வலது முக்கோணம்: கருத்து மற்றும் பண்புகள். வலது முக்கோணங்கள் பற்றி

வரையறை.வலது முக்கோணம் - ஒரு முக்கோணம், அதன் கோணங்களில் ஒன்று சரியானது (க்கு சமம்).

ஒரு செங்கோண முக்கோணம் என்பது ஒரு சாதாரண முக்கோணத்தின் சிறப்பு வழக்கு. எனவே, வலது முக்கோணங்களுக்கான சாதாரண முக்கோணங்களின் அனைத்து பண்புகளும் பாதுகாக்கப்படுகின்றன. ஆனால் இருப்பதன் காரணமாக சில குறிப்பிட்ட பண்புகள் உள்ளன வலது கோணம்.

பொதுவான பெயர்கள் (படம் 1):

- வலது கோணம்;

- ஹைப்போடென்யூஸ்;

- கால்கள்;

.

அரிசி. 1.

உடன்ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பண்புகள்.

சொத்து 1. கோணங்கள் மற்றும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கூட்டுத்தொகை சமம்.

ஆதாரம். எந்த முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க. என்ற உண்மையைக் கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், மீதமுள்ள இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை, அதாவது,

சொத்து 2. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் ஹைப்போடென்யூஸ்எதையும் விட கால்கள்(இது மிகப்பெரிய பக்கமாகும்).

ஆதாரம். எதிராக ஒரு முக்கோணத்தில் அதை நினைவில் கொள்வோம் பெரிய கோணம்பொய் பெரிய பக்கம்(மற்றும் நேர்மாறாகவும்). மேலே நிரூபிக்கப்பட்ட சொத்து 1 இலிருந்து கோணங்கள் மற்றும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கூட்டுத்தொகை சமமாக உள்ளது. ஒரு முக்கோணத்தின் கோணம் 0 க்கு சமமாக இருக்க முடியாது என்பதால், அவை ஒவ்வொன்றும் குறைவாக இருக்கும். இதன் பொருள் இது மிகப்பெரியது, அதாவது முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய பக்கம் அதற்கு எதிரே உள்ளது. இதன் பொருள் ஹைப்போடென்யூஸ் என்பது செங்கோண முக்கோணத்தின் மிக நீளமான பக்கமாகும், அதாவது: .

சொத்து 3. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைபோடென்யூஸ் கால்களின் கூட்டுத்தொகையை விட குறைவாக இருக்கும்.

ஆதாரம். நாம் நினைவு கூர்ந்தால் இந்த சொத்து தெளிவாகிறது முக்கோண சமத்துவமின்மை.

முக்கோண சமத்துவமின்மை

எந்த முக்கோணத்திலும், எந்த இரண்டு பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை மூன்றாவது பக்கத்தை விட அதிகமாக இருக்கும்.

இந்த சமத்துவமின்மையிலிருந்து சொத்து 3 உடனடியாகப் பின்தொடர்கிறது.

குறிப்பு:ஒவ்வொரு கால்களும் தனித்தனியாக ஹைபோடென்யூஸை விட சிறியதாக இருந்தாலும், அவற்றின் கூட்டுத்தொகை அதிகமாக இருக்கும். ஒரு எண் எடுத்துக்காட்டில் இது போல் தெரிகிறது: , ஆனால் .

வி:

1 வது அடையாளம் (2 பக்கங்களிலும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்திலும்):முக்கோணங்கள் சமமான இரண்டு பக்கங்களையும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தையும் கொண்டிருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒத்ததாக இருக்கும்.

2 வது அடையாளம் (பக்கமும் இரண்டு அடுத்தடுத்த கோணங்களும்):முக்கோணங்கள் சம பக்கங்களையும் கொடுக்கப்பட்ட பக்கத்திற்கு அருகில் இரண்டு கோணங்களையும் கொண்டிருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒத்ததாக இருக்கும். குறிப்பு:ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை நிலையானது மற்றும் சமமானது என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தி, கோணங்களின் "பற்றுதலின்" நிபந்தனை அவசியமில்லை என்பதை நிரூபிப்பது எளிது, அதாவது, பின்வரும் சூத்திரத்தில் அடையாளம் உண்மையாக இருக்கும்: "... பக்கமும் இரண்டு கோணங்களும் சமம், பிறகு...".

3 வது அடையாளம் (3 பக்கங்களில்):முக்கோணங்கள் மூன்று பக்கங்களும் சமமாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் சமமாக இருக்கும்.

இயற்கையாகவே, இந்த அறிகுறிகள் அனைத்தும் வலது முக்கோணங்களுக்கு உண்மையாக இருக்கும். இருப்பினும், வலது முக்கோணங்கள் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க அம்சத்தைக் கொண்டுள்ளன - அவை எப்போதும் ஒரு ஜோடி சமமான வலது கோணங்களைக் கொண்டிருக்கும். எனவே, இந்த அறிகுறிகள் அவர்களுக்கு எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. எனவே, வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் அறிகுறிகளை உருவாக்குவோம்:

1 வது அடையாளம் (இரண்டு பக்கங்களிலும்):வலது முக்கோணங்களில் ஜோடியாக சமமான கால்கள் இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும் (படம் 2).

கொடுக்கப்பட்டது:

அரிசி. 2. வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் முதல் அறிகுறியின் விளக்கம்

நிரூபிக்க:

ஆதாரம்:வலது முக்கோணங்களில்: . இதன் பொருள், முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் முதல் அடையாளத்தை (2 பக்கங்களிலும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்திலும்) பயன்படுத்தலாம் மற்றும் பெறலாம்: .

2-வது அடையாளம் (கால் மற்றும் கோணம் மூலம்):ஒரு வலது முக்கோணத்தின் கால் மற்றும் கடுமையான கோணம் மற்றொரு வலது முக்கோணத்தின் கால் மற்றும் கடுமையான கோணத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும் (படம் 3).

