y x செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்ன? ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். தி அல்டிமேட் கைடு (2019)

வழித்தோன்றல் என்றால் என்ன?

வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை.

டெரிவேடிவ் என்பது உயர் கணிதத்தின் முக்கிய கருத்துக்களில் ஒன்றாகும். இந்த பாடத்தில் இந்த கருத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம். கடுமையான கணித சூத்திரங்கள் மற்றும் சான்றுகள் இல்லாமல், ஒருவருக்கொருவர் தெரிந்து கொள்வோம்.

இந்த அறிமுகம் உங்களை அனுமதிக்கும்:

வழித்தோன்றல்களுடன் எளிய பணிகளின் சாரத்தை புரிந்து கொள்ளுங்கள்;

இந்த எளிய பணிகளை வெற்றிகரமாக தீர்க்கவும்;

வழித்தோன்றல்கள் பற்றிய தீவிரமான பாடங்களுக்குத் தயாராகுங்கள்.

முதலில் - ஒரு இன்ப அதிர்ச்சி.)

வழித்தோன்றலின் கடுமையான வரையறை வரம்புகளின் கோட்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது மற்றும் விஷயம் மிகவும் சிக்கலானது. இது வருத்தமளிக்கிறது. ஆனால் வழித்தோன்றல்களின் நடைமுறை பயன்பாடு, ஒரு விதியாக, அத்தகைய விரிவான மற்றும் ஆழமான அறிவு தேவையில்லை!

பள்ளி மற்றும் பல்கலைக்கழகத்தில் பெரும்பாலான பணிகளை வெற்றிகரமாக முடிக்க, அதை அறிந்தால் போதும் ஒரு சில விதிமுறைகள்- பணி புரிந்து கொள்ள, மற்றும் ஒரு சில விதிகள்- அதை தீர்க்க. அவ்வளவுதான். இது எனக்கு மகிழ்ச்சி அளிக்கிறது.

பழக ஆரம்பிக்கலாமா?)

விதிமுறைகள் மற்றும் பதவிகள்.

தொடக்கக் கணிதத்தில் பல்வேறு கணிதச் செயல்பாடுகள் உள்ளன. கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், அடுக்கு, மடக்கை, முதலியன. இந்த செயல்பாடுகளுக்கு மேலும் ஒரு செயல்பாட்டைச் சேர்த்தால், தொடக்கக் கணிதம் உயர்கிறது. இது புதிய செயல்பாடுஅழைக்கப்பட்டது வேறுபாடு.இந்த செயல்பாட்டின் வரையறை மற்றும் பொருள் தனி பாடங்களில் விவாதிக்கப்படும்.

வேறுபாடு என்பது எளிமையானது என்பதை இங்கே புரிந்துகொள்வது அவசியம் கணித செயல்பாடுசெயல்பாட்டிற்கு மேல். நாங்கள் எந்த செயல்பாட்டையும் எடுத்துக்கொள்கிறோம், அதன்படி சில விதிகள், அதை மாற்றவும். இதன் விளைவாக ஒரு புதிய செயல்பாடு இருக்கும். இந்த புதிய செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது: வழித்தோன்றல்.

வேறுபாடு- ஒரு செயல்பாட்டின் மீது நடவடிக்கை.

வழித்தோன்றல்- இந்த செயலின் விளைவு.

அது போலவே, உதாரணமாக, தொகை- கூட்டல் முடிவு. அல்லது தனிப்பட்ட- பிரிவின் விளைவு.

விதிமுறைகளை அறிந்தால், குறைந்தபட்சம் பணிகளை புரிந்து கொள்ள முடியும்.) சூத்திரங்கள் பின்வருமாறு: ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்; வழித்தோன்றலை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்; செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துங்கள்; வழித்தோன்றல் கணக்கிடமற்றும் பல. இவ்வளவு தான் அதே.நிச்சயமாக, மிகவும் சிக்கலான பணிகளும் உள்ளன, அங்கு வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவது (வேறுபாடு) சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான படிகளில் ஒன்றாகும்.

செயல்பாட்டின் மேல் வலதுபுறத்தில் ஒரு கோடு மூலம் வழித்தோன்றல் குறிக்கப்படுகிறது. இது போன்ற: ஒய்"அல்லது f"(x)அல்லது எஸ்"(டி)மற்றும் பல.

படித்தல் இக்ரெக் ஸ்ட்ரோக், எஃப் ஸ்ட்ரோக் இலிருந்து x, எஸ் ஸ்ட்ரோக் ஃபார் டீ,சரி, உங்களுக்கு புரிகிறது...)

ஒரு ப்ரைம் ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலையும் குறிக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக: (2x+3)", (எக்ஸ் 3 )" , (சின்க்ஸ்)"முதலியன பெரும்பாலும் வழித்தோன்றல்கள் வேறுபாடுகளைப் பயன்படுத்தி குறிக்கப்படுகின்றன, ஆனால் இந்த பாடத்தில் அத்தகைய குறிப்பை நாங்கள் கருத்தில் கொள்ள மாட்டோம்.

பணிகளைப் புரிந்து கொள்ளக் கற்றுக்கொண்டோம் என்று வைத்துக் கொள்வோம். அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது.) மீண்டும் ஒருமுறை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பது சில விதிகளின்படி ஒரு செயல்பாட்டின் மாற்றம்.ஆச்சரியப்படும் விதமாக, இந்த விதிகள் மிகக் குறைவு.

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் மூன்று விஷயங்களை மட்டும் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும். அனைத்து வேறுபாடுகளும் நிற்கும் மூன்று தூண்கள். இதோ இந்த மூன்று தூண்கள்:

1. வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை (வேறுபாடு சூத்திரங்கள்).

3. வழித்தோன்றல் சிக்கலான செயல்பாடு.

வரிசையில் ஆரம்பிக்கலாம். இந்தப் பாடத்தில் டெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையைப் பார்ப்போம்.

வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை.

உலகில் எண்ணற்ற செயல்பாடுகள் உள்ளன. இந்த வகைகளில், மிக முக்கியமான செயல்பாடுகள் உள்ளன நடைமுறை பயன்பாடு. இந்த செயல்பாடுகள் இயற்கையின் அனைத்து விதிகளிலும் காணப்படுகின்றன. இந்த செயல்பாடுகளிலிருந்து, செங்கற்களைப் போல, நீங்கள் மற்ற அனைத்தையும் உருவாக்கலாம். இந்த வகை செயல்பாடுகள் அழைக்கப்படுகிறது அடிப்படை செயல்பாடுகள்.இந்த செயல்பாடுகள்தான் பள்ளியில் படிக்கப்படுகின்றன - நேரியல், இருபடி, ஹைபர்போலா போன்றவை.

"புதிதாக" செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துதல், அதாவது. வழித்தோன்றலின் வரையறை மற்றும் வரம்புகளின் கோட்பாட்டின் அடிப்படையில், இது மிகவும் உழைப்பு மிகுந்த விஷயம். கணிதவியலாளர்களும் மனிதர்கள், ஆம், ஆம்!) எனவே அவர்கள் தங்கள் (நாம்) வாழ்க்கையை எளிமைப்படுத்தினர். அவர்கள் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிட்டனர் அடிப்படை செயல்பாடுகள்எங்களுக்கு முன். இதன் விளைவாக வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை உள்ளது, அங்கு எல்லாம் தயாராக உள்ளது.)

இதோ, மிகவும் பிரபலமான செயல்பாடுகளுக்கான இந்த தட்டு. இடதுபுறத்தில் ஒரு அடிப்படை செயல்பாடு உள்ளது, வலதுபுறத்தில் அதன் வழித்தோன்றல் உள்ளது.

	செயல்பாடு ஒய்	y செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் ஒய்"
1	சி (நிலையான மதிப்பு)	சி" = 0
2	எக்ஸ்	x" = 1
3	x n (n - எந்த எண்)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	பாவம் x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	டிஜி எக்ஸ்
	ctg x
5	ஆர்க்சின் x
	ஆர்க்கோஸ் எக்ஸ்
	ஆர்க்டன் எக்ஸ்
	arcctg x
4	அஎக்ஸ்
	இஎக்ஸ்
5	பதிவு அஎக்ஸ்
	ln x ( அ = இ)

இந்த டெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையில் மூன்றாவது குழு செயல்பாடுகளுக்கு கவனம் செலுத்த பரிந்துரைக்கிறேன். சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மிகவும் பொதுவான சூத்திரங்களில் ஒன்றாகும், இல்லை என்றால் மிகவும் பொதுவானது! குறிப்பைப் பெறுகிறீர்களா?) ஆம், வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையை இதயத்தால் அறிந்து கொள்வது நல்லது. மூலம், இது தோன்றும் அளவுக்கு கடினம் அல்ல. மேலும் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்க முயற்சிக்கவும், அட்டவணையே நினைவில் வைக்கப்படும்!)

நீங்கள் புரிந்து கொண்டபடி, வழித்தோன்றலின் அட்டவணை மதிப்பைக் கண்டறிவது மிகவும் கடினமான பணி அல்ல. எனவே, பெரும்பாலும் இதுபோன்ற பணிகளில் கூடுதல் சில்லுகள் உள்ளன. பணியின் சொற்களில் அல்லது அசல் செயல்பாட்டில், இது அட்டவணையில் இருப்பதாகத் தெரியவில்லை...

சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்:

1. y = x செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் 3

அட்டவணையில் அத்தகைய செயல்பாடு இல்லை. ஆனால் சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் உள்ளது பொதுவான பார்வை(மூன்றாவது குழு). எங்கள் விஷயத்தில் n=3. எனவே n க்கு பதிலாக மூன்றை மாற்றி, முடிவை கவனமாக எழுதுகிறோம்:

(எக்ஸ் 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

அவ்வளவுதான்.

பதில்: y" = 3x 2

2. x = 0 என்ற புள்ளியில் y = sinx செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

இந்தப் பணியின் அர்த்தம், நீங்கள் முதலில் சைனின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய வேண்டும், பின்னர் மதிப்பை மாற்ற வேண்டும் x = 0இந்த வழித்தோன்றலில். சரியாக அந்த வரிசையில்!இல்லையெனில், அவை உடனடியாக அசல் செயல்பாட்டில் பூஜ்ஜியத்தை மாற்றியமைக்கப்படும்... அசல் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியாமல், மதிப்பைக் கண்டறியுமாறு கேட்கப்படுகிறோம். அதன் வழித்தோன்றல்.வழித்தோன்றல், நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன், ஒரு புதிய செயல்பாடு.

டேப்லெட்டைப் பயன்படுத்தி, சைன் மற்றும் தொடர்புடைய வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:

y" = (sin x)" = cosx

வழித்தோன்றலில் பூஜ்ஜியத்தை மாற்றுகிறோம்:

y"(0) = cos 0 = 1

இதுவே விடையாக இருக்கும்.

3. செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துங்கள்:

என்ன, இது தூண்டுகிறது?) டெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையில் அத்தகைய செயல்பாடு எதுவும் இல்லை.

ஒரு செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவது என்பது இந்தச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதாகும் என்பதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன். நீங்கள் அடிப்படை முக்கோணவியலை மறந்துவிட்டால், எங்கள் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைத் தேடுவது மிகவும் சிக்கலானது. அட்டவணை உதவாது ...

ஆனால் நாம் பார்த்தால் நமது செயல்பாடு இரட்டை கோண கொசைன், உடனே எல்லாம் சரியாகிவிடும்!

ஆம் ஆம்! அசல் செயல்பாட்டை மாற்றுவதை நினைவில் கொள்ளுங்கள் வேறுபாட்டிற்கு முன்மிகவும் ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது! மேலும் இது வாழ்க்கையை மிகவும் எளிதாக்கும். இரட்டை கோண கொசைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல்:

அந்த. எங்கள் தந்திரமான செயல்பாடு ஒன்றும் இல்லை y = cosx. இது ஒரு அட்டவணை செயல்பாடு. நாங்கள் உடனடியாக பெறுகிறோம்:

பதில்: y" = - பாவம் x.

மேம்பட்ட பட்டதாரிகள் மற்றும் மாணவர்களுக்கு எடுத்துக்காட்டு:

4. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

டெரிவேடிவ்கள் அட்டவணையில் அத்தகைய செயல்பாடு இல்லை, நிச்சயமாக. ஆனால் நீங்கள் ஆரம்ப கணிதம், சக்திகளுடன் செயல்பாடுகளை நினைவில் வைத்திருந்தால் ... இந்த செயல்பாட்டை எளிதாக்குவது மிகவும் சாத்தியமாகும். இது போன்ற:

மற்றும் x க்கு ஒரு பத்தில் ஒரு பங்கு ஏற்கனவே ஒரு அட்டவணை செயல்பாடு! மூன்றாவது குழு, n=1/10. சூத்திரத்தின்படி நேரடியாக எழுதுகிறோம்:

அவ்வளவுதான். இதுவே விடையாக இருக்கும்.

வேறுபாட்டின் முதல் தூணுடன் - வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையில் எல்லாம் தெளிவாக இருக்கும் என்று நம்புகிறேன். மீதமுள்ள இரண்டு திமிங்கலங்களை சமாளிக்க இது உள்ளது. அடுத்த பாடத்தில் வேறுபாட்டின் விதிகளைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

ஒரு சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல் (x to the power of a). x இன் வேர்களில் இருந்து வழித்தோன்றல்கள் கருதப்படுகின்றன. உயர் வரிசை சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரம். வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்.

x இன் ஆற்றலின் வழித்தோன்றல் ஒரு மைனஸ் ஒன்றின் சக்திக்கு ஒரு முறை x க்கு சமம்:
(1) .

x இன் n வது மூலத்திலிருந்து mth சக்தியின் வழித்தோன்றல்:
(2) .

சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

வழக்கு x > 0

அதிவேக a உடன் மாறி x இன் ஆற்றல் செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
(3) .
இங்கே a என்பது தன்னிச்சையான உண்மையான எண். முதலில் வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய (3), நாம் ஒரு சக்தி செயல்பாட்டின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் அதை பின்வரும் வடிவத்திற்கு மாற்றுகிறோம்:
.

இப்போது நாம் வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
;
.
இங்கே.

ஃபார்முலா (1) நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

x இன் பட்டம் n இன் வேரின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல், m பட்டம்

இப்போது பின்வரும் படிவத்தின் மூலமான செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
(4) .

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க, மூலத்தை ஒரு சக்தி செயல்பாடாக மாற்றுகிறோம்:
.
சூத்திரம் (3) உடன் ஒப்பிடுகையில் நாம் அதைக் காண்கிறோம்
.
பிறகு
.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (1) வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:
(1) ;
;
(2) .

நடைமுறையில், சூத்திரத்தை (2) மனப்பாடம் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை. முதலில் வேர்களை ஆற்றல் செயல்பாடுகளாக மாற்றுவது மிகவும் வசதியானது, பின்னர் சூத்திரம் (1) ஐப் பயன்படுத்தி அவற்றின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும் (பக்கத்தின் முடிவில் உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்க்கவும்).

வழக்கு x = 0

என்றால், பின்னர் சக்தி செயல்பாடு x = என்ற மாறியின் மதிப்புக்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது 0 . x = இல் செயல்பாட்டின் (3) வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம் 0 . இதைச் செய்ய, ஒரு வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
.

x = ஐ மாற்றுவோம் 0 :
.
இந்த வழக்கில், வழித்தோன்றல் என்பதன் மூலம் நாம் வலது கை வரம்பைக் குறிக்கிறோம்.

எனவே நாங்கள் கண்டுபிடித்தோம்:
.
இதிலிருந்து தெளிவாகிறது , .
மணிக்கு, .
மணிக்கு, .
இந்த முடிவு சூத்திரத்திலிருந்தும் பெறப்பட்டது (1):
(1) .
எனவே, சூத்திரம் (1) x = க்கும் செல்லுபடியாகும் 0 .

வழக்கு x< 0

செயல்பாட்டை (3) மீண்டும் கவனியுங்கள்:
(3) .
நிலையான a இன் சில மதிப்புகளுக்கு, இது வரையறுக்கப்படுகிறது எதிர்மறை மதிப்புகள்மாறி x. அதாவது, இருக்கட்டும் பகுத்தறிவு எண். பின்னர் அதை குறைக்க முடியாத பின்னமாக குறிப்பிடலாம்:
,
m மற்றும் n ஆகியவை இல்லாத முழு எண்கள் பொதுவான வகுப்பான்.

n ஒற்றைப்படை எனில், x மாறியின் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கும் ஆற்றல் செயல்பாடு வரையறுக்கப்படுகிறது. உதாரணமாக, n = போது 3 மற்றும் மீ = 1 எங்களிடம் x க்யூப் ரூட் உள்ளது:
.
x மாறியின் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கும் இது வரையறுக்கப்படுகிறது.

பவர் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம் (3) அது வரையறுக்கப்பட்ட மாறிலியின் பகுத்தறிவு மதிப்புகள். இதைச் செய்ய, பின்வரும் வடிவத்தில் x ஐப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவோம்:
.
பிறகு ,
.
வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலியை வைப்பதன் மூலமும், சிக்கலான செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:

.
இங்கே.
.
ஆனாலும்
.
பிறகு
.
அன்றிலிருந்து
(1) .

அதாவது, சூத்திரம் (1) இதற்கும் செல்லுபடியாகும்:

உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்கள்
(3) .
இப்போது சக்தி செயல்பாட்டின் உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்
.

முதல் ஆர்டர் வழித்தோன்றலை நாங்கள் ஏற்கனவே கண்டறிந்துள்ளோம்:
.
வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலியை எடுத்துக் கொண்டால், இரண்டாம் வரிசை வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:
;

.

இதேபோல், மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களைக் காண்கிறோம்: இதிலிருந்து தெளிவாகிறதுதன்னிச்சையான n வது வரிசையின் வழித்தோன்றல்
.

பின்வரும் வடிவம் உள்ளது: அதை கவனி ஒரு என்றால் இயற்கை எண்
.
, பின்னர் n வது வழித்தோன்றல் நிலையானது:
,
பின்னர் அனைத்து அடுத்தடுத்த வழித்தோன்றல்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:

மணிக்கு.

வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

உதாரணமாக
.

தீர்வு

வேர்களை சக்திகளாக மாற்றுவோம்:
;
.
பின்னர் அசல் செயல்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:
.

அதிகாரங்களின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிதல்:
;
.
மாறிலியின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியம்:
.

