பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் C 51 தீர்வு. பின்னங்களுடன் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது. பின்னங்கள் கொண்ட சமன்பாடுகளின் அதிவேக தீர்வு

உங்கள் தனியுரிமையை பராமரிப்பது எங்களுக்கு முக்கியம். இந்த காரணத்திற்காக, உங்கள் தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சேமிப்போம் என்பதை விவரிக்கும் தனியுரிமைக் கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்கியுள்ளோம். எங்கள் தனியுரிமை நடைமுறைகளை மதிப்பாய்வு செய்து, ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்தவும்.

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நபரை அடையாளம் காண அல்லது தொடர்பு கொள்ள பயன்படுத்தப்படும் தரவைக் குறிக்கிறது.

நீங்கள் எங்களைத் தொடர்பு கொள்ளும்போது எந்த நேரத்திலும் உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வழங்குமாறு கேட்கப்படலாம்.

நாங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய தனிப்பட்ட தகவல்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அத்தகைய தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம்.

என்ன தனிப்பட்ட தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:

நீங்கள் தளத்தில் கோரிக்கையை சமர்ப்பிக்கும் போது, உங்கள் பெயர், தொலைபேசி எண், முகவரி உள்ளிட்ட பல்வேறு தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கலாம் மின்னஞ்சல்முதலியன

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவல்கள், தனித்துவமான சலுகைகள், விளம்பரங்கள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகள் மற்றும் வரவிருக்கும் நிகழ்வுகளுடன் உங்களைத் தொடர்புகொள்ள அனுமதிக்கிறது.
அவ்வப்போது, முக்கியமான அறிவிப்புகள் மற்றும் தகவல்தொடர்புகளை அனுப்ப உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.
தணிக்கை, தரவு பகுப்பாய்வு மற்றும் உள் நோக்கங்களுக்காக தனிப்பட்ட தகவலையும் நாங்கள் பயன்படுத்தலாம் பல்வேறு ஆய்வுகள்நாங்கள் வழங்கும் சேவைகளை மேம்படுத்தவும், எங்கள் சேவைகள் தொடர்பான பரிந்துரைகளை உங்களுக்கு வழங்கவும்.
பரிசுக் குலுக்கல், போட்டி அல்லது அது போன்ற விளம்பரங்களில் நீங்கள் பங்கேற்றால், அத்தகைய திட்டங்களை நிர்வகிக்க நீங்கள் வழங்கும் தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

உங்களிடமிருந்து பெறப்பட்ட தகவல்களை மூன்றாம் தரப்பினருக்கு நாங்கள் வெளியிட மாட்டோம்.

விதிவிலக்குகள்:

தேவைப்பட்டால், சட்டத்தின்படி, நீதி நடைமுறை, வி விசாரணை, மற்றும்/அல்லது பொது கோரிக்கைகள் அல்லது கோரிக்கைகளின் அடிப்படையில் அரசு நிறுவனங்கள்ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் பிரதேசத்தில் - உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வெளிப்படுத்தவும். பாதுகாப்பு, சட்ட அமலாக்கம் அல்லது பிற பொது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த நோக்கங்களுக்காக அத்தகைய வெளிப்படுத்தல் அவசியம் அல்லது பொருத்தமானது என்று நாங்கள் தீர்மானித்தால், உங்களைப் பற்றிய தகவலையும் நாங்கள் வெளியிடலாம்.
மறுசீரமைப்பு, இணைப்பு அல்லது விற்பனையின் போது, நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவலை பொருந்தக்கூடிய மூன்றாம் தரப்பினருக்கு மாற்றலாம்.

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல்களை இழப்பு, திருட்டு மற்றும் தவறான பயன்பாடு, அத்துடன் அங்கீகரிக்கப்படாத அணுகல், வெளிப்படுத்துதல், மாற்றம் செய்தல் மற்றும் அழித்தல் ஆகியவற்றிலிருந்து பாதுகாப்பதற்கு - நிர்வாகம், தொழில்நுட்பம் மற்றும் உடல்நிலை உட்பட - முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளை எடுக்கிறோம்.

நிறுவன அளவில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல் பாதுகாப்பாக இருப்பதை உறுதிசெய்ய, நாங்கள் எங்கள் ஊழியர்களுக்கு தனியுரிமை மற்றும் பாதுகாப்பு தரங்களைத் தொடர்புகொண்டு தனியுரிமை நடைமுறைகளை கண்டிப்பாகச் செயல்படுத்துகிறோம்.

மேலே உள்ள சமன்பாட்டை § 7 இல் அறிமுகப்படுத்தினோம். முதலில், பகுத்தறிவு வெளிப்பாடு என்றால் என்ன என்பதை நினைவுபடுத்துவோம். இது ஒரு இயற்கணித வெளிப்பாடாகும், இது ஒரு இயற்கை அடுக்குடன் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் மற்றும் விரிவுபடுத்துதல் ஆகியவற்றின் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி எண்கள் மற்றும் மாறி x ஆகியவற்றால் ஆனது.

r(x) என்பது பகுத்தறிவு வெளிப்பாடு என்றால், r(x) = 0 சமன்பாடு பகுத்தறிவு சமன்பாடு எனப்படும்.

இருப்பினும், நடைமுறையில் "பகுத்தறிவு சமன்பாடு" என்ற வார்த்தையின் சற்று விரிவான விளக்கத்தைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது: இது h(x) = q(x) வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும், இதில் h(x) மற்றும் q(x) பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள்.

இப்போது வரை, எங்களால் எந்த பகுத்தறிவு சமன்பாட்டையும் தீர்க்க முடியவில்லை, ஆனால் பல்வேறு மாற்றங்கள் மற்றும் பகுத்தறிவுகளின் விளைவாக குறைக்கப்பட்டது. நேரியல் சமன்பாடு. இப்போது எங்கள் திறன்கள் மிக அதிகமாக உள்ளன: நாம் ஒரு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை தீர்க்க முடியும், அது நேரியல் மட்டுமல்ல.
mu, ஆனால் இருபடி சமன்பாட்டிற்கும்.

நாங்கள் எப்படி முடிவு செய்தோம் என்பதை நினைவில் கொள்வோம் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள்முன்னதாக, ஒரு தீர்வு வழிமுறையை உருவாக்க முயற்சிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

தீர்வு. சமன்பாட்டை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்

இந்த வழக்கில், வழக்கம் போல், A = B மற்றும் A - B = 0 ஆகிய சமன்பாடுகள் A மற்றும் B க்கு இடையே உள்ள அதே உறவை வெளிப்படுத்தும் உண்மையைப் பயன்படுத்திக் கொள்கிறோம். எதிர் அடையாளம்.

சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை மாற்றுவோம். எங்களிடம் உள்ளது

சமத்துவ நிலைமைகளை நினைவு கூர்வோம் பின்னங்கள்பூஜ்யம்: இரண்டு உறவுகள் ஒரே நேரத்தில் திருப்தி அடைந்தால் மட்டுமே:

1) பின்னத்தின் எண் பூஜ்ஜியம் (a = 0); 2) பின்னத்தின் வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது).
சமன்பாட்டின் (1) இடது பக்கத்தில் உள்ள பின்னத்தின் எண்ணை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்தால், நாம் பெறுகிறோம்

மேலே சுட்டிக்காட்டப்பட்ட இரண்டாவது நிபந்தனையின் நிறைவேற்றத்தை சரிபார்க்க இது உள்ளது. தொடர்பு என்பது சமன்பாட்டிற்கான பொருள் (1) என்று . x 1 = 2 மற்றும் x 2 = 0.6 மதிப்புகள் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன, எனவே சமன்பாட்டின் (1) வேர்களாகவும், அதே நேரத்தில் வேர்களாகவும் செயல்படுகின்றன. கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு.

1) சமன்பாட்டை வடிவத்திற்கு மாற்றுவோம்

2) இந்த சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை மாற்றுவோம்:

(ஒரே நேரத்தில் எண்களில் உள்ள அடையாளங்களை மாற்றியது மற்றும்
பின்னங்கள்).
இவ்வாறு, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு வடிவம் பெறுகிறது

3) x 2 - 6x + 8 = 0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். கண்டுபிடி

4) கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு, நிபந்தனையின் பூர்த்தியைச் சரிபார்க்கவும் . எண் 4 இந்த நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது, ஆனால் எண் 2 இல்லை. இதன் பொருள் 4 என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வேர், மற்றும் 2 என்பது ஒரு புறம்பான வேர்.
பதில்: 4.

2. ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்தும் முறை உங்களுக்கு நன்கு தெரிந்ததே, நாங்கள் அதை ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை பயன்படுத்தியுள்ளோம். பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் இது எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதை எடுத்துக்காட்டுகளுடன் காண்பிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 3. x 4 + x 2 - 20 = 0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு. y = x 2 என்ற புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவோம். x 4 = (x 2) 2 = y 2 என்பதால், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை இவ்வாறு மீண்டும் எழுதலாம்

y 2 + y - 20 = 0.