கொடுக்கப்பட்டது:

அரிசி. 3. வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் இரண்டாவது அடையாளத்தின் விளக்கம்

நிரூபிக்க:

ஆதாரம்:சமமான கால்களுக்கு அருகில் உள்ள கோணங்கள் சமமானவை என்பது அடிப்படை அல்ல என்பதை உடனடியாக கவனிக்க வேண்டும். உண்மையில், ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை (சொத்து 1 மூலம்) க்கு சமம். இதன் பொருள் இந்த கோணங்களில் ஒரு ஜோடி சமமாக இருந்தால், மற்றொன்று சமமாக இருக்கும் (அவற்றின் தொகைகள் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால்).

இந்த பண்புக்கான ஆதாரம் பயன்பாட்டிற்கு வருகிறது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் இரண்டாவது அடையாளம்(2 மூலைகளிலும் ஒரு பக்கத்திலும்). உண்மையில், நிபந்தனையின்படி, கால்கள் மற்றும் ஒரு ஜோடி அருகிலுள்ள கோணங்கள் சமமாக இருக்கும். ஆனால் இரண்டாவது ஜோடி அடுத்தடுத்த கோணங்களில் கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது . இதன் பொருள் முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திற்கான இரண்டாவது அளவுகோலைப் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் பெறலாம்: .

3 வது அடையாளம் (ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் கோணம் மூலம்):ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் அக்யூட் கோணம் மற்றொரு வலது முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் அக்யூட் கோணத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒத்ததாக இருக்கும் (படம் 4).

கொடுக்கப்பட்டது:

அரிசி. 4. வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் மூன்றாவது அடையாளத்தின் விளக்கம்

நிரூபிக்க:

ஆதாரம்:இந்த அடையாளத்தை நிரூபிக்க நீங்கள் உடனடியாக பயன்படுத்தலாம் முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் இரண்டாவது அடையாளம்- ஒரு பக்கம் மற்றும் இரண்டு கோணங்களில் (இன்னும் துல்லியமாக, ஒரு இணை, இது கோணங்கள் பக்கத்திற்கு அருகில் இருக்க வேண்டியதில்லை என்று கூறுகிறது). உண்மையில், நிபந்தனையின் படி: , , மற்றும் வலது முக்கோணங்களின் பண்புகளிலிருந்து அது பின்வருமாறு . இதன் பொருள் முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திற்கான இரண்டாவது அளவுகோலைப் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் பெறலாம்: .

4 வது அடையாளம் (ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் கால் மூலம்):ஒரு வலது முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் கால் முறையே, மற்றொரு வலது முக்கோணத்தின் ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் காலுக்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும் (படம் 5).

கொடுக்கப்பட்டது:

அரிசி. 5. வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் நான்காவது அடையாளத்தின் விளக்கம்

நிரூபிக்க:

ஆதாரம்:இந்த அளவுகோலை நிரூபிக்க, முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திற்கான அளவுகோலைப் பயன்படுத்துவோம், இது கடந்த பாடத்தில் நாங்கள் உருவாக்கி நிரூபித்தோம், அதாவது: முக்கோணங்களுக்கு இரண்டு சம பக்கங்களும் பெரிய கோணமும் இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் சமமாக இருக்கும். உண்மையில், நிபந்தனையின்படி நமக்கு இரண்டு சம பக்கங்கள் உள்ளன. கூடுதலாக, வலது முக்கோணங்களின் சொத்தின் படி: . முக்கோணத்தில் வலது கோணம் மிகப்பெரியது என்பதை நிரூபிக்க இது உள்ளது. இது அப்படி இல்லை என்று வைத்துக் கொள்வோம், அதாவது . ஆனால் முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை ஏற்கனவே அதிகமாக இருக்கும். ஆனால் இது சாத்தியமற்றது, அதாவது முக்கோணத்தில் அத்தகைய கோணம் இருக்க முடியாது. அதாவது செங்கோண முக்கோணத்தில் வலது கோணம் மிகப்பெரியது. இதன் பொருள் நீங்கள் மேலே வடிவமைக்கப்பட்ட அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் பெறலாம்: .

இப்போது செங்கோண முக்கோணங்களின் சிறப்பியல்பு கொண்ட மேலும் ஒரு சொத்தை உருவாக்குவோம்.

சொத்து

உள்ள கோணத்திற்கு எதிரே இருக்கும் கால், ஹைப்போடென்யூஸை விட 2 மடங்கு சிறியது(படம் 6).

கொடுக்கப்பட்டது:

அரிசி. 6.

நிரூபிக்க:ஏபி

ஆதாரம்:கூடுதல் கட்டுமானத்தைச் செய்வோம்: புள்ளிக்கு அப்பால் நேர்கோட்டை சமமான பிரிவுக்கு நீட்டவும். ஒரு புள்ளியைப் பெறுவோம். கோணங்களும் அருகருகே இருப்பதால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும். முதல் , பின்னர் கோணம் .

எனவே வலது முக்கோணங்கள் (இரண்டு பக்கங்களிலும்: - பொது, - கட்டுமானம் மூலம்) - வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் முதல் அடையாளம்.

முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திலிருந்து, தொடர்புடைய அனைத்து கூறுகளும் சமமானவை. பொருள், . எங்கே: . கூடுதலாக, (அதே முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திலிருந்து). இதன் பொருள் முக்கோணம் ஐசோசெல்ஸ் (அதன் அடிப்படை கோணங்கள் சமமாக இருப்பதால்), ஆனால் ஒரு சமபக்க முக்கோணம், அதன் கோணங்களில் ஒன்று சமபக்கமானது. இதிலிருந்து, குறிப்பாக, அது பின்வருமாறு .

ஒரு கோணத்திற்கு எதிரே கிடக்கும் காலின் சொத்து

எதிர் அறிக்கையும் உண்மை என்பது கவனிக்கத்தக்கது: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் ஹைப்போடென்யூஸ் கால்களில் ஒன்றின் அளவை விட இரண்டு மடங்கு அதிகமாக இருந்தால், இந்த காலுக்கு எதிரே உள்ள கடுமையான கோணம் சமமாக இருக்கும்.