முதல் நிலை

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். தி அல்டிமேட் கைடு (2019)

ஒரு மலைப்பாங்கான பகுதி வழியாக செல்லும் ஒரு நேரான சாலையை கற்பனை செய்வோம். அதாவது, அது மேலும் கீழும் செல்கிறது, ஆனால் வலது அல்லது இடதுபுறம் திரும்பாது. அச்சு சாலையில் கிடைமட்டமாகவும் செங்குத்தாகவும் இயக்கப்பட்டால், சாலைக் கோடு சில தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு மிகவும் ஒத்ததாக இருக்கும்:

அச்சு என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு பூஜ்ஜிய உயரம்; வாழ்க்கையில் நாம் கடல் மட்டத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

அத்தகைய பாதையில் நாம் முன்னேறும்போது, ​​​​நாமும் மேலே அல்லது கீழே செல்கிறோம். நாம் மேலும் கூறலாம்: வாதம் மாறும்போது (அப்சிஸ்ஸா அச்சில் இயக்கம்), செயல்பாட்டின் மதிப்பு மாறுகிறது (ஆர்டினேட் அச்சில் இயக்கம்). இப்போது நம் சாலையின் "செங்குத்தான தன்மையை" எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்று யோசிப்போம்? இது என்ன வகையான மதிப்பாக இருக்க முடியும்? இது மிகவும் எளிது: ஒரு குறிப்பிட்ட தூரம் முன்னோக்கி நகரும் போது உயரம் எவ்வளவு மாறும். உண்மையில், சாலையின் வெவ்வேறு பிரிவுகளில், ஒரு கிலோமீட்டர் முன்னோக்கி (x- அச்சில்) நகர்ந்தால், நாம் உயரும் அல்லது விழும். வெவ்வேறு அளவுகள்கடல் மட்டத்துடன் தொடர்புடைய மீட்டர் (ஆர்டினேட் அச்சில்).

முன்னேற்றத்தைக் குறிப்போம் ("டெல்டா x"ஐப் படிக்கவும்).

கிரேக்க எழுத்து (டெல்டா) பொதுவாக கணிதத்தில் "மாற்றம்" என்று பொருள்படும் முன்னொட்டாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அதாவது - இது அளவு மாற்றம், - ஒரு மாற்றம்; பிறகு அது என்ன? அது சரி, அளவு மாற்றம்.

முக்கியமானது: ஒரு வெளிப்பாடு என்பது ஒரு முழு, ஒரு மாறி. "டெல்டா" ஐ "x" அல்லது வேறு எந்த எழுத்தில் இருந்து பிரிக்க வேண்டாம்! அதாவது, உதாரணமாக, .

எனவே, நாங்கள் கிடைமட்டமாக முன்னேறிவிட்டோம். செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் சாலையின் கோட்டை ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், உயர்வை எவ்வாறு குறிப்பிடுவது? நிச்சயமாக, . அதாவது, நாம் முன்னேறும்போது, ​​​​மேலும் உயருகிறோம்.

மதிப்பைக் கணக்கிடுவது எளிது: ஆரம்பத்தில் நாம் உயரத்தில் இருந்தால், நகர்ந்த பிறகு, நாம் உயரத்தில் இருப்பதைக் கண்டோம். தொடக்கப் புள்ளியை விட இறுதிப் புள்ளி குறைவாக இருந்தால், அது எதிர்மறையாக இருக்கும் - இதன் பொருள் நாம் ஏறவில்லை, ஆனால் இறங்குகிறோம்.

"செங்குத்தான நிலைக்கு" திரும்புவோம்: இது ஒரு யூனிட் தூரத்தை முன்னோக்கி நகர்த்தும்போது உயரம் எவ்வளவு (செங்குத்தாக) அதிகரிக்கிறது என்பதைக் காட்டும் மதிப்பு:

சாலையின் சில பகுதியில், ஒரு கிலோமீட்டர் முன்னோக்கிச் செல்லும்போது, ​​​​சாலை ஒரு கிலோமீட்டர் வரை உயர்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் இந்த இடத்தில் சாய்வு சமமாக இருக்கும். மேலும் சாலை, மீ தூரம் முன்னோக்கி செல்லும் போது, ​​கி.மீ குறையுமா? பின்னர் சாய்வு சமமாக இருக்கும்.

இப்போது ஒரு மலையின் உச்சியைப் பார்ப்போம். உச்சிமாநாட்டிற்கு அரை கிலோமீட்டர் முன்பு பிரிவின் தொடக்கத்தையும், அதற்குப் பிறகு அரை கிலோமீட்டர் முடிவையும் எடுத்துக் கொண்டால், உயரம் கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியாக இருப்பதைக் காணலாம்.

அதாவது, எங்கள் தர்க்கத்தின் படி, இங்கே சாய்வு கிட்டத்தட்ட பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்று மாறிவிடும், இது தெளிவாக உண்மை இல்லை. ஒரு கிலோமீட்டர் தூரத்தில் நிறைய மாறலாம். செங்குத்தான தன்மையின் போதுமான மற்றும் துல்லியமான மதிப்பீட்டிற்கு சிறிய பகுதிகளைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம். எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் ஒரு மீட்டரை நகர்த்தும்போது உயரத்தில் ஏற்படும் மாற்றத்தை அளந்தால், முடிவு மிகவும் துல்லியமாக இருக்கும். ஆனால் இந்த துல்லியம் கூட நமக்கு போதுமானதாக இருக்காது - எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, சாலையின் நடுவில் ஒரு கம்பம் இருந்தால், அதை நாம் கடந்து செல்லலாம். எந்த தூரத்தை நாம் தேர்வு செய்ய வேண்டும்? சென்டிமீட்டரா? மில்லிமீட்டரா? குறைவாக இருந்தால் நல்லது!

IN உண்மையான வாழ்க்கைஅருகிலுள்ள மில்லிமீட்டருக்கு தூரத்தை அளவிடுவது போதுமானதை விட அதிகம். ஆனால் கணிதவியலாளர்கள் எப்போதும் முழுமைக்காக பாடுபடுகிறார்கள். எனவே, கருத்து கண்டுபிடிக்கப்பட்டது எல்லையற்ற, அதாவது, நாம் பெயரிடக்கூடிய எந்த எண்ணையும் விட முழுமையான மதிப்பு குறைவாக உள்ளது. உதாரணமாக, நீங்கள் சொல்கிறீர்கள்: ஒரு டிரில்லியன்! எவ்வளவு குறைவு? நீங்கள் இந்த எண்ணை வகுத்தால் - அது இன்னும் குறைவாக இருக்கும். மற்றும் பல. ஒரு அளவு எண்ணற்றது என்று எழுத விரும்பினால், நாம் இப்படி எழுதுகிறோம்: ("x என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு முனைகிறது" என்று படிக்கிறோம்). புரிந்து கொள்வது மிகவும் அவசியம் இந்த எண் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை என்று!ஆனால் அதற்கு மிக அருகில். இதன் மூலம் நீங்கள் பிரிக்கலாம் என்று அர்த்தம்.

முடிவிலிக்கு எதிரான கருத்து எல்லையற்ற பெரியது (). நீங்கள் ஏற்றத்தாழ்வுகளில் பணிபுரியும் போது நீங்கள் ஏற்கனவே அதைக் கண்டிருக்கலாம்: இந்த எண் நீங்கள் நினைக்கும் எந்த எண்ணையும் விட அதிகமாக உள்ளது. நீங்கள் மிகப்பெரிய எண்ணைக் கொண்டு வந்தால், அதை இரண்டால் பெருக்கினால், இன்னும் பெரிய எண்ணைப் பெறுவீர்கள். மேலும் முடிவிலி நடப்பதை விட பெரியது. உண்மையில், எல்லையற்ற பெரியது மற்றும் எல்லையற்ற சிறியது ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறானது, அதாவது at, மற்றும் நேர்மாறாக: at.

இப்போது நம் பாதைக்கு வருவோம். இலட்சியமாக கணக்கிடப்பட்ட சாய்வு என்பது பாதையின் எல்லையற்ற பகுதிக்கு கணக்கிடப்பட்ட சாய்வாகும், அதாவது:

எல்லையற்ற இடப்பெயர்ச்சியுடன், உயரத்தின் மாற்றமும் எல்லையற்றதாக இருக்கும் என்பதை நான் கவனிக்கிறேன். ஆனால் இன்ஃபினிட்டிசிமல் என்பது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் அல்ல என்பதை நினைவூட்டுகிறேன். நீங்கள் எண்ணற்ற எண்களை ஒருவருக்கொருவர் பிரித்தால், நீங்கள் முற்றிலும் சாதாரண எண்ணைப் பெறலாம், எடுத்துக்காட்டாக, . அதாவது, ஒரு சிறிய மதிப்பு மற்றொன்றை விட சரியாக மடங்கு பெரியதாக இருக்கும்.

இதெல்லாம் எதற்கு? சாலை, செங்குத்தான... நாங்கள் கார் பேரணியில் செல்லவில்லை, ஆனால் நாங்கள் கணிதம் கற்பிக்கிறோம். மேலும் கணிதத்தில் எல்லாமே ஒரே மாதிரியானவை, வித்தியாசமாக மட்டுமே அழைக்கப்படுகிறது.

வழித்தோன்றல் கருத்து

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது வாதத்தின் எல்லையற்ற அதிகரிப்புக்கான வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கான செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதமாகும்.

அதிகரித்துகணிதத்தில் மாற்றம் என்பார்கள். வாதம் () அச்சில் நகரும்போது எந்த அளவிற்கு மாறுகிறது என்பது அழைக்கப்படுகிறது வாதம் அதிகரிப்புமற்றும் ஒரு தூரம் அச்சில் முன்னோக்கி நகரும் போது செயல்பாடு (உயரம்) எவ்வளவு மாறிவிட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடு அதிகரிப்புமற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது.

எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது எப்போது என்பதற்கான விகிதமாகும். செயல்பாட்டின் அதே எழுத்துடன், மேல் வலதுபுறத்தில் ஒரு ப்ரைமுடன் மட்டுமே வழித்தோன்றலைக் குறிக்கிறோம்: அல்லது எளிமையாக. எனவே, இந்த குறிப்புகளைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தை எழுதுவோம்:

சாலையுடனான ஒப்புமையைப் போலவே, இங்கே செயல்பாடு அதிகரிக்கும் போது, ​​வழித்தோன்றல் நேர்மறையாகவும், அது குறையும் போது எதிர்மறையாகவும் இருக்கும்.

வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியுமா? நிச்சயமாக. உதாரணமாக, நாம் ஒரு தட்டையான கிடைமட்ட சாலையில் வாகனம் ஓட்டினால், செங்குத்தானது பூஜ்ஜியமாகும். அது உண்மைதான், உயரம் மாறாது. இது வழித்தோன்றலுடன் உள்ளது: நிலையான செயல்பாட்டின் (நிலையான) வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:

அத்தகைய செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு எதற்கும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

மலை உச்சி உதாரணத்தை நினைவில் கொள்வோம். பிரிவின் முனைகளை ஏற்பாடு செய்வது சாத்தியம் என்று மாறியது வெவ்வேறு பக்கங்கள்மேலே இருந்து, முனைகளில் உள்ள உயரம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், அதாவது, பிரிவு அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும்:

ஆனால் பெரிய பகுதிகள் துல்லியமற்ற அளவீட்டின் அடையாளம். நமது பிரிவை தனக்கு இணையாக உயர்த்துவோம், பிறகு அதன் நீளம் குறையும்.

இறுதியில், நாம் எல்லையில்லாமல் மேலே இருக்கும் போது, ​​பிரிவின் நீளம் எல்லையற்றதாக மாறும். ஆனால் அதே நேரத்தில், அது அச்சுக்கு இணையாக இருந்தது, அதாவது, அதன் முனைகளில் உயரங்களின் வேறுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் (அது முனையவில்லை, ஆனால் சமமாக உள்ளது). எனவே வழித்தோன்றல்

இதை இப்படிப் புரிந்து கொள்ளலாம்: நாம் மிக உச்சியில் நிற்கும்போது, ​​இடது அல்லது வலது பக்கம் ஒரு சிறிய மாற்றம் நமது உயரத்தை அலட்சியமாக மாற்றுகிறது.

முற்றிலும் இயற்கணித விளக்கமும் உள்ளது: உச்சியின் இடதுபுறத்தில் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது, வலதுபுறம் குறைகிறது. நாம் முன்பு கண்டறிந்தபடி, ஒரு செயல்பாடு அதிகரிக்கும் போது, ​​வழித்தோன்றல் நேர்மறையாகவும், அது குறையும் போது எதிர்மறையாகவும் இருக்கும். ஆனால் அது தாவல்கள் இல்லாமல் சீராக மாறுகிறது (சாலை எங்கும் அதன் சாய்வைக் கூர்மையாக மாற்றாது). எனவே, எதிர்மறை மற்றும் இடையே நேர்மறை மதிப்புகள்கண்டிப்பாக இருக்க வேண்டும். செயல்பாடு அதிகரிக்காமலும் குறையாமலும் இருக்கும் - உச்சியில்.

தொட்டிக்கும் இது பொருந்தும் (இடதுபுறத்தில் செயல்பாடு குறைந்து வலதுபுறம் அதிகரிக்கும் பகுதி):

அதிகரிப்பு பற்றி இன்னும் கொஞ்சம்.

எனவே நாம் வாதத்தை பெரிதாக்குகிறோம். எந்த மதிப்பில் இருந்து மாறுகிறோம்? அது (வாதம்) இப்போது என்ன ஆனது? நாம் எந்த புள்ளியையும் தேர்வு செய்யலாம், இப்போது அதிலிருந்து நடனமாடுவோம்.

ஒரு ஆயத்துடன் ஒரு புள்ளியைக் கவனியுங்கள். அதில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பு சமம். பின்னர் அதே அதிகரிப்பு செய்கிறோம்: நாங்கள் ஒருங்கிணைப்பை அதிகரிக்கிறோம். இப்போது என்ன வாதம்? மிக எளிதாக: . இப்போது செயல்பாட்டின் மதிப்பு என்ன? வாதம் செல்லும் இடத்தில், செயல்பாடும் செல்கிறது: . செயல்பாடு அதிகரிப்பு பற்றி என்ன? புதிதாக எதுவும் இல்லை: இது இன்னும் செயல்பாடு மாறிய அளவு:

அதிகரிப்புகளைக் கண்டறிய பயிற்சி செய்யுங்கள்:

1. வாதத்தின் அதிகரிப்பு சமமாக இருக்கும்போது ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கண்டறியவும்.
2. ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டிற்கும் இதுவே செல்கிறது.

தீர்வுகள்:

ஒரே வாத அதிகரிப்புடன் வெவ்வேறு புள்ளிகளில், செயல்பாடு அதிகரிப்பு வேறுபட்டதாக இருக்கும். இதன் பொருள் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் உள்ள வழித்தோன்றல் வேறுபட்டது (இதை நாங்கள் ஆரம்பத்தில் விவாதித்தோம் - சாலையின் செங்குத்தானது வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வேறுபட்டது). எனவே, நாம் ஒரு வழித்தோன்றலை எழுதும்போது, ​​எந்த புள்ளியில் குறிப்பிட வேண்டும்:

சக்தி செயல்பாடு.

சக்தி செயல்பாடு என்பது ஒரு செயல்பாடு ஆகும், அங்கு வாதம் ஓரளவுக்கு (தர்க்கரீதியானது, சரியா?).

மேலும் - எந்த அளவிற்கு: .

எளிமையான வழக்கு- இது அடுக்கும் போது:

ஒரு கட்டத்தில் அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம். வழித்தோன்றலின் வரையறையை நினைவு கூர்வோம்:

எனவே வாதம் மாறுகிறது. செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு என்ன?

அதிகரிப்பு இது. ஆனால் எந்த புள்ளியிலும் ஒரு செயல்பாடு அதன் வாதத்திற்கு சமம். அதனால்தான்:

வழித்தோன்றல் இதற்கு சமம்:

இதன் வழித்தோன்றல் இதற்கு சமம்:

b) இப்போது கவனியுங்கள் இருபடி செயல்பாடு (): .

இப்போது அதை நினைவில் கொள்வோம். இதன் பொருள் அதிகரிப்பின் மதிப்பு புறக்கணிக்கப்படலாம், ஏனெனில் இது எண்ணற்றது, எனவே மற்ற சொல்லின் பின்னணிக்கு எதிராக முக்கியமற்றது:

எனவே, நாங்கள் மற்றொரு விதியைக் கொண்டு வந்தோம்:

c) நாங்கள் தருக்க தொடரை தொடர்கிறோம்: .

இந்த வெளிப்பாட்டை வெவ்வேறு வழிகளில் எளிமைப்படுத்தலாம்: தொகையின் கனசதுரத்தின் சுருக்கமான பெருக்கத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முதல் அடைப்புக்குறியைத் திறக்கவும் அல்லது க்யூப்ஸ் சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி முழு வெளிப்பாட்டையும் காரணியாக்கவும். பரிந்துரைக்கப்பட்ட முறைகளில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி அதை நீங்களே செய்ய முயற்சிக்கவும்.

எனவே, நான் பின்வருவனவற்றைப் பெற்றேன்:

மீண்டும் அதை நினைவில் கொள்வோம். இதன் பொருள், பின்வரும் அனைத்து விதிமுறைகளையும் நாம் புறக்கணிக்கலாம்:

நாம் பெறுகிறோம்: .

ஈ) பெரிய அதிகாரங்களுக்கு இதே போன்ற விதிகளைப் பெறலாம்:

e) ஒரு முழு எண்ணாகக் கூட இல்லாமல், தன்னிச்சையான அடுக்குடன் கூடிய ஆற்றல் செயல்பாட்டிற்கு இந்த விதியை பொதுமைப்படுத்தலாம்:

விதியை வார்த்தைகளில் உருவாக்கலாம்: "பட்டம் ஒரு குணகமாக முன்னோக்கி கொண்டு வரப்படுகிறது, பின்னர் குறைக்கப்படுகிறது."

இந்த விதியை நாங்கள் பின்னர் நிரூபிப்போம் (கிட்டத்தட்ட முடிவில்). இப்போது சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம். செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

1. (இரண்டு வழிகளில்: சூத்திரம் மற்றும் வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்துதல் - செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கணக்கிடுவதன் மூலம்);

1. . நம்புங்கள் அல்லது இல்லை, இது ஒரு சக்தி செயல்பாடு. உங்களுக்கு இதுபோன்ற கேள்விகள் இருந்தால் “இது எப்படி? பட்டம் எங்கே?”, தலைப்பை நினைவில் கொள்க “”!
   ஆம், ஆம், மூலமும் ஒரு பட்டம், பின்னம் மட்டுமே: .
   இதன் பொருள், நமது வர்க்கமூலம் ஒரு அடுக்குடன் கூடிய சக்தி மட்டுமே:
   .
   சமீபத்தில் கற்றுக்கொண்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றலைத் தேடுகிறோம்:

   இந்த கட்டத்தில் அது மீண்டும் தெளிவில்லாமல் இருந்தால், "" தலைப்பை மீண்டும் செய்யவும்!!! (எதிர்மறை அடுக்குடன் ஒரு டிகிரி)

2. . இப்போது அடுக்கு:

   இப்போது வரையறை மூலம் (நீங்கள் இன்னும் மறந்துவிட்டீர்களா?):
   ;
   .
   இப்போது, ​​​​வழக்கமாக, நாங்கள் கொண்டிருக்கும் சொல்லை புறக்கணிக்கிறோம்:
   .