இது ஒரு இருபடி சமன்பாடு ஆகும், இதன் வேர்களை அறியப்பட்டதைப் பயன்படுத்திக் காணலாம் சூத்திரங்கள்; நாம் y 1 = 4, y 2 = - 5 ஐப் பெறுகிறோம்.
ஆனால் y = x 2, அதாவது இரண்டு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் சிக்கல் குறைக்கப்பட்டுள்ளது:
x 2 =4; x 2 = -5.

முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை என்பதைக் காண்கிறோம்.
பதில்: .
கோடாரி 4 + bx 2 + c = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடு இருகோடி சமன்பாடு என அழைக்கப்படுகிறது ("இரட்டை" என்பது இரண்டு, அதாவது ஒரு வகையான "இரட்டை இருபடி" சமன்பாடு). இப்போது தீர்க்கப்பட்ட சமன்பாடு துல்லியமாக இருகோடியாக இருந்தது. எடுத்துக்காட்டு 3 இல் உள்ள சமன்பாட்டைப் போலவே எந்த இருவகைச் சமன்பாடும் தீர்க்கப்படும்: ஒரு புதிய மாறி y = x 2 ஐ அறிமுகப்படுத்தவும், y மாறியைப் பொறுத்து அதன் விளைவாக வரும் இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும், பின்னர் x மாறிக்கு திரும்பவும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

தீர்வு. அதே வெளிப்பாடு x 2 + 3x இங்கே இரண்டு முறை தோன்றும் என்பதை நினைவில் கொள்க. அதாவது y = x 2 + 3x என்ற புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். இது சமன்பாட்டை எளிமையான மற்றும் மிகவும் இனிமையான வடிவத்தில் மீண்டும் எழுத அனுமதிக்கும் (உண்மையில், இது புதிய ஒன்றை அறிமுகப்படுத்துவதன் நோக்கம் ஆகும். மாறி- மற்றும் பதிவை எளிதாக்குதல்
தெளிவாகிறது, மேலும் சமன்பாட்டின் அமைப்பு தெளிவாகிறது):

இப்போது ஒரு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

1) சமன்பாட்டின் அனைத்து விதிமுறைகளையும் ஒரு பகுதியாக நகர்த்துவோம்:

= 0
2) சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை மாற்றவும்

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை வடிவத்திற்கு மாற்றியுள்ளோம்

3) சமன்பாட்டிலிருந்து - 7y 2 + 29y -4 = 0 (நீங்களும் நானும் ஏற்கனவே நிறைய தீர்த்துவிட்டோம் இருபடி சமன்பாடுகள், எனவே பாடப்புத்தகத்தில் எப்போதும் விரிவான கணக்கீடுகளை வழங்குவது மதிப்புக்குரியது அல்ல).

4) நிபந்தனை 5 (y - 3) (y + 1) ஐப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களைச் சரிபார்க்கலாம். இரண்டு வேர்களும் இந்த நிலையை பூர்த்தி செய்கின்றன.
எனவே, புதிய மாறி y க்கான இருபடிச் சமன்பாடு தீர்க்கப்படுகிறது:
y = x 2 + 3x, மற்றும் y, நாம் நிறுவியபடி, இரண்டு மதிப்புகளை எடுக்கும்: 4 மற்றும் , நாம் இன்னும் இரண்டு சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க வேண்டும்: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . முதல் சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்கள் 1 மற்றும் - 4, இரண்டாவது சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்கள்

பரிசீலிக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளில், ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்தும் முறை, கணிதவியலாளர்கள் சொல்வது போல், சூழ்நிலைக்கு போதுமானதாக இருந்தது, அதாவது, அது அதற்கு நன்றாக ஒத்துப்போகிறது. ஏன்? ஆம், ஒரே வெளிப்பாடு சமன்பாட்டில் பல முறை தெளிவாகத் தோன்றியதால், இந்த வெளிப்பாட்டைக் குறிப்பிட ஒரு காரணம் இருந்தது புதிய கடிதம். ஆனால் இது எப்பொழுதும் நடக்காது; சில நேரங்களில் ஒரு புதிய மாறி "தோன்றுகிறது". அடுத்த எடுத்துக்காட்டில் இதுதான் நடக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
தீர்வு. எங்களிடம் உள்ளது
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.

இதன் பொருள் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதலாம்

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

இப்போது ஒரு புதிய மாறி "தோன்றியுள்ளது": y = x 2 - 3x.

அதன் உதவியுடன், சமன்பாட்டை y (y + 2) = 24 வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதலாம், பின்னர் y 2 + 2y - 24 = 0. இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்கள் 4 மற்றும் -6 ஆகும்.

அசல் மாறி x க்கு திரும்பினால், x 2 - 3x = 4 மற்றும் x 2 - 3x = - 6 ஆகிய இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம். முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து x 1 = 4, x 2 = - 1; இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

பதில்: 4, - 1.

பாடத்தின் உள்ளடக்கம் பாட குறிப்புகள்பிரேம் பாடம் வழங்கல் முடுக்கம் முறைகள் ஊடாடும் தொழில்நுட்பங்களை ஆதரிக்கிறது பயிற்சி பணிகள் மற்றும் பயிற்சிகள் சுய-சோதனை பட்டறைகள், பயிற்சிகள், வழக்குகள், தேடல்கள் வீட்டுப்பாட விவாத கேள்விகள் மாணவர்களிடமிருந்து சொல்லாட்சிக் கேள்விகள் விளக்கப்படங்கள் ஆடியோ, வீடியோ கிளிப்புகள் மற்றும் மல்டிமீடியாபுகைப்படங்கள், படங்கள், கிராபிக்ஸ், அட்டவணைகள், வரைபடங்கள், நகைச்சுவை, நிகழ்வுகள், நகைச்சுவைகள், காமிக்ஸ், உவமைகள், சொற்கள், குறுக்கெழுத்துக்கள், மேற்கோள்கள் துணை நிரல்கள் சுருக்கங்கள்ஆர்வமுள்ள கிரிப்ஸ் பாடப்புத்தகங்களுக்கான கட்டுரைகள் தந்திரங்கள் மற்ற சொற்களின் அடிப்படை மற்றும் கூடுதல் அகராதி பாடப்புத்தகங்கள் மற்றும் பாடங்களை மேம்படுத்துதல்பாடப்புத்தகத்தில் உள்ள பிழைகளை சரிசெய்தல்பாடப்புத்தகத்தில் ஒரு பகுதியை புதுப்பித்தல், பாடத்தில் புதுமை கூறுகள், காலாவதியான அறிவை புதியவற்றுடன் மாற்றுதல் ஆசிரியர்களுக்கு மட்டும் சரியான பாடங்கள் காலண்டர் திட்டம்ஒரு வருடத்திற்கு வழிமுறை பரிந்துரைகள்விவாத நிகழ்ச்சிகள் ஒருங்கிணைந்த பாடங்கள்

பற்றி தொடர்ந்து பேசுவோம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. பற்றி விரிவாக இந்தக் கட்டுரையில் பார்ப்போம் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள்மற்றும் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை ஒரு மாறி மூலம் தீர்க்கும் கொள்கைகள். முதலில், எந்த வகையான சமன்பாடுகள் பகுத்தறிவு என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம், முழு பகுத்தறிவு மற்றும் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் வரையறையை வழங்கவும், எடுத்துக்காட்டுகள் கொடுக்கவும். அடுத்து, பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறைகளைப் பெறுவோம், நிச்சயமாக, தேவையான அனைத்து விளக்கங்களுடனும் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

கூறப்பட்ட வரையறைகளின் அடிப்படையில், பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் பல எடுத்துக்காட்டுகளை நாங்கள் தருகிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , அனைத்தும் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள்.

காட்டப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள் மற்றும் பிற வகைகளின் சமன்பாடுகள் ஒரு மாறி அல்லது இரண்டு, மூன்று போன்றவற்றுடன் இருக்கலாம் என்பது தெளிவாகிறது. மாறிகள். பின்வரும் பத்திகளில் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை ஒரு மாறி மூலம் தீர்ப்பது பற்றி பேசுவோம். இரண்டு மாறிகளில் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதுமற்றும் அவர்கள் ஒரு பெரிய எண்சிறப்பு கவனம் தேவை.

அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கையால் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைப் பிரிப்பதைத் தவிர, அவை முழு எண் மற்றும் பின்னம் என பிரிக்கப்படுகின்றன. அதற்கான வரையறைகளை வழங்குவோம்.

வரையறை.

பகுத்தறிவு சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது முழுவதும், அதன் இடது மற்றும் வலது பக்கங்கள் இரண்டும் முழு எண் பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகளாக இருந்தால்.

