இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு அமைப்பை எவ்வாறு தீர்ப்பது. இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது

முக்கிய குறிப்புகள்!
1. சூத்திரங்களுக்குப் பதிலாக gobbledygookஐப் பார்த்தால், உங்கள் தற்காலிக சேமிப்பை அழிக்கவும். உங்கள் உலாவியில் இதை எப்படி செய்வது என்பது இங்கே எழுதப்பட்டுள்ளது:
2. நீங்கள் கட்டுரையைப் படிக்கத் தொடங்கும் முன், எங்கள் நேவிகேட்டருக்கு அதிக கவனம் செலுத்துங்கள் பயனுள்ள வளம்க்கு

இந்த முறையை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும் உங்கள் கையின் பின்பகுதியைப் போல தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்! பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க இது பயன்படுத்தப்படுவதால், இந்த முறையை சரியாக அறிந்தால், இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது வியக்கத்தக்க எளிமையானது. சிறிது நேரம் கழித்து, இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதில் நேரத்தை எவ்வாறு சேமிப்பது என்பது குறித்த இரண்டு ரகசியங்களை நான் உங்களுக்குச் சொல்கிறேன். சரி, நீங்கள் ஆர்வமாக உள்ளீர்களா? அப்புறம் போகலாம்!

முறையின் சாராம்சம், சமத்துவமின்மையை காரணிகளாக (தலைப்பை மீண்டும் செய்யவும்) மற்றும் ODZ மற்றும் காரணிகளின் அடையாளத்தை இப்போது நான் விளக்குகிறேன். எளிமையான உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்: .

ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பை () எழுத வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனெனில் மாறியால் எந்தப் பிரிவும் இல்லை, மேலும் இங்கு எந்த தீவிரவாதிகள் (வேர்கள்) காணப்படவில்லை. இங்குள்ள அனைத்தும் ஏற்கனவே நமக்கு காரணிகளாக உள்ளன. ஆனால் ஓய்வெடுக்க வேண்டாம், இவை அனைத்தும் உங்களுக்கு அடிப்படைகளை நினைவூட்டுவதற்கும் சாராம்சத்தைப் புரிந்துகொள்வதற்கும் ஆகும்!

இடைவெளி முறை உங்களுக்குத் தெரியாது என்று வைத்துக்கொள்வோம், இந்த ஏற்றத்தாழ்வை எவ்வாறு தீர்ப்பீர்கள்? தர்க்கரீதியாக அணுகி, உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரிந்ததைக் கட்டியெழுப்பவும். முதலில், அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள இரண்டு வெளிப்பாடுகளும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால், இடது புறம் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும். பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக, ஏனெனில் “பிளஸ்” என்பதற்கு “பிளஸ்” என்பது “பிளஸ்” என்றும், “மைனஸ்” என்றால் “பிளஸ்” என்றும் கொடுக்கிறது, இல்லையா? அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடுகளின் அறிகுறிகள் வேறுபட்டால், இறுதியில் இடது பக்கம் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருக்கும். அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடுகள் எதிர்மறையாகவோ அல்லது நேர்மறையாகவோ இருக்கும் அந்த மதிப்புகளை நாம் என்ன கண்டுபிடிக்க வேண்டும்?

நாம் ஒரு சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும், அது ஒரு சமத்துவமின்மைக்கு சமம், ஒரு அடையாளத்திற்கு பதிலாக ஒரு அடையாளம் மட்டுமே இருக்கும், இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் அந்த எல்லை மதிப்புகளை தீர்மானிக்க அனுமதிக்கும், அதில் இருந்து புறப்படும் போது காரணிகள் அதிகமாக இருக்கும். அல்லது பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக.

இப்போது இடைவெளிகள் தங்களை. இடைவெளி என்றால் என்ன? இது எண் கோட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளி, அதாவது, இரண்டு எண்களுக்கு இடையில் உள்ள அனைத்து சாத்தியமான எண்களும் - இடைவெளியின் முனைகள். உங்கள் தலையில் இந்த இடைவெளிகளை கற்பனை செய்வது அவ்வளவு எளிதானது அல்ல, எனவே இடைவெளிகளை வரைவது பொதுவானது, நான் இப்போது உங்களுக்கு கற்பிப்பேன்.

நாம் ஒரு அச்சை வரைகிறோம்; செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள் என்று அழைக்கப்படும் அச்சில் புள்ளிகள் திட்டமிடப்பட்டுள்ளன, வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் மதிப்புகள். இந்த புள்ளிகள் "பின்னிங்" செய்யப்பட்டுள்ளன, அதாவது சமத்துவமின்மை உண்மையாக இருக்கும் அந்த மதிப்புகளில் அவை இல்லை. IN இந்த வழக்கில், ஏனெனில் அவை குத்தப்படுகின்றன சமத்துவமின்மையில் கையொப்பமிடுங்கள் மற்றும் இல்லை, அதாவது, கண்டிப்பாக அதிகமாக மற்றும் அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இல்லை.

பூஜ்ஜியத்தைக் குறிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்று நான் சொல்ல விரும்புகிறேன், அது இங்கே வட்டங்கள் இல்லாமல் உள்ளது, ஆனால் அச்சில் புரிந்துகொள்வதற்கும் நோக்குநிலைக்கு மட்டுமே. சரி, நாங்கள் அச்சை வரைந்தோம், புள்ளிகளை (இன்னும் துல்லியமாக, வட்டங்கள்) வைத்தோம், அடுத்து என்ன, தீர்க்க இது எனக்கு எப்படி உதவும்? - நீங்கள் கேட்கிறீர்கள். இப்போது x க்கான மதிப்பை இடைவெளிகளிலிருந்து வரிசையாக எடுத்து, அவற்றை உங்கள் சமத்துவமின்மைக்கு மாற்றியமைத்து, பெருக்கல் என்ன குறிப்பை ஏற்படுத்துகிறது என்பதைப் பார்க்கவும்.

சுருக்கமாக, நாம் உதாரணத்திற்கு எடுத்துக்கொள்கிறோம், அதை இங்கே மாற்றவும், அது செயல்படும், அதாவது சமத்துவமின்மை முழு இடைவெளியிலும் (முழு இடைவெளியிலும்) செல்லுபடியாகும் என்று அர்த்தம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், x என்பது முதல் வரை என்றால், சமத்துவமின்மை உண்மை.

முதல், எடுத்து அல்லது, எடுத்துக்காட்டாக, மாற்று உள்ள, அடையாளத்தை தீர்மானிக்க, அடையாளம் "மைனஸ்" ஆக இருக்கும். கடைசி, மூன்றாவது இடைவெளியில் இருந்து அதையே செய்கிறோம், அங்கு அடையாளம் “பிளஸ்” ஆக மாறும். நிறைய உரைகள் உள்ளன, ஆனால் போதுமான தெளிவு இல்லை, இல்லையா?

சமத்துவமின்மையை இன்னொரு முறை பாருங்கள்.

இப்போது அதே அச்சில் விளைவாக பெறப்படும் அறிகுறிகளையும் நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம். எனது எடுத்துக்காட்டில், உடைந்த கோடு அச்சின் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை பிரிவுகளைக் குறிக்கிறது.

சமத்துவமின்மையைப் பாருங்கள் - வரைபடத்தில், மீண்டும் சமத்துவமின்மையில் - மீண்டும் வரைபடத்தில், ஏதாவது தெளிவாக இருக்கிறதா? இப்போது X எந்த இடைவெளியில் சமத்துவமின்மை உண்மையாக இருக்கும் என்று சொல்ல முயற்சிக்கவும். அது சரி, சமத்துவமின்மையில் இருந்து சமத்துவமின்மை வரை உண்மையாக இருக்கும், ஆனால் சமத்துவமின்மையிலிருந்து இடைவெளியில் பூஜ்ஜியம் மற்றும் இந்த இடைவெளி நமக்கு சிறிது ஆர்வமாக இல்லை, ஏனென்றால் சமத்துவமின்மையில் நமக்கு ஒரு அடையாளம் உள்ளது.

சரி, இப்போது நீங்கள் அதைக் கண்டுபிடித்துவிட்டீர்கள், பதிலை எழுதுவதுதான் மிச்சம்! இதற்குப் பதிலளிக்கும் விதமாக, இடது பக்கம் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக உள்ள இடைவெளிகளை எழுதுகிறோம், இது X ஆனது மைனஸ் இன்ஃபினிட்டியில் இருந்து மைனஸ் ஒன் மற்றும் இரண்டிலிருந்து பிளஸ் இன்ஃபினிட்டி வரையிலான இடைவெளியைச் சேர்ந்தது. அடைப்புக்குறிக்குள் இடைவெளி வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்புகள் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வுகள் அல்ல என்பதை தெளிவுபடுத்துவது மதிப்பு, அதாவது, அவை பதிலில் சேர்க்கப்படவில்லை, ஆனால் இது வரை, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு அல்ல என்பதைக் குறிக்கிறது. தீர்வு.

இப்போது ஒரு எடுத்துக்காட்டு, இதில் நீங்கள் இடைவெளியை மட்டும் வரைய வேண்டியதில்லை:

அச்சில் புள்ளிகளை வைப்பதற்கு முன் என்ன செய்ய வேண்டும் என்று நினைக்கிறீர்கள்? ஆம், அதை காரணிகளாகக் கூறுங்கள்:

நாங்கள் இடைவெளிகளை வரைகிறோம் மற்றும் அடையாளங்களை வைக்கிறோம், எங்களிடம் துளையிடப்பட்ட புள்ளிகள் இருப்பதைக் கவனிக்கவும், ஏனெனில் அடையாளம் கண்டிப்பாக பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக உள்ளது:

இந்த தலைப்பின் ஆரம்பத்தில் நான் உறுதியளித்த ஒரு ரகசியத்தை உங்களுக்குச் சொல்ல வேண்டிய நேரம் இது! அடையாளத்தைத் தீர்மானிக்க ஒவ்வொரு இடைவெளியிலிருந்தும் மதிப்புகளை மாற்ற வேண்டியதில்லை என்று நான் சொன்னால் என்ன செய்வது, ஆனால் நீங்கள் ஒரு இடைவெளியில் அடையாளத்தைத் தீர்மானிக்கலாம், மீதமுள்ள அறிகுறிகளை மாற்றலாம்!

இதனால், அறிகுறிகளைக் கீழே வைப்பதில் நாங்கள் சிறிது நேரத்தை மிச்சப்படுத்தினோம் - இது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் நேரத்தைப் பெற்றது வலிக்காது என்று நினைக்கிறேன்!

நாங்கள் பதிலை எழுதுகிறோம்:

இப்போது ஒரு பகுதியளவு-பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மையின் உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள் - ஒரு சமத்துவமின்மை, இரண்டு பகுதிகளும் பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள் (பார்க்க).

இந்த சமத்துவமின்மை பற்றி நீங்கள் என்ன சொல்ல முடியும்? நீங்கள் அதை ஒரு பகுதியளவு-பகுத்தறிவு சமன்பாடாகப் பார்க்கிறீர்கள், முதலில் நாம் என்ன செய்வது? வேர்கள் இல்லை என்பதை நாங்கள் உடனடியாகக் காண்கிறோம், அதாவது இது நிச்சயமாக பகுத்தறிவு, ஆனால் அது ஒரு பின்னம், மற்றும் வகுப்பில் அறியப்படாதது கூட!

அது சரி, எங்களுக்கு ODZ தேவை!

எனவே, மேலும் செல்லலாம், இங்கே ஒன்றைத் தவிர அனைத்து காரணிகளும் முதல் பட்டத்தின் மாறியைக் கொண்டுள்ளன, ஆனால் x இரண்டாவது பட்டத்தைக் கொண்டிருக்கும் காரணி உள்ளது. சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கம் பூஜ்ஜிய மதிப்பைப் பெறும் புள்ளிகளில் ஒன்றைக் கடந்து சென்ற பிறகு பொதுவாக எங்கள் அடையாளம் மாறியது, அதற்காக என்ன இருக்க வேண்டும் என்பதை நாங்கள் தீர்மானித்தோம். x க்கு சமம்ஒவ்வொரு காரணியிலும். ஆனால் இங்கே, அது எப்போதும் நேர்மறையானது, ஏனென்றால் எந்த எண் வர்க்கம் > பூஜ்யம் மற்றும் நேர்மறை சொல்.

இது சமத்துவமின்மையின் அர்த்தத்தை பாதிக்கும் என்று நினைக்கிறீர்களா? அது சரி - அது பாதிக்காது! சமத்துவமின்மையை இரு பகுதிகளாகப் பிரிக்கலாம், இதன் மூலம் இந்த காரணியை அகற்றலாம், இதனால் அது கண்புரை அல்ல.

இதைச் செய்ய, இடைவெளிகளை வரைய வேண்டிய நேரம் வந்துவிட்டது, புறப்படும் போது, ​​​​பெருக்கிகள் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவும் குறைவாகவும் இருக்கும். ஆனால் இங்கே ஒரு அடையாளம் இருப்பதைக் கவனியுங்கள், அதாவது சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கம் பூஜ்ஜிய மதிப்பைப் பெறும் புள்ளியை நாங்கள் எடுக்க மாட்டோம், இது தீர்வுகளின் எண்ணிக்கையில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது, எங்களிடம் அத்தகைய ஒரு புள்ளி மட்டுமே உள்ளது, x என்பது ஒன்றுக்கு சமமான புள்ளி இது. வகுத்தல் எதிர்மறையாக இருக்கும் புள்ளியை நாம் வண்ணமயமாக்கலாமா? - நிச்சயமாக இல்லை!

வகுத்தல் பூஜ்ஜியமாக இருக்கக்கூடாது, எனவே இடைவெளி இப்படி இருக்கும்:

இந்த வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் எளிதாக ஒரு பதிலை எழுதலாம், இப்போது உங்கள் வசம் உள்ளது என்று நான் கூறுவேன் புதிய வகைஅடைப்புக்குறிகள் - சதுரம்! இங்கே ஒரு அடைப்புக்குறி உள்ளது [ தீர்வு இடைவெளியில் மதிப்பு சேர்க்கப்பட்டுள்ளது என்று கூறுகிறது, அதாவது. பதிலின் ஒரு பகுதியாகும், இந்த அடைப்புக்குறி அச்சில் நிரப்பப்பட்ட (பின் செய்யப்படாத) புள்ளியை ஒத்துள்ளது.

எனவே, உங்களுக்கும் அதே பதில் கிடைத்ததா?

நாங்கள் அதை காரணிகளாகக் கருதுகிறோம் மற்றும் எல்லாவற்றையும் ஒரு பக்கத்திற்கு நகர்த்துகிறோம், அதனுடன் ஒப்பிடுவதற்கு வலதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியத்தை விட்டுவிட வேண்டும்:

கடைசி மாற்றத்தில், எண் மற்றும் வகுப்பில் பெறுவதற்காக, சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் நான் பெருக்குகிறேன் என்ற உண்மைக்கு உங்கள் கவனத்தை ஈர்க்கிறேன். ஒரு சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கமும் பெருக்கப்படும்போது, ​​சமத்துவமின்மையின் அடையாளம் எதிர்மாறாக மாறுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்!!!

நாங்கள் ODZ ஐ எழுதுகிறோம்:

இல்லையெனில், வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும், மேலும், நீங்கள் நினைவில் வைத்திருப்பது போல், நீங்கள் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியாது!

ஒப்புக்கொள்கிறேன், அதனால் ஏற்படும் சமத்துவமின்மை எண் மற்றும் வகுப்பைக் குறைக்க தூண்டுகிறது! இதைச் செய்ய முடியாது; நீங்கள் சில முடிவுகளை இழக்கலாம் அல்லது ODZ!

இப்போது அச்சில் புள்ளிகளை நீங்களே வைக்க முயற்சிக்கவும். புள்ளிகளைத் திட்டமிடும்போது, ​​​​ஒரு மதிப்பைக் கொண்ட ஒரு புள்ளி, அடையாளத்தின் அடிப்படையில், அச்சில் நிழலிடப்பட்டதாகத் தோன்றும், நிழலாடாது, அது இருக்கும் என்பதில் நீங்கள் கவனம் செலுத்த வேண்டும் என்பதை மட்டுமே நான் கவனிக்கிறேன். வெளியே எடுக்கப்பட்டது! ஏன் கேட்கிறீர்கள்? ODZ ஐ நினைவில் கொள்ளுங்கள், நீங்கள் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கப் போவதில்லையா?

நினைவில் கொள்ளுங்கள், ODZ முதலில் வருகிறது! அனைத்து ஏற்றத்தாழ்வுகளும் சமமான அறிகுறிகளும் ஒன்றைச் சொன்னால், ODZ இன்னொன்றைச் சொன்னால், ODZ ஐ நம்புங்கள், பெரிய மற்றும் சக்திவாய்ந்த!

சரி, நீங்கள் இடைவெளிகளைக் கட்டியுள்ளீர்கள், மாற்றீடு பற்றிய எனது குறிப்பை நீங்கள் எடுத்துக்கொண்டீர்கள் என்று நான் நம்புகிறேன், நீங்கள் அதை இப்படிப் பெற்றீர்கள் (கீழே உள்ள படத்தைப் பார்க்கவும்) இப்போது அதைக் கடந்து, மீண்டும் அந்தத் தவறைச் செய்யாதீர்கள்! என்ன பிழை? - நீங்கள் கேட்கிறீர்கள். உண்மை என்னவென்றால், இந்த சமத்துவமின்மையில் காரணி இரண்டு முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்பட்டது (நீங்கள் அதை எவ்வாறு குறைக்க முயற்சித்தீர்கள் என்பதை நினைவில் கொள்கிறீர்களா?). எனவே, சமத்துவமின்மையில் சில காரணிகள் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்பட்டால்சம எண்

முறை, பின்னர் இந்த காரணியை பூஜ்ஜியமாக மாற்றும் அச்சில் ஒரு புள்ளியைக் கடக்கும்போது, ​​அது ஒற்றைப்படையாக இருந்தால், அடையாளம் மாறாது!

இடைவெளிகள் மற்றும் அறிகுறிகளுடன் பின்வரும் அச்சு சரியாக இருக்கும்:

மேலும், நாம் ஆர்வமாக உள்ள அடையாளம் ஆரம்பத்தில் இருந்த ஒன்றல்ல என்பதை நினைவில் கொள்க ஒரு அடையாளத்துடன்.

பதில்:

எந்த இடைவெளியிலும் சேர்க்கப்படாத சமத்துவமின்மையின் வேர்கள் இருக்கும் சூழ்நிலைகள் உள்ளன என்பதையும் நான் கூறுவேன், பதில் அவை சுருள் அடைப்புக்குறிக்குள் எழுதப்பட்டுள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக: . கட்டுரையின் சராசரி மட்டத்தில் இதுபோன்ற சூழ்நிலைகளைப் பற்றி மேலும் படிக்கலாம்.

1. இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி ஏற்றத்தாழ்வுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை சுருக்கமாகக் கூறுவோம்:
2. எல்லாவற்றையும் இடது பக்கம் நகர்த்துகிறோம், வலதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியத்தை மட்டும் விட்டுவிடுகிறோம்;
3. நாங்கள் ODZ ஐக் காண்கிறோம்;
4. இடைவெளிகளில் ஒன்றிலிருந்து தன்னிச்சையான ஒன்றை எடுத்து, ரூட் சேர்ந்த இடைவெளியில் அடையாளத்தை தீர்மானிக்கிறோம், அறிகுறிகளை மாற்றுகிறோம், சமத்துவமின்மையில் பல முறை மீண்டும் மீண்டும் வரும் வேர்களுக்கு கவனம் செலுத்துகிறோம் அவை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறதா இல்லையா என்ற எண்ணிக்கையின் சமநிலை அல்லது ஒற்றைப்படைத்தன்மையில்;
5. பதிலுக்கு, நாங்கள் இடைவெளிகளை எழுதுகிறோம், துளையிடப்பட்ட மற்றும் துளையிடப்படாத புள்ளிகளைக் கவனிக்கிறோம் (ODZ ஐப் பார்க்கவும்), போடுகிறோம் தேவையான வகைகள்அவர்களுக்கு இடையே அடைப்புக்குறிகள்.

இறுதியாக, எங்களுக்கு பிடித்த பிரிவு, "அதை நீங்களே செய்யுங்கள்"!

எடுத்துக்காட்டுகள்:

பதில்கள்:

இடைவெளி முறை. நடுத்தர நிலை

நேரியல் செயல்பாடு

படிவத்தின் செயல்பாடு நேரியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. உதாரணமாக ஒரு செயல்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம். இது நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை. புள்ளி என்பது செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியம் (). இந்த செயல்பாட்டின் அறிகுறிகளை எண் அச்சில் காண்போம்:

"புள்ளியை கடக்கும்போது செயல்பாடு அடையாளத்தை மாற்றுகிறது" என்று நாங்கள் கூறுகிறோம்.

செயல்பாட்டின் அறிகுறிகள் செயல்பாட்டு வரைபடத்தின் நிலைக்கு ஒத்திருப்பதைக் காணலாம்: வரைபடம் அச்சுக்கு மேலே இருந்தால், அடையாளம் “”, அதற்குக் கீழே இருந்தால் “”.

இதன் விளைவாக வரும் விதியை தன்னிச்சையாக பொதுமைப்படுத்தினால் நேரியல் செயல்பாடு, பின்வரும் வழிமுறையைப் பெறுகிறோம்:

• செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியத்தைக் கண்டறிதல்;
• நாம் அதை எண் அச்சில் குறிக்கிறோம்;
• செயல்பாட்டின் அடையாளத்தை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம் வெவ்வேறு பக்கங்கள்பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து.

இருபடி செயல்பாடு

இருபடி ஏற்றத்தாழ்வுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருப்பீர்கள் என்று நம்புகிறேன்? இல்லையென்றால், தலைப்பைப் படியுங்கள். பொதுவான பார்வையை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் இருபடி செயல்பாடு: .

இப்போது இருபடி செயல்பாடு என்ன அறிகுறிகளை எடுக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்வோம். அதன் வரைபடம் ஒரு பரவளையமாகும், மேலும் செயல்பாட்டானது பரவளைய அச்சுக்கு மேலே உள்ளவற்றுக்கு "" அடையாளத்தை எடுக்கும், மேலும் "" - பரவளையம் அச்சுக்குக் கீழே இருந்தால்:

ஒரு செயல்பாட்டில் பூஜ்ஜியங்கள் இருந்தால் (அதில் மதிப்புகள்), பரவளையமானது அச்சை இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது - தொடர்புடைய வேர்கள் இருபடி சமன்பாடு. இவ்வாறு, அச்சு மூன்று இடைவெளிகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் ஒவ்வொரு ரூட் வழியாகச் செல்லும்போதும் செயல்பாட்டின் அறிகுறிகள் மாறி மாறி மாறும்.

ஒவ்வொரு முறையும் ஒரு பரவளையத்தை வரையாமல் அறிகுறிகளை எப்படியாவது தீர்மானிக்க முடியுமா?

ஒரு சதுர முக்கோணத்தை காரணியாக்க முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்க:

உதாரணமாக: .

அச்சில் வேர்களைக் குறிப்போம்:

ஒரு செயல்பாட்டின் அடையாளம் ரூட் வழியாக செல்லும்போது மட்டுமே மாற முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்கிறோம். இந்த உண்மையைப் பயன்படுத்துவோம்: அச்சு வேர்களால் பிரிக்கப்பட்ட மூன்று இடைவெளிகளில் ஒவ்வொன்றிற்கும், தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒரே ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தை தீர்மானிக்க போதுமானது: இடைவெளியின் மீதமுள்ள புள்ளிகளில் அடையாளம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். .

எங்கள் எடுத்துக்காட்டில்: அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள இரண்டு வெளிப்பாடுகளும் நேர்மறையாக இருக்கும் (மாற்று, எடுத்துக்காட்டாக :). அச்சில் "" அடையாளத்தை வைக்கிறோம்:

சரி, எப்போது (மாற்று, எடுத்துக்காட்டாக), இரண்டு அடைப்புக்குறிகளும் எதிர்மறையாக இருக்கும், அதாவது தயாரிப்பு நேர்மறையானது:

இதுதான் இடைவெளி முறை: ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் காரணிகளின் அறிகுறிகளை அறிந்து, முழு தயாரிப்பின் அடையாளத்தையும் நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்.

செயல்பாட்டில் பூஜ்ஜியங்கள் இல்லாத அல்லது ஒன்று மட்டுமே இருக்கும் நிகழ்வுகளையும் கருத்தில் கொள்வோம்.

அவர்கள் இல்லை என்றால், வேர்கள் இல்லை. இதன் பொருள் "வேர் வழியாகச் செல்வது" இருக்காது. இதன் பொருள், செயல்பாடு முழு எண் கோட்டிலும் ஒரே ஒரு அடையாளத்தை மட்டுமே எடுக்கும். அதை ஒரு செயல்பாட்டில் மாற்றுவதன் மூலம் எளிதாக தீர்மானிக்க முடியும்.

ஒரே ஒரு வேர் இருந்தால், பரவளையம் அச்சைத் தொடும், எனவே ரூட் வழியாகச் செல்லும் போது செயல்பாட்டின் அடையாளம் மாறாது. இத்தகைய சூழ்நிலைகளுக்கு நாம் என்ன விதியை கொண்டு வர முடியும்?

அத்தகைய செயல்பாட்டை நீங்கள் காரணியாக்கினால், நீங்கள் இரண்டு ஒத்த காரணிகளைப் பெறுவீர்கள்:

மேலும் எந்த ஒரு சதுர வெளிப்பாடும் எதிர்மறையானது அல்ல! எனவே, செயல்பாட்டின் அடையாளம் மாறாது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், அடையாளம் மாறாமல் செல்லும் போது, ​​ஒரு சதுரத்துடன் வட்டமிடுவதன் மூலம் மூலத்தை முன்னிலைப்படுத்துவோம்:

அப்படிப்பட்ட ரூட்டை மல்டிபிள் என்று சொல்வோம்.

ஏற்றத்தாழ்வுகளில் இடைவெளி முறை

இப்போது எந்த இருபடி சமத்துவமின்மையும் ஒரு பரவளையத்தை வரையாமல் தீர்க்க முடியும். இருபடி செயல்பாட்டின் அறிகுறிகளை அச்சில் வைத்து, சமத்துவமின்மையின் அடையாளத்தைப் பொறுத்து இடைவெளிகளைத் தேர்ந்தெடுப்பது போதுமானது. உதாரணமாக:

அச்சில் வேர்களை அளந்து அடையாளங்களை வைப்போம்:

"" அடையாளத்துடன் அச்சின் பகுதி நமக்குத் தேவை; சமத்துவமின்மை கடுமையாக இல்லாததால், வேர்கள் தீர்வில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன:

இப்போது ஒரு பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மையைக் கருதுங்கள் - ஒரு சமத்துவமின்மை, இரு பக்கங்களும் பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள் (பார்க்க).

எடுத்துக்காட்டு:

ஒன்றைத் தவிர அனைத்து காரணிகளும் இங்கே "நேரியல்" ஆகும், அதாவது, அவை முதல் சக்திக்கு மட்டுமே மாறி கொண்டிருக்கும். இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கு இதுபோன்ற நேரியல் காரணிகள் நமக்குத் தேவை - அவற்றின் வேர்களைக் கடந்து செல்லும் போது அடையாளம் மாறுகிறது. ஆனால் பெருக்கிக்கு வேர்கள் இல்லை. இதன் பொருள் இது எப்போதும் நேர்மறையானது (இதை நீங்களே சரிபார்க்கவும்), எனவே முழு சமத்துவமின்மையின் அடையாளத்தையும் பாதிக்காது. இதன் பொருள் சமத்துவமின்மையின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை நாம் பிரிக்கலாம், இதனால் அதிலிருந்து விடுபடலாம்:

இப்போது எல்லாம் இருந்ததைப் போலவே உள்ளது இருபடி ஏற்றத்தாழ்வுகள்: ஒவ்வொரு காரணிகளும் எந்த புள்ளிகளில் பூஜ்ஜியமாக மாறும் என்பதை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம், அச்சில் இந்த புள்ளிகளைக் குறிக்கவும் மற்றும் அறிகுறிகளை வரிசைப்படுத்தவும். ஒரு மிக முக்கியமான உண்மைக்கு உங்கள் கவனத்தை ஈர்க்க விரும்புகிறேன்:

பதில்: . எடுத்துக்காட்டு: .

இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்த, சமத்துவமின்மையின் ஒரு பகுதி இருக்க வேண்டும். எனவே, வலது பக்கத்தை இடது பக்கம் நகர்த்துவோம்:

எண் மற்றும் வகுப்பிற்கு ஒரே காரணி உள்ளது, ஆனால் அதைக் குறைக்க அவசரப்பட வேண்டாம்! எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இந்த புள்ளியை குத்துவதை நாம் மறந்துவிடலாம். இந்த மூலத்தை பலமாகக் குறிப்பது நல்லது, அதாவது, அதைக் கடக்கும்போது, ​​​​அடையாளம் மாறாது:

பதில்: .

மேலும் ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு:

மீண்டும், எண் மற்றும் வகுப்பின் அதே காரணிகளை நாங்கள் ரத்து செய்ய மாட்டோம், ஏனெனில் அவ்வாறு செய்தால், புள்ளியை துளைக்க நாம் குறிப்பாக நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

• : மீண்டும் மீண்டும்;
• : முறை;
• : முறை (எண் மற்றும் ஒன்று வகுப்பில்).

இரட்டை எண்ணின் விஷயத்தில், நாங்கள் முன்பு போலவே செய்கிறோம்: புள்ளியைச் சுற்றி ஒரு சதுரத்தை வரைகிறோம் மற்றும் ரூட் வழியாகச் செல்லும்போது அடையாளத்தை மாற்ற வேண்டாம். ஆனால் ஒற்றைப்படை எண்ணில், இந்த விதி பொருந்தாது: ரூட் வழியாக செல்லும் போது அடையாளம் இன்னும் மாறும். எனவே, அத்தகைய ரூட்டுடன் கூடுதலாக எதையும் செய்ய மாட்டோம், அது பல அல்ல. மேலே உள்ள விதிகள் அனைத்து ஒற்றைப்படை மற்றும் இரட்டை சக்திகளுக்கும் பொருந்தும்.

பதிலில் என்ன எழுத வேண்டும்?

அறிகுறிகளின் மாற்றீடு மீறப்பட்டால், நீங்கள் மிகவும் கவனமாக இருக்க வேண்டும், ஏனென்றால் சமத்துவமின்மை கண்டிப்பாக இல்லை என்றால், பதில் சேர்க்க வேண்டும் அனைத்து நிழல் புள்ளிகள். ஆனால் அவர்களில் சிலர் பெரும்பாலும் தனித்து நிற்கிறார்கள், அதாவது, அவை நிழல் பகுதியில் சேர்க்கப்படவில்லை. இந்த வழக்கில், அவற்றை தனிமைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளிகளாக (சுருள் பிரேஸ்களில்) பதிலில் சேர்க்கிறோம்:

எடுத்துக்காட்டுகள் (நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்):

பதில்கள்:

1. காரணிகளில் இது எளிமையானதாக இருந்தால், அது ஒரு ரூட், ஏனெனில் அது குறிப்பிடப்படலாம்.
   .

இடைவெளி முறை. முக்கிய விஷயங்களைப் பற்றி சுருக்கமாக

பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க இடைவெளி முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. பல்வேறு இடைவெளிகளில் உள்ள காரணிகளின் அறிகுறிகளிலிருந்து தயாரிப்பின் அடையாளத்தை தீர்மானிப்பதில் இது உள்ளது.

இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்.

• எல்லாவற்றையும் இடது பக்கம் நகர்த்துகிறோம், வலதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியத்தை மட்டும் விட்டுவிடுகிறோம்;
• நாங்கள் ODZ ஐக் காண்கிறோம்;
• சமத்துவமின்மையின் அனைத்து வேர்களையும் அச்சில் நாங்கள் திட்டமிடுகிறோம்;
• இடைவெளிகளில் ஒன்றிலிருந்து தன்னிச்சையான ஒன்றை எடுத்து, ரூட் சேர்ந்த இடைவெளியில் அடையாளத்தை தீர்மானிக்கிறோம், அறிகுறிகளை மாற்றுகிறோம், சமத்துவமின்மையில் பல முறை மீண்டும் மீண்டும் வரும் வேர்களுக்கு கவனம் செலுத்துகிறோம் அவை எத்தனை முறை திரும்பத் திரும்பச் செய்யப்படுகின்றன அல்லது இல்லை என்ற எண்ணிக்கையின் சமநிலை அல்லது ஒற்றைப்படைத்தன்மையில்;
• பதிலுக்கு, நாங்கள் இடைவெளிகளை எழுதுகிறோம், நிறுத்தப்பட்ட மற்றும் துளையிடப்படாத புள்ளிகளைக் கவனிக்கிறோம் (ODZ ஐப் பார்க்கவும்), அவற்றுக்கிடையே தேவையான அடைப்புக்குறிகளை வைக்கிறோம்.

சரி, தலைப்பு முடிந்தது. இந்த வரிகளை நீங்கள் படிக்கிறீர்கள் என்றால், நீங்கள் மிகவும் கூலாக இருக்கிறீர்கள் என்று அர்த்தம்.

ஏனெனில் 5% பேர் மட்டுமே தாங்களாகவே ஏதாவது ஒன்றை மாஸ்டர் செய்ய முடியும். நீங்கள் இறுதிவரை படித்தால், நீங்கள் இந்த 5% இல் இருக்கிறீர்கள்!

இப்போது மிக முக்கியமான விஷயம்.

இந்த தலைப்பில் உள்ள கோட்பாட்டை நீங்கள் புரிந்து கொண்டீர்கள். மேலும், நான் மீண்டும் சொல்கிறேன், இது... இது சூப்பர்! உங்கள் சகாக்களில் பெரும்பாலானவர்களை விட நீங்கள் ஏற்கனவே சிறந்தவர்.

பிரச்சனை என்னவென்றால், இது போதாது ...

எதற்கு?

வெற்றிக்காக ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் தேர்ச்சி, பட்ஜெட்டில் கல்லூரியில் சேருவதற்கும், மிக முக்கியமாக, வாழ்நாள் முழுவதும்.

நான் உன்னை எதையும் நம்ப வைக்க மாட்டேன், ஒன்று மட்டும் சொல்கிறேன்...

பெற்ற மக்கள் நல்ல கல்வி, அதைப் பெறாதவர்களை விட அதிகம் சம்பாதிக்கவும். இது புள்ளிவிவரம்.

ஆனால் இது முக்கிய விஷயம் அல்ல.

முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அவர்கள் மிகவும் மகிழ்ச்சியாக இருக்கிறார்கள் (அத்தகைய ஆய்வுகள் உள்ளன). ஒருவேளை அவர்களுக்கு முன்னால் இன்னும் நிறைய திறந்திருப்பதால் மேலும் சாத்தியங்கள்மற்றும் வாழ்க்கை பிரகாசமாக மாறுமா? தெரியாது...

ஆனால் நீங்களே யோசியுங்கள்...

ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் மற்றவர்களை விட சிறப்பாக இருக்கவும், இறுதியில் மகிழ்ச்சியாக இருக்கவும் என்ன செய்ய வேண்டும்?

இந்த தலைப்பில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் மூலம் உங்கள் கையைப் பெறுங்கள்.

தேர்வின் போது உங்களிடம் தியரி கேட்கப்படாது.

உங்களுக்கு தேவைப்படும் நேரத்திற்கு எதிராக பிரச்சனைகளை தீர்க்க.

மேலும், நீங்கள் அவற்றைத் தீர்க்கவில்லை என்றால் (நிறைய!), நீங்கள் நிச்சயமாக எங்காவது ஒரு முட்டாள் தவற்றைச் செய்வீர்கள் அல்லது நேரமில்லாமல் இருப்பீர்கள்.

இது விளையாட்டைப் போன்றது - நிச்சயமாக வெற்றி பெற நீங்கள் அதை பல முறை மீண்டும் செய்ய வேண்டும்.

நீங்கள் எங்கு வேண்டுமானாலும் சேகரிப்பைக் கண்டறியவும், அவசியம் தீர்வுகளுடன், விரிவான பகுப்பாய்வு மற்றும் முடிவு, முடிவு, முடிவு!

நீங்கள் எங்கள் பணிகளைப் பயன்படுத்தலாம் (விரும்பினால்) மற்றும் நாங்கள் நிச்சயமாக அவற்றை பரிந்துரைக்கிறோம்.

எங்கள் பணிகளை சிறப்பாகப் பயன்படுத்த, நீங்கள் தற்போது படித்துக்கொண்டிருக்கும் YouClever பாடப்புத்தகத்தின் ஆயுளை நீட்டிக்க உதவ வேண்டும்.

எப்படி? இரண்டு விருப்பங்கள் உள்ளன:

1. இந்த கட்டுரையில் மறைக்கப்பட்ட அனைத்து பணிகளையும் திறக்கவும் -
2. பாடப்புத்தகத்தின் அனைத்து 99 கட்டுரைகளிலும் மறைக்கப்பட்ட அனைத்து பணிகளுக்கான அணுகலைத் திறக்கவும் - ஒரு பாடப்புத்தகத்தை வாங்கவும் - 499 RUR

ஆம், எங்கள் பாடப்புத்தகத்தில் இதுபோன்ற 99 கட்டுரைகள் உள்ளன மற்றும் அனைத்து பணிகளுக்கான அணுகல் மற்றும் அவற்றில் உள்ள அனைத்து மறைக்கப்பட்ட உரைகளும் உடனடியாக திறக்கப்படும்.