3. . முந்தைய வழக்குகளின் சேர்க்கை: .

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்.

இங்கே நாம் உயர் கணிதத்தில் இருந்து ஒரு உண்மையைப் பயன்படுத்துவோம்:

வெளிப்பாட்டுடன்.

இன்ஸ்டிட்யூட்டின் முதல் ஆண்டில் நீங்கள் ஆதாரத்தைக் கற்றுக்கொள்வீர்கள் (மேலும் அங்கு செல்ல, நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் தேர்ச்சி பெற வேண்டும்). இப்போது நான் அதை வரைபடமாகக் காட்டுகிறேன்:

செயல்பாடு இல்லாதபோது - வரைபடத்தின் புள்ளி வெட்டப்பட்டிருப்பதைக் காண்கிறோம். ஆனால் மதிப்புக்கு நெருக்கமாக, செயல்பாடு இதுவே "நோக்கம்" ஆகும்.

கூடுதலாக, கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி இந்த விதியை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம். ஆம், ஆம், வெட்கப்பட வேண்டாம், கால்குலேட்டரை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், நாங்கள் இன்னும் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் இல்லை.

எனவே, முயற்சிப்போம்: ;

உங்கள் கால்குலேட்டரை ரேடியன்ஸ் பயன்முறைக்கு மாற்ற மறக்காதீர்கள்!

முதலியன குறைவாக இருப்பதைக் காண்கிறோம் நெருக்கமான மதிப்புஉறவு

அ) செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள். வழக்கம் போல், அதன் அதிகரிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:

சைன்களின் வித்தியாசத்தை ஒரு தயாரிப்பாக மாற்றுவோம். இதைச் செய்ய, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் ("" தலைப்பை நினைவில் கொள்க): .

இப்போது வழித்தோன்றல்:

மாற்றீடு செய்வோம்: . பிறகு எல்லையற்ற அற்பத்திற்கு அதுவும் எல்லையற்றது: . இதற்கான வெளிப்பாடு வடிவம் எடுக்கிறது:

இப்போது நாம் அதை வெளிப்பாடுடன் நினைவில் கொள்கிறோம். மேலும், தொகையில் (அதாவது, மணிக்கு) ஒரு எண்ணற்ற அளவு புறக்கணிக்கப்பட்டால் என்ன செய்வது.

எனவே, பின்வரும் விதியைப் பெறுகிறோம்: சைனின் வழித்தோன்றல் கொசைனுக்கு சமம்:

இவை அடிப்படை ("அட்டவணை") வழித்தோன்றல்கள். இங்கே அவை ஒரு பட்டியலில் உள்ளன:

பின்னர் அவற்றில் இன்னும் சிலவற்றைச் சேர்ப்போம், ஆனால் இவை மிக முக்கியமானவை, ஏனெனில் அவை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பயிற்சி:

1. ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்;
2. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

தீர்வுகள்:

1. முதலில், வழித்தோன்றலை பொதுவான வடிவத்தில் கண்டுபிடித்து, அதன் மதிப்பை மாற்றவும்:
   ;
   .
2. இங்கே நாம் ஒரு சக்தி செயல்பாடு போன்ற ஒன்று உள்ளது. அவளை அழைத்து வர முயற்சிப்போம்
   இயல்பான பார்வை:
   .
   அருமை, இப்போது நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:
   .
   .
3. . ஈஈஈஈ..... என்ன இது????

சரி, நீங்கள் சொல்வது சரிதான், அத்தகைய வழித்தோன்றல்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பது எங்களுக்கு இன்னும் தெரியவில்லை. இங்கே நாம் பல வகையான செயல்பாடுகளின் கலவையைக் கொண்டுள்ளோம். அவர்களுடன் பணியாற்ற, நீங்கள் இன்னும் சில விதிகளைக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும்:

அடுக்கு மற்றும் இயற்கை மடக்கை.

கணிதத்தில் ஒரு செயல்பாடு உள்ளது, அதன் வழித்தோன்றல் எந்த மதிப்பிற்கும் அதே நேரத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும். இது "அடுக்கு" என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது ஒரு அதிவேக செயல்பாடு ஆகும்

இந்த செயல்பாட்டின் அடிப்படை ஒரு நிலையானது - இது எல்லையற்றது தசம, அதாவது, ஒரு விகிதாசார எண் (போன்றவை). இது "ஆய்லர் எண்" என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதனால்தான் இது ஒரு கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

எனவே, விதி:

நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிதானது.

சரி, நாம் வெகுதூரம் செல்ல வேண்டாம், உடனடியாக தலைகீழ் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். எந்த செயல்பாட்டின் தலைகீழ் அதிவேக செயல்பாடு? மடக்கை:

எங்கள் விஷயத்தில், அடிப்படை எண்:

அத்தகைய மடக்கை (அதாவது, அடித்தளத்துடன் கூடிய மடக்கை) "இயற்கை" என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அதற்கு ஒரு சிறப்பு குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்: அதற்கு பதிலாக எழுதுகிறோம்.

அது எதற்கு சமம்? நிச்சயமாக, .

இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றலும் மிகவும் எளிமையானது:

எடுத்துக்காட்டுகள்:

1. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.
2. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்ன?

பதில்கள்: கண்காட்சியாளர் மற்றும் இயற்கை மடக்கை- செயல்பாடுகள் வழித்தோன்றல்களின் அடிப்படையில் தனிப்பட்ட முறையில் எளிமையானவை. வேறு எந்த அடிப்படையிலும் அதிவேக மற்றும் மடக்கை செயல்பாடுகள் வேறுபட்ட வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்கும், அதை நாங்கள் பின்னர் பகுப்பாய்வு செய்வோம். விதிகள் வழியாக செல்லலாம்வேறுபாடு.

வேறுபாடு விதிகள்

என்ன விதிகள்? மீண்டும் ஒரு புதிய சொல்?!...

வேறுபாடுவழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்முறையாகும்.

அவ்வளவுதான். இந்த செயல்முறையை ஒரே வார்த்தையில் வேறு என்ன அழைக்கலாம்? வழித்தோன்றல் அல்ல... ஒரு செயல்பாட்டின் அதே அதிகரிப்பு என்று கணிதவியலாளர்கள் வேறுபாட்டை அழைக்கின்றனர். இந்த சொல் லத்தீன் வேறுபாடு - வேறுபாடு இருந்து வந்தது. இங்கே.

இந்த விதிகள் அனைத்தையும் பெறும்போது, ​​நாம் இரண்டு செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவோம், எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும். அவற்றின் அதிகரிப்புக்கான சூத்திரங்களும் நமக்குத் தேவைப்படும்:

மொத்தம் 5 விதிகள் உள்ளன.

மாறிலியானது வழித்தோன்றல் குறியிலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது.

என்றால் - சில நிலையான எண் (நிலையான), பின்னர்.

வெளிப்படையாக, இந்த விதி வேறுபாட்டிற்கும் வேலை செய்கிறது: .

நிரூபிப்போம். அது இருக்கட்டும், அல்லது எளிமையாக இருக்கட்டும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்.

செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்:

1. ஒரு கட்டத்தில்;
2. ஒரு கட்டத்தில்;
3. ஒரு கட்டத்தில்;
4. புள்ளியில்.

தீர்வுகள்:

1. (வழித்தோன்றல் அனைத்து புள்ளிகளிலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், ஏனெனில் இது ஒரு நேரியல் செயல்பாடு, நினைவிருக்கிறதா?);

தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல்

இங்கே எல்லாம் ஒத்திருக்கிறது: நுழைவோம் புதிய அம்சம்மற்றும் அதன் அதிகரிப்பைக் கண்டறியவும்:

வழித்தோன்றல்:

எடுத்துக்காட்டுகள்:

1. செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும் மற்றும்;
2. ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

தீர்வுகள்:

அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை அறிய இப்போது உங்கள் அறிவு போதுமானது, ஆனால் அடுக்குகள் மட்டுமல்ல (அது என்ன என்பதை நீங்கள் இன்னும் மறந்துவிட்டீர்களா?).

எனவே, சில எண் எங்கே.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை நாங்கள் ஏற்கனவே அறிவோம், எனவே எங்கள் செயல்பாட்டை ஒரு புதிய தளத்திற்கு குறைக்க முயற்சிப்போம்:

இதற்கு நாம் பயன்படுத்துவோம் எளிய விதி: . பிறகு:

சரி, அது வேலை செய்தது. இப்போது வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவும், இந்த செயல்பாடு சிக்கலானது என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள்.

நடந்ததா?

இங்கே, உங்களை நீங்களே சரிபார்க்கவும்:

சூத்திரம் ஒரு அதிவேகத்தின் வழித்தோன்றலுக்கு மிகவும் ஒத்ததாக மாறியது: அது அப்படியே உள்ளது, ஒரு காரணி மட்டுமே தோன்றியது, இது ஒரு எண், ஆனால் ஒரு மாறி அல்ல.