வரையறை.

பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் ஒரு பகுதியாவது ஒரு பகுதியளவு வெளிப்பாடாக இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது பகுதியளவு பகுத்தறிவு(அல்லது பகுதியளவு பகுத்தறிவு).

முழு சமன்பாடுகளும் மாறியால் வகுபடுவதில்லை என்பது தெளிவாகிறது. எனவே 3 x+2=0 மற்றும் (x+y)·(3·x 2 -1)+x=−y+0.5- இவை முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள், அவற்றின் இரண்டு பகுதிகளும் முழு வெளிப்பாடுகள். A மற்றும் x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 என்பது பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

இந்த புள்ளியை முடித்து, இந்த புள்ளியில் அறியப்பட்ட நேரியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகள் முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள் என்பதில் கவனம் செலுத்துவோம்.

முழு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பது

முழு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய அணுகுமுறைகளில் ஒன்று அவற்றை சமமானதாகக் குறைப்பதாகும் இயற்கணித சமன்பாடுகள். சமன்பாட்டின் பின்வரும் சமமான மாற்றங்களைச் செய்வதன் மூலம் இது எப்போதும் செய்யப்படலாம்:

முதலில், அசல் முழு எண் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திலிருந்து வெளிப்பாடு வலது பக்கத்தில் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற எதிர் குறியுடன் இடது பக்கத்திற்கு மாற்றப்படுகிறது;
இதற்குப் பிறகு, சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் விளைவாக நிலையான பார்வை.

இதன் விளைவாக அசல் முழு எண் சமன்பாட்டிற்கு சமமான ஒரு இயற்கணித சமன்பாடு உள்ளது. எனவே அதிகபட்சம் எளிய வழக்குகள்முழு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பது நேரியல் அல்லது இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கும், பொதுவாக n பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கும் குறைகிறது. தெளிவுக்காக, உதாரணத்திற்கான தீர்வைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

முழு சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும் 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

தீர்வு.

இந்த முழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வையும் சமமான இயற்கணிதச் சமன்பாட்டின் தீர்வுக்குக் குறைப்போம். இதைச் செய்ய, முதலில், வெளிப்பாட்டை வலது பக்கத்திலிருந்து இடதுபுறமாக மாற்றுகிறோம், இதன் விளைவாக நாம் சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம். 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. மற்றும், இரண்டாவதாக, தேவையானவற்றை நிறைவு செய்வதன் மூலம் இடது பக்கத்தில் உருவான வெளிப்பாட்டை நிலையான வடிவ பல்லுறுப்புக்கோவையாக மாற்றுகிறோம்: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 -5 x−6. எனவே, அசல் முழு எண் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது x 2 −5·x−6=0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதாகக் குறைக்கப்படுகிறது.

அதன் பாகுபாட்டை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம் D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, இது நேர்மறையானது, அதாவது சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதைக் காண்கிறோம்:

முற்றிலும் உறுதியாக இருக்க, அதை செய்வோம் சமன்பாட்டின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை சரிபார்க்கிறது. முதலில் ரூட் 6 ஐ சரிபார்த்து, அசல் முழு எண் சமன்பாட்டில் x மாறிக்கு பதிலாக அதை மாற்றவும்: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, இது அதே, 63=63. இது சரியான எண் சமன்பாடாகும், எனவே x=6 என்பது சமன்பாட்டின் வேர். இப்போது நாம் ரூட் −1 ஐ சரிபார்க்கிறோம், எங்களிடம் உள்ளது 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, எங்கிருந்து, 0=0 . x=−1 ஆக இருக்கும்போது, அசல் சமன்பாடு சரியான எண் சமத்துவமாக மாறும், எனவே, x=−1 என்பது சமன்பாட்டின் ஒரு மூலமும் ஆகும்.

பதில்:

6 , −1 .

இங்கே "முழு சமன்பாட்டின் பட்டம்" என்பது ஒரு இயற்கணித சமன்பாட்டின் வடிவத்தில் முழு சமன்பாட்டின் பிரதிநிதித்துவத்துடன் தொடர்புடையது என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். தொடர்புடைய வரையறையை வழங்குவோம்:

வரையறை.

முழு சமன்பாட்டின் சக்திசமமான இயற்கணித சமன்பாட்டின் அளவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இந்த வரையறையின்படி, முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் இருந்து முழு சமன்பாடும் இரண்டாவது பட்டம் கொண்டது.

இது முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளையும் தீர்க்கும் முடிவாக இருந்திருக்கலாம், ஒன்று இல்லாவிட்டால்…. அறியப்பட்டபடி, இரண்டாவது அளவை விட அதிகமான பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது குறிப்பிடத்தக்க சிரமங்களுடன் தொடர்புடையது, மேலும் நான்காவது விட அதிகமான பட்டத்தின் சமன்பாடுகளுக்கு இல்லை பொது சூத்திரங்கள்வேர்கள். எனவே, மூன்றாவது, நான்காவது மற்றும் பலவற்றின் முழு சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க உயர் பட்டங்கள்பெரும்பாலும் நீங்கள் மற்ற தீர்வு முறைகளை நாட வேண்டும்.

இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், அடிப்படையிலான முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பதற்கான அணுகுமுறை காரணியாக்கல் முறை. இந்த வழக்கில், பின்வரும் வழிமுறை பின்பற்றப்படுகிறது:

முதலில், அவர்கள் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் பூஜ்ஜியம் இருப்பதை உறுதி செய்கிறார்கள், முழு சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திலிருந்து இடதுபுறமாக வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறார்கள்;
பின்னர், இடது பக்கத்தில் விளைந்த வெளிப்பாடு பல காரணிகளின் விளைபொருளாக வழங்கப்படுகிறது, இது பல எளிய சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு செல்ல அனுமதிக்கிறது.

காரணியாக்கம் மூலம் முழு சமன்பாட்டையும் தீர்ப்பதற்கான கொடுக்கப்பட்ட வழிமுறைக்கு ஒரு உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி விரிவான விளக்கம் தேவைப்படுகிறது.

உதாரணம்.

முழு சமன்பாட்டையும் தீர்க்கவும் (x 2 −1)·(x 2 -10·x+13)= 2 x (x 2 -10 x+13) .

தீர்வு.

முதலில், வழக்கம் போல், சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திலிருந்து இடது பக்கத்திற்கு வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறோம், அடையாளத்தை மாற்ற மறக்காமல், நாம் பெறுகிறோம் (x 2 −1)·(x 2 -10·x+13)− 2 x (x 2 -10 x+13)=0 . இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக மாற்றுவது நல்லதல்ல என்பது இங்கே தெளிவாகத் தெரிகிறது, ஏனெனில் இது படிவத்தின் நான்காவது பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாட்டைக் கொடுக்கும். x 4 -12 x 3 +32 x 2 -16 x−13=0, தீர்வு கடினமானது.

மறுபுறம், விளைவான சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் நாம் x 2 -10 x+13 , அதன் மூலம் அதை ஒரு தயாரிப்பாகக் காட்டலாம் என்பது வெளிப்படையானது. எங்களிடம் உள்ளது (x 2 −10 x+13) (x 2 -2 x−1)=0. இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு அசல் முழுச் சமன்பாட்டிற்குச் சமமானதாகும், மேலும் அது, x 2 -10·x+13=0 மற்றும் x 2 −2·x−1=0 ஆகிய இரண்டு இருபடி சமன்பாடுகளின் தொகுப்பால் மாற்றப்படலாம். ஒரு பாகுபாடு மூலம் அறியப்பட்ட ரூட் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அவற்றின் வேர்களைக் கண்டறிவது கடினம் அல்ல, வேர்கள் சமமானவை. அவை அசல் சமன்பாட்டின் விரும்பிய வேர்கள்.

பதில்:

முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பதற்கும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவதற்கான முறை. சில சமயங்களில், அசல் முழு சமன்பாட்டின் அளவை விட குறைவாக இருக்கும் சமன்பாடுகளுக்கு செல்ல இது உங்களை அனுமதிக்கிறது.

உதாரணம்.

பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்களைக் கண்டறியவும் (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

தீர்வு.

இந்த முழு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டையும் ஒரு இயற்கணித சமன்பாட்டிற்கு குறைப்பது மிகவும் நல்ல யோசனையல்ல, ஏனெனில் இந்த விஷயத்தில் பகுத்தறிவு வேர்கள் இல்லாத நான்காவது டிகிரி சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டிய அவசியத்திற்கு வருவோம். எனவே, நீங்கள் வேறு தீர்வைத் தேட வேண்டும்.