அனைத்து மறைக்கப்பட்ட பணிகளுக்கான அணுகல் தளத்தின் முழு வாழ்க்கைக்கும் வழங்கப்படுகிறது.

மற்றும் முடிவில் ...

எங்கள் பணிகள் உங்களுக்குப் பிடிக்கவில்லை என்றால், மற்றவர்களைக் கண்டறியவும். கோட்பாட்டில் மட்டும் நிற்காதீர்கள்.

"நான் புரிந்துகொள்கிறேன்" மற்றும் "என்னால் தீர்க்க முடியும்" என்பது முற்றிலும் வெவ்வேறு திறன்கள். உங்களுக்கு இரண்டும் தேவை.

சிக்கல்களைக் கண்டறிந்து அவற்றைத் தீர்க்கவும்!

ஆனால் இன்று பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகள் அனைத்தையும் தீர்க்க முடியாது. இன்னும் துல்லியமாக, எல்லோரும் மட்டும் தீர்மானிக்க முடியாது. வெகு சிலரே இதைச் செய்ய முடியும்.
கிளிட்ச்கோ

இந்தப் பாடம் கடினமாக இருக்கும். மிகவும் கடினமானது, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவர்கள் மட்டுமே முடிவை அடைவார்கள். எனவே, படிக்கத் தொடங்குவதற்கு முன், பெண்கள், பூனைகள், கர்ப்பிணி குழந்தைகள் மற்றும்... திரைகளில் இருந்து அகற்ற பரிந்துரைக்கிறேன்.

வாருங்கள், இது உண்மையில் எளிமையானது. இடைவெளி முறையை நீங்கள் தேர்ச்சி பெற்றிருக்கிறீர்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம் (நீங்கள் அதில் தேர்ச்சி பெறவில்லை என்றால், திரும்பிச் சென்று அதைப் படிக்க பரிந்துரைக்கிறேன்) மற்றும் $P\left(x \right) \gt 0$ வடிவத்தின் ஏற்றத்தாழ்வுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது, $ P\left(x \right)$ என்பது சில பல்லுறுப்புக்கோவை அல்லது பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தயாரிப்பு ஆகும்.

நீங்கள் தீர்க்க கடினமாக இருக்காது என்று நான் நம்புகிறேன், எடுத்துக்காட்டாக, இது போன்ற ஒன்றை (வழியில், அதை ஒரு சூடாக முயற்சிக்கவும்):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

இப்போது சிக்கலை சிறிது சிக்கலாக்குவோம் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை மட்டும் கருத்தில் கொள்ளாமல், வடிவத்தின் பகுத்தறிவு பின்னங்கள் என்று அழைக்கப்படுபவை:

$P\left(x \right)$ மற்றும் $Q\left(x \right)$ ஆகியவை $(a)_(n))((x)^(n))+( வடிவத்தின் ஒரே பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகும். (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, அல்லது அத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கல்.

இது ஒரு பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மையாக இருக்கும். அடிப்படை புள்ளியானது $x$ என்ற மாறியின் வகுப்பில் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, இவை பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகள்:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)((\இடது(3-x \வலது))^(2))\இடது(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

இது ஒரு பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மை அல்ல, ஆனால் மிகவும் பொதுவான சமத்துவமின்மை, இது இடைவெளி முறையால் தீர்க்கப்படலாம்:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

முன்னோக்கிப் பார்க்கும்போது, ​​​​நான் இப்போதே கூறுவேன்: பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க குறைந்தது இரண்டு வழிகள் உள்ளன, ஆனால் அவை அனைத்தும், ஒரு வழி அல்லது வேறு, ஏற்கனவே நமக்குத் தெரிந்த இடைவெளிகளின் முறைக்கு வருகின்றன. எனவே, இந்த முறைகளை பகுப்பாய்வு செய்வதற்கு முன், பழைய உண்மைகளை நினைவில் கொள்வோம், இல்லையெனில் புதிய பொருளிலிருந்து எந்த அர்த்தமும் இருக்காது.

நீங்கள் ஏற்கனவே தெரிந்து கொள்ள வேண்டியது

மிக முக்கியமான உண்மைகள் எப்போதும் இல்லை. நமக்கு உண்மையில் நான்கு மட்டுமே தேவை.

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள்

ஆம், ஆம்: அவை முழுவதும் நம்மை வேட்டையாடும் பள்ளி பாடத்திட்டம்கணிதம். மற்றும் பல்கலைக்கழகத்திலும். இந்த சூத்திரங்களில் சில உள்ளன, ஆனால் நமக்கு பின்வருபவை மட்டுமே தேவை:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \வலது); \\ & (((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\வலது). \\ \முடிவு(சீரமை)\]

கடைசி இரண்டு சூத்திரங்களுக்கு கவனம் செலுத்துங்கள் - இவை க்யூப்ஸின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாடு (தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் கன சதுரம் அல்ல!). முதல் அடைப்புக்குறியில் உள்ள அடையாளம் அசல் வெளிப்பாட்டின் அடையாளத்துடன் ஒத்துப்போவதை நீங்கள் கவனித்தால் அவற்றை நினைவில் கொள்வது எளிது.

நேரியல் சமன்பாடுகள்

$a$ மற்றும் $b$ ஆகியவை சாதாரண எண்கள் மற்றும் $a\ne 0$ ஆகிய $ax+b=0$ வடிவத்தின் எளிமையான சமன்பாடுகள் இவை. இந்த சமன்பாட்டை எளிமையாக தீர்க்க முடியும்:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \முடிவு(சீரமை)\]

$a$ குணகத்தால் வகுக்கும் உரிமை நமக்கு உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்கிறேன், ஏனெனில் $a\ne 0$. இந்தத் தேவை மிகவும் தர்க்கரீதியானது, ஏனெனில் $a=0$ க்கு நாம் இதைப் பெறுகிறோம்:

முதலில், இந்த சமன்பாட்டில் $x$ மாறி இல்லை. இது, பொதுவாகச் சொன்னால், நம்மைக் குழப்பக்கூடாது (இது நடக்கும், சொல்ல, வடிவவியலில், மற்றும் அடிக்கடி), ஆனால் இன்னும், இது இனி ஒரு நேரியல் சமன்பாடு அல்ல.

இரண்டாவதாக, இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு $b$ குணகத்தை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. $b$ என்பது பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், நமது சமன்பாடு $0=0$ வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. இந்த சமத்துவம் எப்போதும் உண்மை; இதன் பொருள் $x$ என்பது எந்த எண்ணும் (பொதுவாக இப்படி எழுதப்படும்: $x\in \mathbb(R)$). குணகம் $b$ பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இல்லாவிட்டால், $b=0$ சமத்துவம் ஒருபோதும் திருப்தி அடையாது, அதாவது. பதில்கள் இல்லை ($x\in \varnothing $ஐ எழுதி, "தீர்வு தொகுப்பு காலியாக உள்ளது" என்று படிக்கவும்).

இந்தக் கஷ்டங்களைத் தவிர்க்க, $a\ne 0$ என்று வைத்துக்கொள்வோம், இது நம்மை மேலும் சிந்திக்காமல் இருக்க முடியாது.

இருபடி சமன்பாடுகள்

ஒரு இருபடி சமன்பாடு இதைத்தான் அழைக்கப்படுகிறது என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

இங்கே இடதுபுறத்தில் இரண்டாவது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை உள்ளது, மீண்டும் $a\ne 0$ (இல்லையெனில், ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டிற்குப் பதிலாக, ஒரு நேரியல் ஒன்றைப் பெறுவோம்). பின்வரும் சமன்பாடுகள் பாகுபாடு மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன:

1. $D \gt 0$ எனில், இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைப் பெறுவோம்;
2. $D=0$ எனில், ஒரு ரூட் இருக்கும், ஆனால் இரண்டாவது பெருக்கல் (இது என்ன வகையான பெருக்கம் மற்றும் அதை எப்படி கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது - பின்னர் மேலும்). அல்லது சமன்பாடு இரண்டு ஒத்த வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்று கூறலாம்;
3. $D \lt 0$ க்கு வேர்கள் எதுவும் இல்லை, மேலும் $a(x)^(2))+bx+c$ என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் அடையாளம் $x$ என்ற குணகத்தின் அடையாளத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. $. மூலம், இது மிகவும் பயனுள்ள உண்மை, சில காரணங்களால் அல்ஜீப்ரா பாடங்களில் பேச மறந்து விடுகிறார்கள்.

நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வேர்கள் கணக்கிடப்படுகின்றன:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

எனவே, பாகுபாடு காட்டுபவர்கள் மீதான கட்டுப்பாடுகள். அனைத்து பிறகு சதுர வேர்எதிர்மறை எண் இல்லை. பல மாணவர்களுக்கு வேர்களைப் பற்றி ஒரு பயங்கரமான குழப்பம் உள்ளது, எனவே நான் குறிப்பாக எழுதினேன் முழு பாடம்: இயற்கணிதத்தில் ஒரு ரூட் என்றால் என்ன, அதை எவ்வாறு கணக்கிடுவது - அதைப் படிக்க நான் மிகவும் பரிந்துரைக்கிறேன்.

பகுத்தறிவு பின்னங்கள் கொண்ட செயல்பாடுகள்

நீங்கள் இடைவெளி முறையைப் படித்திருந்தால் மேலே எழுதப்பட்ட அனைத்தும் ஏற்கனவே உங்களுக்குத் தெரியும். ஆனால் நாம் இப்போது பகுப்பாய்வு செய்வோம் கடந்த காலத்தில் ஒப்புமைகள் இல்லை - இது முற்றிலும் புதிய உண்மை.

வரையறை. பகுத்தறிவு பின்னம் என்பது வடிவத்தின் வெளிப்பாடாகும்

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

இதில் $P\left(x \right)$ மற்றும் $Q\left(x \right)$ ஆகியவை பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகும்.

வெளிப்படையாக, அத்தகைய ஒரு பகுதியிலிருந்து சமத்துவமின்மையைப் பெறுவது எளிது - நீங்கள் வலதுபுறத்தில் "அதிகமான" அல்லது "குறைவான" அடையாளத்தைச் சேர்க்க வேண்டும். மேலும், இதுபோன்ற சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது ஒரு மகிழ்ச்சி, எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

ஒரு வெளிப்பாட்டில் இதுபோன்ற பல பின்னங்கள் இருக்கும்போது சிக்கல்கள் தொடங்குகின்றன. அவர்களை அழைத்து வர வேண்டும் பொதுவான வகுத்தல்- இந்த தருணத்தில்தான் அது அனுமதிக்கப்படுகிறது பெரிய எண்ணிக்கைபுண்படுத்தும் தவறுகள்.

எனவே, ஒரு வெற்றிகரமான தீர்வுக்கு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள்இரண்டு திறன்கள் உறுதியாக தேர்ச்சி பெற வேண்டும்:

1. $P\left(x \right)$ என்ற பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்குதல்;
2. உண்மையில், பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருவது.

பல்லுறுப்புக்கோவையை எவ்வாறு காரணியாக்குவது? மிகவும் எளிமையானது. படிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை இருக்கட்டும்

நாங்கள் அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம். $n$வது பட்டத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

இந்தச் சமன்பாட்டைத் தீர்த்து, $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (கவலைப்பட வேண்டாம்: பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் இது இருக்கும். இந்த இரண்டு வேர்களுக்கு மேல் இல்லை) . இந்த வழக்கில், எங்கள் அசல் பல்லுறுப்புக்கோவை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படலாம்:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+(a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-(x)_( n)) \right) \end(align)\]

அவ்வளவுதான்! தயவு செய்து கவனிக்கவும்: முன்னணி குணகம் $((a)_(n))$ எங்கும் மறைந்துவிடவில்லை - இது அடைப்புக்குறிகளுக்கு முன்னால் ஒரு தனி பெருக்கியாக இருக்கும், தேவைப்பட்டால், இந்த அடைப்புக்குறிக்குள் (நடைமுறை நிகழ்ச்சிகள்) செருகலாம். $((a)_ (n))\ne \pm 1$ உடன், வேர்களுக்கு இடையே எப்போதும் பின்னங்கள் இருக்கும்).

பணி. வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கு:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

தீர்வு. முதலில், வகுப்பினரைப் பார்ப்போம்: அவை அனைத்தும் நேரியல் இருபக்கங்கள், மேலும் இங்கு காரணியாக எதுவும் இல்லை. எனவே, எண்களைக் கணக்கிடுவோம்:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3 \வலது)\இடது(x-1 \வலது); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \வலது)\இடது(2-5x \வலது). \\\முடிவு(சீரமை)\]

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: இரண்டாவது பல்லுறுப்புக்கோவையில், முன்னணி குணகம் “2”, எங்கள் திட்டத்திற்கு இணங்க, முதலில் அடைப்புக்குறிக்கு முன்னால் தோன்றியது, பின்னர் முதல் அடைப்புக்குறிக்குள் சேர்க்கப்பட்டது, ஏனெனில் பின்னம் அங்கு தோன்றியது.

மூன்றாவது பல்லுறுப்புக்கோவையிலும் இதேதான் நடந்தது, அங்கு மட்டும் விதிமுறைகளின் வரிசையும் தலைகீழாக மாறியது. இருப்பினும், குணகம் "−5" இரண்டாவது அடைப்புக்குறிக்குள் சேர்க்கப்பட்டது (நினைவில் கொள்ளுங்கள்: நீங்கள் ஒரே ஒரு அடைப்புக்குறிக்குள் காரணியை உள்ளிடலாம்!), இது பகுதியளவு வேர்களுடன் தொடர்புடைய சிரமத்திலிருந்து எங்களைக் காப்பாற்றியது.

முதல் பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பொறுத்தவரை, எல்லாம் எளிமையானது: அதன் வேர்கள் பாகுபாடு அல்லது வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நிலையான முறையில் தேடப்படுகின்றன.

அசல் வெளிப்பாட்டிற்குத் திரும்பி, காரணிப்படுத்தப்பட்ட எண்களைக் கொண்டு மீண்டும் எழுதுவோம்:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\இடது(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \முடிவு(மேட்ரிக்ஸ்)\]

பதில்: $5x+4$.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சிக்கலான எதுவும் இல்லை. கொஞ்சம் 7-8 வகுப்பு கணிதம் அவ்வளவுதான். சிக்கலான மற்றும் பயமுறுத்தும் வெளிப்பாட்டிலிருந்து எளிமையான மற்றும் எளிதான ஒன்றைப் பெறுவதே அனைத்து மாற்றங்களின் முக்கிய அம்சமாகும்.

இருப்பினும், இது எப்போதும் அப்படி இருக்காது. எனவே இப்போது நாம் ஒரு தீவிரமான சிக்கலைப் பார்ப்போம்.

ஆனால் முதலில், இரண்டு பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு எவ்வாறு கொண்டு வருவது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். அல்காரிதம் மிகவும் எளிமையானது:

1. காரணிகள் இரு பிரிவுகளும்;
2. முதல் வகுப்பைக் கருத்தில் கொண்டு, இரண்டாவது வகுப்பில் இருக்கும் காரணிகளைச் சேர்க்கவும், ஆனால் முதல் வகுப்பில் இல்லை. இதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்பு பொதுவான வகுப்பாக இருக்கும்;
3. அசல் பின்னங்கள் ஒவ்வொன்றும் என்ன காரணிகளைக் காணவில்லை என்பதைக் கண்டறியவும், இதனால் வகுப்பிகள் பொதுவானவற்றுக்கு சமமாக மாறும்.

இந்த அல்காரிதம் உங்களுக்கு "நிறைய எழுத்துக்கள்" கொண்ட உரையாகத் தோன்றலாம். எனவே, ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி எல்லாவற்றையும் பார்ப்போம்.

பணி. வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கு:

\[\இடது(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \வலது)\]

தீர்வு. இது போன்ற பெரிய அளவிலான பிரச்சனைகளை பகுதிகளாக தீர்ப்பது நல்லது. முதல் அடைப்புக்குறிக்குள் என்ன இருக்கிறது என்பதை எழுதுவோம்:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

முந்தைய சிக்கலைப் போலல்லாமல், இங்கே பிரிவினைகள் அவ்வளவு எளிமையானவை அல்ல. அவை ஒவ்வொன்றையும் காரணியாக்குவோம்.

$((x)^(2))+2x+4$ என்ற சதுர முக்கோணத்தை காரணியாக்க முடியாது, ஏனெனில் $((x)^(2))+2x+4=0$ சமன்பாட்டில் வேர்கள் இல்லை (பாகுபாடு எதிர்மறையானது ) நாங்கள் அதை மாற்றாமல் விட்டுவிடுகிறோம்.

இரண்டாவது வகுத்தல் - க்யூபிக் பல்லுறுப்புக்கோவை $((x)^(3))-8$ - கவனமாக ஆராயும்போது கனசதுரங்களின் வித்தியாசம் மற்றும் சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி எளிதாக விரிவாக்கப்படுகிறது:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \வலது)\]

வேறு எதையும் காரணியாக்க முடியாது, ஏனெனில் முதல் அடைப்புக்குறியில் ஒரு நேரியல் பைனோமியல் உள்ளது, இரண்டாவதாக ஏற்கனவே நமக்கு நன்கு தெரிந்த ஒரு கட்டுமானம் உள்ளது, இது உண்மையான வேர்கள் இல்லை.

இறுதியாக, மூன்றாவது வகுப்பானது விரிவுபடுத்த முடியாத ஒரு நேரியல் இருசொல் ஆகும். எனவே, எங்கள் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\இடது(x-2 \வலது)\இடது (((x)^(2))+2x+4 \வலது))-\frac(1)(x-2)\]

பொதுவான வகுப்பானது துல்லியமாக $\இடது(x-2 \வலது)\இடது(((x)^(2))+2x+4 \வலது)$ ஆக இருக்கும் என்பதும், அதற்கு அனைத்து பின்னங்களையும் குறைப்பதும் மிகவும் வெளிப்படையானது. $\இடது(x-2 \வலது)$ இல் முதல் பின்னத்தை பெருக்க வேண்டும், கடைசியாக - $\இடது(((x)^(2))+2x+4 \வலது)$. பின்னர் ஒரே மாதிரியானவற்றை வழங்குவது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ வலது))+\frac(((x)^(2))+8)(\இடது(x-2 \வலது)\இடது(((x)^(2))+2x+4 \வலது))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \வலது))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \வலது))(\இடது(x-2 \வலது)\இடது(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\இடது(x-2 \வலது)\இடது (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\இடது(x-2 \வலது)\ இடது(((x)^(2))+2x+4 \வலது)). \\ \முடிவு(மேட்ரிக்ஸ்)\]

இரண்டாவது வரிக்கு கவனம் செலுத்துங்கள்: வகுத்தல் ஏற்கனவே பொதுவானதாக இருக்கும்போது, ​​அதாவது. மூன்று தனித்தனி பின்னங்களுக்குப் பதிலாக, நாங்கள் ஒரு பெரிய ஒன்றை எழுதினோம், நீங்கள் உடனடியாக அடைப்புக்குறிகளை அகற்றக்கூடாது. கூடுதல் வரியை எழுதி, மூன்றாவது பகுதிக்கு முன் ஒரு கழித்தல் இருந்தது என்பதைக் குறிப்பிடுவது நல்லது - அது எங்கும் செல்லாது, ஆனால் அடைப்புக்குறிக்கு முன்னால் உள்ள எண்ணில் "தொங்கும்". இது உங்களை பல தவறுகளிலிருந்து காப்பாற்றும்.