குறிப்பு: அடையாளம்எந்தவொரு கூற்றும் உண்மையாக இருந்தால், முக்கோணம் செங்கோணமாக இருக்கும். அதாவது, வலதுபுற முக்கோணத்தை அடையாளம் காண இந்த அம்சம் உங்களை அனுமதிக்கிறது.

ஒரு அடையாளத்தை குழப்பாமல் இருப்பது முக்கியம் சொத்து- அதாவது, முக்கோணம் வலது கோணத்தில் இருந்தால், அது பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது... பெரும்பாலும் அறிகுறிகளும் பண்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறாக இருக்கும், ஆனால் எப்போதும் இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பண்பு: ஒரு சமபக்க முக்கோணத்திற்கு ஒரு கோணம் உள்ளது.. ஆனால் இது ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் அடையாளமாக இருக்காது, ஏனெனில் ஒவ்வொரு முக்கோணமும் ஒரு கோணத்தைக் கொண்டிருக்காது., சமபக்கமாக உள்ளது.

வடிவியல் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு ஒரு பெரிய அளவு அறிவு தேவைப்படுகிறது. இந்த அறிவியலின் அடிப்படை வரையறைகளில் ஒன்று செங்கோண முக்கோணம்.

இந்த கருத்து மூன்று கோணங்களைக் கொண்டது மற்றும்

பக்கங்களில், 90 டிகிரி அளவிடும் கோணங்களில் ஒன்று. வலது கோணத்தை உருவாக்கும் பக்கங்கள் கால்கள் என்றும், அதற்கு நேர் எதிரான மூன்றாவது பக்கம் ஹைப்போடென்யூஸ் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

அத்தகைய உருவத்தில் கால்கள் சமமாக இருந்தால், அது ஐசோசெல்ஸ் வலது முக்கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், இரண்டில் உறுப்பினர் உள்ளது, அதாவது இரு குழுக்களின் பண்புகள் கவனிக்கப்படுகின்றன. ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் அடிப்பகுதியில் உள்ள கோணங்கள் எப்போதும் சமமாக இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்வோம், எனவே அத்தகைய உருவத்தின் கடுமையான கோணங்களில் 45 டிகிரி இருக்கும்.

இவற்றில் ஒன்றின் கிடைக்கும் தன்மை பின்வரும் பண்புகள்ஒரு செங்கோண முக்கோணம் மற்றொன்றுக்கு சமம் என்று கூற அனுமதிக்கிறது:

1. இரண்டு முக்கோணங்களின் பக்கங்களும் சமம்;
2. புள்ளிவிவரங்கள் ஒரே ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் கால்களில் ஒன்றைக் கொண்டுள்ளன;
3. ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் கடுமையான கோணங்களில் ஏதேனும் சமமாக இருக்கும்;
4. காலின் சமத்துவ நிலை மற்றும் கடுமையான கோணம்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு நிலையான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி எளிதாகக் கணக்கிடப்படுகிறது மற்றும் அதன் கால்களின் பாதி உற்பத்திக்கு சமமான மதிப்பாகும்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் பின்வரும் உறவுகள் காணப்படுகின்றன:

1. கால் என்பது ஹைபோடென்யூஸின் சராசரி விகிதாச்சாரத்தையும் அதன் மீது அதன் முன்கணிப்பையும் தவிர வேறொன்றுமில்லை;
2. நீங்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரித்தால், அதன் மையம் ஹைப்போடென்ஸின் நடுவில் இருக்கும்;
3. வலது கோணத்தில் இருந்து வரையப்பட்ட உயரமானது, முக்கோணத்தின் கால்கள் அதன் ஹைப்போடென்யூஸில் உள்ள கணிப்புகளுக்கு சராசரி விகிதாசாரமாகும்.

சுவாரஸ்யமான விஷயம் என்னவென்றால், சரியான முக்கோணம் எதுவாக இருந்தாலும், இந்த பண்புகள் எப்போதும் மதிக்கப்படுகின்றன.

பித்தகோரியன் தேற்றம்

மேலே உள்ள பண்புகளுக்கு கூடுதலாக, வலது முக்கோணங்கள் பின்வரும் நிபந்தனைகளால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன:

இந்த தேற்றம் அதன் நிறுவனர் பெயரிடப்பட்டது - பித்தகோரியன் தேற்றம். கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பண்புகளை அவர் ஆய்வு செய்தபோது இந்த உறவைக் கண்டுபிடித்தார்

தேற்றத்தை நிரூபிக்க, நாம் ஒரு முக்கோண ABC ஐ உருவாக்குகிறோம், அதன் கால்களை a மற்றும் b என்றும், ஹைப்போடென்யூஸை c என்றும் குறிப்பிடுகிறோம். அடுத்து நாம் இரண்டு சதுரங்களை உருவாக்குவோம். ஒன்றுக்கு, பக்கமானது ஹைப்போடென்ஸாக இருக்கும், மற்றொன்றுக்கு, இரண்டு கால்களின் கூட்டுத்தொகை.

பின்னர் முதல் சதுரத்தின் பரப்பளவை இரண்டு வழிகளில் காணலாம்: நான்கு முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை ABC மற்றும் இரண்டாவது சதுரம், அல்லது பக்கத்தின் சதுரம், இயற்கையாகவே, இந்த விகிதங்கள் சமமாக இருக்கும். அதாவது:

2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 உடன், விளைந்த வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறோம்:

c 2 +2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab

இதன் விளைவாக, நாம் பெறுகிறோம்: c 2 = a 2 + b 2

எனவே, ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் வடிவியல் உருவம் முக்கோணங்களின் அனைத்து பண்புகளுக்கும் மட்டுமல்ல. ஒரு சரியான கோணத்தின் இருப்பு உருவம் மற்ற தனிப்பட்ட உறவுகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதற்கு வழிவகுக்கிறது. இவர்களின் படிப்பு அறிவியலுக்கு மட்டுமல்ல, உலகிலும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் அன்றாட வாழ்க்கை, ஒரு செங்கோண முக்கோணம் போன்ற ஒரு உருவம் எல்லா இடங்களிலும் காணப்படுவதால்.