இங்கே நீங்கள் ஒரு புதிய மாறி y ஐ அறிமுகப்படுத்தலாம் மற்றும் x 2 +3·x என்ற வெளிப்பாட்டை மாற்றலாம். இந்த மாற்றீடு நம்மை முழு சமன்பாட்டிற்கு இட்டுச் செல்கிறது (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , இது −2·(y−4) வெளிப்பாட்டை இடது பக்கம் நகர்த்திய பிறகு மற்றும் வெளிப்பாட்டின் மாற்றத்திற்குப் பிறகு அங்கு உருவாக்கப்பட்ட, ஒரு இருபடி சமன்பாடு y 2 +4·y+3=0 குறைக்கப்பட்டது. இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் y=−1 மற்றும் y=−3 கண்டுபிடிக்க எளிதானது, எடுத்துக்காட்டாக, வியட்டாவின் தேற்றத்திற்கு நேர்மாறான தேற்றத்தின் அடிப்படையில் அவற்றைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம்.

இப்போது நாம் ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்தும் முறையின் இரண்டாம் பகுதிக்கு செல்கிறோம், அதாவது தலைகீழ் மாற்றீட்டைச் செய்ய. தலைகீழ் மாற்றீட்டைச் செய்த பிறகு, x 2 +3 x=−1 மற்றும் x 2 +3 x=−3 ஆகிய இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம், அவை x 2 +3 x+1=0 மற்றும் x 2 +3 x+3 என மீண்டும் எழுதப்படலாம். =0. இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, முதல் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம். இரண்டாவது இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் அதன் பாகுபாடு எதிர்மறையானது (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

பதில்:

பொதுவாக, அதிக அளவுகளின் முழு சமன்பாடுகளையும் நாம் கையாளும் போது, தேடுவதற்கு நாம் எப்போதும் தயாராக இருக்க வேண்டும் தரமற்ற முறைஅல்லது அவற்றைத் தீர்க்க ஒரு செயற்கை முறை.

பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

முதலில், p(x) மற்றும் q(x) ஆகியவை முழு எண் பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகளாக இருக்கும் படிவத்தின் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது பயனுள்ளதாக இருக்கும். சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வகையின் சமன்பாடுகளின் தீர்வுக்கு பிற பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் தீர்வை எவ்வாறு குறைப்பது என்பதைக் காண்பிப்போம்.

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான அணுகுமுறைகளில் ஒன்று பின்வரும் அறிக்கையை அடிப்படையாகக் கொண்டது: எண் பின்னம் u/v , இங்கு v என்பது பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணாகும் (இல்லையெனில் நாம் சந்திப்போம் , இது வரையறுக்கப்படாதது), அதன் எண் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதாவது u=0 என்றால் மட்டுமே. இந்த அறிக்கையின் அடிப்படையில், சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது p(x)=0 மற்றும் q(x)≠0 ஆகிய இரண்டு நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்வதாக குறைக்கப்படுகிறது.

இந்த முடிவு பின்வருவனவற்றுடன் ஒத்துப்போகிறது ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம். படிவத்தின் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, உங்களுக்குத் தேவை

முழு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் p(x)=0 ;
கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு மூலத்திற்கும் நிபந்தனை q(x)≠0 திருப்திகரமாக உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்

உண்மை என்றால், இந்த வேர் அசல் சமன்பாட்டின் வேர் ஆகும்;
அது திருப்தியடையவில்லை என்றால், இந்த வேர் புறம்பானது, அதாவது, இது அசல் சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல.

ஒரு பகுதி பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது அறிவிக்கப்பட்ட அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

இது ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடு மற்றும் வடிவத்தின் , p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

இந்த வகையின் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையின்படி, முதலில் 3 x−2=0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும். இது ஒரு நேரியல் சமன்பாடு ஆகும், இதன் ரூட் x=2/3 ஆகும்.

இந்த ரூட்டைச் சரிபார்க்க வேண்டும், அதாவது, இது 5 x 2 −2≠0 நிபந்தனையை பூர்த்திசெய்கிறதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும். x க்கு பதிலாக 2/3 என்ற எண்ணை 5 x 2 −2 என்ற வெளிப்பாட்டிற்கு மாற்றுவோம், மேலும் நமக்கு கிடைக்கும். நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டது, எனவே x=2/3 என்பது அசல் சமன்பாட்டின் வேர்.

பதில்:

2/3 .

நீங்கள் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை சற்று மாறுபட்ட நிலையில் இருந்து தீர்க்கலாம். இந்த சமன்பாடு அசல் சமன்பாட்டின் மாறி x இல் உள்ள முழு எண் சமன்பாடு p(x)=0 க்கு சமம். அதாவது, நீங்கள் இதை ஒட்டிக்கொள்ளலாம் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம் :

p(x)=0 சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்;
மாறி x இன் ODZ ஐக் கண்டறியவும்;
ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் பகுதியைச் சேர்ந்த வேர்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் - அவை அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் விரும்பிய வேர்கள்.

எடுத்துக்காட்டாக, இந்த அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

உதாரணம்.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

முதலில், நாம் x 2 -2·x−11=0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறோம். எங்களிடம் உள்ள இரண்டாவது குணகத்திற்கான ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் வேர்களைக் கணக்கிடலாம் D 1 =(-1) 2 −1·(−11)=12, மற்றும்.

இரண்டாவதாக, அசல் சமன்பாட்டிற்கான மாறி x இன் ODZ ஐக் காண்கிறோம். இது x 2 +3·x≠0 அனைத்து எண்களையும் கொண்டுள்ளது, இது x·(x+3)≠0, எங்கிருந்து x≠0, x≠−3.

முதல் கட்டத்தில் காணப்படும் வேர்கள் ODZ இல் சேர்க்கப்பட்டுள்ளதா என்பதை சரிபார்க்க உள்ளது. வெளிப்படையாக ஆம். எனவே, அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

பதில்:

ODZ கண்டுபிடிக்க எளிதானது என்றால், இந்த அணுகுமுறை முதல் முறையை விட அதிக லாபம் தரும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், மேலும் p(x) = 0 என்ற சமன்பாட்டின் வேர்கள் பகுத்தறிவற்றதாகவோ அல்லது பகுத்தறிவுடையதாகவோ இருந்தால் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஆனால் பெரிய எண் மற்றும் /அல்லது வகுத்தல், எடுத்துக்காட்டாக, 127/1101 மற்றும் −31/59. இது போன்ற சந்தர்ப்பங்களில், q(x)≠0 நிலையைச் சரிபார்ப்பதற்கு குறிப்பிடத்தக்க கணக்கீட்டு முயற்சி தேவைப்படும், மேலும் ODZ ஐப் பயன்படுத்தி வெளிப்புற வேர்களை விலக்குவது எளிது.

மற்ற சந்தர்ப்பங்களில், சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, குறிப்பாக p(x) = 0 சமன்பாட்டின் வேர்கள் முழு எண்களாக இருக்கும் போது, கொடுக்கப்பட்ட வழிமுறைகளில் முதல் முறையைப் பயன்படுத்துவது அதிக லாபம் தரும். அதாவது, p(x)=0 என்ற முழு சமன்பாட்டின் வேர்களையும் உடனடியாகக் கண்டுபிடிப்பது நல்லது, பின்னர் ODZ ஐக் கண்டுபிடிப்பதை விட, q(x)≠0 நிபந்தனை அவர்களுக்கு திருப்தி அளிக்கிறதா என்பதைச் சரிபார்த்து, பின்னர் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது நல்லது. இந்த ODZ இல் p(x)=0 . இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் DZ ஐக் கண்டுபிடிப்பதை விட சரிபார்க்க இது பொதுவாக எளிதானது என்பதே இதற்குக் காரணம்.

குறிப்பிட்ட நுணுக்கங்களை விளக்குவதற்கு இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளின் தீர்வைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணம்.

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

முதலில், முழு சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம் (2 x−1) (x−6) (x 2 -5 x+14) (x+1)=0, பின்னத்தின் எண்ணிக்கையைப் பயன்படுத்தி இயற்றப்பட்டது. இந்த சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் ஒரு தயாரிப்பு, மற்றும் வலது பக்கம் பூஜ்ஜியமாகும், எனவே, காரணியாக்கம் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் முறையின்படி, இந்த சமன்பாடு நான்கு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு சமம் 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . இந்த சமன்பாடுகளில் மூன்று நேரியல் மற்றும் ஒன்று நாம் அவற்றை தீர்க்க முடியும். முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து x=1/2, இரண்டாவது - x=6, மூன்றாவது - x=7, x=−2, நான்காவது - x=-1.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களைக் கொண்டு, அசல் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள பகுதியின் வகுத்தல் மறைந்துவிட்டதா என்பதைச் சரிபார்ப்பது மிகவும் எளிதானது, ஆனால் ODZ ஐ தீர்மானிப்பது மிகவும் எளிதானது அல்ல, ஏனெனில் இதற்காக நீங்கள் ஒரு தீர்க்க வேண்டும். ஐந்தாவது பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாடு. எனவே, வேர்களைச் சரிபார்ப்பதற்கு ஆதரவாக ODZ ஐக் கண்டுபிடிப்பதைக் கைவிடுவோம். இதைச் செய்ய, வெளிப்பாட்டில் உள்ள மாறி x க்கு பதிலாக அவற்றை ஒவ்வொன்றாக மாற்றுவோம் x 5 -15 x 4 +57 x 3 -13 x 2 +26 x+112, மாற்றீட்டிற்குப் பிறகு பெற்று, அவற்றை பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுக: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(-2) 4 +57·(-2) 3 -13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

எனவே, 1/2, 6 மற்றும் −2 ஆகியவை அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் விரும்பிய வேர்கள், மேலும் 7 மற்றும் −1 ஆகியவை புறம்பான வேர்கள்.