சரி, கடைசி வரியில், எண்களைக் கணக்கிடுவது பயனுள்ளது. மேலும், இது ஒரு சரியான சதுரம், மேலும் சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள் மீண்டும் எங்கள் உதவிக்கு வருகின்றன. எங்களிடம் உள்ளது:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac((\இடது(x-2 \வலது))^(2)))(\இடது(x-2 \வலது)\இடது(((x)^(2))+2x+4 \வலது) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

இப்போது இரண்டாவது அடைப்புக்குறியை அதே வழியில் கையாள்வோம். இங்கே நான் சமத்துவங்களின் சங்கிலியை எழுதுகிறேன்:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \வலது\இடது(x+2 \வலது))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\இடது(x-2 \வலது)\இடது(x+2 \வலது) ) \\ \முடிவு(மேட்ரிக்ஸ்)\]

அசல் சிக்கலுக்குத் திரும்பி, தயாரிப்பைப் பார்ப்போம்:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\இடது(x-2) \வலது)\இடது(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

பதில்: \[\frac(1)(x+2)\].

இந்த பணியின் பொருள் முந்தையதைப் போலவே உள்ளது: பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகளை நீங்கள் புத்திசாலித்தனமாக அணுகினால் அவற்றை எவ்வாறு எளிமைப்படுத்த முடியும் என்பதைக் காட்ட.

இப்போது இவை அனைத்தும் உங்களுக்குத் தெரியும், இன்றைய பாடத்தின் முக்கிய தலைப்புக்கு செல்லலாம் - பகுதியளவு பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது. மேலும், அத்தகைய தயாரிப்புக்குப் பிறகு நீங்கள் கொட்டைகள் போன்ற ஏற்றத்தாழ்வுகளை உடைப்பீர்கள்.

பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய வழி

பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கு குறைந்தது இரண்டு அணுகுமுறைகள் உள்ளன. இப்போது அவற்றில் ஒன்றைப் பார்ப்போம் - பள்ளிக் கணிதப் பாடத்தில் பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட ஒன்று.

ஆனால் முதலில் கவனிக்க வேண்டும் முக்கியமான விவரம். அனைத்து ஏற்றத்தாழ்வுகளும் இரண்டு வகைகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளன:

1. கண்டிப்பானது: $f\left(x \right) \gt 0$ அல்லது $f\left(x \right) \lt 0$;
2. லேக்ஸ்: $f\left(x \right)\ge 0$ அல்லது $f\left(x \right)\le 0$.

இரண்டாவது வகையின் ஏற்றத்தாழ்வுகள் முதல் மற்றும் சமன்பாட்டிற்கு எளிதாகக் குறைக்கப்படலாம்:

இந்த சிறிய “கூடுதல்” $f\left(x \right)=0$ நிரப்பப்பட்ட புள்ளிகள் போன்ற விரும்பத்தகாத விஷயத்திற்கு வழிவகுக்கிறது - இடைவெளி முறையில் நாங்கள் அவற்றைப் பற்றி அறிந்தோம். இல்லையெனில், கடுமையான மற்றும் கண்டிப்பான சமத்துவமின்மைகளுக்கு இடையில் வேறுபாடுகள் எதுவும் இல்லை, எனவே உலகளாவிய வழிமுறையைப் பார்ப்போம்:

1. சமத்துவமின்மை அடையாளத்தின் ஒரு பக்கத்தில் அனைத்து பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகளையும் சேகரிக்கவும். உதாரணமாக, இடதுபுறத்தில்;
2. அனைத்து பின்னங்களையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கவும் (இதுபோன்ற பல பின்னங்கள் இருந்தால்), ஒத்தவற்றைக் கொண்டு வாருங்கள். பின்னர், முடிந்தால், எண் மற்றும் வகுப்பின் காரணி. ஒரு வழி அல்லது வேறு, $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$ வடிவத்தின் சமத்துவமின்மையை பெறுவோம், இங்கு "டிக்" என்பது சமத்துவமின்மை அடையாளமாகும். .
3. எண்களை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்: $P\left(x \right)=0$. இந்தச் சமன்பாட்டைத் தீர்த்து, வேர்களை $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $(x)_(3))$, ... பிறகு நமக்குத் தேவை வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை: $Q\left(x \right)\ne 0$. நிச்சயமாக, சாராம்சத்தில் நாம் $Q\left(x \right)=0$ சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும், மேலும் $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ என்ற வேர்களைப் பெறுகிறோம். , $x_(3 )^(*)$, ... (உண்மையான சிக்கல்களில் இதுபோன்ற மூன்று வேர்களுக்கு மேல் இருக்காது).
4. இந்த அனைத்து வேர்களையும் (நட்சத்திரங்களுடன் மற்றும் இல்லாமல்) ஒரு ஒற்றை எண் கோட்டில் குறிக்கிறோம், மேலும் நட்சத்திரங்கள் இல்லாத வேர்கள் மீது வர்ணம் பூசப்படுகின்றன, மேலும் நட்சத்திரங்கள் உள்ளவை துளையிடப்படுகின்றன.
5. நாங்கள் "பிளஸ்" மற்றும் "மைனஸ்" அறிகுறிகளை வைக்கிறோம், நமக்குத் தேவையான இடைவெளிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். சமத்துவமின்மை $f\left(x \right) \gt 0$ வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தால், பதில் “பிளஸ்” என்று குறிக்கப்பட்ட இடைவெளிகளாக இருக்கும். $f\left(x \right) \lt 0$ எனில், "minuses" உடன் இடைவெளிகளைப் பார்க்கிறோம்.

2 மற்றும் 4 புள்ளிகளால் மிகப்பெரிய சிரமங்கள் ஏற்படுகின்றன என்பதை பயிற்சி காட்டுகிறது - திறமையான மாற்றங்கள் மற்றும் ஏறுவரிசையில் எண்களின் சரியான ஏற்பாடு. சரி, கடைசி கட்டத்தில், மிகவும் கவனமாக இருங்கள்: நாங்கள் எப்போதும் அதன் அடிப்படையில் அடையாளங்களை வைக்கிறோம் சமன்பாடுகளுக்குச் செல்வதற்கு முன் எழுதப்பட்ட கடைசி சமத்துவமின்மை. இது ஒரு உலகளாவிய விதி, இடைவெளி முறையிலிருந்து பெறப்பட்டது.

எனவே, ஒரு திட்டம் உள்ளது. பயிற்சி செய்வோம்.

பணி. சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

தீர்வு. எங்களிடம் $f\left(x \right) \lt 0$ வடிவத்தின் கடுமையான சமத்துவமின்மை உள்ளது. வெளிப்படையாக, எங்கள் வரைபடத்திலிருந்து புள்ளிகள் 1 மற்றும் 2 ஏற்கனவே பூர்த்தி செய்யப்பட்டுள்ளன: சமத்துவமின்மையின் அனைத்து கூறுகளும் இடதுபுறத்தில் சேகரிக்கப்படுகின்றன, பொதுவான வகுப்பிற்கு எதையும் கொண்டு வர வேண்டிய அவசியமில்லை. எனவே, நேரடியாக மூன்றாவது புள்ளிக்கு செல்லலாம்.

எண்களை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ & x=3. \end(align)\]

மற்றும் வகுத்தல்:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இங்குதான் பலர் சிக்கிக் கொள்கிறார்கள், ஏனெனில் கோட்பாட்டளவில் நீங்கள் $x+7\ne 0$ ஐ ODZ க்கு தேவையானபடி எழுத வேண்டும் (நீங்கள் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியாது, அவ்வளவுதான்). ஆனால் எதிர்காலத்தில் வகுப்பிலிருந்து வந்த புள்ளிகளை நாங்கள் குத்துவோம், எனவே உங்கள் கணக்கீடுகளை மீண்டும் சிக்கலாக்க வேண்டிய அவசியமில்லை - எல்லா இடங்களிலும் சமமான அடையாளத்தை எழுதுங்கள், கவலைப்பட வேண்டாம். இதற்கு யாரும் புள்ளிகளைக் கழிக்க மாட்டார்கள்.

நான்காவது புள்ளி. இதன் விளைவாக வரும் வேர்களை எண் வரிசையில் குறிக்கிறோம்:

சமத்துவமின்மை கடுமையாக இருப்பதால், அனைத்து புள்ளிகளும் பின்னிணைக்கப்பட்டுள்ளன

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: அசல் சமத்துவமின்மை கண்டிப்பானது என்பதால், அனைத்து புள்ளிகளும் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த புள்ளிகள் எண் அல்லது வகுப்பிலிருந்து வந்ததா என்பது இங்கே முக்கியமில்லை.

சரி, அறிகுறிகளைப் பார்ப்போம். எந்த எண்ணையும் $((x)_(0)) \gt 3$ என்று எடுத்துக் கொள்வோம். எடுத்துக்காட்டாக, $((x)_(0))=100$ (ஆனால் அதே வெற்றியுடன் ஒருவர் $((x)_(0))=3.1$ அல்லது $((x)_(0)) = எடுக்கலாம். 1\ 000\ 000$). நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எனவே, அனைத்து வேர்களின் வலதுபுறத்திலும் நமக்கு ஒரு நேர்மறையான பகுதி உள்ளது. மேலும் ஒவ்வொரு ரூட் வழியாக செல்லும்போதும், அடையாளம் மாறுகிறது (இது எப்போதும் அப்படி இருக்காது, ஆனால் அது பின்னர் அதிகம்). எனவே, ஐந்தாவது புள்ளிக்கு செல்லலாம்: அறிகுறிகளை ஏற்பாடு செய்து உங்களுக்குத் தேவையானதைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:

சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு முன்பு இருந்த கடைசி சமத்துவமின்மைக்கு திரும்புவோம். உண்மையில், இது அசல் ஒன்றோடு ஒத்துப்போகிறது, ஏனெனில் இந்த பணியில் நாங்கள் எந்த மாற்றத்தையும் செய்யவில்லை.

$f\left(x \right) \lt 0$ படிவத்தின் சமத்துவமின்மையை நாம் தீர்க்க வேண்டும் என்பதால், $x\in \left(-7;3 \right)$ என்ற இடைவெளியை நான் நிழலாடினேன் - அது மட்டும் குறிக்கப்பட்டது கழித்தல் அடையாளத்துடன். இதுதான் பதில்.

பதில்: $x\in \இடது(-7;3 \வலது)$

அவ்வளவுதான்! கஷ்டமா? இல்லை, அது கடினம் அல்ல. உண்மை, பணி எளிதாக இருந்தது. இப்போது பணியை சிறிது சிக்கலாக்குவோம், மேலும் "அதிநவீனமான" சமத்துவமின்மையைக் கருத்தில் கொள்வோம். அதை தீர்க்கும் போது, ​​நான் இனி அத்தகைய விரிவான கணக்கீடுகளை கொடுக்க மாட்டேன் - நான் முக்கிய புள்ளிகளை வெறுமனே கோடிட்டுக் காட்டுகிறேன். பொதுவாக, அதை எப்படி வடிவமைக்கிறோமோ அப்படி வடிவமைப்போம் சுதந்திரமான வேலைஅல்லது தேர்வு :)

பணி. சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

தீர்வு. இது $f\left(x \right)\ge 0$ வடிவத்தின் கடுமையான சமத்துவமின்மை. அனைத்து பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகளும் இடதுபுறத்தில் சேகரிக்கப்படுகின்றன, வெவ்வேறு பிரிவுகள்இல்லை சமன்பாடுகளுக்கு செல்லலாம்.

எண்:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \முடிவு(சீரமை)\]

வகுத்தல்:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & (((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \முடிவு(சீரமை)\]

எந்த வகையான வக்கிரம் இந்த சிக்கலை உருவாக்கியது என்று எனக்குத் தெரியவில்லை, ஆனால் வேர்கள் நன்றாக மாறவில்லை: அவற்றை எண் வரிசையில் வைப்பது கடினம். மற்றும் ரூட் மூலம் $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ எல்லாம் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ தெளிவாக இருக்கும் (இது மட்டும் தான் நேர்மறை எண்- அது வலதுபுறத்தில் இருக்கும்), பின்னர் $((x)_(1))=-(1)/(7)\;$ மற்றும் $((x)_(2))=-(2)/( 11)\ ;$ கூடுதல் ஆராய்ச்சி தேவை: எது பெரியது?

இதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, இது போன்றது:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

ஏன் என்று விளக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்று நம்புகிறேன் எண் பின்னம்$-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? தேவைப்பட்டால், பின்னங்களுடன் செயல்பாடுகளை எவ்வாறு செய்வது என்பதை நினைவில் வைக்க பரிந்துரைக்கிறேன்.

மூன்று வேர்களையும் எண் வரிசையில் குறிக்கிறோம்:

எண்ணிலிருந்து புள்ளிகள் நிரப்பப்படுகின்றன, வகுப்பிலிருந்து புள்ளிகள் துளைக்கப்படுகின்றன

நாங்கள் அடையாளங்களை வைக்கிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் $((x)_(0))=1$ ஐ எடுத்து, இந்த இடத்தில் குறியைக் கண்டறியலாம்:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

சமன்பாடுகளுக்கு முன் கடைசி சமத்துவமின்மை $f\left(x \right)\ge 0$ ஆகும், எனவே நாங்கள் கூட்டல் குறியில் ஆர்வமாக உள்ளோம்.

எங்களுக்கு இரண்டு செட்கள் கிடைத்துள்ளன: ஒன்று சாதாரண பிரிவு, மற்றொன்று எண் வரிசையில் திறந்த கதிர்.

பதில்: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

வலதுபுற இடைவெளியில் உள்ள அடையாளத்தைக் கண்டறிய நாம் மாற்றியமைக்கும் எண்களைப் பற்றிய முக்கியமான குறிப்பு. வலதுபுற மூலத்திற்கு மிக நெருக்கமான எண்ணை மாற்றுவது முற்றிலும் அவசியமில்லை. நீங்கள் பில்லியன்கள் அல்லது “பிளஸ்-இன்ஃபினிட்டி” கூட எடுக்கலாம் - இந்த விஷயத்தில், அடைப்புக்குறி, எண் அல்லது வகுப்பில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் அடையாளம், முன்னணி குணகத்தின் அடையாளத்தால் மட்டுமே தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

கடைசி சமத்துவமின்மையிலிருந்து $f\left(x \right)$ செயல்பாட்டை மீண்டும் பார்ப்போம்:

அதன் குறியீடானது மூன்று பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கொண்டுள்ளது:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((பி)_(2))\இடது(x \வலது)=11x+2; \\ & Q\இடது(x \right)=13x-4. \end(align)\]

அவை அனைத்தும் நேரியல் பைனோமியல்கள் மற்றும் அவற்றின் அனைத்து முன்னணி குணகங்களும் (எண்கள் 7, 11 மற்றும் 13) நேர்மறையானவை. எனவே, மிகவும் பதிலாக போது பெரிய எண்கள்பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் நேர்மறையாக இருக்கும்.

இந்த விதி மிகவும் சிக்கலானதாகத் தோன்றலாம், ஆனால் முதலில், மிகவும் எளிதான சிக்கல்களை நாம் பகுப்பாய்வு செய்யும் போது மட்டுமே. தீவிர ஏற்றத்தாழ்வுகளில், "பிளஸ்-இன்ஃபினிட்டி" ஐ மாற்றுவது, நிலையான $((x)_(0))=100$ ஐ விட மிக வேகமாக அறிகுறிகளைக் கண்டறிய அனுமதிக்கும்.

இதுபோன்ற சவால்களை மிக விரைவில் சந்திக்க நேரிடும். ஆனால் முதலில், பகுதியளவு பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான மாற்று வழியைப் பார்ப்போம்.

மாற்று வழி

இந்த நுட்பம் எனது மாணவர்களில் ஒருவரால் எனக்கு பரிந்துரைக்கப்பட்டது. நானே இதை ஒருபோதும் பயன்படுத்தவில்லை, ஆனால் பல மாணவர்கள் இந்த வழியில் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது மிகவும் வசதியாக இருப்பதை நடைமுறை காட்டுகிறது.

எனவே, ஆரம்ப தரவு ஒன்றுதான். பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மையை நாம் தீர்க்க வேண்டும்:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

யோசிப்போம்: பல்லுறுப்புக்கோவை $P\left(x \right)$ ஐ விட ஏன் $Q\left(x \right)$ "மோசமானது"? நாம் ஏன் வேர்களின் தனித்தனி குழுக்களைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும் (நட்சத்திரத்துடன் மற்றும் இல்லாமல்), துளையிடப்பட்ட புள்ளிகளைப் பற்றி சிந்திக்க வேண்டும். இது எளிமையானது: ஒரு பின்னம் வரையறையின் ஒரு களத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதன் படி அதன் வகுத்தல் பூஜ்ஜியமாக இல்லாதபோது மட்டுமே பின்னம் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்.

இல்லையெனில், எண் மற்றும் வகுப்பிற்கு இடையில் வேறுபாடுகள் எதுவும் இல்லை: நாங்கள் அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம், வேர்களைத் தேடுகிறோம், பின்னர் அவற்றை எண் வரிசையில் குறிக்கவும். எனவே ஏன் பகுதியளவு வரியை (உண்மையில், பிரிவு அடையாளம்) சாதாரண பெருக்கத்துடன் மாற்றக்கூடாது, மேலும் ODZ இன் அனைத்து தேவைகளையும் தனி சமத்துவமின்மை வடிவத்தில் எழுத வேண்டும்? உதாரணமாக, இது போன்றது:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: இந்த அணுகுமுறை சிக்கலை இடைவெளி முறைக்கு குறைக்கும், ஆனால் தீர்வை சிக்கலாக்காது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, நாங்கள் இன்னும் பல்லுறுப்புக்கோவை $Q\left(x \right)$ ஐ பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம்.

உண்மையான பிரச்சனைகளில் இது எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்.