வடிவவியலில் ஒரு முக்கோணம் அடிப்படை உருவங்களில் ஒன்றைக் குறிக்கிறது. முந்தைய பாடங்களிலிருந்து, முக்கோணம் என்பது மூன்று கோணங்களும் மூன்று பக்கங்களும் கொண்ட பலகோண உருவம் என்பதை நீங்கள் அறிவீர்கள்.

முக்கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது செவ்வக, அது 90 டிகிரி கோணத்தில் இருந்தால்.
ஒரு செங்குத்து முக்கோணத்தில் இரண்டு பரஸ்பர செங்குத்து பக்கங்கள் உள்ளன கால்கள் ; அதன் மூன்றாவது பக்கம் அழைக்கப்படுகிறது ஹைப்போடென்யூஸ் . இந்த முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய பக்கமானது ஹைப்போடென்யூஸ் ஆகும்.

• செங்குத்தாக மற்றும் சாய்ந்த பண்புகளின்படி, ஹைபோடென்யூஸ் ஒவ்வொரு கால்களையும் விட நீளமானது (ஆனால் அவற்றின் தொகையை விட குறைவாக).
• ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் இரண்டு தீவிர கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு செங்கோணத்திற்கு சமம்.
• ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் இரண்டு உயரங்கள் அதன் கால்களுடன் ஒத்துப்போகின்றன. எனவே, நான்கு குறிப்பிடத்தக்க புள்ளிகளில் ஒன்று முக்கோணத்தின் வலது கோணத்தின் செங்குத்துகளில் விழுகிறது.
• செங்கோண முக்கோணத்தின் சுற்றளவு ஹைப்போடென்யூஸின் நடுவில் உள்ளது.
• செங்கோண முக்கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து ஹைப்போடென்யூஸுக்கு வரையப்பட்ட செங்கோண முக்கோணத்தின் இடைநிலை இந்த முக்கோணத்தைச் சுற்றியிருக்கும் வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும்.

வலது முக்கோணங்களின் பண்புகள் மற்றும் அம்சங்கள்

நான் - е சொத்து. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், அதன் தீவிர கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90° ஆகும். முக்கோணத்தின் பெரிய பக்கத்திற்கு எதிரே பெரிய கோணமும், பெரிய கோணத்திற்கு எதிரே பெரிய பக்கமும் இருக்கும். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், பெரிய கோணம் வலது கோணம். ஒரு முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய கோணம் 90°க்கு மேல் இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணம் செங்கோணமாக இருப்பதை நிறுத்துகிறது, ஏனெனில் அனைத்து கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180 டிகிரிக்கு மேல் இருக்கும். இவை அனைத்திலிருந்தும் ஹைப்போடென்யூஸ் முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய பக்கமாகும்.

II என்பது சொத்து. 30 டிகிரி கோணத்திற்கு எதிரே அமைந்துள்ள ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கால், ஹைபோடென்யூஸின் பாதிக்கு சமம்.

III - இ சொத்து. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கால் பாதி ஹைப்போடென்ஸுக்கு சமமாக இருந்தால், இந்த காலுக்கு எதிரே இருக்கும் கோணம் 30 டிகிரிக்கு சமமாக இருக்கும்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பண்புகள்

அன்புள்ள ஏழாம் வகுப்பு மாணவர்களே, உங்களுக்கு ஏற்கனவே என்ன தெரியும் வடிவியல் வடிவங்கள்முக்கோணங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவற்றின் சமத்துவத்தின் அறிகுறிகளை எவ்வாறு நிரூபிப்பது என்பது உங்களுக்குத் தெரியும். முக்கோணங்களின் சிறப்பு நிகழ்வுகள் பற்றியும் உங்களுக்குத் தெரியும்: ஐசோசெல்ஸ் மற்றும் வலது கோணங்கள். ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்களின் பண்புகளை நீங்கள் நன்கு அறிவீர்கள்.

ஆனால் செங்கோண முக்கோணங்களும் பல பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. ஒரு வெளிப்படையான ஒன்று முக்கோணத்தின் உள் கோணத் தொகை தேற்றத்துடன் தொடர்புடையது: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், கடுமையான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90° ஆகும். புகழ்பெற்ற பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நீங்கள் படிக்கும் போது, ​​8 ஆம் வகுப்பில் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் மிக அற்புதமான சொத்தை அறிந்து கொள்வீர்கள்.

இப்போது நாம் இன்னும் இரண்டு முக்கியமான பண்புகளைப் பற்றி பேசுவோம். ஒன்று 30° செங்கோண முக்கோணங்களுக்கானது, மற்றொன்று சீரற்ற வலது முக்கோணங்களுக்கானது. இந்த பண்புகளை உருவாக்கி நிரூபிப்போம்.

வடிவவியலில், அறிக்கையின் நிலை மற்றும் முடிவு இடம் மாறும் போது, ​​நிரூபிக்கப்பட்டவற்றுடன் உரையாடும் அறிக்கைகளை உருவாக்குவது வழக்கம் என்பதை நீங்கள் நன்கு அறிவீர்கள். உரையாடல் அறிக்கைகள் எப்போதும் உண்மையாக இருக்காது. எங்கள் விஷயத்தில், இரண்டு உரையாடல் அறிக்கைகளும் உண்மை.

சொத்து 1.1 ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், 30° கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள கால் ஹைப்போடென்யூஸின் பாதிக்கு சமமாக இருக்கும்.