பதில்:

1/2 , 6 , −2 .

உதாரணம்.

ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

முதலில், சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம் (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. இந்த சமன்பாடு இரண்டு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்குச் சமமானது: சதுரம் 5·x 2 -7·x−1=0 மற்றும் நேரியல் x−2=0. ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, இரண்டு வேர்களைக் காண்கிறோம், இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து x=2 ஐப் பெறுகிறோம்.

x இன் காணப்படும் மதிப்புகளில் வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்கிறதா என்பதைச் சரிபார்ப்பது மிகவும் விரும்பத்தகாதது. அசல் சமன்பாட்டில் x மாறியின் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பை தீர்மானிப்பது மிகவும் எளிது. எனவே, நாங்கள் ODZ மூலம் செயல்படுவோம்.

எங்கள் விஷயத்தில், அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் மாறி x இன் ODZ ஆனது நிபந்தனை x 2 +5·x−14=0 பூர்த்தி செய்யப்பட்ட எண்களைத் தவிர அனைத்து எண்களையும் கொண்டுள்ளது. இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் x=−7 மற்றும் x=2 ஆகும், இதிலிருந்து நாம் ODZ பற்றி ஒரு முடிவுக்கு வருகிறோம்: இது அனைத்து x போன்றவற்றையும் கொண்டுள்ளது.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்கள் மற்றும் x=2 ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பைச் சேர்ந்ததா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டும். வேர்கள் சொந்தமானது, எனவே, அவை அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள், மேலும் x=2 சொந்தமானது அல்ல, எனவே, இது ஒரு புறம்பான வேர்.

பதில்:

படிவத்தின் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டில் எண்ணில் ஒரு எண் இருக்கும் போது, அதாவது p(x) சில எண்ணால் குறிப்பிடப்படும் போது, தனித்தனியாகப் பேசுவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். அதே நேரத்தில்

இந்த எண் பூஜ்ஜியம் அல்லாததாக இருந்தால், சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் ஒரு பின்னம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் மற்றும் அதன் எண் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே;
இந்த எண் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், சமன்பாட்டின் மூலமானது ODZ இலிருந்து எந்த எண்ணாகவும் இருக்கும்.

உதாரணம்.

தீர்வு.

சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள பின்னத்தின் எண் பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணைக் கொண்டிருப்பதால், எந்த x க்கும் இந்த பின்னத்தின் மதிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது. எனவே, இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

பதில்:

வேர்கள் இல்லை.

உதாரணம்.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இந்த பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள பின்னத்தின் எண் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது, எனவே இந்த பின்னத்தின் மதிப்பு அது அர்த்தமுள்ள எந்த x க்கும் பூஜ்ஜியமாகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு இந்த மாறியின் ODZ இலிருந்து x இன் எந்த மதிப்பாகும்.

ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பைத் தீர்மானிக்க இது உள்ளது. இது x 4 +5 x 3 ≠0 இன் அனைத்து மதிப்புகளையும் உள்ளடக்கியது. x 4 +5 x 3 =0 சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் 0 மற்றும் −5 ஆகும், ஏனெனில் இந்த சமன்பாடு x 3 (x+5)=0 சமன்பாட்டிற்கு சமம், மேலும் இது x என்ற இரண்டு சமன்பாடுகளின் சேர்க்கைக்கு சமம். 3 =0 மற்றும் x +5=0, இந்த வேர்கள் தெரியும். எனவே, ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் விரும்பிய வரம்பு x=0 மற்றும் x=−5 தவிர எந்த x ஆகும்.

எனவே, ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடு எண்ணற்ற பல தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை பூஜ்ஜியம் மற்றும் கழித்தல் ஐந்து தவிர வேறு எந்த எண்களாகும்.

பதில்:

இறுதியாக, தன்னிச்சையான வடிவத்தின் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பற்றி பேச வேண்டிய நேரம் இது. அவற்றை r(x)=s(x) என எழுதலாம், இங்கு r(x) மற்றும் s(x) ஆகியவை பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள் மற்றும் அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பின்னமானது. முன்னோக்கிப் பார்க்கும்போது, அவற்றின் தீர்வு ஏற்கனவே நமக்கு நன்கு தெரிந்த வடிவத்தின் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் வரும் என்று சொல்லலாம்.

சமன்பாட்டின் ஒரு பகுதியிலிருந்து மற்றொரு பகுதிக்கு எதிர் குறியுடன் ஒரு சொல்லை மாற்றுவது சமமான சமன்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது, எனவே சமன்பாடு r(x)=s(x) சமன்பாடு r(x)−s(x) சமன்பாடு ஆகும் )=0.

இந்த வெளிப்பாட்டிற்கு சமமான ஏதேனும் ஒன்று சாத்தியம் என்பதையும் நாங்கள் அறிவோம். எனவே, r(x)−s(x)=0 சமன்பாட்டின் இடதுபுறத்தில் உள்ள பகுத்தறிவு வெளிப்பாட்டை வடிவத்தின் ஒரே மாதிரியான பகுத்தறிவு பின்னமாக மாற்றலாம்.

எனவே நாம் அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டிலிருந்து r(x)=s(x) சமன்பாட்டிற்கு நகர்கிறோம், மேலும் அதன் தீர்வு, நாம் மேலே கண்டறிந்தபடி, p(x)=0 சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கு குறைக்கிறது.

ஆனால் இங்கே r(x)−s(x)=0 ஐ , பின்னர் p(x)=0 என்று மாற்றும் போது, x மாறியின் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பு விரிவடையும் என்ற உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். .

இதன் விளைவாக, நாம் வந்த அசல் சமன்பாடு r(x)=s(x) மற்றும் p(x)=0 சமன்பாடு ஆகியவை சமமற்றதாக மாறலாம், மேலும் p(x)=0 சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம், நாம் வேர்களைப் பெறலாம். இது r(x)=s(x) என்ற அசல் சமன்பாட்டின் புறம்பான வேர்களாக இருக்கும். சரிபார்ப்பதன் மூலம் அல்லது அசல் சமன்பாட்டின் ODZ க்கு சொந்தமானவை என்பதைச் சரிபார்ப்பதன் மூலம் நீங்கள் பதிலில் புறம்பான வேர்களை அடையாளம் காணலாம் மற்றும் சேர்க்கக்கூடாது.

இந்த தகவலை சுருக்கமாகக் கூறுவோம் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை r(x)=s(x). r(x)=s(x) என்ற பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, உங்களுக்குத் தேவை

எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் வெளிப்பாட்டை வலது பக்கத்திலிருந்து நகர்த்துவதன் மூலம் வலதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியத்தைப் பெறுங்கள்.
சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் பின்னங்கள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுடன் செயல்பாடுகளைச் செய்யவும், அதன் மூலம் அதை வடிவத்தின் பகுத்தறிவுப் பகுதியாக மாற்றவும்.
p(x)=0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
அசல் சமன்பாட்டில் அவற்றை மாற்றுவதன் மூலம் அல்லது அசல் சமன்பாட்டின் ODZ ஐச் சரிபார்ப்பதன் மூலம் வெளிப்புற வேர்களைக் கண்டறிந்து அகற்றவும்.

அதிக தெளிவுக்காக, பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முழு சங்கிலியையும் காண்பிப்போம்:
.

கொடுக்கப்பட்ட தகவலைத் தெளிவுபடுத்துவதற்காக, தீர்வு செயல்முறையின் விரிவான விளக்கத்துடன் பல எடுத்துக்காட்டுகளின் தீர்வுகளைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இப்போது கிடைத்த தீர்வு வழிமுறையின்படி செயல்படுவோம். முதலில் நாம் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திலிருந்து இடது பக்கம் சொற்களை நகர்த்துகிறோம், இதன் விளைவாக நாம் சமன்பாட்டிற்கு செல்கிறோம்.