எடுத்துக்காட்டுகள்:
செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்:

பதில்கள்:

இது ஒரு கால்குலேட்டர் இல்லாமல் கணக்கிட முடியாத ஒரு எண், அதாவது, இதை இனி எழுத முடியாது. எளிய வடிவத்தில். எனவே, பதிலில் இந்த வடிவத்தில் விட்டுவிடுகிறோம்.

மடக்கைச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

இது இங்கே ஒத்திருக்கிறது: இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றல் உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்:

எனவே, வேறு தளத்துடன் தன்னிச்சையான மடக்கையைக் கண்டறிய, எடுத்துக்காட்டாக:

இந்த மடக்கையை நாம் அடித்தளமாகக் குறைக்க வேண்டும். மடக்கையின் அடித்தளத்தை எவ்வாறு மாற்றுவது? இந்த சூத்திரத்தை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருக்கிறீர்கள் என்று நம்புகிறேன்:

இப்போது நாம் அதற்கு பதிலாக எழுதுவோம்:

வகுத்தல் என்பது வெறுமனே ஒரு மாறிலி (ஒரு மாறிலி இல்லாத ஒரு நிலையான எண்). வழித்தோன்றல் மிகவும் எளிமையாக பெறப்படுகிறது:

அதிவேக மற்றும் மடக்கை செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் கிட்டத்தட்ட ஒருபோதும் காணப்படவில்லை, ஆனால் அவற்றை அறிவது மிதமிஞ்சியதாக இருக்காது.

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

"சிக்கலான செயல்பாடு" என்றால் என்ன? இல்லை, இது மடக்கை அல்ல, ஆர்க்டஜென்ட் அல்ல. இந்த செயல்பாடுகளை புரிந்துகொள்வது கடினமாக இருக்கலாம் (நீங்கள் மடக்கை கடினமாக இருந்தால், "மடக்கை" என்ற தலைப்பைப் படிக்கவும், நீங்கள் நன்றாக இருப்பீர்கள்), ஆனால் கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், "சிக்கலானது" என்ற வார்த்தையானது "கடினமானது" என்று அர்த்தமல்ல.

ஒரு சிறிய கன்வேயர் பெல்ட்டை கற்பனை செய்து பாருங்கள்: இரண்டு பேர் உட்கார்ந்து சில பொருட்களைக் கொண்டு சில செயல்களைச் செய்கிறார்கள். உதாரணமாக, முதல் ஒரு சாக்லேட் பட்டியை ஒரு ரேப்பரில் போர்த்தி, இரண்டாவது அதை ஒரு ரிப்பனுடன் இணைக்கிறது. இதன் விளைவாக ஒரு கலப்பு பொருள்: ஒரு சாக்லேட் பட்டை மூடப்பட்டு, ரிப்பனுடன் கட்டப்பட்டுள்ளது. ஒரு சாக்லேட் பார் சாப்பிட, நீங்கள் தலைகீழ் படிகளை செய்ய வேண்டும் பின்னோக்கு வரிசை.

இதேபோன்ற கணிதக் குழாய் ஒன்றை உருவாக்குவோம்: முதலில் ஒரு எண்ணின் கோசைனைக் கண்டுபிடித்து, அதன் விளைவாக வரும் எண்ணை சதுரமாக்குவோம். எனவே, எங்களுக்கு ஒரு எண் (சாக்லேட்) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் கொசைனை (ரேப்பர்) நான் கண்டுபிடித்தேன், பின்னர் எனக்கு கிடைத்ததை நீங்கள் சதுரமாக்குங்கள் (அதை ரிப்பனுடன் கட்டவும்). என்ன நடந்தது? செயல்பாடு. இது ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு: அதன் மதிப்பைக் கண்டறிய, முதல் செயலை நேரடியாக மாறியுடன் செய்கிறோம், பின்னர் முதல் செயலின் விளைவாக இரண்டாவது செயலைச் செய்கிறோம்.

அதே படிகளை நாம் தலைகீழ் வரிசையில் எளிதாகச் செய்யலாம்: முதலில் நீங்கள் அதைச் சதுரம் செய்து, அதன் விளைவாக வரும் எண்ணின் கொசைனைத் தேடுகிறேன்: . முடிவு எப்போதும் வித்தியாசமாக இருக்கும் என்று யூகிக்க எளிதானது. முக்கிய அம்சம்சிக்கலான செயல்பாடுகள்: செயல்களின் வரிசை மாறும்போது, ​​செயல்பாடு மாறுகிறது.

வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு என்பது ஒரு செயல்பாடு, அதன் வாதம் மற்றொரு செயல்பாடு: .

முதல் உதாரணத்திற்கு, .

இரண்டாவது உதாரணம்: (அதே விஷயம்). .

கடைசியாக நாம் செய்யும் செயல் அழைக்கப்படும் "வெளிப்புற" செயல்பாடு, மற்றும் முதலில் செய்யப்படும் செயல் - அதன்படி "உள்" செயல்பாடு(இவை முறைசாரா பெயர்கள், நான் அவற்றை எளிய மொழியில் பொருள் விளக்க மட்டுமே பயன்படுத்துகிறேன்).

எந்த செயல்பாடு வெளிப்புறமானது மற்றும் எந்த உள் செயல்பாடு என்பதை நீங்களே தீர்மானிக்க முயற்சிக்கவும்:

பதில்கள்:உள் மற்றும் வெளிப்புற செயல்பாடுகளை பிரிப்பது மாறிகளை மாற்றுவதைப் போன்றது: எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செயல்பாட்டில்

1. முதலில் நாம் என்ன செயலைச் செய்வோம்? முதலில், சைனைக் கணக்கிடுவோம், பின்னர் அதை கனசதுரமாக்குவோம். இதன் பொருள் இது ஒரு உள் செயல்பாடு, ஆனால் வெளிப்புறமானது.
   மற்றும் அசல் செயல்பாடு அவற்றின் கலவை: .
2. அக:; வெளி:.
   தேர்வு: .
3. அக:; வெளி:.
   தேர்வு: .
4. அக:; வெளி:.
   தேர்வு: .
5. அக:; வெளி:.
   தேர்வு: .

நாம் மாறிகளை மாற்றி ஒரு செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

சரி, இப்போது நாம் சாக்லேட் பட்டையை பிரித்தெடுத்து அதன் வழித்தோன்றலைத் தேடுவோம். செயல்முறை எப்போதும் தலைகீழாக இருக்கும்: முதலில் நாம் வழித்தோன்றலைத் தேடுகிறோம் வெளிப்புற செயல்பாடு, பின்னர் உள் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலால் முடிவைப் பெருக்கவும். அசல் எடுத்துக்காட்டுடன், இது போல் தெரிகிறது:

மற்றொரு உதாரணம்:

எனவே, இறுதியாக அதிகாரப்பூர்வ விதியை உருவாக்குவோம்:

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்:

இது எளிமையானதாகத் தெரிகிறது, இல்லையா?

எடுத்துக்காட்டுகளுடன் சரிபார்க்கலாம்:

தீர்வுகள்:

1) உள்: ;

வெளி: ;

2) உள்:;

(இப்போது அதை வெட்ட முயற்சிக்காதீர்கள்! கொசைன் கீழ் இருந்து எதுவும் வெளிவரவில்லை, நினைவிருக்கிறதா?)

3) உள்: ;

வெளி: ;

இது மூன்று-நிலை சிக்கலான செயல்பாடு என்பது உடனடியாகத் தெளிவாகிறது: எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இது ஏற்கனவே ஒரு சிக்கலான செயல்பாடாகும், மேலும் அதிலிருந்து வேரைப் பிரித்தெடுக்கிறோம், அதாவது மூன்றாவது செயலைச் செய்கிறோம் (சாக்லேட்டை ஒரு இடத்தில் வைக்கிறோம். ரேப்பர் மற்றும் பிரீஃப்கேஸில் ஒரு ரிப்பனுடன்). ஆனால் பயப்படுவதற்கு எந்த காரணமும் இல்லை: இந்த செயல்பாட்டை வழக்கம் போல் அதே வரிசையில் "திறப்போம்": முடிவில் இருந்து.

அதாவது, முதலில் நாம் மூலத்தையும், பின்னர் கொசைனையும், பின்னர் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாட்டையும் வேறுபடுத்துகிறோம். பின்னர் நாம் அனைத்தையும் பெருக்குகிறோம்.

இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், செயல்களை எண்ணுவது வசதியானது. அதாவது, நமக்குத் தெரிந்ததைக் கற்பனை செய்வோம். இந்த வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிட எந்த வரிசையில் செயல்களைச் செய்வோம்? ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

செயல் எவ்வளவு தாமதமாக செய்யப்படுகிறதோ, அவ்வளவு "வெளிப்புறமாக" தொடர்புடைய செயல்பாடு இருக்கும். செயல்களின் வரிசை முந்தையதைப் போலவே உள்ளது:

இங்கே கூடு பொதுவாக 4-நிலை. நடவடிக்கையின் போக்கை தீர்மானிப்போம்.

1. தீவிர வெளிப்பாடு. .

2. வேர். .

3. சைன். .

4. சதுரம். .