ஆதாரம்: செவ்வக ∆ ABC ஐக் கவனியுங்கள், இதில் ÐA=90°, ÐB=30°, பின்னர் ÐC=60°..gif" width="167" height="41">, எனவே, என்ன நிரூபிக்க வேண்டும்.

சொத்து 1.2 (சொத்து 1.1 க்கு தலைகீழ்) ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கால் ஹைப்போடென்யூஸின் பாதிக்கு சமமாக இருந்தால், அதன் எதிர் கோணம் 30° ஆகும்.

சொத்து 2.1 ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைப்போடென்ஸுக்கு வரையப்பட்ட சராசரியானது பாதி ஹைப்போடென்ஸுக்குச் சமம்.

ஒரு செவ்வக ∆ ABC ஐக் கருத்தில் கொள்வோம், இதில் РВ=90°.

BD- சராசரி, அதாவது AD=DC. அதை நிரூபிப்போம்.

இதை நிரூபிக்க, நாங்கள் ஒரு கூடுதல் கட்டுமானத்தை உருவாக்குவோம்: BD=DN புள்ளிக்கு அப்பால் BD ஐத் தொடர்வோம், மேலும் N ஐ A மற்றும் C..gif" width="616" height="372 src="> உடன் இணைப்போம்

கொடுக்கப்பட்டவை: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm

1. ÐEBC=30o, ஏனெனில் ஒரு செவ்வக ∆BCE இல் கடுமையான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90o

2. BE=14cm (சொத்து 1)

3. ÐABE=30o, ÐA+ÐABE=ÐBEC (முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணத்தின் சொத்து) என்பதால் ∆AEB என்பது ஐசோசெல்ஸ் AE=EB=14cm ஆகும்.

BC=2AN=20 cm (சொத்து 2).

பணி 3. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரமும் இடைநிலையும் ஹைப்போடென்ஸுக்கு எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால், முக்கோணத்தின் கடுமையான கோணங்களுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாட்டிற்கு சமமான கோணத்தை உருவாக்குகிறது என்பதை நிரூபிக்கவும்.

கொடுக்கப்பட்டவை: ∆ ABC, ÐBAC=90°, AM-median, AH-உயரம்.

நிரூபிக்கவும்: RMAN=RS-RV.

ஆதாரம்:

1)РМАС=РС (சொத்து 2 ∆ AMC-ஐசோசெல்ஸ், AM=SM மூலம்)

2) ÐMAN = ÐMAS-ÐNAS = ÐS-ÐNAS.

РНАС=РВ என்பதை நிரூபிக்க உள்ளது. ÐB+ÐC=90° (∆ ABC இல்) மற்றும் ÐNAS+ÐC=90° (∆ ANS இலிருந்து) என்பதிலிருந்து இது பின்பற்றப்படுகிறது.

எனவே, RMAN = RS-RV, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">வழங்கப்பட்டது: ∆ABC, ÐBAC=90°, AN-height, .

கண்டுபிடி: РВ, РС.

தீர்வு: மீடியன் AM ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். AN=x, பின்னர் BC=4x மற்றும்

VM=MS=AM=2x.

ஒரு செவ்வக ∆AMN இல், ஹைப்போடென்யூஸ் AM கால் AN ஐ விட 2 மடங்கு பெரியது, எனவே ÐAMN=30°. VM=AM என்பதால்,

РВ=РВAM100%">

AD=AC என்று புள்ளி Aக்கு அப்பால் ஏசியை நீட்டிப்போம். பிறகு ∆ABC=∆ABD (2 கால்களில்). BD=BC=2AC=CD, இவ்வாறு ∆DBC-equilateral, ÐC=60o மற்றும் ÐABC=30o.

பிரச்சனை 5

ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தில், கோணங்களில் ஒன்று 120° ஆகும், அடிப்பகுதி 10 செ.மீ.

தீர்வு: தொடங்குவதற்கு, 120° கோணம் முக்கோணத்தின் உச்சியில் மட்டுமே இருக்க முடியும் என்பதையும், பக்கவாட்டில் வரையப்பட்ட உயரம் அதன் தொடர்ச்சியாக விழும் என்பதையும் கவனத்தில் கொள்கிறோம்.

ஏபி - படிக்கட்டு, கே - பூனைக்குட்டி.

ஏணியின் எந்த நிலையிலும், அது இறுதியாக தரையில் விழும் வரை, ∆ABC செவ்வக வடிவில் இருக்கும். MC - இடைநிலை ∆ABC.

சொத்து 2 SC = 1/2AB படி. அதாவது, எந்த நேரத்திலும் SK பிரிவின் நீளம் நிலையானது.

பதில்: புள்ளி K ஆனது C மற்றும் ஆரம் CK=1/2AB உடன் வட்ட வளைவுடன் நகரும்.

சுயாதீன தீர்வுக்கான சிக்கல்கள்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கோணங்களில் ஒன்று 60° ஆகும், மேலும் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் குறுகிய கால் இடையே உள்ள வேறுபாடு 4 செ.மீ. ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தைக் கண்டறியவும். ஒரு செவ்வக ∆ ABC இல் ஹைப்போடென்யூஸ் BC மற்றும் கோணம் B 60°க்கு சமமாக, உயரம் AD வரையப்படுகிறது. DB=2cm என்றால் DCஐக் கண்டறியவும். B ∆ABC ÐC=90o, CD - உயரம், BC=2ВD. AD=3ВD என்பதை நிரூபிக்கவும். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரம் ஹைப்போடென்யூஸை 3 செமீ மற்றும் 9 செமீ பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறது. முக்கோணத்தின் கோணங்கள் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸின் நடுவிலிருந்து நீண்ட கால் வரையிலான தூரத்தைக் கண்டறியவும். இருசமப்பிரிவு ஒரு முக்கோணத்தை இரண்டாகப் பிரிக்கிறது சமபக்க முக்கோணம். அசல் முக்கோணத்தின் கோணங்களைக் கண்டறியவும். இடைநிலை முக்கோணத்தை இரு சமபக்க முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறது. கோணங்களைக் கண்டுபிடிக்க முடியுமா?