இரண்டாவது கட்டத்தில், விளைந்த சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள பகுதியளவு பகுத்தறிவு வெளிப்பாட்டை ஒரு பின்னத்தின் வடிவத்திற்கு மாற்ற வேண்டும். இதைச் செய்ய, நாங்கள் ஒரு நடிகர்களை உருவாக்குகிறோம் பகுத்தறிவு பின்னங்கள்ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு மற்றும் அதன் விளைவாக வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்: . எனவே நாம் சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம்.

அடுத்த கட்டத்தில், நாம் −2·x−1=0 என்ற சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும். x=−1/2 ஐக் காண்கிறோம்.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண் −1/2 அசல் சமன்பாட்டின் வெளிப்புற மூலமல்லவா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, அசல் சமன்பாட்டின் x மாறியின் VA ஐ நீங்கள் சரிபார்க்கலாம் அல்லது கண்டறியலாம். இரண்டு அணுகுமுறைகளையும் விளக்குவோம்.

சரிபார்ப்பதில் இருந்து ஆரம்பிக்கலாம். x என்ற மாறிக்கு பதிலாக அசல் சமன்பாட்டில் −1/2 என்ற எண்ணை மாற்றுவோம், மேலும் அதையே −1=−1 பெறுகிறோம். மாற்றீடு சரியான எண் சமத்துவத்தை அளிக்கிறது, எனவே x=−1/2 என்பது அசல் சமன்பாட்டின் வேர் ஆகும்.

ODZ மூலம் அல்காரிதத்தின் கடைசி புள்ளி எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதை இப்போது காண்பிப்போம். அசல் சமன்பாட்டின் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பு என்பது −1 மற்றும் 0 தவிர அனைத்து எண்களின் தொகுப்பாகும் (x=-1 மற்றும் x=0 இல் பின்னங்களின் பிரிவுகள் மறைந்துவிடும்). முந்தைய படியில் காணப்படும் ரூட் x=−1/2 ODZ க்கு சொந்தமானது, எனவே, x=−1/2 என்பது அசல் சமன்பாட்டின் ரூட் ஆகும்.

பதில்:

−1/2 .

இன்னொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

நாம் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும், அல்காரிதத்தின் அனைத்து படிகளையும் கடந்து செல்லலாம்.

முதலில், இந்த வார்த்தையை வலது பக்கத்திலிருந்து இடது பக்கம் நகர்த்துகிறோம், நமக்கு கிடைக்கும் .

இரண்டாவதாக, இடது பக்கத்தில் உருவான வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறோம்: . இதன் விளைவாக, நாம் x=0 சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம்.

அதன் வேர் வெளிப்படையானது - இது பூஜ்யம்.

நான்காவது கட்டத்தில், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மூலமானது அசல் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டிற்கு புறம்பானதா என்பதைக் கண்டறிய வேண்டும். இது அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றப்படும் போது, வெளிப்பாடு பெறப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, இது பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தலைக் கொண்டிருப்பதால் அர்த்தமில்லை. எங்கிருந்து 0 என்பது ஒரு புறம்பான வேர் என்று முடிவு செய்கிறோம். எனவே, அசல் சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

7, இது Eq க்கு வழிவகுக்கிறது. இதிலிருந்து இடது பக்கத்தின் வகுப்பில் உள்ள வெளிப்பாடு வலது பக்கத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது, . இப்போது நாம் மும்மடங்கின் இரு பக்கங்களிலிருந்தும் கழிக்கிறோம்: . ஒப்புமை மூலம், எங்கிருந்து, மேலும்.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இரண்டு வேர்களும் அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் வேர்கள் என்பதை சரிபார்ப்பு காட்டுகிறது.

பதில்:

குறிப்புகள்.

இயற்கணிதம்:பாடநூல் 8 ஆம் வகுப்புக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள் / [யு. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; திருத்தியது எஸ். ஏ. டெலியாகோவ்ஸ்கி. - 16வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2008. - 271 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-019243-9.
மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி.இயற்கணிதம். 8 ஆம் வகுப்பு. மதியம் 2 மணிக்கு பகுதி 1. மாணவர்களுக்கான பாடநூல் கல்வி நிறுவனங்கள்/ ஏ.ஜி. மோர்ட்கோவிச். - 11வது பதிப்பு, அழிக்கப்பட்டது. - எம்.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
இயற்கணிதம்: 9 ஆம் வகுப்பு: கல்வி. பொது கல்விக்காக நிறுவனங்கள் / [யு. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; திருத்தியது எஸ். ஏ. டெலியாகோவ்ஸ்கி. - 16வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2009. - 271 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-021134-5.

"பிரிவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது"

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

கல்வி:

பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் கருத்தை உருவாக்குதல்; பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க பல்வேறு வழிகளைக் கவனியுங்கள்; பின்னம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்ற நிபந்தனை உட்பட, பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு வழிமுறையைக் கவனியுங்கள்; ஒரு அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதைக் கற்பித்தல்; ஒரு சோதனை நடத்துவதன் மூலம் தலைப்பின் தேர்ச்சியின் அளவை சரிபார்க்கிறது.

வளர்ச்சி:

விமர்சன சிந்தனை

கல்வி:

கல்வி பணிகள்

பாடம் வகை: பாடம் - புதிய பொருள் விளக்கம்.

பாடம் முன்னேற்றம்

1. நிறுவன தருணம்.

வணக்கம் நண்பர்களே! பலகையில் சமன்பாடுகள் எழுதப்பட்டுள்ளன, அவற்றை கவனமாகப் பாருங்கள். இந்த சமன்பாடுகள் அனைத்தையும் தீர்க்க முடியுமா? எவை இல்லை, ஏன்?

இடது மற்றும் வலது பக்கங்கள் பகுதியளவு பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகளாக இருக்கும் சமன்பாடுகள் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள் எனப்படும். இன்று வகுப்பில் என்ன படிப்போம் என்று நினைக்கிறீர்கள்? பாடத்தின் தலைப்பை உருவாக்கவும். எனவே, உங்கள் குறிப்பேடுகளைத் திறந்து, "பிரிவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது" என்ற பாடத்தின் தலைப்பை எழுதுங்கள்.

2. அறிவைப் புதுப்பித்தல். முன் ஆய்வு, வகுப்பினருடன் வாய்வழி வேலை.

இப்போது நாம் படிக்க வேண்டிய முக்கிய கோட்பாட்டுப் பொருளை மீண்டும் செய்வோம் புதிய தலைப்பு. பின்வரும் கேள்விகளுக்கு பதிலளிக்கவும்:

1. சமன்பாடு என்றால் என்ன? ( ஒரு மாறி அல்லது மாறிகளுடன் சமத்துவம்.)

2. சமன்பாடு எண் 1 இன் பெயர் என்ன? ( நேரியல்.) தீர்வு நேரியல் சமன்பாடுகள். (சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் தெரியாதவற்றைக் கொண்டு எல்லாவற்றையும் நகர்த்தவும், எல்லா எண்களையும் வலது பக்கம் நகர்த்தவும். ஒத்த விதிமுறைகளைக் கொடுங்கள். அறியப்படாத காரணியைக் கண்டறியவும்).

3. சமன்பாடு எண் 3 இன் பெயர் என்ன? ( சதுரம்.) இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள். ( வியட்டாவின் தேற்றம் மற்றும் அதன் தொடர்ச்சிகளைப் பயன்படுத்தி சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு முழுமையான சதுரத்தை தனிமைப்படுத்துதல்.)

4. விகிதம் என்றால் என்ன? ( இரண்டு விகிதங்களின் சமத்துவம்.) விகிதாச்சாரத்தின் முக்கிய சொத்து. ( விகிதாச்சாரம் சரியாக இருந்தால், அதன் தீவிர சொற்களின் பலன் நடுத்தர சொற்களின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.)

5. சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது என்ன பண்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன? ( 1. நீங்கள் ஒரு சமன்பாட்டில் உள்ள ஒரு சொல்லை ஒரு பகுதியிலிருந்து மற்றொரு பகுதிக்கு நகர்த்தினால், அதன் அடையாளத்தை மாற்றினால், கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு சமமான சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள். 2. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் ஒரே பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் பெருக்கப்பட்டாலோ அல்லது வகுக்கப்பட்டாலோ, கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்குச் சமமான சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள்.)

6. ஒரு பின்னம் எப்போது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்? ( எண் பூஜ்ஜியமாகவும், வகுப்பு பூஜ்ஜியமாக இல்லாதபோதும் ஒரு பின்னம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்..)

3. புதிய பொருள் விளக்கம்.

உங்கள் குறிப்பேடுகள் மற்றும் பலகையில் சமன்பாடு எண் 2 ஐ தீர்க்கவும்.

பதில்: 10.

எது பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுவிகிதாச்சாரத்தின் அடிப்படை சொத்தை பயன்படுத்தி தீர்க்க முயற்சிக்கலாமா? (எண். 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

உங்கள் குறிப்பேடுகள் மற்றும் பலகையில் சமன்பாடு எண். 4 ஐ தீர்க்கவும்.