பணி. சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

தீர்வு. எனவே, இடைவெளி முறைக்கு செல்லலாம்:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \ end(align) \right.\]

முதல் சமத்துவமின்மையை ஒரு அடிப்படை வழியில் தீர்க்க முடியும். ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Rightarrow ((x)_(2))=11. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இரண்டாவது சமத்துவமின்மை எளிமையானது:

எண் வரிசையில் $((x)_(1))$ மற்றும் $((x)_(2))$ புள்ளிகளைக் குறிக்கவும். சமத்துவமின்மை கடுமையாக இருப்பதால் அவை அனைத்தும் நாக் அவுட் செய்யப்பட்டன:

சரியான புள்ளி இரண்டு முறை வெளியே எடுக்கப்பட்டது. இது பரவாயில்லை.

புள்ளிக்கு கவனம் செலுத்துங்கள் $x=11$. இது "இரட்டை-பஞ்சர்" என்று மாறிவிடும்: ஒருபுறம், சமத்துவமின்மையின் தீவிரம் காரணமாக, மறுபுறம், DL இன் கூடுதல் தேவை காரணமாக அதை குத்துகிறோம்.

எப்படியிருந்தாலும், அது ஒரு துளையிடப்பட்ட புள்ளியாக இருக்கும். எனவே, சமத்துவமின்மைக்கான அடையாளங்களை நாங்கள் ஏற்பாடு செய்கிறோம் $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கத் தொடங்கும் முன் கடைசியாகப் பார்த்தது:

$f\left(x \right) \gt 0$ வடிவத்தின் சமத்துவமின்மையை நாங்கள் தீர்த்து வருவதால், நேர்மறையான பகுதிகளில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம் - அவற்றை நிழலிடுவோம். பதிலை எழுதுவதுதான் மிச்சம்.

பதில். $x\in \இடது(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

இந்த தீர்வை உதாரணமாகப் பயன்படுத்தி, தொடக்க மாணவர்களிடையே ஏற்படும் பொதுவான தவறுக்கு எதிராக உங்களை எச்சரிக்க விரும்புகிறேன். அதாவது: ஏற்றத்தாழ்வுகளில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்காதீர்கள்! மாறாக, எல்லாவற்றையும் காரணிப்படுத்த முயற்சிக்கவும் - இது தீர்வை எளிதாக்கும் மற்றும் பல சிக்கல்களிலிருந்து உங்களைக் காப்பாற்றும்.

இப்போது மிகவும் சிக்கலான ஒன்றை முயற்சிப்போம்.

பணி. சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

தீர்வு. இது $f\left(x \right)\le 0$ படிவத்தின் கண்டிப்பான சமத்துவமின்மையாகும், எனவே இங்கே நீங்கள் நிழலாடிய புள்ளிகளுக்குக் கவனம் செலுத்த வேண்டும்.

இடைவெளி முறைக்கு செல்லலாம்:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

சமன்பாட்டிற்கு செல்வோம்:

\[\தொடங்கு(சீரமைக்க) & \இடது(2x-13 \வலது)\இடது(12x-9 \வலது)\இடது(15x+33 \வலது)=0 \\ & 2x-13=0\ரைட்டார்ரோ ((x )_(1))=6.5; \\ & 12x-9=0\Rightarrow ((x)_(2))=0.75; \\ & 15x+33=0\Rightarrow ((x)_(3))=-2.2. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

கூடுதல் தேவைகளை நாங்கள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறோம்:

இதன் விளைவாக வரும் அனைத்து வேர்களையும் எண் வரிசையில் குறிக்கிறோம்:

ஒரு புள்ளியில் துளையிடப்பட்டு நிரப்பப்பட்டால், அது துளையிடப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது

மீண்டும், இரண்டு புள்ளிகள் ஒன்றுடன் ஒன்று "ஒன்றிணைகின்றன" - இது சாதாரணமானது, இது எப்போதும் இப்படித்தான் இருக்கும். துளையிடப்பட்ட மற்றும் வர்ணம் பூசப்பட்டதாகக் குறிக்கப்பட்ட ஒரு புள்ளி உண்மையில் ஒரு துளையிடப்பட்ட புள்ளி என்பதை புரிந்துகொள்வது மட்டுமே முக்கியம். அந்த. "ஓவியம்" விட "குத்துதல்" ஒரு வலுவான செயல்.

இது முற்றிலும் தர்க்கரீதியானது, ஏனென்றால் கிள்ளுதல் மூலம் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தை பாதிக்கும் புள்ளிகளைக் குறிக்கிறோம், ஆனால் பதிலில் தங்களைப் பங்கு கொள்ள வேண்டாம். சில சமயங்களில் எண் இனி நமக்குப் பொருந்தவில்லை என்றால் (உதாரணமாக, அது ODZ க்குள் வராது), பணியின் இறுதி வரை கருத்தில் இருந்து அதைக் கடக்கிறோம்.

பொதுவாக, தத்துவத்தை நிறுத்துங்கள். மைனஸ் அடையாளத்துடன் குறிக்கப்பட்ட அந்த இடைவெளிகளில் அடையாளங்களை வைத்து வண்ணம் தீட்டுகிறோம்:

பதில். $x\in \left(-\infty ;-2.2 \right)\bigcup \left[0.75;6.5 \right]$.

மீண்டும் இந்த சமன்பாட்டிற்கு உங்கள் கவனத்தை ஈர்க்க விரும்புகிறேன்:

\[\இடது(2x-13 \வலது)\இடது(12x-9 \வலது)\இடது(15x+33 \வலது)=0\]

மீண்டும் ஒருமுறை: அத்தகைய சமன்பாடுகளில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கவேண்டாம்! நீங்கள் விஷயங்களை உங்களுக்கு மிகவும் கடினமாக்குவீர்கள். நினைவில் கொள்ளுங்கள்: குறைந்தபட்சம் ஒரு காரணி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுஇது பல சிறியதாக "விழும்", முந்தைய சிக்கலில் நாங்கள் தீர்த்தோம்.

வேர்களின் பெருக்கத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது

முந்தைய சிக்கல்களிலிருந்து இது மிகவும் கடினமானது அல்லாத கண்டிப்பான ஏற்றத்தாழ்வுகள் என்று பார்ப்பது எளிது, ஏனென்றால் அவற்றில் நீங்கள் நிழல் புள்ளிகளைக் கண்காணிக்க வேண்டும்.

ஆனால் உலகில் இன்னும் பெரிய தீமை உள்ளது - இவை ஏற்றத்தாழ்வுகளில் பல வேர்கள். இங்கே நீங்கள் இனி சில நிழல் புள்ளிகளைக் கண்காணிக்க வேண்டியதில்லை - இங்கே இதே புள்ளிகளைக் கடக்கும்போது சமத்துவமின்மை அடையாளம் திடீரென்று மாறாது.

இந்த பாடத்தில் இதுபோன்ற எதையும் நாங்கள் இதுவரை கருத்தில் கொள்ளவில்லை (இடைவெளி முறையிலும் இதே போன்ற பிரச்சனை அடிக்கடி சந்தித்தாலும்). எனவே, நாங்கள் ஒரு புதிய வரையறையை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்:

வரையறை. $(\left(x-a \right))^(n))=0$ சமன்பாட்டின் ரூட் $x=a$ க்கு சமம் மற்றும் $n$th பெருக்கத்தின் ரூட் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

உண்மையில், நாங்கள் குறிப்பாக ஆர்வமாக இல்லை சரியான மதிப்புபன்முகத்தன்மை. இதே எண் $n$ இரட்டையா அல்லது ஒற்றைப்படையா என்பதுதான் முக்கியம். ஏனெனில்:

1. $x=a$ என்பது இரட்டைப் பெருக்கத்தின் வேர் என்றால், அதன் வழியாகச் செல்லும் போது செயல்பாட்டின் அடையாளம் மாறாது;
2. இதற்கு நேர்மாறாக, $x=a$ என்பது ஒற்றைப்படைப் பெருக்கத்தின் மூலமாக இருந்தால், செயல்பாட்டின் அடையாளம் மாறும்.

இந்தப் பாடத்தில் விவாதிக்கப்பட்ட அனைத்து முந்தைய சிக்கல்களும் ஒற்றைப்படைப் பெருக்கத்தின் மூலத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு: எல்லா இடங்களிலும் பெருக்கல் ஒன்றுக்கு சமம்.

மேலும் ஒரு விஷயம். நாங்கள் பிரச்சினைகளைத் தீர்க்கத் தொடங்குவதற்கு முன், ஒரு அனுபவமிக்க மாணவருக்குத் தெளிவாகத் தோன்றும், ஆனால் பல தொடக்கநிலையாளர்களை மயக்க நிலைக்குத் தள்ளும் ஒரு நுணுக்கத்திற்கு உங்கள் கவனத்தை ஈர்க்க விரும்புகிறேன். அதாவது:

பெருக்கத்தின் ரூட் $n$ இந்த சக்திக்கு முழு வெளிப்பாடு உயர்த்தப்படும் போது மட்டுமே எழுகிறது: $((\left(x-a \right))^(n))$, மற்றும் $\left(((x) ^( n))-a \right)$.

மீண்டும் ஒருமுறை: அடைப்புக்குறி $((\left(x-a \right))^(n))$ நமக்கு $x=a$ பெருக்கல் $n$ ஐ வழங்குகிறது, ஆனால் அடைப்புக்குறி $\left(((x)^( n)) -a \right)$ அல்லது, அடிக்கடி நடப்பது போல், $(a-((x)^(n)))$ முதல் பெருக்கத்தின் ஒரு மூலத்தை (அல்லது $n$ சமமாக இருந்தால் இரண்டு வேர்களை) வழங்குகிறது , $n$ எதுவாக இருந்தாலும் சரி.

ஒப்பிடு:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

இங்கே எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது: முழு அடைப்புக்குறியும் ஐந்தாவது சக்தியாக உயர்த்தப்பட்டது, எனவே வெளியீட்டில் ஐந்தாவது சக்தியின் வேர் கிடைத்தது. இப்போது:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

எங்களுக்கு இரண்டு வேர்கள் கிடைத்தன, ஆனால் அவை இரண்டும் முதல் பெருக்கத்தைக் கொண்டுள்ளன. அல்லது இங்கே இன்னொன்று:

\[\left((((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

மேலும் பத்தாவது பட்டம் உங்களை தொந்தரவு செய்ய வேண்டாம். முக்கிய விஷயம் 10 ஆகும் சம எண், எனவே வெளியீட்டில் நமக்கு இரண்டு வேர்கள் உள்ளன, மேலும் அவை இரண்டும் மீண்டும் முதல் பெருக்கத்தைக் கொண்டுள்ளன.

பொதுவாக, கவனமாக இருங்கள்: பன்முகத்தன்மை எப்போது மட்டுமே ஏற்படுகிறது பட்டம் முழு அடைப்புக்குறியைக் குறிக்கிறது, மாறி மட்டுமல்ல.

பணி. சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))((\left(x+7) \வலது))^(5)))\ge 0\]

தீர்வு. அதைத் தீர்க்க முயற்சிப்போம் மாற்று வழி- குறிப்பிட்டவற்றிலிருந்து தயாரிப்புக்கு மாறுவதன் மூலம்:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\வலது.\]

இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி முதல் சமத்துவமின்மையைக் கையாள்வோம்:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left(\left( x+7 \வலது))^(5))=0; \\ & (((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Rightarrow x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \முடிவு(சீரமை)\]

கூடுதலாக, இரண்டாவது சமத்துவமின்மையை நாங்கள் தீர்க்கிறோம். உண்மையில், நாங்கள் அதை ஏற்கனவே தீர்த்துவிட்டோம், ஆனால் மதிப்பாய்வாளர்கள் தீர்வில் தவறு காணாதபடி, அதை மீண்டும் தீர்ப்பது நல்லது:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

தயவு செய்து கவனிக்கவும்: கடைசி சமத்துவமின்மையில் பல மடங்குகள் இல்லை. உண்மையில்: எண் வரிசையில் $x=-7$ என்ற புள்ளியை எத்தனை முறை கடக்கிறீர்கள் என்பது என்ன வித்தியாசம்? குறைந்தது ஒரு முறை, குறைந்தது ஐந்து முறை, முடிவு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்: ஒரு துளையிடப்பட்ட புள்ளி.

எண் வரிசையில் நாம் பெற்ற அனைத்தையும் குறிப்போம்:

நான் சொன்னது போல், புள்ளி $x=-7$ இறுதியில் துளையிடப்படும். இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பதன் அடிப்படையில் பெருக்கங்கள் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன.

அறிகுறிகளை வைப்பது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது:

$x=0$ என்ற புள்ளி இரட்டைப் பெருக்கத்தின் வேர் என்பதால், அதைக் கடக்கும்போது குறி மாறாது. மீதமுள்ள புள்ளிகள் ஒற்றைப்படை பெருக்கத்தைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் அவற்றுடன் எல்லாம் எளிமையானது.

பதில். $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

மீண்டும், $x=0$ என்பதில் கவனம் செலுத்துங்கள். சமமான பெருக்கத்தின் காரணமாக, ஒரு சுவாரஸ்யமான விளைவு எழுகிறது: அதன் இடதுபுறத்தில் உள்ள அனைத்தும் வர்ணம் பூசப்பட்டுள்ளன, வலதுபுறத்தில் உள்ள அனைத்தும் வர்ணம் பூசப்பட்டுள்ளன, மேலும் புள்ளி முற்றிலும் வர்ணம் பூசப்பட்டுள்ளது.

இதன் விளைவாக, பதிலைப் பதிவு செய்யும் போது அது தனிமைப்படுத்தப்பட வேண்டியதில்லை. அந்த. $x\in \left அதற்கு பதிலாக, நாங்கள் உடனடியாக $x\in \\இடது[ -4;6 \right]$ என்று எழுதுகிறோம்.

இத்தகைய விளைவுகள் பல மடங்குகளின் வேர்களால் மட்டுமே சாத்தியமாகும். அடுத்த சிக்கலில் இந்த விளைவின் தலைகீழ் "வெளிப்பாட்டை" சந்திப்போம். நீங்கள் தயாரா?

பணி. சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\[\frac((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

தீர்வு. இந்த முறை நாங்கள் நிலையான திட்டத்தைப் பின்பற்றுவோம். எண்களை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Rightarrow ((x)_(2))=4. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

மற்றும் வகுத்தல்:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

$f\left(x \right)\ge 0$ படிவத்தின் கடுமையான சமத்துவமின்மையை நாங்கள் தீர்த்து வருவதால், வகுப்பிலிருந்து (நட்சத்திரங்களைக் கொண்டவை) வேர்கள் எடுக்கப்பட்டு, எண்களில் இருந்து நிழலிடப்படும்.

"பிளஸ்" என்று குறிக்கப்பட்ட பகுதிகளை நாங்கள் அடையாளங்களை வைத்து நிழலிடுகிறோம்:

புள்ளி $x=3$ தனிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. இது பதிலின் ஒரு பகுதி

இறுதிப் பதிலை எழுதுவதற்கு முன், படத்தைக் கூர்ந்து கவனிப்போம்:

1. புள்ளி $x=1$ ஒரு சீரான பெருக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் அதுவே துளையிடப்பட்டுள்ளது. இதன் விளைவாக, இது பதிலில் தனிமைப்படுத்தப்பட வேண்டும்: நீங்கள் $x\in \இடது(-\infty ;1 \வலது)\bigcup \left(1;2 \right)$ என்று எழுத வேண்டும், $x\in அல்ல. \left(-\ infty ;2 \right)$.
2. புள்ளி $x=3$ கூட ஒரு சம பெருக்கல் மற்றும் நிழல் உள்ளது. அறிகுறிகளின் ஏற்பாடு புள்ளியே நமக்குப் பொருத்தமானது என்பதைக் குறிக்கிறது, ஆனால் ஒரு படி இடது அல்லது வலது - மற்றும் நிச்சயமாக நமக்குப் பொருந்தாத ஒரு பகுதியில் நாம் இருப்பதைக் காண்கிறோம். இத்தகைய புள்ளிகள் தனிமைப்படுத்தப்பட்டவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை $x\in \left\( 3 \right\)$ வடிவத்தில் எழுதப்படுகின்றன.

பெறப்பட்ட அனைத்து துண்டுகளையும் ஒரு பொதுவான தொகுப்பாக இணைத்து பதிலை எழுதுகிறோம்.

பதில்: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

வரையறை. சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது என்பது பொருள் அதன் அனைத்து தீர்வுகளின் தொகுப்பைக் கண்டறியவும், அல்லது இந்த தொகுப்பு காலியாக உள்ளது என்பதை நிரூபிக்கவும்.

இது தோன்றும்: இங்கே என்ன புரிந்துகொள்ள முடியாதது? ஆம், உண்மை என்னவென்றால், தொகுப்புகளை வெவ்வேறு வழிகளில் வரையறுக்கலாம். கடைசி பிரச்சனைக்கான பதிலை மீண்டும் எழுதுவோம்:

எழுதப்பட்டதை நாம் உண்மையில் படிக்கிறோம். மாறி "x" ஒரு குறிப்பிட்ட தொகுப்பிற்கு சொந்தமானது, இது நான்கு தனித்தனி தொகுப்புகளை ("U" அடையாளம்) இணைப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது:

• இடைவெளி $\left(-\infty ;1 \right)$, அதாவது "எல்லா எண்களும் ஒன்றை விட சிறியது, ஆனால் அலகு அல்ல";
• இடைவெளி $\இடது(1;2 \வலது)$, அதாவது. "1 முதல் 2 வரையிலான அனைத்து எண்களும், ஆனால் 1 மற்றும் 2 எண்கள் அல்ல";
• $\left\( 3 \right\)$, ஒரு ஒற்றை எண்ணைக் கொண்டது - மூன்று;
• இடைவெளி $\left[ 4;5 \right)$ 4 முதல் 5 வரையிலான அனைத்து எண்களையும் கொண்டுள்ளது, அதே போல் நான்கையும் கொண்டுள்ளது, ஆனால் ஐந்து அல்ல.

மூன்றாவது புள்ளி இங்கே ஆர்வமாக உள்ளது. எண்களின் எல்லையற்ற தொகுப்புகளை வரையறுத்து, இந்த தொகுப்புகளின் எல்லைகளை மட்டுமே குறிக்கும் இடைவெளிகளைப் போலன்றி, $\left\( 3 \right\)$ என்ற தொகுப்பு கண்டிப்பாக ஒரு எண்ணைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் குறிப்பிடுகிறது.

தொகுப்பில் உள்ள குறிப்பிட்ட எண்களை நாங்கள் பட்டியலிடுகிறோம் (எல்லைகள் அல்லது வேறு எதையும் அமைக்கவில்லை) என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, சுருள் பிரேஸ்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, $\left\( 1;2 \right\)$ என்பது "இரண்டு எண்களைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பு: 1 மற்றும் 2" என்று பொருள்படும், ஆனால் 1 முதல் 2 வரையிலான பிரிவு அல்ல. எந்த சூழ்நிலையிலும் இந்தக் கருத்துகளை குழப்ப வேண்டாம். .