அசல் முக்கோணம்?

இடைநிலை நிலை

வலது முக்கோணம். முழுமையான விளக்கப்பட வழிகாட்டி (2019)

செவ்வக முக்கோணம். நுழைவு நிலை.

சிக்கல்களில், வலது கோணம் அவசியமில்லை - கீழ் இடது, எனவே இந்த வடிவத்தில் ஒரு வலது முக்கோணத்தை அடையாளம் காண நீங்கள் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும்,

மற்றும் இதில்

மற்றும் இதில்

செங்கோண முக்கோணத்தில் எது நல்லது? சரி... முதலில், சிறப்புகள் உள்ளன அழகான பெயர்கள்அவரது பக்கங்களுக்கு.

வரைவதில் கவனம்!

நினைவில் வைத்து குழப்ப வேண்டாம்: இரண்டு கால்கள் உள்ளன, ஒரே ஒரு ஹைப்போடென்யூஸ் உள்ளது(ஒரே ஒரு, தனிப்பட்ட மற்றும் நீண்ட)!

சரி, நாங்கள் பெயர்களைப் பற்றி விவாதித்தோம், இப்போது மிக முக்கியமான விஷயம்: பித்தகோரியன் தேற்றம்.

பித்தகோரியன் தேற்றம்.

இந்த தேற்றம் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் சம்பந்தப்பட்ட பல பிரச்சனைகளை தீர்க்கும் திறவுகோலாகும். இது முற்றிலும் பழங்கால காலங்களில் பித்தகோரஸால் நிரூபிக்கப்பட்டது, பின்னர் அது அறிந்தவர்களுக்கு நிறைய நன்மைகளைத் தந்தது. மற்றும் சிறந்த விஷயம் என்னவென்றால், அது எளிமையானது.

எனவே, பித்தகோரியன் தேற்றம்:

"பித்தகோரியன் பேண்ட்ஸ் எல்லா பக்கங்களிலும் சமம்!" என்ற நகைச்சுவை உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா?

இதே பித்தகோரியன் பேண்ட்டை வரைந்து அவற்றைப் பார்ப்போம்.

இது ஒரு வகையான குறும்படங்கள் போல் தெரியவில்லையா? சரி, எந்தப் பக்கங்களில், எங்கு சமமாக இருக்கின்றன? நகைச்சுவை ஏன், எங்கிருந்து வந்தது? இந்த நகைச்சுவையானது பித்தகோரியன் தேற்றத்துடன் துல்லியமாக இணைக்கப்பட்டுள்ளது அல்லது இன்னும் துல்லியமாக பித்தகோரஸ் தனது தேற்றத்தை உருவாக்கிய விதத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. மேலும் அவர் அதை பின்வருமாறு வடிவமைத்தார்:

"தொகை சதுரங்களின் பகுதிகள், கால்கள் கட்டப்பட்டது, சமமாக உள்ளது சதுர பரப்பளவு, ஹைப்போடென்யூஸில் கட்டப்பட்டது."

இது உண்மையில் கொஞ்சம் வித்தியாசமாக இருக்கிறதா? எனவே, பிதாகரஸ் தனது தேற்றத்தின் அறிக்கையை வரைந்தபோது, ​​​​இதுவே வெளிவந்த படம்.

இந்த படத்தில், சிறிய சதுரங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவிற்கு சமம். கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஹைபோடென்யூஸின் சதுரத்திற்கு சமம் என்பதை குழந்தைகள் நன்றாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ள, பித்தகோரியன் பேன்ட் பற்றி நகைச்சுவையான ஒருவர் இந்த நகைச்சுவையுடன் வந்தார்.

நாம் ஏன் இப்போது பித்தகோரியன் தேற்றத்தை உருவாக்குகிறோம்?

பித்தகோரஸ் கஷ்டப்பட்டு சதுரங்களைப் பற்றி பேசினாரா?

பழங்காலத்தில்... அல்ஜீப்ரா இல்லையே! அடையாளங்கள் மற்றும் பல இல்லை. கல்வெட்டுகள் எதுவும் இல்லை. ஏழை பண்டைய மாணவர்கள் எல்லாவற்றையும் வார்த்தைகளில் நினைவில் வைத்திருப்பது எவ்வளவு பயங்கரமானது என்று உங்களால் கற்பனை செய்ய முடியுமா??! பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் எளிய உருவாக்கம் எங்களிடம் உள்ளது என்று நாம் மகிழ்ச்சியடையலாம். அதை நன்றாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ள மீண்டும் மீண்டும் சொல்கிறோம்:

இது இப்போது எளிதாக இருக்க வேண்டும்:

சரி, வலது முக்கோணங்களைப் பற்றிய மிக முக்கியமான தேற்றம் விவாதிக்கப்பட்டது. இது எவ்வாறு நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதில் நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால், பின்வரும் கோட்பாட்டின் நிலைகளைப் படியுங்கள், இப்போது மேலும் செல்லலாம்... இருண்ட காட்டுக்குள்... முக்கோணவியல்! சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் என்ற பயங்கரமான வார்த்தைகளுக்கு.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட், கோடேன்ஜென்ட்.

உண்மையில், எல்லாம் மிகவும் பயமாக இல்லை. நிச்சயமாக, sine, cosine, tangent மற்றும் cotangent ஆகியவற்றின் "உண்மையான" வரையறையை கட்டுரையில் பார்க்க வேண்டும். ஆனால் நான் உண்மையில் விரும்பவில்லை, இல்லையா? நாம் மகிழ்ச்சியடையலாம்: செங்கோண முக்கோணத்தைப் பற்றிய சிக்கல்களைத் தீர்க்க, பின்வரும் எளிய விஷயங்களை நீங்கள் நிரப்பலாம்:

எல்லாம் ஏன் மூலையில் இருக்கிறது? மூலை எங்கே? இதைப் புரிந்து கொள்ள, 1 - 4 அறிக்கைகள் எவ்வாறு வார்த்தைகளில் எழுதப்படுகின்றன என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். பாருங்கள், புரிந்து கொள்ளுங்கள், நினைவில் கொள்ளுங்கள்!