பதில்: 1,5.

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் வகுப்பினால் பெருக்குவதன் மூலம் என்ன பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை நீங்கள் தீர்க்க முயற்சி செய்யலாம்? (எண். 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

பதில்: 3;4.

இப்போது பின்வரும் முறைகளில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடு எண் 7 ஐ தீர்க்க முயற்சிக்கவும்.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

பதில்: 0;5;-2.			பதில்: 5;-2.

இது ஏன் நடந்தது என்பதை விளக்குங்கள்? ஒரு வழக்கில் மூன்று வேர்களும் மற்றொன்றில் இரண்டும் ஏன்? இந்த பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் வேர்கள் என்ன எண்கள்?

இப்போது வரை, மாணவர்கள் ஒரு புறம்பான வேர் என்ற கருத்தை எதிர்கொள்ளவில்லை, இது ஏன் நடந்தது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது அவர்களுக்கு மிகவும் கடினம். வகுப்பில் உள்ள எவரும் இந்த சூழ்நிலைக்கு தெளிவான விளக்கத்தை கொடுக்க முடியாவிட்டால், ஆசிரியர் முன்னணி கேள்விகளைக் கேட்கிறார்.

சமன்பாடுகள் எண். 2 மற்றும் 4 இல் வகுப்பில் எண்கள் உள்ளன, எண். 5-7 என்பது மாறி கொண்ட வெளிப்பாடுகள்

சமன்பாடு உண்மையாக மாறும் மாறியின் மதிப்பு

ஒரு காசோலை செய்யுங்கள்

சோதனை செய்யும் போது, சில மாணவர்கள் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க வேண்டும் என்பதை கவனிக்கிறார்கள். 0 மற்றும் 5 எண்கள் இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் அல்ல என்று அவர்கள் முடிவு செய்கிறார்கள். கேள்வி எழுகிறது: இந்த பிழையை அகற்ற அனுமதிக்கும் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை தீர்க்க ஒரு வழி இருக்கிறதா? ஆம், இந்த முறையானது பின்னம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்ற நிபந்தனையை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

x=5 என்றால், x(x-5)=0, அதாவது 5 என்பது ஒரு புறம்பான வேர்.

x=-2 எனில், x(x-5)≠0.

பதில்: -2.

இந்த வழியில் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு வழிமுறையை உருவாக்க முயற்சிப்போம். குழந்தைகள் தாங்களாகவே வழிமுறைகளை உருவாக்குகிறார்கள்.

பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்:

1. எல்லாவற்றையும் இடது பக்கம் நகர்த்தவும்.

2. பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கவும்.

3. ஒரு அமைப்பை உருவாக்கவும்: எண் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது ஒரு பின்னம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் மற்றும் வகுப்பானது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை.

4. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

5. புறம்பான வேர்களை விலக்க சமத்துவமின்மையை சரிபார்க்கவும்.

6. பதிலை எழுதுங்கள்.

விவாதம்: விகிதாச்சாரத்தின் அடிப்படைப் பண்பு பயன்படுத்தப்பட்டு, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் பெருக்கப்பட்டால் தீர்வை எவ்வாறு முறைப்படுத்துவது பொதுவான வகுத்தல். (தீர்வில் சேர்க்கவும்: பொதுவான வகுப்பினை மறையச் செய்யும் வேர்களை அதன் வேர்களிலிருந்து விலக்கவும்).

4. புதிய பொருளின் ஆரம்ப புரிதல்.

ஜோடிகளாக வேலை செய்யுங்கள். சமன்பாட்டின் வகையைப் பொறுத்து சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை மாணவர்கள் தேர்வு செய்கிறார்கள். "இயற்கணிதம் 8", 2007 பாடப்புத்தகத்திலிருந்து பணிகள்: எண் 000 (b, c, i); எண். 000(a, d, g). ஆசிரியர் பணியின் நிறைவைக் கண்காணித்து, எழும் கேள்விகளுக்குப் பதிலளிப்பார் மற்றும் குறைந்த செயல்திறன் கொண்ட மாணவர்களுக்கு உதவி வழங்குகிறார். சுய சோதனை: பதில்கள் பலகையில் எழுதப்பட்டுள்ளன.

b) 2 - புறம்பான வேர். பதில்: 3.

c) 2 - புறம்பான வேர். பதில்: 1.5.

அ) பதில்: -12.5.

g) பதில்: 1;1.5.

5. வீட்டுப்பாடம் அமைத்தல்.

2. பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதத்தைக் கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.

3. குறிப்பேடுகள் எண் 000 (a, d, e) இல் தீர்க்கவும்; எண் 000(g, h).

4. எண் 000(a) (விரும்பினால்) தீர்க்க முயற்சிக்கவும்.

6. படித்த தலைப்பில் ஒரு கட்டுப்பாட்டு பணியை முடித்தல்.

வேலை காகித துண்டுகளில் செய்யப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு பணி:

A) எந்த சமன்பாடுகள் பின்னம் பகுத்தறிவு ஆகும்?

B) எண் ______________________ ஆகவும், வகுப்பானது _____________________ ஆகவும் இருக்கும்போது ஒரு பின்னம் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம்.

கே) எண் -3 என்பது சமன்பாடு எண் 6ன் மூலமா?

D) சமன்பாடு எண் 7 ஐ தீர்க்கவும்.

பணிக்கான மதிப்பீட்டு அளவுகோல்கள்:

மாணவர் 90% க்கும் அதிகமான பணியை சரியாக முடித்திருந்தால் "5" வழங்கப்படுகிறது. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" 50% க்கும் குறைவான பணியை முடித்த மாணவருக்கு வழங்கப்படுகிறது. ஜர்னலில் 2 மதிப்பீடு வழங்கப்படவில்லை, 3 என்பது விருப்பமானது.

7. பிரதிபலிப்பு.

சுயாதீன பணித்தாள்களில், வைக்கவும்:

1 - பாடம் உங்களுக்கு சுவாரஸ்யமாகவும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாகவும் இருந்தால்; 2 - சுவாரஸ்யமானது, ஆனால் தெளிவாக இல்லை; 3 - சுவாரஸ்யமானது அல்ல, ஆனால் புரிந்துகொள்ளக்கூடியது; 4 - சுவாரஸ்யமானது இல்லை, தெளிவாக இல்லை.

8. பாடத்தை சுருக்கவும்.

எனவே, இன்று பாடத்தில் நாம் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைப் பற்றி அறிந்தோம், இந்த சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொண்டோம். பல்வேறு வழிகளில், ஒரு பயிற்சியின் உதவியுடன் அவர்களின் அறிவை சோதித்தனர் சுதந்திரமான வேலை. அடுத்த பாடத்தில் உங்கள் சுயாதீன வேலையின் முடிவுகளை நீங்கள் கற்றுக்கொள்வீர்கள், மேலும் வீட்டில் உங்கள் அறிவை ஒருங்கிணைக்க வாய்ப்பு கிடைக்கும்.

உங்கள் கருத்துப்படி, பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எந்த முறை எளிதானது, அணுகக்கூடியது மற்றும் அதிக பகுத்தறிவு கொண்டது? பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறையைப் பொருட்படுத்தாமல், நீங்கள் எதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்? பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் "தந்திரம்" என்றால் என்ன?

அனைவருக்கும் நன்றி, பாடம் முடிந்தது.

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

கல்வி:

பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் கருத்தை உருவாக்குதல்;
பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க பல்வேறு வழிகளைக் கவனியுங்கள்;
பின்னம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்ற நிபந்தனை உட்பட, பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு வழிமுறையைக் கவனியுங்கள்;
ஒரு அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதைக் கற்பித்தல்;
ஒரு சோதனை நடத்துவதன் மூலம் தலைப்பின் தேர்ச்சியின் அளவை சரிபார்க்கிறது.

வளர்ச்சி:

பெற்ற அறிவுடன் சரியாக செயல்படும் திறன் மற்றும் தர்க்கரீதியாக சிந்திக்கும் திறனை வளர்ப்பது;
அறிவுசார் திறன்கள் மற்றும் மன செயல்பாடுகளின் வளர்ச்சி - பகுப்பாய்வு, தொகுப்பு, ஒப்பீடு மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல்;
முன்முயற்சியின் வளர்ச்சி, முடிவெடுக்கும் திறன், மற்றும் அங்கு நிறுத்த வேண்டாம்;
விமர்சன சிந்தனையின் வளர்ச்சி;
ஆராய்ச்சி திறன்களின் வளர்ச்சி.

கல்வி:

பொருளில் அறிவாற்றல் ஆர்வத்தை வளர்ப்பது;
கல்விச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் சுதந்திரத்தை வளர்ப்பது;
இறுதி முடிவுகளை அடைய விருப்பத்தையும் விடாமுயற்சியையும் வளர்ப்பது.