மடங்குகளைச் சேர்ப்பதற்கான விதி

சரி, இன்றைய பாடத்தின் முடிவில், பாவெல் பெர்டோவிலிருந்து ஒரு சிறிய தகரம் :)

கவனமுள்ள மாணவர்கள் ஏற்கனவே யோசித்திருக்கலாம்: எண் மற்றும் வகுப்பின் ஒரே வேர்கள் இருந்தால் என்ன நடக்கும்? எனவே, பின்வரும் விதி செயல்படுகிறது:

ஒரே மாதிரியான வேர்களின் பெருக்கங்கள் சேர்க்கப்படுகின்றன. எப்போதும். இந்த வேர் எண் மற்றும் வகு இரண்டிலும் ஏற்பட்டாலும்.

சில நேரங்களில் பேசுவதை விட முடிவெடுப்பது நல்லது. எனவே, பின்வரும் சிக்கலை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:

பணி. சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\இடது(((x)^(2))-16 \வலது)\இடது(((x)^(2))+ 9x+14 \வலது))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இன்னும் சிறப்பு எதுவும் இல்லை. நாங்கள் வகுப்பினை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

ஒரே மாதிரியான இரண்டு வேர்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன: $((x)_(1))=-2$ மற்றும் $x_(4)^(*)=-2$. இரண்டுக்கும் முதல் பெருக்கம் உண்டு. எனவே, அவற்றை ஒரு ரூட் $x_(4)^(*)=-2$ மூலம் மாற்றுவோம், ஆனால் 1+1=2 இன் பெருக்கத்துடன்.

கூடுதலாக, ஒரே மாதிரியான வேர்களும் உள்ளன: $((x)_(2))=-4$ மற்றும் $x_(2)^(*)=-4$. அவையும் முதல் பெருக்கத்தில் உள்ளன, எனவே $x_(2)^(*)=-4$ பெருக்கல் 1+1=2 மட்டுமே இருக்கும்.

தயவு செய்து கவனிக்கவும்: இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், நாங்கள் சரியாக "துளையிடப்பட்ட" மூலத்தை விட்டுவிட்டோம், மேலும் "வர்ணம் பூசப்பட்ட" ஒன்றை கருத்தில் இருந்து விலக்கினோம். ஏனென்றால் பாடத்தின் ஆரம்பத்தில் நாங்கள் ஒப்புக்கொண்டோம்: ஒரு புள்ளியில் துளையிடப்பட்ட மற்றும் வர்ணம் பூசப்பட்டால், அது துளையிடப்பட்டதாகவே கருதுகிறோம்.

இதன் விளைவாக, எங்களிடம் நான்கு வேர்கள் உள்ளன, அவை அனைத்தும் வெட்டப்பட்டன:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \முடிவு(சீரமை)\]

பெருக்கத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு அவற்றை எண் வரிசையில் குறிக்கிறோம்:

எங்களுக்கு ஆர்வமுள்ள பகுதிகளில் அடையாளங்களை வைத்து வண்ணம் தீட்டுகிறோம்:

அனைத்து. தனிமைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளிகள் அல்லது பிற வக்கிரங்கள் இல்லை. நீங்கள் பதிலை எழுதலாம்.

பதில். $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

மடங்குகளை பெருக்குவதற்கான விதி

சில நேரங்களில் இன்னும் விரும்பத்தகாத சூழ்நிலை ஏற்படுகிறது: பல வேர்களைக் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு சில சக்திக்கு உயர்த்தப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், அனைத்து அசல் வேர்களின் பெருக்கங்களும் மாறுகின்றன.

இது அரிதானது, எனவே பெரும்பாலான மாணவர்களுக்கு இதுபோன்ற பிரச்சினைகளை தீர்ப்பதில் அனுபவம் இல்லை. மற்றும் இங்கே விதி:

ஒரு சமன்பாடு $n$ சக்திக்கு உயர்த்தப்படும் போது, ​​அதன் அனைத்து வேர்களின் பெருக்கங்களும் $n$ மடங்கு அதிகரிக்கும்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு சக்திக்கு உயர்த்துவது அதே சக்தியால் மடங்குகளை பெருக்க வழிவகுக்கிறது. ஒரு உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த விதியைப் பார்ப்போம்:

பணி. சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\[\frac(x(\left(((x)^(2)))-6x+9 \right))^(2))(\left(x-4 \right))^(5)) )((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

தீர்வு. எண்களை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்:

காரணிகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும். முதல் காரணியுடன் எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது: $x=0$. ஆனால் பின்னர் சிக்கல்கள் தொடங்குகின்றன:

\[\begin(align) & (\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & (((x)^(2))-6x+9=0\இடது(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \& ((x)_(2))=3\இடது(4k \right) \\ \end(align)\]

நாம் பார்ப்பது போல், $((x)^(2))-6x+9=0$ சமன்பாடு இரண்டாவது பெருக்கத்தின் ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது: $x=3$. இந்த முழு சமன்பாடும் பின்னர் ஸ்கொயர் செய்யப்படுகிறது. எனவே, ரூட்டின் பெருக்கமானது $2\cdot 2=4$ ஆக இருக்கும், இதைத்தான் நாம் இறுதியில் எழுதினோம்.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

வகுப்பிலும் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \முடிவு(சீரமை)\]

மொத்தத்தில், எங்களுக்கு ஐந்து புள்ளிகள் கிடைத்தன: இரண்டு துளையிடப்பட்டது மற்றும் மூன்று வர்ணம் பூசப்பட்டது. எண் மற்றும் வகுப்பில் இணையான வேர்கள் எதுவும் இல்லை, எனவே அவற்றை எண் வரிசையில் குறிக்கிறோம்:

பெருக்கங்களை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு அறிகுறிகளை நாங்கள் ஏற்பாடு செய்கிறோம் மற்றும் எங்களுக்கு ஆர்வமுள்ள இடைவெளிகளில் வண்ணம் தீட்டுகிறோம்:

மீண்டும் ஒரு தனிமைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளி மற்றும் ஒரு துளையிடப்பட்டது

சம பெருக்கத்தின் வேர்கள் காரணமாக, நாங்கள் மீண்டும் இரண்டு "தரமற்ற" கூறுகளைப் பெற்றோம். இது $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, மற்றும் $x\in \\இடது[ 0;2 \right)$, மேலும் ஒரு தனிமைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளி $ x\in \left\( 3 \right\)$.

பதில். $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எல்லாம் மிகவும் சிக்கலானது அல்ல. முக்கிய விஷயம் கவனிப்பு. கடைசி பகுதிஇந்த பாடம் மாற்றங்களுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது - ஆரம்பத்தில் நாங்கள் விவாதித்த அதே பாடங்கள்.

முன்-மாற்றங்கள்

இந்த பிரிவில் நாம் ஆராயும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை சிக்கலானது என்று அழைக்க முடியாது. இருப்பினும், முந்தைய பணிகளைப் போலல்லாமல், இங்கே நீங்கள் கோட்பாட்டிலிருந்து திறன்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும் பகுத்தறிவு பின்னங்கள்- காரணியாக்கம் மற்றும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு குறைத்தல்.

இன்றைய பாடத்தின் ஆரம்பத்தில் இந்த சிக்கலை விரிவாக விவாதித்தோம். நான் எதைப் பற்றி பேசுகிறேன் என்பது உங்களுக்குப் புரியவில்லை எனில், திரும்பிச் சென்று அதைத் திரும்பத் திரும்பச் சொல்ல நான் மிகவும் பரிந்துரைக்கிறேன். ஏனென்றால், பின்னங்களை மாற்றுவதில் நீங்கள் "மிதக்கினால்" ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளை நெரிப்பதில் எந்தப் பயனும் இல்லை.

வீட்டுப்பாடத்தில், இதே போன்ற பல பணிகளும் இருக்கும். அவை ஒரு தனி துணைப்பிரிவில் வைக்கப்பட்டுள்ளன. அங்கு நீங்கள் மிகவும் அற்பமான உதாரணங்களைக் காண்பீர்கள். ஆனால் இது வீட்டுப்பாடத்தில் இருக்கும், இப்போது இதுபோன்ற இரண்டு ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பார்ப்போம்.

பணி. சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

தீர்வு. எல்லாவற்றையும் இடதுபுறமாக நகர்த்தவும்:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

நாங்கள் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டு வருகிறோம், அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, இதே போன்ற சொற்களை எண்ணில் கொண்டு வருகிறோம்:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ வலது))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

இப்போது நமக்கு முன்னால் ஒரு கிளாசிக்கல் பின்னம்-பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மை உள்ளது, அதற்கான தீர்வு இனி கடினமாக இல்லை. நீங்கள் அதை தீர்க்க பரிந்துரைக்கிறேன் மாற்று முறை- இடைவெளி முறை மூலம்:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

வகுப்பிலிருந்து வரும் தடையை மறந்துவிடாதீர்கள்:

எண் வரிசையில் அனைத்து எண்களையும் கட்டுப்பாடுகளையும் குறிக்கிறோம்:

அனைத்து வேர்களும் முதல் பெருக்கத்தைக் கொண்டுள்ளன. பிரச்சனை இல்லை. நமக்குத் தேவையான பகுதிகளில் அடையாளங்களை வைத்து வண்ணம் தீட்டுகிறோம்:

இதெல்லாம். நீங்கள் பதிலை எழுதலாம்.

பதில். $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

நிச்சயமாக, இது மிகவும் எளிமையான உதாரணம். எனவே, இப்போது சிக்கலை இன்னும் தீவிரமாகப் பார்ப்போம். மேலும், இந்த பணியின் நிலை சுயாதீனமான மற்றும் மிகவும் ஒத்துப்போகிறது சோதனைகள் 8 ஆம் வகுப்பில் இந்த தலைப்பில்.

பணி. சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

தீர்வு. எல்லாவற்றையும் இடதுபுறமாக நகர்த்தவும்:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

இரண்டு பின்னங்களையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருவதற்கு முன், இந்த வகுப்பினரை காரணியாக்குவோம். அதே அடைப்புக்குறிகள் வெளியே வந்தால் என்ன செய்வது? முதல் வகுப்பில் இது எளிதானது:

\[(((x)^(2))+8x-9=\இடது(x-1 \வலது)\இடது(x+9 \வலது)\]

இரண்டாவது இன்னும் கொஞ்சம் கடினமானது. பின்னம் தோன்றும் அடைப்புக்குறிக்குள் நிலையான காரணியைச் சேர்க்க தயங்க வேண்டாம். நினைவில் கொள்ளுங்கள்: அசல் பல்லுறுப்புக்கோவை முழு எண் குணகங்களைக் கொண்டிருந்தது, எனவே காரணியாக்கம் முழு எண் குணகங்களைக் கொண்டிருப்பதற்கான ஒரு நல்ல வாய்ப்பு உள்ளது (உண்மையில், பாகுபாடு பகுத்தறிவற்றதாக இல்லாவிட்டால், அது எப்போதும் இருக்கும்).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரு பொதுவான அடைப்புக்குறி உள்ளது: $\left(x-1 \right)$. நாங்கள் சமத்துவமின்மைக்குத் திரும்புகிறோம் மற்றும் இரண்டு பின்னங்களையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருகிறோம்:

\[\தொடங்கு(சீரமைக்க) & \frac(1)(\இடது(x-1 \வலது)\இடது(x+9 \வலது))-\frac(1)(\இடது(x-1 \வலது)\ இடது(3x-2 \வலது))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\இடது(3x-2 \வலது))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \முடிவு(சீரமை)\]

நாங்கள் வகுப்பினை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( சீரமை)\]

மடங்குகள் அல்லது இணையான வேர்கள் இல்லை. வரியில் நான்கு எண்களைக் குறிக்கிறோம்:

நாங்கள் அடையாளங்களை வைக்கிறோம்:

நாங்கள் பதிலை எழுதுகிறோம்.

பதில்: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5.5;+\infty \ right) $.

இடைவெளி முறை(அல்லது இது சில நேரங்களில் இடைவெளி முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது) ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு உலகளாவிய முறையாகும். இது பல்வேறு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கு ஏற்றது, ஆனால் தீர்ப்பதில் மிகவும் வசதியானது பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகள்ஒரு மாறியுடன். எனவே, பள்ளி இயற்கணிதம் பாடத்திட்டத்தில், இடைவெளிகளின் முறை குறிப்பாக பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளுடன் நெருக்கமாக பிணைக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் அதன் உதவியுடன் மற்ற ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதில் நடைமுறையில் கவனம் செலுத்தப்படவில்லை.

இந்த கட்டுரையில், இடைவெளி முறையை விரிவாக பகுப்பாய்வு செய்வோம் மற்றும் ஒரு மாறியைப் பயன்படுத்தி ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அனைத்து நுணுக்கங்களையும் தொடுவோம். இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையை வழங்குவதன் மூலம் ஆரம்பிக்கலாம். அடுத்து எது என்பதை விளக்குவோம் தத்துவார்த்த அம்சங்கள்இது அடிப்படையானது, மேலும் வழிமுறையின் படிகளை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம், குறிப்பாக, இடைவெளிகளில் அறிகுறிகளின் வரையறையில் விரிவாக வாழ்வோம். இதற்குப் பிறகு, நாங்கள் பல பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு பயிற்சி மற்றும் தீர்வுகளைக் காண்பிப்போம். முடிவில், இடைவெளி முறையை கருத்தில் கொள்ளுங்கள் பொதுவான பார்வை(அதாவது, பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைக் குறிப்பிடாமல்), வேறுவிதமாகக் கூறினால், இடைவெளிகளின் பொதுவான முறை.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

அல்காரிதம்

பள்ளியில் இடைவெளி முறையின் அறிமுகம் f(x) வடிவத்தின் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதன் மூலம் தொடங்குகிறது.<0 (знак неравенства может быть и другим ≤, >அல்லது ≥), இதில் f(x) என்பது விளைபொருளாகக் குறிப்பிடப்படுகிறது நேரியல் இருசொற்கள்மாறி x மற்றும்/அல்லது 1 உடன் சதுர முக்கோணங்கள் 1 இன் முன்னணி குணகம் மற்றும் எதிர்மறை பாகுபாடு மற்றும் அவற்றின் டிகிரி அல்லது அத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விகிதம். தெளிவுக்காக, அத்தகைய ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகளை நாங்கள் தருகிறோம்: (x−5)·(x+5)≤0 , (x+3)·(x 2 -x+1)·(x+2) 3 ≥0, .

மேலும் உரையாடலைக் கணிசமானதாக மாற்ற, இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி மேலே உள்ள வகையின் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு வழிமுறையை உடனடியாக எழுதுவோம், பின்னர் என்ன, எப்படி, ஏன் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். எனவே, இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தவும்:

• முதலில், எண்களின் பூஜ்ஜியங்களும் வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்களும் காணப்படுகின்றன. இதைச் செய்ய, சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டின் எண் மற்றும் வகுப்பானது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், இதன் விளைவாக சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படுகின்றன.
• இதற்குப் பிறகு, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பூஜ்ஜியங்களுடன் தொடர்புடைய புள்ளிகள் கோடுகளால் குறிக்கப்படுகின்றன. ஒரு திட்டவட்டமான வரைதல் போதுமானது, இதில் அளவைக் கவனிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், ஒருவருக்கொருவர் தொடர்புடைய புள்ளிகளின் இருப்பிடத்தைக் கடைப்பிடிப்பது: சிறிய ஒருங்கிணைப்புடன் புள்ளியின் இடதுபுறத்தில் அமைந்துள்ளது. பெரிய ஒருங்கிணைப்பு. இதற்குப் பிறகு, அவை எவ்வாறு சித்தரிக்கப்பட வேண்டும் என்பது தெளிவாகிறது: வழக்கமான அல்லது துளையிடப்பட்ட (வெற்று மையத்துடன்). கடுமையான சமத்துவமின்மையை தீர்க்கும் போது (அடையாளத்துடன்< или >) அனைத்து புள்ளிகளும் துளையிடப்பட்டதாக சித்தரிக்கப்படுகின்றன. கடுமையான சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கும் போது (ஒரு அடையாளத்துடன் ≤ அல்லது ≥), வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்களுடன் தொடர்புடைய புள்ளிகள் துளையிடப்படுகின்றன, மீதமுள்ள புள்ளிகள் கோடுகளால் குறிக்கப்படுகின்றன. இந்த புள்ளிகள் ஆயக் கோட்டை பல எண் இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கின்றன.
• அடுத்து, ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் சமத்துவமின்மை தீர்க்கப்படும் இடத்திலிருந்து f(x) வெளிப்பாட்டின் அறிகுறிகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன (பின்வரும் பத்திகளில் ஒன்றில் இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதை விரிவாக விவரிப்போம்), மேலும் + அல்லது - மேலே வைக்கப்பட்டுள்ளது. அவர்கள் மீது வரையறுக்கப்பட்ட அறிகுறிகளுக்கு ஏற்ப.
• இறுதியாக, கையொப்பமிடப்பட்ட சமத்துவமின்மையை தீர்க்கும் போது< или ≤ изображается штриховка над промежутками, отмеченными знаком −, а при решении неравенства со знаком >அல்லது ≥ - + அடையாளத்துடன் குறிக்கப்பட்ட இடைவெளிகளுக்கு மேல். இதன் விளைவாக சமத்துவமின்மைக்கு தேவையான தீர்வு இதுவாகும்.

மேலே உள்ள வழிமுறையானது பள்ளி பாடப்புத்தகங்களில் உள்ள இடைவெளி முறையின் விளக்கத்துடன் ஒத்துப்போகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

முறை எதை அடிப்படையாகக் கொண்டது?

இடைவெளி முறையின் அடிப்படையிலான அணுகுமுறை காரணமாக நடைபெறுகிறது பின்வரும் சொத்துதொடர்ச்சியான செயல்பாடு: இடைவெளியில் (a, b) f சார்பு தொடர்ச்சியாக இருந்து மறைந்துவிடவில்லை என்றால், அது இந்த இடைவெளியில் ஒரு நிலையான அடையாளத்தைத் தக்க வைத்துக் கொள்ளும் (இதே போன்ற சொத்து உண்மை என்று சேர்ப்போம். எண் கதிர்கள்(−∞, a) மற்றும் (a, +∞) ). இந்த சொத்து, இதையொட்டி, போல்சானோ-கவுச்சி தேற்றத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது (அதன் பரிசீலனை பள்ளி பாடத்திட்டத்தின் எல்லைக்கு அப்பாற்பட்டது), அதன் உருவாக்கம் மற்றும் ஆதாரம், தேவைப்பட்டால், எடுத்துக்காட்டாக, புத்தகத்தில் காணலாம்.