1.
உண்மையில் இது போல் தெரிகிறது:

கோணத்தைப் பற்றி என்ன? மூலைக்கு எதிரே ஒரு கால் இருக்கிறதா, அதாவது எதிர் (ஒரு கோணத்திற்கு) கால் இருக்கிறதா? நிச்சயமாக இருக்கிறது! இது ஒரு கால்!

கோணத்தைப் பற்றி என்ன? கவனமாக பாருங்கள். எந்த கால் மூலைக்கு அருகில் உள்ளது? நிச்சயமாக, கால். இதன் பொருள் கோணத்திற்கு கால் அருகில் உள்ளது, மற்றும்

இப்போது, ​​கவனம் செலுத்துங்கள்! எங்களுக்கு கிடைத்ததைப் பாருங்கள்:

இது எவ்வளவு அருமையாக இருக்கிறது என்று பாருங்கள்:

இப்போது நாம் தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்டுக்கு செல்லலாம்.

இதை இப்போது எப்படி வார்த்தைகளில் எழுதுவது? கோணம் தொடர்பாக கால் என்றால் என்ன? எதிர், நிச்சயமாக - அது மூலைக்கு எதிரே "பொய்". கால் பற்றி என்ன? மூலைக்கு அருகில். அப்படியானால் நம்மிடம் என்ன இருக்கிறது?

எண் மற்றும் வகு எவ்வாறு இடங்களை மாற்றியுள்ளன என்பதைப் பார்க்கவா?

இப்போது மீண்டும் மூலைகள் மற்றும் பரிமாற்றம் செய்தன:

ரெஸ்யூம்

நாம் கற்றுக்கொண்ட அனைத்தையும் சுருக்கமாக எழுதுவோம்.

பித்தகோரியன் தேற்றம்:

செங்கோண முக்கோணங்களைப் பற்றிய முக்கிய தேற்றம் பித்தகோரியன் தேற்றம் ஆகும்.

பித்தகோரியன் தேற்றம்

மூலம், கால்கள் மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் என்றால் என்ன என்பது உங்களுக்கு நன்றாக நினைவிருக்கிறதா? மிகவும் நன்றாக இல்லை என்றால், படத்தைப் பாருங்கள் - உங்கள் அறிவைப் புதுப்பிக்கவும்

நீங்கள் ஏற்கனவே பித்தகோரியன் தேற்றத்தை பலமுறை பயன்படுத்தியிருக்கலாம், ஆனால் அத்தகைய தேற்றம் ஏன் உண்மை என்று நீங்கள் எப்போதாவது யோசித்திருக்கிறீர்களா? நான் எப்படி நிரூபிக்க முடியும்? பண்டைய கிரேக்கர்களைப் போலவே செய்வோம். ஒரு பக்கத்துடன் ஒரு சதுரத்தை வரைவோம்.

எவ்வளவு புத்திசாலித்தனமாக அதன் பக்கங்களை நீளமாகப் பிரித்தோம் என்று பாருங்கள்!

இப்போது குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளை இணைப்போம்

எவ்வாறாயினும், இங்கே நாங்கள் வேறு ஒன்றைக் குறிப்பிட்டோம், ஆனால் நீங்களே வரைபடத்தைப் பார்த்து, இது ஏன் என்று சிந்தியுங்கள்.

பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவு என்ன? சரி,. ஒரு சிறிய பகுதி பற்றி என்ன? நிச்சயமாக, . நான்கு மூலைகளின் மொத்த பரப்பளவு உள்ளது. நாம் அவற்றை ஒரு நேரத்தில் இரண்டாக எடுத்து, அவற்றின் ஹைப்போடனஸ் மூலம் ஒருவருக்கொருவர் சாய்ந்தோம் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். என்ன நடந்தது? இரண்டு செவ்வகங்கள். இதன் பொருள் "வெட்டுகளின்" பகுதி சமம்.

இப்போது அனைத்தையும் ஒன்றாகப் பார்ப்போம்.

மாற்றுவோம்:

எனவே நாங்கள் பித்தகோரஸைப் பார்வையிட்டோம் - அவரது தேற்றத்தை பழமையான முறையில் நிரூபித்தோம்.

வலது முக்கோணம் மற்றும் முக்கோணவியல்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்திற்கு, பின்வரும் உறவுகள் உள்ளன:

கடுமையான கோணத்தின் சைன் எதிர் பக்கத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதத்திற்கு சமம்

ஒரு தீவிர கோணத்தின் கொசைன், ஹைபோடென்யூஸுக்கு அருகில் உள்ள காலின் விகிதத்திற்கு சமம்.

ஒரு தீவிர கோணத்தின் தொடுகோடு எதிர் பக்கத்தின் விகிதத்திற்கு அருகில் உள்ள பக்கத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

ஒரு தீவிர கோணத்தின் கோடேன்ஜென்ட் எதிர் பக்கத்திற்கு அருகில் உள்ள பக்கத்தின் விகிதத்திற்கு சமம்.

மீண்டும் ஒரு மாத்திரை வடிவில் இவை அனைத்தும்:

இது மிகவும் வசதியானது!

வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் அறிகுறிகள்

I. இரண்டு பக்கங்களிலும்

II. கால் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் மூலம்

III. ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் கடுமையான கோணம் மூலம்

IV. கால் மற்றும் கடுமையான கோணத்தில்

a)

b)

கவனம்! கால்கள் "பொருத்தமானவை" என்பது இங்கே மிகவும் முக்கியமானது. உதாரணமாக, இது இப்படி நடந்தால்:

பின்னர் முக்கோணங்கள் சமமாக இல்லை, அவர்கள் ஒரே மாதிரியான கடுமையான கோணத்தைக் கொண்டிருந்தாலும்.