பாடம் வகை: பாடம் - புதிய பொருள் விளக்கம்.

பாடம் முன்னேற்றம்

1. நிறுவன தருணம்.

2. அறிவைப் புதுப்பித்தல். முன் ஆய்வு, வகுப்பினருடன் வாய்வழி வேலை.

இப்போது நாம் ஒரு புதிய தலைப்பைப் படிக்க வேண்டிய முக்கிய கோட்பாட்டுப் பொருளை மீண்டும் செய்வோம். பின்வரும் கேள்விகளுக்கு பதிலளிக்கவும்:

சமன்பாடு என்றால் என்ன? ( ஒரு மாறி அல்லது மாறிகளுடன் சமத்துவம்.)
சமன்பாடு எண் 1 இன் பெயர் என்ன? ( நேரியல்.) நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறை. ( சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் தெரியாதவற்றைக் கொண்டு எல்லாவற்றையும் நகர்த்தவும், எல்லா எண்களையும் வலது பக்கம் நகர்த்தவும். ஒத்த விதிமுறைகளைக் கொடுங்கள். அறியப்படாத காரணியைக் கண்டறியவும்).
சமன்பாடு எண் 3 இன் பெயர் என்ன? ( சதுரம்.) இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள். ( வியட்டாவின் தேற்றம் மற்றும் அதன் தொடர்ச்சிகளைப் பயன்படுத்தி சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு முழுமையான சதுரத்தை தனிமைப்படுத்துதல்.)
விகிதம் என்றால் என்ன? ( இரண்டு விகிதங்களின் சமத்துவம்.) விகிதாச்சாரத்தின் முக்கிய சொத்து. ( விகிதாச்சாரம் சரியாக இருந்தால், அதன் தீவிர சொற்களின் பலன் நடுத்தர சொற்களின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.)
சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது என்ன பண்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன? ( 1. நீங்கள் ஒரு சமன்பாட்டில் உள்ள ஒரு சொல்லை ஒரு பகுதியிலிருந்து மற்றொரு பகுதிக்கு நகர்த்தினால், அதன் அடையாளத்தை மாற்றினால், கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு சமமான சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள். 2. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் ஒரே பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் பெருக்கப்பட்டாலோ அல்லது வகுக்கப்பட்டாலோ, கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்குச் சமமான சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள்.)
ஒரு பின்னம் எப்போது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்? ( எண் பூஜ்ஜியமாகவும், வகுப்பு பூஜ்ஜியமாக இல்லாதபோதும் ஒரு பின்னம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்..)

3. புதிய பொருள் விளக்கம்.

உங்கள் குறிப்பேடுகள் மற்றும் பலகையில் சமன்பாடு எண் 2 ஐ தீர்க்கவும்.

பதில்: 10.

விகிதாச்சாரத்தின் அடிப்படைச் சொத்தைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் என்ன பகுதியளவு பகுத்தறிவுச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க முயற்சி செய்யலாம்? (எண். 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

உங்கள் குறிப்பேடுகள் மற்றும் பலகையில் சமன்பாடு எண். 4 ஐ தீர்க்கவும்.

பதில்: 1,5.

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

பதில்: 3;4.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
பதில்: 0;5;-2.			பதில்: 5;-2.

சமன்பாடுகள் எண் 2 மற்றும் 4 சமன்பாடுகள் எண் 5,6,7 இலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன? ( சமன்பாடுகள் எண். 2 மற்றும் 4 இல் வகுப்பில் எண்கள் உள்ளன, எண். 5-7 என்பது மாறி கொண்ட வெளிப்பாடுகள்.)
சமன்பாட்டின் வேர் என்ன? ( சமன்பாடு உண்மையாக மாறும் மாறியின் மதிப்பு.)
ஒரு எண் சமன்பாட்டின் வேர் என்பதை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? ( ஒரு காசோலை செய்யுங்கள்.)

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

x=5 என்றால், x(x-5)=0, அதாவது 5 என்பது ஒரு புறம்பான வேர்.

x=-2 எனில், x(x-5)≠0.

பதில்: -2.

பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்:

எல்லாவற்றையும் இடது பக்கம் நகர்த்தவும்.
பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கவும்.
ஒரு அமைப்பை உருவாக்கவும்: எண் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் போது ஒரு பின்னம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் மற்றும் வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை.
சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.
வெளிப்புற வேர்களை விலக்க சமத்துவமின்மையை சரிபார்க்கவும்.
பதிலை எழுதுங்கள்.

விவாதம்: சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் விகிதாச்சாரத்தின் அடிப்படைப் பண்பு மற்றும் ஒரு பொதுவான வகுப்பினால் பெருக்கல் பயன்படுத்தப்பட்டால், தீர்வை எவ்வாறு முறைப்படுத்துவது. (தீர்வில் சேர்க்கவும்: பொதுவான வகுப்பினை மறையச் செய்யும் வேர்களை அதன் வேர்களிலிருந்து விலக்கவும்).

4. புதிய பொருளின் ஆரம்ப புரிதல்.

ஜோடிகளாக வேலை செய்யுங்கள். சமன்பாட்டின் வகையைப் பொறுத்து சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை மாணவர்கள் தேர்வு செய்கிறார்கள். "இயற்கணிதம் 8" பாடப்புத்தகத்திலிருந்து பணிகள், யு.என். மகரிச்சேவ், 2007: எண். 600(b,c,i); எண் 601(a,e,g). ஆசிரியர் பணியின் நிறைவைக் கண்காணித்து, எழும் கேள்விகளுக்குப் பதிலளிப்பார் மற்றும் குறைந்த செயல்திறன் கொண்ட மாணவர்களுக்கு உதவி வழங்குகிறார். சுய சோதனை: பதில்கள் பலகையில் எழுதப்பட்டுள்ளன.

b) 2 - புறம்பான வேர். பதில்: 3.

c) 2 - புறம்பான வேர். பதில்: 1.5.

அ) பதில்: -12.5.

g) பதில்: 1;1.5.

5. வீட்டுப்பாடம் அமைத்தல்.

பாடப்புத்தகத்திலிருந்து பத்தி 25 ஐப் படியுங்கள், எடுத்துக்காட்டுகள் 1-3 ஐ பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள்.
பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதத்தைக் கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.
குறிப்பேடுகள் எண் 600 (a, d, e) இல் தீர்க்கவும்; எண். 601(g,h).
எண். 696(a) (விரும்பினால்) தீர்க்க முயற்சிக்கவும்.

6. படித்த தலைப்பில் ஒரு கட்டுப்பாட்டு பணியை முடித்தல்.

வேலை காகித துண்டுகளில் செய்யப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு பணி:

A) எந்த சமன்பாடுகள் பின்னம் பகுத்தறிவு ஆகும்?

கே) எண் -3 என்பது சமன்பாடு எண் 6ன் மூலமா?

D) சமன்பாடு எண் 7 ஐ தீர்க்கவும்.

பணிக்கான மதிப்பீட்டு அளவுகோல்கள்:

மாணவர் 90% க்கும் அதிகமான பணியை சரியாக முடித்திருந்தால் "5" வழங்கப்படுகிறது.
"4" - 75% -89%
"3" - 50% -74%
50% க்கும் குறைவான பணியை முடித்த மாணவருக்கு "2" வழங்கப்படுகிறது.
ஜர்னலில் 2 மதிப்பீடு வழங்கப்படவில்லை, 3 விருப்பமானது.

7. பிரதிபலிப்பு.

சுயாதீன பணித்தாள்களில், வைக்கவும்:

1 - பாடம் உங்களுக்கு சுவாரஸ்யமாகவும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாகவும் இருந்தால்;
2 - சுவாரஸ்யமானது, ஆனால் தெளிவாக இல்லை;
3 - சுவாரஸ்யமானது அல்ல, ஆனால் புரிந்துகொள்ளக்கூடியது;
4 - சுவாரஸ்யமானது இல்லை, தெளிவாக இல்லை.

8. பாடத்தை சுருக்கவும்.

எனவே, இன்று பாடத்தில் நாம் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளுடன் பழகினோம், இந்த சமன்பாடுகளை பல்வேறு வழிகளில் தீர்க்க கற்றுக்கொண்டோம், மேலும் சுயாதீனமான கல்வி வேலைகளின் உதவியுடன் எங்கள் அறிவை சோதித்தோம். அடுத்த பாடத்தில் உங்கள் சுயாதீனமான வேலையின் முடிவுகளை நீங்கள் கற்றுக்கொள்வீர்கள், மேலும் வீட்டில் உங்கள் அறிவை ஒருங்கிணைக்க வாய்ப்பு கிடைக்கும்.

அனைவருக்கும் நன்றி, பாடம் முடிந்தது.