முந்தைய பத்தியில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட படிவத்தைக் கொண்ட f(x) வெளிப்பாடுகளுக்கு, இடைவெளியில் உள்ள அடையாளத்தின் நிலைத்தன்மையை மற்றொரு வழியில் நியாயப்படுத்தலாம், எண் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பண்புகளிலிருந்து தொடங்கி, அதே எண்களைக் கொண்டு எண்களைப் பெருக்கிப் பிரிப்பதற்கான விதிகளை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளலாம். அறிகுறிகள் மற்றும் வெவ்வேறு அறிகுறிகள்.

உதாரணமாக, சமத்துவமின்மையைக் கவனியுங்கள். அதன் எண் மற்றும் வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்கள் எண் கோட்டை மூன்று இடைவெளிகளாக (-∞, -1), (−1, 5) மற்றும் (5, +∞) பிரிக்கின்றன. இடைவெளியில் (−∞, −1) சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாடு ஒரு நிலையான அறிகுறியைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்பிப்போம் (நாம் மற்றொரு இடைவெளியை எடுக்கலாம், காரணம் ஒத்ததாக இருக்கும்). இந்த இடைவெளியில் இருந்து எந்த எண்ணையும் t எடுத்துக் கொள்வோம். இது வெளிப்படையாக சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்யும் t<−1 , и так как −1<5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5 . Из этих неравенств в силу свойств числовых неравенств следует, что t+1<0 и t−5<0. То есть, t+1 и t−5 – отрицательные числа, не зависимо от того, какое конкретно число t мы возьмем из промежутка (−∞, −1) . Тогда позволяет констатировать, что значение выражения будет положительным, откуда следует, что значение выражения будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1) . Итак, на указанном промежутке выражение имеет постоянный знак, причем, это знак +.

எனவே இடைவெளியில் அறிகுறிகளை தீர்மானிப்பதில் சிக்கலை நாங்கள் சுமூகமாக அணுகினோம், ஆனால் இடைவெளி முறையின் முதல் படியை நாங்கள் தவிர்க்க மாட்டோம், இதில் எண் மற்றும் வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டுபிடிப்பது அடங்கும்.

எண் மற்றும் வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

முதல் பத்தியில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வகையின் ஒரு பகுதியின் எண் மற்றும் வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டறிவது பொதுவாக எந்த சிக்கலையும் ஏற்படுத்தாது. இதற்காக, எண் மற்றும் வகுப்பிலிருந்து வெளிப்பாடுகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக அமைக்கப்பட்டன, இதன் விளைவாக சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படுகின்றன. இந்த வகை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான கொள்கை கட்டுரையில் விரிவாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளது காரணிமயமாக்கல் முறை மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. இங்கே நாம் ஒரு உதாரணத்திற்கு நம்மை மட்டுப்படுத்துவோம்.

பகுதியைக் கருதுங்கள் மற்றும் அதன் எண் மற்றும் வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டறியவும். எண்களின் பூஜ்ஜியங்களுடன் ஆரம்பிக்கலாம். எண்களை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம், x·(x−0.6)=0 என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், இதிலிருந்து x=0 மற்றும் x−0.6=0 ஆகிய இரண்டு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்குச் செல்கிறோம், இதிலிருந்து 0 மற்றும் 0.6 என்ற இரண்டு வேர்களைக் காண்கிறோம். . இவை எண்ணின் தேவையான பூஜ்ஜியங்கள். இப்போது நாம் வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்களைக் காண்கிறோம். ஒரு சமன்பாடு செய்வோம் x 7 ·(x 2 +2·x+7) 2 ·(x+5) 3 =0, இது x 7 =0, (x 2 +2 x+7) 2 =0, (x+5) 3 =0, பின்னர் x=0, x 2 +2 x+7 ஆகிய மூன்று சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்குச் சமம். =0, x+5=0. இந்த சமன்பாடுகளில் முதல் சமன்பாட்டின் வேர் தெளிவாக உள்ளது, அது 0, இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் அதன் பாகுபாடு எதிர்மறையானது மற்றும் மூன்றாவது சமன்பாட்டின் வேர் −5 ஆகும். எனவே, வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டறிந்தோம், அவற்றில் இரண்டு இருந்தன: 0 மற்றும் −5. 0 என்பது எண்களில் பூஜ்ஜியமாகவும் வகுப்பில் பூஜ்ஜியமாகவும் மாறியது என்பதை நினைவில் கொள்க.

பொதுவான வழக்கில் எண் மற்றும் வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டறிய, சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கம் ஒரு பின்னமாக இருக்கும்போது, ​​ஆனால் பகுத்தறிவு அவசியமில்லை, எண் மற்றும் வகுப்பையும் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமன் செய்து, தொடர்புடைய சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படுகின்றன.

இடைவெளியில் அறிகுறிகளை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது?

ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டின் அடையாளத்தை தீர்மானிக்க மிகவும் நம்பகமான வழி, ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் இந்த வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவதாகும். இந்த வழக்கில், இடைவெளியில் விரும்பிய அடையாளம் இந்த இடைவெளியில் எந்த நேரத்திலும் வெளிப்பாட்டின் மதிப்பின் அடையாளத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. இதை ஒரு உதாரணத்துடன் விளக்குவோம்.

சமத்துவமின்மையை எடுத்துக் கொள்வோம் . அதன் இடது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாடு எண்களில் பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை, மேலும் வகுப்பில் உள்ள பூஜ்ஜியம் எண் −3 ஆகும். இது எண் கோட்டை இரண்டு இடைவெளிகளாக பிரிக்கிறது (−∞, −3) மற்றும் (−3, +∞). அவற்றில் உள்ள அறிகுறிகளை தீர்மானிப்போம். இதைச் செய்ய, இந்த இடைவெளிகளிலிருந்து ஒரு புள்ளியை எடுத்து, அவற்றில் உள்ள வெளிப்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள். கணக்கீடுகளை மேற்கொள்வது எளிதாக இருக்கும் வகையில் இதுபோன்ற புள்ளிகளை எடுத்துக்கொள்வது நல்லது என்பதை உடனடியாக கவனிக்க வேண்டும். உதாரணமாக, முதல் இடைவெளியில் இருந்து (−∞, -3) நாம் −4 ஐ எடுக்கலாம். x=−4க்கு எங்களிடம் உள்ளது , கழித்தல் குறியுடன் (எதிர்மறை) மதிப்பைப் பெற்றது, எனவே, இந்த இடைவெளியில் ஒரு கழித்தல் குறி இருக்கும். இரண்டாவது இடைவெளியில் (−3, +∞) அடையாளத்தைத் தீர்மானிப்பதற்கு நாங்கள் செல்கிறோம். அதிலிருந்து 0 ஐ எடுப்பது வசதியானது (இடைவெளியில் 0 சேர்க்கப்பட்டால், அதை எப்போதும் எடுத்துக்கொள்வது நல்லது, ஏனெனில் x=0 இல் கணக்கீடுகள் எளிமையானவை). x=0 இல் எங்களிடம் உள்ளது . இந்த மதிப்பில் ஒரு கூட்டல் குறி (நேர்மறை) உள்ளது, எனவே இந்த இடைவெளியில் ஒரு கூட்டல் குறி இருக்கும்.

அறிகுறிகளைத் தீர்மானிப்பதற்கான மற்றொரு அணுகுமுறை உள்ளது, இது ஒரு இடைவெளியில் அடையாளத்தைக் கண்டுபிடித்து அதை பராமரிப்பது அல்லது பூஜ்ஜியத்தின் மூலம் அருகிலுள்ள இடைவெளிக்கு நகரும் போது அதை மாற்றுகிறது. நீங்கள் பின்வரும் விதியை கடைபிடிக்க வேண்டும். புள்ளியின் பூஜ்ஜியத்தைக் கடக்கும்போது, ​​ஆனால் வகுப்பின் பூஜ்ஜியத்தின் வழியாகவோ, அல்லது வகுப்பின் பூஜ்ஜியத்தின் வழியாகவோ, ஆனால் எண் அல்ல, இந்த பூஜ்ஜியத்தைக் கொடுக்கும் வெளிப்பாட்டின் அளவு ஒற்றைப்படையாக இருந்தால் குறி மாறும், அது சமமாக இருந்தால் மாறாது. . எண்களின் பூஜ்ஜியம் மற்றும் வகுப்பின் பூஜ்ஜியம் ஆகிய இரண்டும் உள்ள ஒரு புள்ளியைக் கடக்கும்போது, ​​இந்த பூஜ்ஜியத்தைக் கொடுக்கும் வெளிப்பாடுகளின் சக்திகளின் கூட்டுத்தொகை ஒற்றைப்படையாக இருந்தால், அது சமமாக இருந்தால் மாறாது.

மூலம், சமத்துவமின்மையின் வலது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாடு இந்த கட்டுரையின் முதல் பத்தியின் தொடக்கத்தில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தால், வலதுபுற இடைவெளியில் ஒரு கூட்டல் அடையாளம் இருக்கும்.

எல்லாவற்றையும் தெளிவுபடுத்த, ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

நம் முன் சமத்துவமின்மை இருக்கட்டும் , மற்றும் இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி அதை தீர்க்கிறோம். இதைச் செய்ய, எண் 2, 3, 4 இன் பூஜ்ஜியங்களையும் வகுப்பின் 1, 3, 4 இன் பூஜ்ஜியங்களையும் கண்டறிந்து, அவற்றை முதலில் கோடுகளுடன் ஒருங்கிணைப்பு வரியில் குறிக்கவும்.

பின்னர், துளையிடப்பட்ட புள்ளிகளின் படங்களுடன் வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்களை மாற்றுவோம்

நாங்கள் கடுமையான சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பதால், மீதமுள்ள கோடுகளை சாதாரண புள்ளிகளால் மாற்றுகிறோம்

பின்னர் இடைவெளியில் அறிகுறிகளை அடையாளம் காணும் தருணம் வருகிறது. இந்த உதாரணத்திற்கு முன்பு நாம் கவனித்தபடி, வலதுபுற இடைவெளியில் (4, +∞) ஒரு + அடையாளம் இருக்கும்:

வலமிருந்து இடமாக இடைவெளியில் இருந்து இடைவெளிக்கு நகரும் போது, ​​மீதமுள்ள அறிகுறிகளைத் தீர்மானிப்போம். அடுத்த இடைவெளிக்கு (3, 4) செல்லும்போது, ​​ஆய எண் 4 உடன் புள்ளியைக் கடந்து செல்கிறோம். இது எண் மற்றும் வகுப்பின் பூஜ்ஜியம், இந்த பூஜ்ஜியங்கள் வெளிப்பாடுகளை (x−4) 2 மற்றும் x−4 கொடுக்கின்றன, அவற்றின் சக்திகளின் கூட்டுத்தொகை 2+1=3, மற்றும் இது ஒற்றைப்படை எண், அதாவது இந்த புள்ளியை கடக்கும்போது நீங்கள் அடையாளத்தை மாற்ற வேண்டும். எனவே, இடைவெளியில் (3, 4) ஒரு கழித்தல் அடையாளம் இருக்கும்:

ஒருங்கிணைப்பு 3 உடன் புள்ளியைக் கடந்து செல்லும் போது, ​​இடைவெளிக்கு (2, 3) மேலும் செல்கிறோம். இது எண் மற்றும் வகுப்பின் பூஜ்ஜியமாகும், இது (x−3) 3 மற்றும் (x−3) 5 என்ற வெளிப்பாடுகளால் வழங்கப்படுகிறது, அவற்றின் சக்திகளின் கூட்டுத்தொகை 3+5=8, மேலும் இது ஒரு சமன் எண், எனவே, அடையாளம் மாறாமல் இருக்கும்:

நாம் இடைவெளிக்கு மேலும் நகர்கிறோம் (1, 2). அதற்கான பாதை ஆய 2 உடன் ஒரு புள்ளியால் தடுக்கப்பட்டுள்ளது. இது எண்களின் பூஜ்ஜியம், இது x−2 என்ற வெளிப்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது, அதன் பட்டம் 1, அதாவது ஒற்றைப்படை, எனவே, இந்த புள்ளியைக் கடக்கும்போது, ​​அடையாளம் மாறும்:

இறுதியாக, கடைசி இடைவெளியில் (−∞, 1) அடையாளத்தைத் தீர்மானிக்க வேண்டும். அதைப் பெற, நாம் ஒருங்கிணைப்பு 1 உடன் புள்ளியைக் கடக்க வேண்டும். இது வகுப்பின் பூஜ்ஜியம், இது வெளிப்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது (x−1) 4, அதன் பட்டம் 4, அதாவது, இது சமமானது, எனவே, இந்த புள்ளியைக் கடக்கும்போது அடையாளம் மாறாது. எனவே அனைத்து அறிகுறிகளையும் நாங்கள் அடையாளம் கண்டுள்ளோம், மேலும் வரைபடம் பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:

ஒரு வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடும் போது, ​​பெரிய அளவிலான வேலைகளை உள்ளடக்கியதாக கருதப்படும் முறையின் பயன்பாடு குறிப்பாக நியாயப்படுத்தப்படுகிறது என்பது தெளிவாகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள் இடைவெளியில் எந்த நேரத்திலும் .

இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

இப்போது நீங்கள் வழங்கப்பட்ட அனைத்து தகவல்களையும் ஒன்றாக இணைக்கலாம், இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க போதுமானது மற்றும் பல எடுத்துக்காட்டுகளின் தீர்வுகளை பகுப்பாய்வு செய்யலாம்.

உதாரணம்.

சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும் .

தீர்வு.

இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்போம். வெளிப்படையாக, எண்களின் பூஜ்ஜியங்கள் 1 மற்றும் −5, மற்றும் வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்கள் 1 ஆகும். நாங்கள் அவற்றை எண் வரிசையில் குறிக்கிறோம், ஆயப் புள்ளிகள் மற்றும் 1 புள்ளிகளை வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்களாகவும், மீதமுள்ள பூஜ்ஜியமான எண் −5 ஒரு சாதாரண புள்ளியாக சித்தரிக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் நாங்கள் கடுமையான சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கிறோம்:

இப்போது பூஜ்ஜியங்களைக் கடந்து செல்லும் போது அடையாளத்தை பராமரிக்க அல்லது மாற்றுவதற்கான விதியை கடைபிடித்து, இடைவெளிகளில் அடையாளங்களை வைக்கிறோம். வலதுபுற இடைவெளிக்கு மேலே ஒரு + அடையாளம் இருக்கும் (இந்த இடைவெளியில் ஒரு கட்டத்தில் சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் இதைச் சரிபார்க்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, x=3 இல்). அடையாளத்தை கடக்கும்போது நாம் மாறுகிறோம், 1 ஐக் கடக்கும்போது அதை அப்படியே விட்டுவிடுகிறோம், −5 ஐக் கடக்கும்போது மீண்டும் அடையாளத்தை மாற்றாமல் விட்டுவிடுகிறோம்:

நாம் சமத்துவமின்மையை ≤ அடையாளத்துடன் தீர்த்து வருவதால், அடையாளத்துடன் குறிக்கப்பட்ட இடைவெளியில் நிழலை வரைந்து, அதன் விளைவாக வரும் படத்திலிருந்து பதிலை எழுத வேண்டும்.

எனவே, நாங்கள் தேடும் தீர்வு: .

மேலும், நாம் ஆர்வமாக உள்ள அடையாளம் ஆரம்பத்தில் இருந்த ஒன்றல்ல என்பதை நினைவில் கொள்க ஒரு அடையாளத்துடன்.

.

நியாயமாகச் சொல்வதானால், பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​அவை முதலில் மாற்றப்பட வேண்டும் என்பதில் கவனம் செலுத்துவோம். சரியான வகை, இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி அவற்றைத் தீர்ப்பது சாத்தியமாகும். அத்தகைய மாற்றங்களை எவ்வாறு மேற்கொள்வது என்பதை கட்டுரையில் விரிவாக விவாதிப்போம். பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது, இப்போது சமத்துவமின்மைகளைப் பதிவு செய்வதில் இருபடி முக்கோணங்களைப் பற்றிய ஒரு முக்கியமான விஷயத்தை விளக்கும் ஒரு உதாரணம் தருவோம்.

உதாரணம்.

சமத்துவமின்மைக்கு தீர்வு காணவும் .

தீர்வு.

முதல் பார்வையில், இந்த சமத்துவமின்மை இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கு ஏற்ற வடிவமாகத் தோன்றுகிறது. ஆனால் அவரது குறியீட்டில் உள்ள இருபடி முக்கோணங்களின் பாகுபாடுகள் உண்மையில் எதிர்மறையானதா என்பதைச் சரிபார்ப்பது வலிக்காது. நம் மனசாட்சியை எளிதாக்க அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம். டிரினோமியலுக்கு x 2 +3 x+3 D=3 2 −4 1 3=−3<0 , а для трехчлена x 2 +2·x−8 получаем D’=1 2 −1·(−8)=9>0 . இந்த சமத்துவமின்மைக்கு விரும்பிய வடிவத்தை வழங்குவதற்கு மாற்றங்கள் தேவை என்பதே இதன் பொருள். இந்த வழக்கில், டிரினோமியல் x 2 +2 x−8 ஐ (x+4) (x−2) ஆகக் குறிப்பிடுவது போதுமானது, பின்னர் இடைவெளிகளின் முறையைப் பயன்படுத்தி சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கவும். .

மேலும், நாம் ஆர்வமாக உள்ள அடையாளம் ஆரம்பத்தில் இருந்த ஒன்றல்ல என்பதை நினைவில் கொள்க ஒரு அடையாளத்துடன்.

.

பொதுவான இடைவெளி முறை

பொதுவான இடைவெளி முறையானது f(x) வடிவத்தின் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கிறது.<0 (≤, >, ≥), f(x) என்பது ஒரு மாறி x உடன் தன்னிச்சையாக இருக்கும். அதை எழுதுவோம் பொதுவான இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை:

• முதலில் உங்களுக்கு f மற்றும் இந்த செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள் தேவை.
• வரையறையின் களத்தின் தனிப்பட்ட புள்ளிகள் உட்பட எல்லைப் புள்ளிகள் எண் கோட்டில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைன் தொகுப்பாக இருந்தால் (−5, 1]∪(3)∪ (இடைவெளியில் (−6, 4) குறியை வரையறுக்கவில்லை, ஏனெனில் இது செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனின் பகுதியாக இல்லை). இதைச் செய்ய, ஒரு புள்ளியை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். ஒவ்வொரு இடைவெளியிலிருந்தும், எடுத்துக்காட்டாக, 16, 8 , 6 மற்றும் −8, மேலும் அவற்றில் f செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடவும்:
  
  

  நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை செயல்பாட்டின் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்புகள் என்ன என்பதைக் கண்டுபிடித்தது பற்றி உங்களுக்கு கேள்விகள் இருந்தால், கட்டுரையில் உள்ள பொருளைப் படிக்கவும் எண்களின் ஒப்பீடு.