அது அவசியம் இரண்டு முக்கோணங்களிலும் கால் அருகருகே இருந்தது, அல்லது இரண்டிலும் எதிரே இருந்தது.

வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் அறிகுறிகள் முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் வழக்கமான அறிகுறிகளிலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன என்பதை நீங்கள் கவனித்தீர்களா? தலைப்பைப் பாருங்கள் "சாதாரண" முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திற்கு, அவற்றின் மூன்று கூறுகள் சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பதில் கவனம் செலுத்துங்கள்: இரண்டு பக்கங்களும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம், இரண்டு கோணங்களும் அவற்றுக்கிடையேயான பக்கமும் அல்லது மூன்று பக்கங்களும். ஆனால் வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திற்கு, இரண்டு தொடர்புடைய கூறுகள் மட்டுமே போதுமானது. அருமை, சரியா?

வலது முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையின் அறிகுறிகளுடன் நிலைமை தோராயமாக ஒரே மாதிரியாக உள்ளது.

வலது முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையின் அறிகுறிகள்

I. ஒரு தீவிர கோணத்தில்

II. இரண்டு பக்கங்களிலும்

III. கால் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் மூலம்

செங்கோண முக்கோணத்தில் இடைநிலை

ஏன் இப்படி?

செங்கோண முக்கோணத்திற்குப் பதிலாக, முழு செவ்வகத்தைக் கவனியுங்கள்.

ஒரு மூலைவிட்டத்தை வரைந்து ஒரு புள்ளியைக் கருத்தில் கொள்வோம் - மூலைவிட்டங்களின் வெட்டும் புள்ளி. செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டங்களைப் பற்றி என்ன தெரியும்?

மேலும் இதிலிருந்து என்ன வருகிறது?

எனவே அது மாறியது

1. - சராசரி:

இந்த உண்மையை நினைவில் வையுங்கள்! நிறைய உதவுகிறது!

அதைவிட ஆச்சரியம் என்னவென்றால், அதற்கு நேர்மாறான உண்மையும் இருக்கிறது.

ஹைப்போடென்ஸுக்கு வரையப்பட்ட சராசரியானது பாதி ஹைப்போடென்ஸுக்கு சமமாக இருப்பதால் என்ன பலன் கிடைக்கும்? படத்தைப் பார்ப்போம்

கவனமாக பாருங்கள். எங்களிடம் உள்ளது: , அதாவது, புள்ளியிலிருந்து முக்கோணத்தின் மூன்று முனைகளுக்கும் உள்ள தூரம் சமமாக மாறியது. ஆனால் முக்கோணத்தில் ஒரே ஒரு புள்ளி மட்டுமே உள்ளது, முக்கோணத்தின் மூன்று செங்குத்துகளிலிருந்தும் உள்ள தூரங்கள் சமமாக இருக்கும், இது வட்டத்தின் மையம். அதனால் என்ன நடந்தது?

எனவே இந்த "தவிர..." உடன் ஆரம்பிக்கலாம்.

மற்றும் பார்க்கலாம்.

ஆனால் ஒத்த முக்கோணங்கள் அனைத்தும் சமமான கோணங்களைக் கொண்டவை!

மற்றும் பற்றி இதையே கூறலாம்

இப்போது அதை ஒன்றாக வரைவோம்:

இந்த "மூன்று" ஒற்றுமையால் என்ன பலன் கிடைக்கும்?

சரி, உதாரணமாக - செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரத்திற்கான இரண்டு சூத்திரங்கள்.

தொடர்புடைய கட்சிகளின் உறவுகளை எழுதுவோம்:

உயரத்தைக் கண்டுபிடிக்க, விகிதாச்சாரத்தைத் தீர்த்து பெறுகிறோம் முதல் சூத்திரம் "செங்கோண முக்கோணத்தில் உயரம்":

எனவே, ஒற்றுமையைப் பயன்படுத்துவோம்: .

இப்போது என்ன நடக்கும்?

மீண்டும் நாம் விகிதத்தைத் தீர்த்து இரண்டாவது சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

இந்த இரண்டு சூத்திரங்களையும் நீங்கள் நன்றாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ள வேண்டும் மற்றும் மிகவும் வசதியான ஒன்றைப் பயன்படுத்த வேண்டும். அவற்றை மீண்டும் எழுதுவோம்

பித்தகோரியன் தேற்றம்:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைபோடென்யூஸின் சதுரம் கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்: .

வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் அறிகுறிகள்:

• இரண்டு பக்கங்களிலும்:
• கால் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் மூலம்: அல்லது
• கால் மற்றும் அருகிலுள்ள கடுமையான கோணத்தில்: அல்லது
• கால் மற்றும் எதிர் கடுமையான கோணத்தில்: அல்லது
• ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் கடுமையான கோணம் மூலம்: அல்லது.

வலது முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையின் அறிகுறிகள்:

• ஒரு தீவிர மூலை: அல்லது
• இரண்டு கால்களின் விகிதாச்சாரத்தில் இருந்து:
• கால் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸின் விகிதாச்சாரத்தில் இருந்து: அல்லது.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட், கோடேன்ஜென்ட்

• ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணத்தின் சைன் என்பது எதிர் பக்கத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதமாகும்:
• செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிரக் கோணத்தின் கொசைன் என்பது, அருகில் உள்ள காலின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதமாகும்:
• ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது எதிர் பக்கத்திற்கும் அருகில் உள்ள பக்கத்திற்கும் உள்ள விகிதமாகும்:
• ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணத்தின் கோடேன்ஜென்ட் என்பது அருகில் உள்ள பக்கத்தின் எதிர் பக்கத்தின் விகிதமாகும்: .

செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரம்: அல்லது.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், செங்கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட இடைநிலையானது பாதி ஹைபோடென்யூஸுக்கு சமம்: .

வலது முக்கோணத்தின் பரப்பளவு:

• கால்கள் வழியாக: