குவதற்கு முன், எதிர்கால முன்னேற்றத்தில் கொடுக்கப்பட்ட எண்கள் எந்த இடத்தைப் பிடிக்கும் என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். அவற்றுக்கிடையே இன்னும் மூன்று சொற்கள் இருப்பதால், ஒரு 1 = -4 மற்றும் 5 = 5. இதை நிறுவிய பின், முந்தையதைப் போன்ற சிக்கலுக்குச் செல்கிறோம். மீண்டும், n வது முறையாக நாம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம், நாம் பெறுகிறோம்: a 5 = a 1 + 4 * d. இருந்து: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. நாம் இங்கு கிடைத்தது வேறுபாட்டின் முழு எண் மதிப்பு அல்ல, ஆனால் அது பகுத்தறிவு எண், எனவே இயற்கணித முன்னேற்றத்திற்கான சூத்திரங்கள் அப்படியே இருக்கும்.

இப்போது கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வித்தியாசத்தை 1 இல் சேர்த்து, முன்னேற்றத்தின் விடுபட்ட விதிமுறைகளை மீட்டெடுப்போம். நாம் பெறுகிறோம்: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, இது இணைந்தது பிரச்சனையின் நிலைமைகளுடன்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 4: முன்னேற்றத்தின் முதல் நிலை

தீர்வுகளுடன் எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கான உதாரணங்களைத் தொடர்வோம். முந்தைய அனைத்து சிக்கல்களிலும், இயற்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் எண் அறியப்பட்டது. இப்போது வேறு வகையான சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்வோம்: இரண்டு எண்களைக் கொடுக்கலாம், இதில் 15 = 50 மற்றும் 43 = 37. இந்த வரிசை எந்த எண்ணில் தொடங்குகிறது என்பதைக் கண்டறிய வேண்டும்.

இதுவரை பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரங்கள் ஒரு 1 மற்றும் d பற்றிய அறிவைக் கருதுகின்றன. சிக்கல் அறிக்கையில், இந்த எண்களைப் பற்றி எதுவும் தெரியவில்லை. இருந்தபோதிலும், ஒவ்வொரு வார்த்தையின் வெளிப்பாடுகளையும் எழுதுவோம்: எந்தத் தகவல் கிடைக்கிறது: a 15 = a 1 + 14 * d மற்றும் a 43 = a 1 + 42 * d. அறியப்படாத 2 அளவுகள் (a 1 மற்றும் d) உள்ள இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பெற்றோம். இதன் பொருள் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதில் சிக்கல் குறைக்கப்படுகிறது.

இந்த அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான எளிதான வழி, ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் 1 ஐ வெளிப்படுத்துவதும், அதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடுகளை ஒப்பிடுவதும் ஆகும். முதல் சமன்பாடு: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; இரண்டாவது சமன்பாடு: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. இந்த வெளிப்பாடுகளை சமன் செய்தால், நாம் பெறுகிறோம்: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, எங்கிருந்து வேறுபாடு d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (3 தசம இடங்கள் மட்டுமே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன).

d ஐ அறிந்தால், மேலே உள்ள 2 வெளிப்பாடுகளில் ஏதேனும் ஒன்றை 1க்கு பயன்படுத்தலாம். உதாரணமாக, முதலில்: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

பெறப்பட்ட முடிவைப் பற்றி உங்களுக்கு சந்தேகம் இருந்தால், நீங்கள் அதைச் சரிபார்க்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, முன்னேற்றத்தின் 43 வது காலத்தை தீர்மானிக்கவும், இது நிபந்தனையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. நாம் பெறுகிறோம்: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. கணக்கீடுகளில் ஆயிரத்தில் ஒரு பகுதிக்கு ரவுண்டிங் பயன்படுத்தப்பட்டதால் சிறிய பிழை ஏற்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு எண். 5: தொகை

இப்போது எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான தீர்வுகளுடன் பல எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

பின்வரும் படிவத்தின் எண்ணியல் முன்னேற்றத்தைக் கொடுக்கலாம்: 1, 2, 3, 4, ...,. இந்த 100 எண்களின் கூட்டுத்தொகையை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?

கணினி தொழில்நுட்பத்தின் வளர்ச்சிக்கு நன்றி, இந்த சிக்கலை தீர்க்க முடியும், அதாவது, அனைத்து எண்களையும் வரிசையாகச் சேர்க்கவும், ஒரு நபர் Enter விசையை அழுத்தியவுடன் கணினி செய்யும். இருப்பினும், வழங்கப்பட்ட எண்களின் தொடர் இயற்கணித முன்னேற்றம் என்பதையும், அதன் வேறுபாடு 1 க்கு சமமாக இருப்பதையும் நீங்கள் கவனத்தில் கொண்டால், சிக்கலை மனரீதியாக தீர்க்க முடியும். தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால், நாம் பெறுகிறோம்: S n = n * a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

இந்த பிரச்சனை "காசியன்" என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இது கவனிக்கத்தக்கது ஆரம்ப XVIIIநூற்றாண்டு, பிரபலமான ஜெர்மன், இன்னும் 10 வயது இருக்கும் போது, ஒரு சில நொடிகளில் அவரது தலையில் அதை தீர்க்க முடிந்தது. இயற்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம் சிறுவனுக்குத் தெரியாது, ஆனால் வரிசையின் முனைகளில் உள்ள எண்களை ஜோடிகளாகச் சேர்த்தால், நீங்கள் எப்போதும் ஒரே முடிவைப் பெறுவீர்கள், அதாவது 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., மற்றும் இந்த தொகைகள் சரியாக 50 (100/2) இருக்கும் என்பதால், சரியான பதிலைப் பெற, 50 ஐ 101 ஆல் பெருக்க போதுமானது.