5. அனைத்தையும் ஒன்றாக இணைத்தல்:

வழித்தோன்றல். முக்கிய விஷயங்களைப் பற்றி சுருக்கமாக

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்- வாதத்தின் எல்லையற்ற அதிகரிப்புக்கான வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதம்:

அடிப்படை வழித்தோன்றல்கள்:

வேறுபாடு விதிகள்:

மாறிலியானது வழித்தோன்றல் குறியிலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது:

தொகையின் வழித்தோன்றல்:

தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல்:

விகுதியின் வழித்தோன்றல்:

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்:

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்:

1. "உள்" செயல்பாட்டை வரையறுத்து அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.
2. நாங்கள் "வெளிப்புற" செயல்பாட்டை வரையறுத்து அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிகிறோம்.
3. முதல் மற்றும் இரண்டாவது புள்ளிகளின் முடிவுகளை நாங்கள் பெருக்குகிறோம்.

அதில் நாங்கள் எளிமையான வழித்தோன்றல்களை ஆய்வு செய்தோம், மேலும் வேறுபாட்டின் விதிகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சில தொழில்நுட்ப நுட்பங்களையும் அறிந்தோம். எனவே, செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களில் நீங்கள் நன்றாக இல்லை என்றால் அல்லது இந்த கட்டுரையில் சில புள்ளிகள் முற்றிலும் தெளிவாக இல்லை என்றால், முதலில் மேலே உள்ள பாடத்தை படிக்கவும். தயவுசெய்து தீவிரமான மனநிலையில் இருங்கள் - பொருள் எளிதானது அல்ல, ஆனால் நான் அதை எளிமையாகவும் தெளிவாகவும் முன்வைக்க முயற்சிப்பேன்.

நடைமுறையில், ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை நீங்கள் அடிக்கடி கையாள வேண்டும், டெரிவேடிவ்களைக் கண்டறிய உங்களுக்கு பணிகள் வழங்கப்படும் போது, ​​நான் எப்போதும் கூறுவேன்.

ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான விதியில் (எண் 5) அட்டவணையைப் பார்க்கிறோம்:

அதை கண்டுபிடிக்கலாம். முதலில், நுழைவில் கவனம் செலுத்துவோம். இங்கே நமக்கு இரண்டு செயல்பாடுகள் உள்ளன - மற்றும் , மற்றும் செயல்பாடு, அடையாளப்பூர்வமாகச் சொன்னால், செயல்பாட்டிற்குள் உள்ளமைக்கப்படுகிறது. இந்த வகையின் செயல்பாடு (ஒரு செயல்பாடு மற்றொன்றிற்குள் உள்ளமைக்கப்படும் போது) ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நான் விழாவை அழைக்கிறேன் வெளிப்புற செயல்பாடு, மற்றும் செயல்பாடு - உள் (அல்லது உள்ளமை) செயல்பாடு.

! இந்த வரையறைகள் கோட்பாட்டு ரீதியில் இல்லை மற்றும் பணிகளின் இறுதி வடிவமைப்பில் தோன்றக்கூடாது. நான் முறைசாரா வெளிப்பாடுகளை "வெளிப்புற செயல்பாடு", "உள்" செயல்பாடு ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்துகிறேன்.

நிலைமையை தெளிவுபடுத்த, கருத்தில் கொள்ளுங்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 1

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

சைனின் கீழ் எங்களிடம் “எக்ஸ்” என்ற எழுத்து மட்டுமல்ல, முழு வெளிப்பாடும் உள்ளது, எனவே டேபிளிலிருந்து உடனடியாக வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பது வேலை செய்யாது. இங்கே முதல் நான்கு விதிகளைப் பயன்படுத்துவது சாத்தியமில்லை என்பதையும் நாங்கள் கவனிக்கிறோம், ஒரு வித்தியாசம் இருப்பதாகத் தெரிகிறது, ஆனால் உண்மை என்னவென்றால், சைனை "துண்டுகளாக" கிழிக்க முடியாது:

IN இந்த எடுத்துக்காட்டில்ஒரு செயல்பாடு ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு, மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு உள் செயல்பாடு (உட்பொதித்தல்) மற்றும் வெளிப்புற செயல்பாடு என்பது எனது விளக்கங்களிலிருந்து ஏற்கனவே உள்ளுணர்வாக தெளிவாக உள்ளது.

முதல் படிசிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் போது நீங்கள் செய்ய வேண்டியது எந்த செயல்பாடு உள் மற்றும் எது வெளிப்புறமானது என்பதை புரிந்து கொள்ளுங்கள்.

எளிமையான எடுத்துக்காட்டுகளின் விஷயத்தில், சைனின் கீழ் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை உட்பொதிக்கப்பட்டுள்ளது என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது. ஆனால் எல்லாம் தெளிவாக இல்லை என்றால் என்ன செய்வது? எந்த செயல்பாடு வெளிப்புறமானது மற்றும் எது அகமானது என்பதை எவ்வாறு துல்லியமாக தீர்மானிப்பது? இதைச் செய்ய, பின்வரும் நுட்பத்தைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கிறேன், இது மனரீதியாக அல்லது வரைவில் செய்யப்படலாம்.

ஒரு கால்குலேட்டரில் வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிட வேண்டும் என்று கற்பனை செய்து கொள்வோம் (ஒன்றுக்கு பதிலாக எந்த எண்ணும் இருக்கலாம்).

முதலில் எதைக் கணக்கிடுவோம்? முதலில்நீங்கள் பின்வரும் செயலைச் செய்ய வேண்டும்: , எனவே பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு உள் செயல்பாடாக இருக்கும்:

இரண்டாவதாககண்டுபிடிக்க வேண்டும், எனவே சைன் - வெளிப்புறச் செயல்பாடாக இருக்கும்:

நமக்குப் பிறகு விற்கப்பட்டதுஉள் மற்றும் வெளிப்புற செயல்பாடுகளுடன், சிக்கலான செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்துவதற்கான நேரம் இது .

முடிவு செய்ய ஆரம்பிக்கலாம். பாடத்திலிருந்து வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?எந்தவொரு வழித்தோன்றலுக்கான தீர்வின் வடிவமைப்பு எப்போதுமே இப்படித் தொடங்குகிறது என்பதை நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம் - வெளிப்பாட்டை அடைப்புக்குறிக்குள் இணைத்து, மேல் வலதுபுறத்தில் ஒரு பக்கவாதம் வைக்கிறோம்:

முதலில்வெளிப்புறச் செயல்பாட்டின் (சைன்) வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம், அடிப்படைச் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையைப் பார்த்து, அதைக் கவனிக்கவும். "x" ஒரு சிக்கலான வெளிப்பாட்டுடன் மாற்றப்பட்டால் அனைத்து அட்டவணை சூத்திரங்களும் பொருந்தும், வி இந்த வழக்கில்:

உள் செயல்பாடு என்பதை நினைவில் கொள்க மாறவில்லை, நாங்கள் அதை தொடவில்லை.

சரி, அது மிகவும் வெளிப்படையானது

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் விளைவு அதன் இறுதி வடிவத்தில் இது போல் தெரிகிறது:

நிலையான காரணி பொதுவாக வெளிப்பாட்டின் தொடக்கத்தில் வைக்கப்படுகிறது:

ஏதேனும் தவறான புரிதல் இருந்தால், தீர்வை காகிதத்தில் எழுதி விளக்கங்களை மீண்டும் படிக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 2

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

எடுத்துக்காட்டு 3

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

எப்போதும் போல, நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

நமக்கு வெளிப்புற செயல்பாடு எங்குள்ளது மற்றும் உள் செயல்பாடு எங்கே உள்ளது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, இல் உள்ள வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிட (மனநிலை அல்லது வரைவில்) முயற்சி செய்கிறோம். நீங்கள் முதலில் என்ன செய்ய வேண்டும்? முதலில், அடிப்படை என்ன சமம் என்பதை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும்: எனவே, பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது உள் செயல்பாடு:

அதன்பிறகுதான் அதிவேகம் செய்யப்படுகிறது, எனவே, சக்தி செயல்பாடு ஒரு வெளிப்புற செயல்பாடு:

சூத்திரத்தின் படி , முதலில் நீங்கள் வெளிப்புற செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், இந்த விஷயத்தில், பட்டம். அட்டவணையில் தேவையான சூத்திரத்தை நாங்கள் தேடுகிறோம்: . நாங்கள் மீண்டும் சொல்கிறோம்: ஏதேனும் அட்டவணை சூத்திரம்"x" க்கு மட்டுமல்ல, சிக்கலான வெளிப்பாடுகளுக்கும் செல்லுபடியாகும். எனவே, ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்துவதன் விளைவு அடுத்தது:

வெளிப்புறச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எடுத்துக் கொள்ளும்போது, ​​​​நமது உள் செயல்பாடு மாறாது என்பதை நான் மீண்டும் வலியுறுத்துகிறேன்:

இப்போது எஞ்சியிருப்பது உள் செயல்பாட்டின் மிக எளிய வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடித்து, முடிவை சிறிது மாற்றியமைக்க வேண்டும்:

எடுத்துக்காட்டு 4

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு (பாடத்தின் முடிவில் பதில்).

ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பற்றிய உங்கள் புரிதலை ஒருங்கிணைக்க, நான் கருத்துகள் இல்லாமல் ஒரு உதாரணம் தருகிறேன், அதை நீங்களே கண்டுபிடிக்க முயற்சி செய்கிறேன், வெளிப்புற மற்றும் உள் செயல்பாடு எங்கே, ஏன் பணிகள் இந்த வழியில் தீர்க்கப்படுகின்றன?