  நாங்கள் புதிதாக வரையறுக்கப்பட்ட அடையாளங்களை வைத்து, மைனஸ் அடையாளத்துடன் இடைவெளிகளில் நிழலைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
  

  பதிலில் இரண்டு இடைவெளிகளை நாம் − என்ற அடையாளத்துடன் எழுதுகிறோம், நம்மிடம் (−∞, −6]∪(7, 12). பதிலில் −6 சேர்க்கப்பட்டுள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் (தொடர்பான புள்ளி திடமானது, துளையிடப்படவில்லை) உண்மை என்னவென்றால், இது செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியம் அல்ல (கண்டிப்பான சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​நாங்கள் பதிலில் சேர்க்க மாட்டோம்), ஆனால் வரையறையின் களத்தின் எல்லைப் புள்ளி (இது நிறம், கருப்பு அல்ல), மற்றும் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு எதிர்மறையானது (தொடர்புடைய இடைவெளியில் மைனஸ் அடையாளத்தால் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது), அதாவது, அது சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்கிறது (அத்துடன் முழு இடைவெளியையும் சேர்க்க வேண்டும் ∪(7, 12) .

  குறிப்புகள்.

  1. இயற்கணிதம்: 9 ஆம் வகுப்பு: கல்வி. பொது கல்விக்காக நிறுவனங்கள் / [யு. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; திருத்தியது எஸ். ஏ. டெலியாகோவ்ஸ்கி. - 16வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2009. - 271 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  2. மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி.இயற்கணிதம். 9 ஆம் வகுப்பு. 2 மணி நேரத்தில் பகுதி 1. பொது கல்வி நிறுவனங்களின் மாணவர்களுக்கான பாடநூல் / ஏ.ஜி. மோர்ட்கோவிச், பி.வி. செமனோவ். - 13வது பதிப்பு, அழிக்கப்பட்டது. - எம்.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: உடம்பு. ISBN 978-5-346-01752-3.
  3. இயற்கணிதம்மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: Proc. 10-11 தரங்களுக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள் / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn மற்றும் பலர்; எட். A. N. Kolmogorov - 14th ed.: Education, 384 pp.: ill - ISBN 5-09-013651-3
  4. குத்ரியாவ்சேவ் எல்.டி.கணித பகுப்பாய்வு பாடநெறி (இரண்டு தொகுதிகளில்): பல்கலைக்கழகம் மற்றும் கல்லூரி மாணவர்களுக்கான பாடநூல். - எம்.: உயர். பள்ளி, 1981, தொகுதி 1. - 687 ப., நோய்.

  இடைவெளி முறை- பகுதியளவு பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எளிய வழி. இது ஒரு மாறியைச் சார்ந்திருக்கும் பகுத்தறிவு (அல்லது பின்னம்-பகுத்தறிவு) வெளிப்பாடுகளைக் கொண்ட ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்குப் பெயர்.

  1. உதாரணமாக, பின்வரும் சமத்துவமின்மையைக் கவனியுங்கள்

  இடைவெளி முறையானது அதை ஓரிரு நிமிடங்களில் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கிறது.

  இந்த சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்தில் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு செயல்பாடு உள்ளது. பகுத்தறிவு, ஏனெனில் அதில் வேர்கள், சைன்கள் அல்லது மடக்கைகள் இல்லை - பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள் மட்டுமே. வலதுபுறம் பூஜ்ஜியம்.

  இடைவெளி முறையானது ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு செயல்பாட்டின் பின்வரும் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

  ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் அல்லது இல்லாத புள்ளிகளில் மட்டுமே அடையாளத்தை மாற்ற முடியும்.

  ஒரு இருபடி முக்கோணம் எவ்வாறு காரணியாக்கப்படுகிறது, அதாவது வடிவத்தின் வெளிப்பாடு என்பதை நினைவுபடுத்துவோம்.

  இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் எங்கே மற்றும் உள்ளன.

  நாம் ஒரு அச்சை வரைந்து, எண் மற்றும் வகுப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்லும் புள்ளிகளை வைக்கிறோம்.

  

  வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்கள் மற்றும் துளையிடப்பட்ட புள்ளிகள், ஏனெனில் இந்த புள்ளிகளில் சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்தில் உள்ள செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை (நீங்கள் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியாது). சமத்துவமின்மை கடுமையாக இல்லாததால், எண்களின் பூஜ்ஜியங்கள் மற்றும் - நிழலாடப்படுகின்றன. அதன் இரு பக்கங்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பதால், நமது சமத்துவமின்மை எப்போது மற்றும் திருப்தி அடையும்.

  இந்த புள்ளிகள் அச்சை இடைவெளிகளாக உடைக்கின்றன.

  இந்த ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் நமது சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்தில் உள்ள பகுதியளவு பகுத்தறிவு செயல்பாட்டின் அடையாளத்தை நாம் தீர்மானிக்கலாம். ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான அல்லது இல்லாத புள்ளிகளில் மட்டுமே அடையாளத்தை மாற்ற முடியும் என்பதை நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம்.

  இதன் பொருள், எண் அல்லது வகுப்பு பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும், சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டின் அடையாளம் நிலையானதாக இருக்கும் - ஒன்று "பிளஸ்" அல்லது "மைனஸ்".
  எனவே, அத்தகைய ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தைத் தீர்மானிக்க, இந்த இடைவெளியைச் சேர்ந்த எந்தப் புள்ளியையும் எடுத்துக்கொள்கிறோம். நமக்கு வசதியான ஒன்று.

  

  . எடுத்துக்காட்டாக, சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டின் அடையாளத்தைச் சரிபார்க்கவும். "அடைப்புக்குறிகள்" ஒவ்வொன்றும் எதிர்மறையானது. இடது பக்கம் ஒரு அடையாளம் உள்ளது.

  

  அடுத்த இடைவெளி: . இல் உள்ள அடையாளத்தைச் சரிபார்ப்போம். இடது பக்கம் அதன் அடையாளமாக மாறியிருப்பதைக் காண்கிறோம்.

  

  எடுக்கலாம். வெளிப்பாடு நேர்மறையாக இருக்கும்போது - எனவே, அது முதல் வரையிலான முழு இடைவெளியிலும் நேர்மறையாக இருக்கும்.

  

  சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கம் எதிர்மறையாக இருக்கும்போது."> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

  

  இறுதியாக, class="tex" alt="x>7

  எந்த இடைவெளியில் வெளிப்பாடு நேர்மறையாக இருக்கிறது என்பதைக் கண்டறிந்துள்ளோம். பதிலை எழுதுவது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது:

  பதில்: . தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: அறிகுறிகள் இடைவெளிகளுக்கு இடையில் மாறி மாறி வருகின்றன. ஏனெனில் இது நடந்தது.

  ஒவ்வொரு புள்ளியையும் கடந்து செல்லும் போது, ​​நேரியல் காரணிகளில் ஒன்று குறியை மாற்றியது, மீதமுள்ளவை அதை மாறாமல் வைத்திருந்தன

  இடைவெளி முறை மிகவும் எளிமையானது என்று பார்க்கிறோம். இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி பகுதியளவு-பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்க, அதை வடிவத்திற்குக் குறைக்கிறோம்: அல்லது"> !} class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0

  , அல்லது , அல்லது .

  (இடது பக்கத்தில் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு செயல்பாடு உள்ளது, வலது பக்கத்தில் பூஜ்யம் உள்ளது).
  பின்னர் எண் அல்லது வகுப்பி பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்லும் புள்ளிகளை எண் வரிசையில் குறிக்கிறோம்.
  இந்த புள்ளிகள் முழு எண் வரியையும் இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கின்றன, ஒவ்வொன்றிலும் பகுதியளவு-பகுத்தறிவு செயல்பாடு அதன் அடையாளத்தைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது.
  ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் அதன் அடையாளத்தைக் கண்டுபிடிப்பதே எஞ்சியுள்ளது.

  கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியைச் சேர்ந்த எந்தப் புள்ளியிலும் வெளிப்பாட்டின் அடையாளத்தைச் சரிபார்த்து இதைச் செய்கிறோம். அதன் பிறகு, நாங்கள் பதிலை எழுதுகிறோம். அவ்வளவுதான்.

  2. ஆனால் கேள்வி எழுகிறது: அறிகுறிகள் எப்போதும் மாறி மாறி வருகின்றனவா? இல்லை, எப்போதும் இல்லை! நீங்கள் கவனமாக இருக்க வேண்டும் மற்றும் இயந்திரத்தனமாக மற்றும் சிந்தனையின்றி அடையாளங்களை வைக்க வேண்டாம்.

  Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ இடது(x-3 \வலது))>0"> !}

  புள்ளிகளை மீண்டும் அச்சில் வைக்கவும். புள்ளிகள் மற்றும் துளையிடப்படுகின்றன, ஏனெனில் அவை வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்கள். சமத்துவமின்மை கடுமையாக இருப்பதால் புள்ளியும் வெட்டப்பட்டது.

  

  எண் நேர்மறையாக இருக்கும்போது, ​​வகுப்பில் உள்ள இரண்டு காரணிகளும் எதிர்மறையாக இருக்கும். கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியிலிருந்து எந்த எண்ணையும் எடுத்து இதை எளிதாகச் சரிபார்க்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, . இடது பக்கத்தில் ஒரு அடையாளம் உள்ளது:

  

  எண் நேர்மறையாக இருக்கும்போது; வகுப்பின் முதல் காரணி நேர்மறை, இரண்டாவது காரணி எதிர்மறை. இடது பக்கத்தில் ஒரு அடையாளம் உள்ளது:

  

  நிலைமையும் அப்படித்தான்! எண் நேர்மறை, வகுப்பின் முதல் காரணி நேர்மறை, இரண்டாவது எதிர்மறை. இடது பக்கத்தில் ஒரு அடையாளம் உள்ளது:

  

  இறுதியாக, class="tex" alt="x>3 உடன்"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}
  
  

  எந்த இடைவெளியில் வெளிப்பாடு நேர்மறையாக இருக்கிறது என்பதைக் கண்டறிந்துள்ளோம். பதிலை எழுதுவது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது:

  அறிகுறிகளின் மாற்று ஏன் சீர்குலைந்தது? ஏனெனில் ஒரு புள்ளியைக் கடக்கும்போது பெருக்கி அதற்கு "பொறுப்பு" அடையாளத்தை மாற்றவில்லை. இதன் விளைவாக, நமது சமத்துவமின்மையின் முழு இடது பக்கமும் அடையாளத்தை மாற்றவில்லை.

  முடிவு: நேரியல் பெருக்கி ஒரு சம சக்தியாக இருந்தால் (உதாரணமாக, சதுரம்), ஒரு புள்ளியைக் கடக்கும்போது இடது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டின் அடையாளம் மாறாது. ஒற்றைப்படை பட்டத்தின் விஷயத்தில், அடையாளம், நிச்சயமாக, மாறுகிறது.

  3. மிகவும் சிக்கலான வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம். சமத்துவமின்மை கடுமையாக இல்லாததால், முந்தையதை விட இது வேறுபடுகிறது:

  இடது பக்கம் முந்தைய சிக்கலில் இருந்ததைப் போலவே உள்ளது. அறிகுறிகளின் படம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்:

  

  ஒருவேளை பதில் அப்படியே இருக்குமோ? இல்லை! சமத்துவமின்மையின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பதால் இது நிகழ்கிறது - எனவே, இந்த புள்ளி ஒரு தீர்வு.

  எந்த இடைவெளியில் வெளிப்பாடு நேர்மறையாக இருக்கிறது என்பதைக் கண்டறிந்துள்ளோம். பதிலை எழுதுவது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது:

  கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் உள்ள சிக்கல்களில் இந்த நிலைமை அடிக்கடி நிகழ்கிறது. இங்குதான் விண்ணப்பதாரர்கள் வலையில் விழுந்து புள்ளிகளை இழக்கின்றனர். கவனமாக இரு!

  4. எண் அல்லது வகுப்பினை நேரியல் காரணிகளாகக் கணக்கிட முடியாவிட்டால் என்ன செய்வது? இந்த சமத்துவமின்மையைக் கவனியுங்கள்:

  ஒரு சதுர முக்கோணத்தை காரணியாக்க முடியாது: பாகுபாடு எதிர்மறையானது, வேர்கள் இல்லை. ஆனால் இது நல்லது! இதன் பொருள் அனைவருக்கும் வெளிப்பாட்டின் அடையாளம் ஒன்றுதான், குறிப்பாக நேர்மறை. இருபடி செயல்பாடுகளின் பண்புகள் பற்றிய கட்டுரையில் இதைப் பற்றி மேலும் படிக்கலாம்.

  இப்போது நம் சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் அனைவருக்கும் சாதகமான மதிப்பால் பிரிக்கலாம். சமமான சமத்துவமின்மைக்கு வருவோம்:

  இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி எளிதில் தீர்க்கப்படும்.

  சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் ஒரு மதிப்பின் மூலம் பிரித்தோம் என்பதை நினைவில் கொள்க. நிச்சயமாக, பொதுவாக, நீங்கள் ஒரு சமத்துவமின்மையை பெருக்கவோ அல்லது பிரிக்கவோ கூடாது மாறி மதிப்பு, யாருடைய அடையாளம் தெரியவில்லை.

  5 . மற்றொரு சமத்துவமின்மையைக் கருத்தில் கொள்வோம், இது மிகவும் எளிமையானது:

  நான் அதை ஆல் பெருக்க விரும்புகிறேன். ஆனால் நாங்கள் ஏற்கனவே புத்திசாலி, இதை செய்ய மாட்டோம். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இது நேர்மறையாகவும் எதிர்மறையாகவும் இருக்கலாம். சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களும் எதிர்மறை மதிப்பால் பெருக்கப்பட்டால், சமத்துவமின்மையின் அடையாளம் மாறுகிறது என்பதை நாம் அறிவோம்.

  நாங்கள் அதை வித்தியாசமாக செய்வோம் - எல்லாவற்றையும் ஒரே பகுதியில் சேகரித்து ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருவோம். வலது பக்கம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்:

  Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

  அதன் பிறகு - விண்ணப்பிக்கவும் இடைவெளி முறை.

  இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி ஏற்றத்தாழ்வுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது (எடுத்துக்காட்டுகளுடன் கூடிய வழிமுறை)

  உதாரணம் . (OGE இலிருந்து பணி)இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கவும் \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
  தீர்வு:

  பதில் : \((7;7+\sqrt(11))\)

  உதாரணம் . இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கவும் \(≥0\)
  தீர்வு:

  \(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7.5))\)\(≥0\)		இங்கே, முதல் பார்வையில், எல்லாம் சாதாரணமாகத் தெரிகிறது, மற்றும் சமத்துவமின்மை ஆரம்பத்தில் விரும்பிய வடிவத்திற்கு கொண்டு வரப்படுகிறது. ஆனால் இது அவ்வாறு இல்லை - எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, எண்களின் முதல் மற்றும் மூன்றாவது அடைப்புக்குறிக்குள், x ஒரு கழித்தல் அடையாளத்துடன் தோன்றும். நான்காவது பட்டம் சமமானது (அதாவது, அது கழித்தல் அடையாளத்தை அகற்றும்), மூன்றாவது ஒற்றைப்படை (அதாவது, அது அகற்றாது) என்ற உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, அடைப்புக்குறிகளை மாற்றுகிறோம். \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) இப்படி. ஏற்கனவே மாற்றப்பட்ட "இடத்தில்" அடைப்புக்குறிகளை இப்போது திருப்பித் தருகிறோம்.
  \(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7.5))\)\(≥0\)		இப்போது அனைத்து அடைப்புக்குறிகளும் இருக்க வேண்டும் (கையொப்பமிடாத பெயர் முதலில் வரும் பின்னர் எண்). ஆனால் எண்ணுக்கு முன்னால் ஒரு மைனஸ் தோன்றியது. சமத்துவமின்மையை \(-1\) ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் அதை அகற்றுவோம், ஒப்பீட்டு அடையாளத்தை மாற்ற மறக்காமல்
  \(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7.5))\)\(≤0\)		தயார். இப்போது சமத்துவமின்மை அது போல் தெரிகிறது. நீங்கள் இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தலாம்.
  \(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7.5\)		அச்சில் புள்ளிகளை வைப்போம், அறிகுறிகள் மற்றும் தேவையான இடைவெளியில் வண்ணம் தீட்டுவோம்.
  		\(4\) இலிருந்து \(6\) வரையிலான இடைவெளியில், அடையாளத்தை மாற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனெனில் அடைப்புக்குறி \((x-6)\) ஒரு சம சக்தியாக உள்ளது (அல்காரிதத்தின் புள்ளி 4 ஐப் பார்க்கவும்) . சமத்துவமின்மைக்கு ஆறு ஒரு தீர்வாகும் என்பதை கொடி நினைவூட்டுவதாக இருக்கும். பதிலை எழுதுவோம்.

  பதில் : \((-∞;7,5]∪[-6,4]∪\இடது\(6\வலது\)\)

  உதாரணம்.(OGE வழங்கும் பணி)இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கவும் \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
  தீர்வு:

  \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் ஒரே மாதிரியானவை உள்ளன - இது தெளிவாக தற்செயல் நிகழ்வு அல்ல. முதல் ஆசை \(-x^2-64\) மூலம் வகுக்க வேண்டும், ஆனால் இது ஒரு தவறு, ஏனெனில் வேரை இழக்கும் வாய்ப்பு உள்ளது. அதற்கு பதிலாக, \(64(-x^2-64)\) ஐ இடது பக்கம் நகர்த்தவும்
  \(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
  \((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		முதல் அடைப்புக்குறியில் உள்ள மைனஸை எடுத்துவிட்டு, இரண்டாவதாகக் கணக்கிடுவோம்
  \(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		\(x^2\) என்பது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாகவோ அல்லது பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவோ இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். அதாவது x இன் எந்த மதிப்பிற்கும் \(x^2+64\) தனித்துவமாக நேர்மறையாக இருக்கும், அதாவது, இந்த வெளிப்பாடு இடது பக்க அடையாளத்தை எந்த விதத்திலும் பாதிக்காது. எனவே, இந்த வெளிப்பாட்டின் மூலம் சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் நாம் பாதுகாப்பாகப் பிரிக்கலாம். மைனஸைப் போக்க சமத்துவமின்மையை \(-1\) ஆல் வகுப்போம்.
  \((x-8)(x+8)≥0\)		இப்போது நீங்கள் இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தலாம்
  \(x=8;\) \(x=-8\)		பதிலை எழுதுவோம்

  பதில் : \((-∞;-8]∪}