எடுத்துக்காட்டு எண். 6: n முதல் m வரையிலான சொற்களின் கூட்டுத்தொகை

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையின் மற்றொரு பொதுவான உதாரணம் பின்வருமாறு: எண்களின் வரிசையைக் கொடுத்தால்: 3, 7, 11, 15, ..., 8 முதல் 14 வரையிலான அதன் சொற்களின் கூட்டுத்தொகை என்ன என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். .

பிரச்சனை இரண்டு வழிகளில் தீர்க்கப்படுகிறது. அவற்றில் முதலாவது 8 முதல் 14 வரையிலான அறியப்படாத சொற்களைக் கண்டறிந்து, பின்னர் அவற்றை வரிசையாக தொகுக்க வேண்டும். சில விதிமுறைகள் இருப்பதால், இந்த முறை மிகவும் உழைப்பு-தீவிரமானது அல்ல. ஆயினும்கூட, இரண்டாவது முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த சிக்கலை தீர்க்க முன்மொழியப்பட்டது, இது மிகவும் உலகளாவியது.

n > m என்பது முழு எண்களாக இருக்கும் m மற்றும் n ஆகிய சொற்களுக்கு இடையிலான இயற்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுவதே யோசனை. இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கும், கூட்டுத்தொகைக்கு இரண்டு வெளிப்பாடுகளை எழுதுகிறோம்:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

n > m என்பதால், 2வது தொகையானது முதல் தொகையை உள்ளடக்கியது என்பது தெளிவாகிறது. கடைசி முடிவு என்னவென்றால், இந்தத் தொகைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை எடுத்து, அதனுடன் a m என்ற சொல்லைச் சேர்த்தால் (வேறுபாடு எடுக்கும் விஷயத்தில், அது S n என்ற தொகையிலிருந்து கழிக்கப்படும்), சிக்கலுக்குத் தேவையான பதிலைப் பெறுவோம். எங்களிடம் உள்ளது: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). இந்த வெளிப்பாட்டில் ஒரு n மற்றும் m க்கான சூத்திரங்களை மாற்றுவது அவசியம். பின்னர் நாம் பெறுகிறோம்: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரம் சற்றே சிக்கலானது, இருப்பினும், S mn கூட்டுத்தொகை n, m, a 1 மற்றும் d ஐ மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. எங்கள் விஷயத்தில், a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. இந்த எண்களை மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்: S mn = 301.

மேலே உள்ள தீர்வுகளில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், அனைத்து சிக்கல்களும் n வது காலத்திற்கான வெளிப்பாடு மற்றும் முதல் சொற்களின் தொகுப்பின் கூட்டுக்கான சூத்திரத்தின் அறிவை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. இந்த சிக்கல்களில் ஏதேனும் ஒன்றைத் தீர்க்கத் தொடங்குவதற்கு முன், நீங்கள் நிலைமையை கவனமாகப் படிக்கவும், நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டியதை தெளிவாகப் புரிந்து கொள்ளவும், அதன் பிறகு மட்டுமே தீர்வுக்குத் தொடரவும் பரிந்துரைக்கப்படுகிறது.

மற்றொரு உதவிக்குறிப்பு எளிமைக்காக பாடுபடுவது, அதாவது, சிக்கலான கணிதக் கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தாமல் ஒரு கேள்விக்கு நீங்கள் பதிலளிக்க முடிந்தால், நீங்கள் அதைச் செய்ய வேண்டும், ஏனெனில் இந்த விஷயத்தில் தவறு செய்வதற்கான வாய்ப்பு குறைவாக உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, தீர்வு எண். 6 உடன் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் எடுத்துக்காட்டில், S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, மற்றும் உடைக்க பொதுவான பணிதனித்தனி துணைப் பணிகளாக (இந்த வழக்கில், முதலில் a n மற்றும் a m என்ற சொற்களைக் கண்டறியவும்).

பெறப்பட்ட முடிவைப் பற்றி உங்களுக்கு சந்தேகம் இருந்தால், கொடுக்கப்பட்ட சில எடுத்துக்காட்டுகளில் செய்யப்பட்டதைப் போல அதைச் சரிபார்க்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. எண்கணித முன்னேற்றத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நாங்கள் கண்டுபிடித்தோம். நீங்கள் அதைக் கண்டுபிடித்தால், அது அவ்வளவு கடினம் அல்ல.