எடுத்துக்காட்டு 5

அ) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

b) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

எடுத்துக்காட்டு 6

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

இங்கே நமக்கு ஒரு வேர் உள்ளது, மேலும் வேரை வேறுபடுத்துவதற்கு, அது ஒரு சக்தியாக குறிப்பிடப்பட வேண்டும். எனவே, முதலில் நாம் செயல்பாட்டை வேறுபாட்டிற்கு பொருத்தமான வடிவத்தில் கொண்டு வருகிறோம்:

செயல்பாட்டை பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம், மூன்று சொற்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு உள் செயல்பாடு என்றும், ஒரு சக்திக்கு உயர்த்துவது வெளிப்புற செயல்பாடு என்றும் முடிவு செய்கிறோம். சிக்கலான செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம் :

நாங்கள் மீண்டும் பட்டத்தை ஒரு தீவிரமான (ரூட்) பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறோம், மேலும் அகச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கு, கூட்டுத்தொகையை வேறுபடுத்துவதற்கான எளிய விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

தயார். அடைப்புக்குறிக்குள் வெளிப்பாட்டையும் கொடுக்கலாம் பொதுவான வகுக்கும்எல்லாவற்றையும் ஒரு பின்னமாக எழுதவும். இது அழகாக இருக்கிறது, நிச்சயமாக, ஆனால் நீங்கள் சிக்கலான நீண்ட வழித்தோன்றல்களைப் பெறும்போது, ​​​​இதைச் செய்யாமல் இருப்பது நல்லது (குழப்பம் அடைவது எளிது, தேவையற்ற தவறு செய்வது, ஆசிரியர் சரிபார்க்க சிரமமாக இருக்கும்).

எடுத்துக்காட்டு 7

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு (பாடத்தின் முடிவில் பதில்).

சில சமயங்களில் சிக்கலான செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான விதிக்கு பதிலாக, ஒரு பகுதியை வேறுபடுத்துவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்தலாம் என்பது சுவாரஸ்யமானது. , ஆனால் அத்தகைய தீர்வு ஒரு அசாதாரண வக்கிரம் போல் இருக்கும். இங்கே ஒரு பொதுவான உதாரணம்:

எடுத்துக்காட்டு 8

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

இங்கே நீங்கள் விகுதியின் வேறுபாட்டின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் , ஆனால் ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் விதியின் மூலம் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பது மிகவும் லாபகரமானது:

வேறுபாட்டிற்கான செயல்பாட்டை நாங்கள் தயார் செய்கிறோம் - மைனஸை வழித்தோன்றல் அடையாளத்திலிருந்து நகர்த்துகிறோம், மேலும் கோசைனை எண்ணுக்கு உயர்த்துகிறோம்:

கோசைன் என்பது ஒரு உள் செயல்பாடு, அதிவேகமானது ஒரு வெளிப்புற செயல்பாடு.
நமது விதியைப் பயன்படுத்துவோம் :

உள் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிந்து, கோசைனை மீண்டும் கீழே மீட்டமைக்கிறோம்:

தயார். கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், அறிகுறிகளில் குழப்பமடையாமல் இருப்பது முக்கியம். மூலம், விதி பயன்படுத்தி அதை தீர்க்க முயற்சி , பதில்கள் பொருந்த வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 9

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு (பாடத்தின் முடிவில் பதில்).

இதுவரை நாம் ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டில் ஒரே ஒரு கூடு கட்டும் நிகழ்வுகளைப் பார்த்தோம். நடைமுறைப் பணிகளில், நீங்கள் அடிக்கடி வழித்தோன்றல்களைக் காணலாம், அங்கு கூடு கட்டும் பொம்மைகள் போன்றவை, ஒன்றுக்குள் மற்றொன்று, 3 அல்லது 4-5 செயல்பாடுகள் ஒரே நேரத்தில் உள்ளமைக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 10

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

இந்த செயல்பாட்டின் இணைப்புகளைப் புரிந்துகொள்வோம். சோதனை மதிப்பைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாட்டைக் கணக்கிட முயற்சிப்போம். ஒரு கால்குலேட்டரை எப்படி எண்ணுவோம்?

முதலில் நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதாவது ஆர்க்சைன் என்பது ஆழமான உட்பொதிப்பு:

ஒன்றின் இந்த ஆர்க்சைன் பின்னர் சதுரமாக இருக்க வேண்டும்:

இறுதியாக, நாங்கள் ஏழு சக்தியை உயர்த்துகிறோம்:

அதாவது, இந்த எடுத்துக்காட்டில் மூன்று வெவ்வேறு செயல்பாடுகள் மற்றும் இரண்டு உட்பொதிவுகள் உள்ளன, அதே நேரத்தில் உள் செயல்பாடு ஆர்க்சைன் ஆகும், மேலும் வெளிப்புற செயல்பாடு அதிவேக செயல்பாடு ஆகும்.

முடிவு செய்ய ஆரம்பிக்கலாம்

விதியின் படி முதலில் நீங்கள் வெளிப்புற செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எடுக்க வேண்டும். நாங்கள் டெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையைப் பார்த்து, அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிகிறோம்: ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், "x" க்கு பதிலாக ஒரு சிக்கலான வெளிப்பாடு உள்ளது, இது இந்த சூத்திரத்தின் செல்லுபடியை மறுக்காது. எனவே, ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்துவதன் விளைவு அடுத்தது.

• அதிவேக மற்றும் மடக்கை சார்புகளின் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை

எளிய செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள்

விளக்கம்:
வழித்தோன்றல் ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்பு மாறும்போது அதன் மதிப்பு மாறும் விகிதத்தைக் காட்டுகிறது. எந்த சூழ்நிலையிலும் எண் எந்த வகையிலும் மாறாது என்பதால், அதன் மாற்றத்தின் விகிதம் எப்போதும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்.

2. ஒரு மாறியின் வழித்தோன்றல்ஒன்றுக்கு சமம்
x´ = 1

விளக்கம்:
வாதத்தின் (x) ஒவ்வொரு அதிகரிப்பிலும், செயல்பாட்டின் மதிப்பு (கணக்கீட்டின் முடிவு) அதே அளவு அதிகரிக்கிறது. எனவே, y = x செயல்பாட்டின் மதிப்பில் ஏற்படும் மாற்ற விகிதம், வாதத்தின் மதிப்பில் ஏற்படும் மாற்ற விகிதத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்.

3. ஒரு மாறி மற்றும் ஒரு காரணியின் வழித்தோன்றல் இந்த காரணிக்கு சமம்
сx´ = с
உதாரணமாக:
(3x) = 3
(2x) = 2
விளக்கம்:
இந்த வழக்கில், ஒவ்வொரு முறையும் செயல்பாடு வாதம் மாறுகிறது ( எக்ஸ்) அதன் மதிப்பு (y) அதிகரிக்கிறது உடன்ஒருமுறை. எனவே, வாதத்தின் மாற்ற விகிதத்துடன் தொடர்புடைய செயல்பாட்டு மதிப்பின் மாற்ற விகிதம் மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும் உடன்.

அது எங்கிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது
(cx + b)" = c
அதாவது, வேறுபாடு நேரியல் செயல்பாடு y=kx+b என்பது நேர்கோட்டின் (k) சாய்வுக்கு சமம்.

5. ஒரு மாறியிலிருந்து ஒரு சக்திக்கு வழித்தோன்றல்இந்த சக்தியின் எண்ணின் பெருக்கத்திற்கு சமம் மற்றும் ஒன்றால் குறைக்கப்பட்ட சக்திக்கு ஒரு மாறி
(x c)"= cx c-1, x c மற்றும் cx c-1 வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால் மற்றும் c ≠ 0
உதாரணமாக:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்ள:
மாறியின் அளவை ஒரு காரணியாக கீழே நகர்த்தவும், பின்னர் பட்டத்தை ஒன்றால் குறைக்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, x 2 க்கு - இரண்டும் x க்கு முன்னால் இருந்தது, பின்னர் குறைக்கப்பட்ட சக்தி (2-1 = 1) எங்களுக்கு 2x கொடுத்தது. x 3 க்கும் இதேதான் நடந்தது - நாங்கள் மும்மடங்கை "கீழே நகர்த்துகிறோம்", அதை ஒன்றால் குறைக்கிறோம் மற்றும் ஒரு கனசதுரத்திற்கு பதிலாக ஒரு சதுரம் உள்ளது, அதாவது 3x 2. கொஞ்சம் "விஞ்ஞானமற்றது" ஆனால் நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிதானது.

6.ஒரு பகுதியின் வழித்தோன்றல் 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
உதாரணமாக:
ஒரு பின்னம் எதிர்மறை சக்தியாக உயர்த்தப்படுவதால்
(1/x)" = (x -1)", பின்னர் நீங்கள் வழித்தோன்றல் அட்டவணையின் விதி 5 இலிருந்து சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. ஒரு பகுதியின் வழித்தோன்றல் தன்னிச்சையான பட்டத்தின் மாறியுடன்வகுப்பில்
(1 / x c)" = - c / x c+1
உதாரணமாக:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. வேரின் வழித்தோன்றல்(கீழே உள்ள மாறியின் வழித்தோன்றல் சதுர வேர்)
(√x)" = 1 / (2√x)அல்லது 1/2 x -1/2
உதாரணமாக:
(√x)" = (x 1/2)" என்பது விதி 5 இலிருந்து நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. தன்னிச்சையான பட்டத்தின் மூலத்தின் கீழ் ஒரு மாறியின் வழித்தோன்றல்
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)